Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет»

Институт экономики, управления и финансов

Кафедра прикладной статистики и информатики

Курсовая работа

на тему: «Формирование оптимального портфеля рисковых ценных бумаг»

Выполнила: студентка ИЭУиФ, гр. БС-31 А.А. Семеева

Проверил: канд. физ-мат. наук, доцент Н.С. Садовин

Йошкар-Ола 2014



Содержание

Введение

1. Рынок ценных бумаг

1.1 Экономическое содержание рынка ценных бумаг

1.2 История развития рынка ценных бумаг в России

1.3 Современное состояние рынка ценных бумаг в РФ

2. Выбор оптимального портфеля ценных бумаг

2.1 Портфель с минимальным риском

2.2 Портфели, оптимальные по Парето

2.3 Портфели максимальной эффективности

2.4 Портфели максимальной полезности

3. Численная реализация моделей формирования портфеля ценных бумаг

3.1 Формирование параметрической модели рынка ценных бумаг

3.2 Построение портфеля с минимальным риском

3.3 Построение портфеля, оптимального по Парето

3.4 Построение портфеля с максимальной полезностью

Заключение

Список использованных источников

портфель рынок ценная бумага



Введение

В настоящее время инвестиции имеют большое значение в деятельности предприятия. Занимаясь инвестициями, необходимо выработать стратегию действий, состав инвестиционного портфеля, количество и виды ценных бумаг, допустимый уровень риска и желаемый уровень дохода.

Существует понятие «портфельное инвестирование». Данный вид инвестирования позволяет планировать, оценивать, контролировать конечные результаты всей инвестиционной деятельности в различных секторах фондового рынка. Основная же задача портфельного инвестирования -- улучшение условий инвестирования, придание совокупности ценных бумаг таких инвестиционных характеристик, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценной бумаги, и возможны только при их комбинации. Т.е. портфель ценных бумаг является тем инструментом, с помощью которого инвестору обеспечивается требуемая устойчивость дохода при минимальном риске.

Проблеме формирования оптимального портфеля рисковых ценных бумаг очень актуальна для современного инвестора, ведь в оптимально сформированном портфеле риск всего портфеля ниже, чем риск у каждой отдельной бумаги.

Цель работы - разработка прикладной программы, позволяющей формировать оптимальные портфели рисковых ценных бумаг согласно выбранным критериям.

Достижение поставленной цели предполагает решение ряда задач:

· построение параметрической модели рынка,

· формирование оптимальных портфелей рисковых ценных бумаг (с минимальным риском, оптимальный по Парето, с максимальной полезностью).

Первая глава данной работы «Рынок ценных бумаг» - теоретическая. В ней рассматриваются основные понятия, экономическое содержание, история развития рынка ценных бумаг, а также классификация ценных бумаг.

Вторая глава «Выбор оптимального портфеля ценных бумаг» посвящена рассмотрению экономико-математической модели выбора оптимального портфеля ценных бумаг.

Третья глава «Численная реализация моделей формирования портфеля ценных бумаг» связана с численной реализацией модели, изложенной во второй главе.



1. Рынок ценных бумаг

1.1 Экономическое содержание рынка ценных бумаг

Рынок ценных бумаг - это сфера экономических отношений, связанных с выпуском и обращением ценных бумаг, целью которого является аккумулирование финансовых ресурсов и обеспечение возможности их перераспределения путем совершения различными участниками рынка разнообразных операций с ценными бумагами. Это одно из множества различных определений ценных бумаг, но, по моему мнению, самое емкое. Рынок ценных бумаг входит в состав финансового рынка наряду с рынком капитала и валютным рынком и занимает промежуточное место среди них.

Товаром в рассматриваемом рынке служат ценные бумаги, которые представляет собой документы установленной формы и реквизитов, отражающие связанные с ним имущественные права. Ценные бумаги могут самостоятельно обращаться на рынке и быть объектом купли-продажи и иных сделок, они служат источником получения регулярного или разового дохода, выступают разновидностью денежного капитала. Ценные бумаги, в той части, в которой они обеспечены денежными ресурсами, называются фондовыми активами. Отсюда рынок ценных бумаг может иметь второе название -- фондовый рынок.

Существующие в мировой практике ЦБ делятся на два больших класса:

1. основные,

2. производственные.

Основные ЦБ - это ЦБ, в основе которых лежат имущественные права на какой-то актив, обычно товар, деньги, капитал, различного рода ресурсы и т.д. Они основаны на активах, в число которых не входят сами ЦБ. Это - акции, облигации, векселя, закладные, и др.

В настоящее время существует не один способ классификации ценных бумаг. Так, по порядку узаконения (подтверждения) прав владельца цен-ные бумаги бывают трех видов:

· именные,

· предъявительские,

· ордерные ценные бумаги.

Именная ценная бумага - это ценная бумага, в которой на ее бланке, либо в реестре собственников зафиксировано имя владельца. На предъявительской ценной бумаге непосредственно имя владельца не фиксируется, а ее обращение не нуждается в регистрации. Ордерная ценная бумага - это ценная бумага, по которой права принадлежат названному в ней лицу, осуществляющему эти права или же назначающему своим распорядителем другое правомочное лицо.

В зависимости от формы имущественных отношений, выражаемых ценной бумагой, выделяют:

· долевые ценные бумаги, подтверждающие отношения собственности ее владельца на часть имущества эмитента;

· долговые ценные бумаги, выражающие отношения займа между ее владельцем и эмитентом, который обязуется ее выкупить в установленный срок, выплатив при этом определенный процент.

ЦБ выпускаются разными субъектами. В самом общем виде выделяются три основные группы их эмитентов: государство, частный сектор, иностранные субъекты. Соответственно все ценные бумаги могут быть условно отнесены к:

· государственным,

· частным,

· международным.

По сроку существования ЦБ делятся на:

· срочные - ценные бумаги, имеющие установленный при их выпуске срок существования (краткосрочные - до 1 года, среднесрочные - свыше 1 года в пределах 5-10 лет, долгосрочные - до 20-30 лет);

· бессрочные, срок обращения которых ничем не регламентирован.

По происхождению - на:

· первичные ценные бумаги - основаны на активах, в число которых не входят сами ценные бумаги (акции, облигации, векселя и др.);

· вторичные - это ценные бумаги, выпускаемые на основе первичных ценных бумаг (варранты на ценные бумаги, депозитарные расписки и др.).

По типу использования -на:

· инвестиционные (капитальные) - это ценные бумаги, являющиеся объектом для вложения капитала (акции, облигации, фьючерсные контракты и др.);

· неинвестиционные - ценные бумаги, обслуживающие денежные расчёты на товарных или других рынках (векселя, чеки, коносаменты).

По форме выпуска различают:

· эмиссионные, выпускаемые обычно крупными сериями (внутри каждой серии все ценные бумаги абсолютно идентичны) - это, обычно - акции и облигации;

· неэмиссионные, выпускаемые поштучно или небольшими сериями.

С точки зрения доходности ценные бумаги, как правило, являются доходными, но могут быть и бездоходными, когда при выпуске ценной бумаги не оговаривается размер дохода её владельцу.

Основные виды ценных бумаг:

· Акция - эмиссионная ценная бумага, которая закрепляет права держателя на получение части прибыли акционерного общества в виде дивидендов, на участие в управлении и на часть имущества, оставшегося после его ликвидации.

· Облигация - это ценная бумага, удостоверяющая внесение ее владельцем денежных средств и подтверждающая обязательства возместить ему номинальную стоимость этой ценной бумаги в предусмотренный срок с уплатой фиксированного процента (если иное не предусмотрено условиями выпуска). Облигации всех видов могут распространяться среди предприятий и граждан только на добровольной основе. В отличие от владельцев акций владельцы облигаций не являются совладельцами акционерного общества, а являются его кредиторами.

· Вексель, который может быть простым либо переводным. Простой вексель (соло-вексель) представляет собой безусловное долговое обязательство установленной формы, выражающее обязательство (векселедателя) уплатить определенную денежную сумму кредитору (векселедержателю) в определенный срок и в определенном месте. Переводной вексель (тратта) представляет собой письменный приказ векселедателя (трассанта) трассату (плательщику) об уплате последним определенной денежной суммы третьему лицу.

· Депозитные (сберегательные) сертификаты - это письменное свидетельство банка-эмитента о вкладе денежных средств, удостоверяющее право вкладчика (бенефициара) или его правопреемника на получение по истечении установленного срока суммы депозита (вклада) и процентов по нему. Депозитные сертификаты предназначены исключительно для юридических лиц, а сберегательные - для физических.

· Чек - ценная бумага, содержащая письменное требование чекодателя плательщику уплатить чекодержателю указанную в ней сумму. Чеки всегда пишутся на бланках, заготавливаемых банками.

· Варрант - дополнительное свидетельство, выдаваемое вместе с ценной бумагой и дающее право на специальные льготы владельцу ценной бумаги по истечении определенного срока (например, на приобретение новых ценных бумаг).

· Депозитарная расписка - это свободно обращающаяся ценная бумага, выпущенная на акции иностранной компании, депонированная в депозитарном банке.

· Фьючерс представляет собой документ, предусматривающий твердое обязательство купить или продать ценные бумаги по истечении определенного срока по заранее оговоренной цене.

· Опцион - это двусторонний договор о передаче права на покупку (продажу) ценных бумаг по заранее фиксированной цене в определенное время.

1.2 История развития рынка ценных бумаг в России

Развитие рынка ценных бумаг в России имеет интересную историю и уходит своими корнями вглубь XVIII в. Исследователи до сих пор не могут сойтись во мнении о точной дате возникновения российского фондового рынка. Одни считают, что рынок ценных бумаг возник при Петре I, другие полагают, что "его институциональное становление произошло через 200 лет после учреждения первой в России товарной биржи в Петербурге в 1703 г.", третьи же ведут отсчет времени его основания от 2 апреля 1769 г - дня издания "Рескрипта о выпуске первого русского государственного займа".

Первые ценные бумаги в России появились действительно в 1769 г. Именно тогда Россия разместила в Голландии первый государственный внешний заем. Первые внутренние государственные займы в России были организованы в 1809 г. Российское правительство использовало эмиссию государственных облигаций для финансирования хронического бюджетного дефицита.

Появление первого и последующего выпусков государственных ценных бумаг в 1809-1819 гг. способствовало оживлению на Санкт-Петербургской бирже. В начале 1820-х гг. на биржу стали попадать и бумаги государственных займов, размещавшихся за рубежом. В России существовала 21 товарная биржа, а фондовые операции осуществлялись на 7 биржах: Петербургской, Московской, Варшавской, Киевской, Одесской, Харьковской, Рижской. Ведущей была Петербургская биржа, именно на ней осуществлялись сделки с наибольшим числом бумаг, а их курсы принимались другими биржами как определяющие.

"Положение о товариществах по участкам или компаниях на акциях", принятое российским правительством в 1836 г. создало правовую основу акционерного дела в стране. С этого времени Петербург займет передовые позиции в формировании отечественного акционерного предпринимательства. В том же 1836 г. появились первые российские акции и частные облигации, однако доля ценных бумаг данного типа была незначительной в связи с относительно слабым развитием частного бизнеса.

На начальном этапе своего развития рынок ценных бумаг отличался господством исключительно государственных облигаций и небольшого количества негосударственных ценных бумаг - акций страховых обществ. Однако с развитием рыночных отношений в экономике Российской империи начался процесс демонополизации рынка капиталов, в том числе рынка ценных бумаг. Акционерные общества стали выпускать свои акции и облигации. Интерес к акционерным компаниям со стороны владельцев капиталов возрос, эмиссия акций не успевала за спросом. Это привело к значительному росту цен на акции и развитию торговли ими, а впоследствии чрезвычайное возвышение цен на акции некоторых компаний, приносивших большие дивиденды.

В 1868-1870 гг. вновь повысилась биржевая активность, акции стали продаваться не по номинальной цене, а с высокими премиями, но биржевой ажиотаж был недолгим - последовал кризис.

В биржевом обращении находилось достаточное количество ценных бумаг для проведения фондовых операций, сформировался круг профессиональных биржевых специалистов, игру на курсах ценных бумаг стали вести слои состоятельного населения.

10 января 1901 г. были утверждены "Правила для Фондового отдела Петербургской биржи", а также "Инструкция котировальной комиссии" и "Правила о допущении бумаг к котировке в Фондовом отделе Петербургской биржи". Благодаря этим мерам ограничился круг лиц, которые могли заниматься биржевыми операциями. Правилами был установлен порядок введения акций в котировку, место и порядок совершения сделок, порядок сдачи ценных бумаг, именных бумаг, временных свидетельств, последствия неисполнения сделок, разбирательство споров и т. д.

Продолжавшаяся биржевая спекуляция расширяла количество сделок с ценными бумагами, что содействовало формированию их рыночных цен. Биржа объективно выполняла функции барометра экономической жизни страны.

Следующий подъем промышленности пришелся на 1909-1913 гг. Благодаря посреднической роли биржи за 6 предвоенных лет акционерные капиталы в стране выросли с 2,6 млрд. до 4,7 млрд. руб. Из этого прироста около 2/3 акций осело в Российской империи. В финансовое обращение стали широко вовлекаться ипотечные ценные бумаги: закладные листы, различные обязательства, векселя, сертификаты, а также непосредственно закладные. Ипотечные облигации и акции земельных банков превратились в надежные ценные бумаги, имевшие высокий курс и процент дохода.

У истоков фондового рынка России стояло государство, и органы власти, контролирующие и регулирующие рынок ценных бумаг, развивались вместе с ним и имели свою собственную историю. При заключении первых займов в 1769 и 1770 гг. обязанности по соблюдению условий были возложены на Комитет уполномоченных по внешним займам под руководством канцлера или генерального прокурора и государственного казначея. Затем Комитет был преобразован в Контору придворных банкиров, позже - в Государственную комиссию для погашения долгов. Через некоторое время был учрежден Совет государственных кредитных установлений, контролирующий ее деятельность.

Главным государственным органом, осуществляющим надзор за рынком ценных бумаг в России, являлось Министерство финансов (вплоть до начала XX в.). Граф С. Витте, внимательно следящий за фондовым рынком страны, писал: "Он нуждается в объединенном и твердом руководстве в области торгово-промышленной политики". При этом была учреждена Особая канцелярия по кредитной части Министерства финансов, которая курировала рынок ценных бумаг, банковскую, акционерную деятельность.

Государство с самого начала контролировало не только правовую и организационную основы развития фондового рынка, но и непосредственное изготовление бланков ценных бумаг. Российское правительство выделяло большие деньги на производство ценных бумаг. В начале XX в. техническое изготовление ценных бумаг совершенствовалось, их печатали с цветной сеткой - защитой от подделок, уделяя при этом большое внимание их красивому внешнему виду и дизайну.

Проведенная С. Витте финансовая реформа укрепила доверие к рублю. В результате акции большого числа ведущих российских компаний прочно обосновались на всех основных европейских биржах. По сравнению с европейскими странами российский рынок, несмотря на темпы роста обращавшихся в нем средств, не обладал большой емкостью, за исключением ипотечных ценных бумаг. Так, в 1912 г. в России было выпущено ценных бумаг на 868 млн руб., что составило 41% от размера выпуска ценных бумаг Англии, около 44% - Франции, около 57% - Германии.

Нормальное поступательное развитие фондового рынка было остановлено сразу после Февральской революции 1917 г. 3 марта Петроградская фондовая биржа прекратила свою работу. После Октябрьской революции Декретом СНК РСФСР от 23 декабря 1917 г. все операции с ценными бумагами на территории РСФСР были прекращены. Акции и облигации промышленных, транспортных и других компаний утратили юридическую силу. Ценные бумаги и их рынок прекратили свое существование. В октябре 1918 г. вышло постановление Совнаркома: " в срочном порядке уничтожить все аннулированные Совнаркомом процентные бумаги прежних правительств". Решение советского правительства было неукоснительно выполнено, во многих губернских городах сожгли кредитные билеты, облигации займов, акции, паи и др.

Во времена НЭП-а (1922 - 1928 гг.) произошла кратковременная реанимация рынка ценных бумаг. В 1922 - 1923 гг. были выпущены два краткосрочных займа, так называемый "хлебный" и "сахарный". Параллельно были выпущены долгосрочные "золотой" и "крестьянский" займы. Рынок частных ценных бумаг возродился в 1922 г., а биржевая торговля - в 1923 г. Торговля ценными бумагами велась в Ленинграде, на Московской товарной бирже, Киеве, Харькове, Владивостоке и в некоторых других городах. Стихийно возникали уличные биржи - "американки". Однако уже в 1928 г. деятельности рынка ценных бумаг был положен конец, и вплоть до 1990 г. выпуск государственных ценных бумаг сводился к государственным займам, распространяемым на нерыночной основе, принудительно и добровольно.

1.3 Современное состояние рынка ценных бумаг в РФ

В России выбрана смешанная модель фондового рынка, на котором одновременно и с равными правами присутствуют и коммерческие банки, имеющие все права на операции с ценными бумагами, и небанковские инвестиционные институты.

Рынок ценных бумаг в России - это молодой, динамичный рынок с быстро нарастающими объемами операций, с различными финансовыми инструментами и диверсифицированной регулятивной и информационной структурой.

Современный российский фондовый рынок во многом характеризуется участниками рынка. Это:

· 2400 коммерческих банков,

· Центральный банк РФ (около 90 территориальных управлений),

· Сберегательный банк (42000 территориальных банков, отделений, филиалов),

· 60 фондовых бирж,

· 660 институциональных фондов,

· более 550 негосударственных пенсионных фондов,

· более 3000 страховых компаний,

· саморегулируемая организация - Союз фондовых бирж.

Одним из наиболее объемных является рынок государственных долговых обязательств, включающий:

· долгосрочные и среднесрочные облигационные займы, размещенные среди населения (более 30 млрд. руб.);

· государственные краткосрочные облигации различных годов выпуска;

· долгосрочный 30-летний облигационный займ 1991г. (с учетом вложений Банка России 55-60 млрд. руб.);

· внутренний валютный облигационный займ для юридических лиц (около 35.5 трлн. руб.);

· казначейские обязательства (до 5 трлн. руб.).

Российский фондовый рынок характеризуется:

· небольшими объемами и неликвидностью;

· "неоформленностью" в макроэкономическом смысле (неизвестно соотношение сил на фондовом рынке и т.п.);

· неразвитостью материальной базы, технологий торговли, регулятивной и информационной инфраструктуры;

· раздробленной системой государственного регулирования;

· отсутствием государственной долгосрочной политики формирования рынка ценных бумаг;

· высокой степенью всех рисков, связанных с ценными бумагами;

· значительными масштабами грюндерства, т.е. агрессивной политикой учреждения нежизнеспособных компаний;

· крайней нестабильностью в движениях курсов акций и низкими инвестиционными качествами ценных бумаг;

· отсутствием открытого доступа к макро- и микроэкономической информации о состоянии фондового рынка;

· инвестиционным кризисом;

· отсутствием обученного персонала и крупных, заслуживших общественное доверие инвестиционных институтов;

· агрессивностью и острой конкуренцией при отсутствии традиций деловой этики;

· высокой долей спекулятивного оборота;

· расширением рынка государственных долговых обязательств и спроса государства на деньги, что сокращает производительные инвестиции в ценные бумаги.

Формирование фондового рынка в России повлекло за собой возникновение, связанных с этим процессом, многочисленных проблем, преодоление которых необходимо для дальнейшего успешного развития и функционирования рынка ценных бумаг.

Можно выделить следующие ключевые проблемы развития российского фондового рынка, которые требуют первоочередного решения:

1. Преодоление негативно влияющих внешних факторов, т.е. хозяйственного кризиса, политической и социальной нестабильности.

2. Целевая переориентация рынка ценных бумаг с первоочередного обслуживания финансовых запросов государства и перераспределения крупных пакетов акций на выполнение своей главной функции - направление свободных денежных ресурсов на цели восстановления и развития производства в России.

3. Улучшение качественных характеристик рынка (наращивание объемов и переход в категорию классифицируемых рынков ценных бумаг, пресечение обращения на рынке суррогатов ценных бумаг и незаконной профессиональной деятельности).

4. Повышение роли государства на фондовом рынке.

5. Проблема защиты инвесторов.

6. Опережающее создание депозитарной и клиринговой сети, агентской сети для регистрации движения ценных бумаг в интересах эмитентов.

7. Реализация принципа открытости информации.

Несмотря на все отрицательные характеристики, современный российский фондовый рынок - это динамичный рынок, развивающийся на основе: масштабной приватизации и связанного с ней массового выпуска ценных бумаг; быстро расширяющейся практики покрытия дефицитов федерального и местного бюджетов за счет выпуска долговых ценных бумаг; объявления первых крупных инвестиционных проектов производственного характера; расширяющегося выпуска предприятиями и регионами облигационных займов; быстрого улучшения технологической базы рынка; открывшегося доступа на международные рынки капитала; быстрого становления масштабной сети институтов - профессиональных участников рынка ценных бумаг и других факторов.



2. Выбор оптимального портфеля ценных бумаг

Пусть рынок ценных бумаг состоит из n активов

,

с вектором доходностей

и ковариационной матрицей

.

Тогда портфель с представляющим его вектором и условием имеет оценку доходности

,

и риска

.

2.1 Портфель с минимальным риском

Найдем портфель с наименьшим риском, то есть решим оптимизационную задачу:

(1)

в модели Блека.

Для решения этой задачи применим метод множителей Лагранжа. С этой целью составим функцию Лагранжа:

,

и приравняем частные производные первого порядка по и к нулю:

(2)

или в матричной форме:

(2')

Если матрица С невырожденная, то из первого уравнения системы (2') получим:

.

Подставив это выражение во второе уравнение системы:

,

получим оптимальное значение множителя Лагранжа:

. (3)

Следовательно, портфель с минимальным риском задается вектором

, (4)

с наименьшим значением риска:

, (5)

и соответствующей доходностью:

(6)

Например, при получаем:

,

где . Тогда

.

Или

.

Отметим также, что минимизация дисперсии может быть оправдана только в том случае, если , а это выполняется, если:

.

Если речь идет о модели Марковица, то добавляется условие неотрицательности . Наличие такого ограничения в виде неравенства существенно усложняет решение задачи в отличие от модели Блека. В этом случае поступают следующим образом: сначала решают задачу минимизации риска без условия неотрицательности (как в модели Блека); и если некоторые окажутся неположительными, то соответствующие активы исключаются из портфеля и задача решается заново.



2.2 Портфели, оптимальные по Парето

Решим следующую оптимизационную задачу

(7)

где - некоторый заданный минимальный уровень доходности портфеля. То есть, решив задачу (7), мы определим портфель, оптимальный по Парето, оценка которого лежит на эффективной границе.

Для решения этой задачи построим функцию Лагранжа:

,

что приводит к следующей системе уравнений:

(8)

Из первого уравнения системы (8) получаем (в случае невырожденности ковариационной матрицы С):

. (9)

Подставив это выражение во 2-ое и 3-е уравнения системы (8), получим систему из двух линейных уравнений для вычисления множителей Лагранжа и :

Решим последнюю систему, например методом Крамера:

, ,

Где

.

Подставив полученные значения множителей Лагранжа в равенство (9), получим портфель, оптимальный по Парето:

(10)

с уровнем риска:

. (11)

Таким образом, дисперсия является квадратичной функцией от уровня доходности , то есть минимальная граница критериального множества будет параболой с вершиной , где вычисляется по формуле (5), а по формуле (6).

Следовательно, критериальное множество на плоскости будет частью плоскости, ограниченной снизу параболой, а на плоскости - гиперболой.

Рисунок 1 Критериальное множество

Из равенства (10), свидетельствующего о линейной зависимости минимального по риску портфеля от заданного уровня доходности , следует, что если и - два минимальных по риску портфеля, то портфель

,

будет минимальным по риску портфелем, соответствующим уровню доходности:

.

Если решается задача Марковица и некоторые , то соответствующие активы исключаются из портфеля и задача решается заново.

Отметим также, что для модели Марковица оценка доходности портфеля удовлетворяет условию:

,

где . Действительно, из условия следует, что для любого :

,

так как . Следовательно,

.

Аналогично показывается и условие

.

Поэтому, варьируя возможные значения из отрезка и находя соответствующее решение задачи можем численно построить минимальную границу критериального множества, которая на плоскости состоит из конечного числа кусков парабол. Более того, и вся граница критериального множества состоит из кусков парабол и типичный вид этого множества изображен на следующем рисунке:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2 Критериальное множество

На плоскости граница критериального множества состоит из кусков гиперболы и (возможно) отрезков прямых.

Если в портфель входит безрисковый актив , то решается следующая оптимизационная задача:

(12)

Для решения этой задачи построим функцию Лагранжа:

,

и вычислим частные производные по , , и :

Откуда следует, что

Подставив во второе уравнение

а полученный вектор в третье и четвертое уравнения

получим следующие оптимальные значения:

,

,

.

Тогда оптимальный портфель будет иметь вид:

(13)

с риском

(14)



2.3 Портфели максимальной эффективности

Для поиска портфеля с максимальной доходностью необходимо решить оптимизационную задачу

(15)

где - заданный (максимально допустимый) уровень риска.

Чтобы найти решение задачи (15) составим функцию Лагранжа:

что позволяет построить систему уравнений:

Выразив из первого уравнения

и подставив его в третье уравнение

Получим

.

Тогда из второго уравнения при

, (16)

получаем квадратное уравнение относительно :

Решив последнее уравнение, можем найти , а из равенства (16) получим оптимальный портфель .

Если портфель содержит безрисковый актив , то задача оптимизации будет выглядеть следующим образом:

(17)

Применение функции Лагранжа

,

приводит к следующей системе уравнений:

Подставив во второе уравнение, получим

Тогда третье уравнение примет вид

то есть

Следовательно, структура рисковой части портфеля будет вычисляться по формуле:

(18)

а безрисковую часть найдем из условия:

.

2.4 Портфели максимальной полезности

2.4.1 Функция полезности инвестора

Еще одним подходом к формированию оптимального портфеля является максимизация функции полезности. Функция полезности описывает правило, по которому каждому из возможных вариантов выбора приписывается некоторое числовое значение. Чем больше это значение, тем больше «полезность» данного варианта выбора. Другими словами, в теории портфеля функция полезности выражает предпочтения субъекта при определенных отношениях к риску и представлениях об ожидаемой доходности. То есть, это некоторый «суперкритерий», который представляет собой однозначную функцию от обоих критериев, рассмотренных выше, то есть

, или . (19)

Такая функция позволяет делать выбор в тех случаях, когда значения критериев и не позволяют этого сделать, например, при сравнении двух портфелей, оптимальных по Парето.

Для задачи выбора оптимального портфеля функция полезности обычно представляется в виде:

, (20)

где и величина характеризует склонность инвестора к риску, а именно, чем больше , тем более инвестор склонен к риску.

При нахождении мы «решаем» сразу две задачи: это и , что позволяет, как бы объединить проблему выбора портфеля с меньшим риском с выбором портфеля с большей эффективностью (доходностью).

В графической форме функцию полезности отражают кривые безразличия. На плоскости они представляют собой прямые линии, а на плоскости - параболы. Их можно задать уравнениями вида:

и , (21)

где - произвольная постоянная - « полезность» портфеля. Точки одной такой кривой определяют значения риска и доходности для данного уровня полезности .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3 Графическое изображение функции полезности

Портфели и ( и ) - будут равносильными, или эквивалентными по инвестиционным качествам, так как лежат на одной кривой безразличия:

~, ~,

а портфель () будет предпочтительнее портфеля (), так как полезность этого портфеля больше соответствующий полезности :

.

Кроме того, крутизна линий безразличия характеризует склонность инвестора к риску. Чем эти линии «круче», тем инвестор более склонен к риску, так как он при небольшом увеличении доходности , согласен на большее увеличение риска.

Рисунок 4 Линии безразличия

Инвестор с линией безразличия более склонен к риску, чем инвестор с линией безразличия .

2.4.2 Выбор оптимального портфеля

Задача максимизации полезности или формулируется следующим образом:

(22)

для модели Блека, и добавлением неравенства для модели Марковица.

Найдем аналитическое решение задачи (22) методом множителей Лагранжа, для чего составим функцию:

Или

. (23)

Вычислим ее частные производные первого порядка и приравняем их к нулю:

Выразим из первого уравнения этой системы:

и подставим во второе уравнение

Откуда получаем

Или

-

оптимальное значение множителя Лагранжа.

Следовательно, оптимальный (с точки зрения полезности ) портфель будет иметь вид:

(24)

Откуда легко вычислить как оптимальное значение полезности , так и оптимальные характеристики портфеля и .

Если в (24) некоторые будут отрицательными, то для модели Марковица поступаем так же, как и в предыдущих параграфах.

3. Численная реализация моделей формирования портфеля ценных бумаг

3.1 Формирование параметрической модели рынка ценных бумаг

В данной курсовой работе были использованы данные о котировках акций следующих компаний:

1. Открытое Акционерное Общество «Газпром»,

2. ОАО «Нефтяная компания «ЛУКОЙЛ»,

3. Открытое акционерное общество «Новатэк»,

4. Открытое акционерное общество «Аэрофлот -- Российские авиалинии»,

5. Акционерный коммерческий Сберегательный банк Российской Федерации (ОАО «Сбербанк России»),

6. Открытое акционерное общество Банк ВТБ.

По данным средних ежемесячных значений котировок активов в период с 1.01.2013 по 31.12 2013 согласно данным таблицы 1, необходимо сформировать различные модели оптимальных портфелей ценных бумаг.

Таблица 1

Средние значения котировок активов по месяцам, руб

Дата	Курсовая стоимость активов
	ОАО «Газпром»	ОАО «ЛУКОЙЛ»	ОАО Новатэк	Аэрофлот	ОАО «Сбербанк России»	ОАО Банк ВТБ
01.2013	142.09	2020.1	333.81	53.55	109.59	0.0558
02.2013	137.4	1963	328.5	53	104.57	0.0559
03.2013	134.08	1998.5	314.9	52.99	98.86	0.0497
04.2013	124.15	1972.5	292.28	53.9	99.11	0.0493
05.2013	123.4	1878	320.99	52.3	99.05	0.046
06.2013	109.1	1890.4	353	56.7	93.68	0.0470
07.2013	128.61	1950	356	57.36	95.23	0.0466
08.2013	131.9	1924.5	361.45	48.82	88.23	0.0445
09.2013	144.15	2054.9	386.01	54.44	97.86	0.0427
10.2013	150.4	2102.4	410.95	57.4	102.74	0.0444
11.2013	143.1	2042.8	398.98	60.42	103.07	0.0463
12.2013	138.75	2039.7	399.01	83.7	101.17	0.0497

Данная задача была реализована в системе MS Excel 2010.

На основе Таблицы 1 вычислим доходности активов:

Таблица 2

Значения доходностей активов по месяцам, %

Месяц	ГАЗПРОМ	ЛУКОЙЛ	Новатэк, ао	Аэрофлот	Сбербанк	ВТБ
2	-3.300725	-2.826593	-1.590725	-1.027078	-4.580710	0.107488
3	-2.416303	1.808456	-4.140030	-0.018868	-5.460457	-11.059413
4	-7.406026	-1.300976	-7.183233	1.717305	0.252883	-0.824950
5	-0.604108	-4.790875	9.822773	-2.968460	-0.060539	-6.674782
6	-11.588330	0.660277	9.972273	8.413002	-5.421504	2.195652
7	17.882676	3.152772	0.849858	1.164021	1.654569	-0.850883
8	2.558121	-1.307692	1.530899	-14.888424	-7.350625	-4.526926
9	9.287339	6.775786	6.794854	11.511676	10.914655	-4.112360
10	4.335761	2.311548	6.460973	5.437179	4.986716	3.937192
11	-4.853723	-2.834855	-2.912763	5.261324	0.321199	4.351748
12	-3.039832	-0.151753	0.007520	38.530288	-1.843407	7.303371

Откуда можно получить вектор доходностей ( находится как среднее значение доходностей активов одной компании за 12 месяцев):

Корреляционная и ковариационная матрицы при этом будут иметь вид:



Таблица 3

Корреляционная матрица

	Газпром	Лукойл	Новатэк	Аэрофлот	Сбербанк	ВТБ
Газпром	1
Лукойл	0.559542	1
Новатэк	0.147984	0.175724	1
Аэрофлот	-0.128874	0.246965	0.034239	1
Сбербанк	0.524872	0.577037	0.264685	0.268005	1
ВТБ	-0.180390	-0.076140	0.010327	0.610336	0.128758	1

Таблица 4

Ковариационная матрица

	Газпром	Лукойл	Новатэк	Аэрофлот	Сбербанк	ВТБ
Газпром	60.941568	13.629866	6.343760	-12.596113	20.693988	-7.216973
Лукойл	13.629866	9.736512	3.010975	9.648274	9.093681	-1.217583
Новатэк	6.343760	3.010975	30.154429	2.353990	7.340730	0.290619
Аэрофлот	-12.596113	9.648274	2.353991	156.756740	16.946891	39.162249
Сбербанк	20.693988	9.093681	7.340730	16.946891	25.507524	3.332685
ВТБ	-7.216973	-1.217583	0.290619	39.162249	3.332685	26.264589

Исходя из данных матриц корреляции и ковариации можно сделать вывод:

· Доходности акций Аэрофлота и Газпрома, ВТБ и Газпрома, ВТБ и Лукойла меняются в разных направлениях;

· Наименьшая связь наблюдается между активами Новатека и ВТБ;

· Наибольшая связь - у акций Аэрофлота и ВТБ.



3.2 Построение портфеля с минимальным риском

Решение оптимизационной задачи (1) выглядит следующим образом:

Таблица 5

Формирование портфеля с минимальным риском

1-м действием мы находим определитель ковариационной матрицы, так как, если он будет равен 0, то искать обратную матрицу нет смысла, и решения у данной задачи не будет. Определитель данной матрицы отличен от нуля, следовательно, обратная матрица существует.

Портфель с минимальным риском будет представлен вектором:

:

Вычисляем по формуле (4), предварительно найдя произведение матрицы на единичный вектор , а также ().

Три элемента вектора получились отрицательными, следовательно, нам было бы выгоднее продать акции Газпрома, Аэрофлота и Сбербанка.

V*=4.79, Е*=-0.56. Так как Е* < 0, то минимизация дисперсии в данной задаче не оправдана.

Рассмотрим теперь модель Марковица. Для этого в таблице доходностей оставляем данные доходностей акций лишь трех компаний (исключаем те активы, которых получились отрицательными)

Таблица 6

Таблица доходностей в задаче минимизации дисперсии (модель Марковица)

Решение задачи представлено в таблице 7. Получили: Е*=0,09, V*=6,02. Доходность данной задачи, как и риск, увеличились.



Таблица 7

Решение задачи минимизации дисперсии (модель Марковица)

3.3 Построение портфеля, оптимального по Парето

Решение задачи минимизации риска при заданном минимальном уровне доходности Е=2 представлено ниже:

Таблица 8

Решение задачи минимизации риска

Таблица 9

Продолжение решения задачи минимизации риска

Вектор : акции Сбербанка и ВТБ также выгоднее продать. V*=14,95.

Меняя значения доходности Е в условиях задачи, мы можем найти различные решения.

3.4 Построение портфеля с максимальной полезностью

Пусть б=0,4 => величина 1/б=2,5 характеризует склонность инвестора к риску. Тогда решение задачи нахождения портфеля максимальной полезности представлено ниже:



Таблица 10

Решение задачи нахождения портфеля максимальной полезности

Таблица 11

Продолжение решения задачи нахождения портфеля максимальной полезности

Получаем портфель

с доходностью Е*=1,05 и риском V*=8,80. Полезность U*= -0,71.

Если же склонность к риску 1/б будет равна 5, в ответе мы получим U*= 0,57, доходность портфеля больше чем в 2,5 раза и риск, больший предыдущего в 2,4 раза.

Таблица 12

Результаты решения задачи нахождения портфеля максимальной полезности при б=0,2

Таким образом, меняя лишь некоторые условия, можно сформировать множество портфелей, среди которых инвестору остается лишь выбрать наиболее оптимальный вариант.



Заключение

Под портфелем ценных бумаг понимается набор инвестиций в ценные бумаги, обращающиеся на финансовом рынке. Так как инвестиционная среда характеризуется множеством различных типов бумаг, обращающихся на рынке, условиями их приобретения и продажи, то достаточно трудно без определенных методов, критериев, правил сформировать портфели с доходностью, превышающей возможные риски.

Важнейшую роль в управлении инвестициями играет теория оптимального портфеля, связанная с проблемой выбора эффективного портфеля, максимизирующего ожидаемую доходность при некотором, приемлемом для инвестора уровне риска.

Портфельная теория представляет собой статический анализ, выполняемый с целью выбора оптимальной стратегии управления риском. С какой бы точки зрения ни рассматривать - домохозяйства, компании или иного экономического субъекта, - использование портфельной стратегии заключается в выработке компромисса между доходами и издержками, связанными с уменьшением риска, что необходимо для определения оптимального образа действия данного субъекта. Портфельная теория акцентирует внимание на том, как из нескольких финансовых вариантов выбрать такие, чтобы максимизировать выбранные предпочтения. В целом оптимальный вариант выбора предполагает оценку компромисса между получением более высокой ставки доходности и увеличением степени риска инвестиций.

Таким образом, в ходе решения поставленных в начале данной работы задач была достигнута цель - разработка прикладной программы, позволяющей формировать портфели рисковых ценных бумаг согласно выбранным критериям оптимальности. Данная программа может построить огромное количество портфелей, инвестору остается лишь выбрать необходимый ему портфель исходя из собственных склонности к риску и иных предпочтений - минимального уровня риска и желаемого уровня доходности. В практической деятельности программа будет полезна инвесторам.



Список использованных источников

1. Басов, А.И. Рынок ценных бумаг: учебник/ А.И. Басов, В.А. Галанов - М.: Финансы и статистика, 2005. 240-243 с.

1. Бердникова, Т.Б. Рынок ценных бумаг и биржевое дело/ Т.Б. Бердникова. М.: Инфа-М, 2004. 169 с.

2. Буренин, А.Н. Рынок ценных бумаг и производственных финансовых инструментов/ А.Н. Буренин. М.: Федеративная Книготорговая Компания, 1998. 352 с.

3. Жуков, Е.Ф. Рынок ценных бумаг/ Е.Ф. Жуков. М.: ЮНИТИ, 2006. 95 с.

4. Иванов, А.П. Инвестиционная привлекательность акций/ А.П. Иванов. М.: Акционер, 2002. 159 с.

5. Карбовский, В.Ф. Краткосрочное инвестирование на рынке акций/ В.Ф. Карбовский. М : Эдиторал УРСС, 2004. 112 с.

6. Килячков, А.А. Рынок ценных бумаг/ А.А. Килячков. М.: Юристъ, 2003. 120-125 с.

7. Колесникова, В.И. Ценные бумаги: учебник/ В.И. Колесникова, В.С. Торкановский. М.: Финансы и статистика, 1998. 416 с.

8. Рубцов, Б.Б. Мировые фондовые рынки: современное состояние и закономерности развития / Б.Б. Рубцов. М.: Финансовая академия при правительстве РФ, 2000. 312 с.

9. Рукин, А. Портфельные инвестиции. Финансово-математические методы / А. Рукин // Рынок ценных бумаг. 1995. №18. С. 45-47.

10. Рэдхед, К. Управление финансовыми рисками: пер.с англ. / К.Рэдхед, С.Хьюс. М.: ИНФРА - М, 1996. 21 с.

11. Википедия [Электронный ресурс]: [свободная энциклопедия] - режим доступа: http://ru.wikipedia.org.

12. Финам.ru - инвестиционная компания [Электронный ресурс] - режим доступа:http://www.finam.ru/.

Размещено на Allbest.ru

...