Размещено на http://www.allbest.ru/

Фрактальный анализ котировок ВТБ

Кузнецов С.Б., Гладковский О. П.

Сибирская Академия Государственной Службы, г.Новосибирск

В настоящее время рынки капитала оказывают огромное влияние на экономики различных стран и мировую экономику в целом. Невозможно представить крупный финансовый институт, не имеющий интересов на различных рынках капиталов.

На различных рынках капитала сложились два основных типа поведения - стиля торговли: портфельное инвестирование и спекулятивная торговля. Большинство участников рынка (как в количественном, так и в финансовом смысле) относятся к первой категории, поскольку такой стиль торговли является менее рискованным и более прогнозируемым, так как данный подход хорошо разработан и освещен в научных и практических работах.

При спекулятивном типе торговли многие модели и методы не отвечают требованием инвесторов, в частности: отсутствуют модели, помогающие инвестору разрабатывать и анализировать торговые системы; многие методы анализа активов основаны на устаревших гипотезах; инструменты технического анализа не учитывают специфику торговли инвестора.

Многие методы анализа и предпосылки ценового движения активов, основанные на гипотезе эффективных рынков (EMH), разработанной в 20-х годах прошлого века, показывают свою несостоятельность при ответе на многочисленные вопросы инвесторов и трейдеров, разрабатывающих торговые системы. В настоящей работе предлагаются новые методы анализа, основанные на новой гипотезе фрактального рынка (FHM).

Задачи снижения риска вложений в ценные бумаги независимо от стиля торговли, необходимость введения новых моделей и методов анализа активов при спекулятивном стиле, а также разработка новых инструментов технического анализа для исследования рынка ценных бумаг обуславливают актуальность работы.

1. Фрактальный (R/S) анализ

С помощью - анализа докажем фрактальную природу рынка акций ВТБ, что в свою очередь будет противоречить гипотезе эффективного рынка и всем количественным моделям, которые из нее выводятся.

Размерности, определяемые с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называются вероятностными. Рассмотрим алгоритм нахождения такой размерности пространства вложений с использованием - анализа.

Показатель Хёрста имеет широкое применение благодаря своей устойчивости. Он содержит минимальные предположения об изучаемой системе и может классифицировать временные ряды. Показатель позволяет различать случайный ряд от не случайного, даже если случайный ряд не нормально распределен. Показатель Хёрста характеризует отношение силы тренда (детерминированный фактор) к уровню шума (случайный фактор). Х. Хёрст показал, что большинство естественных явлений следует смещенному случайному блужданию - тренду с шумом. Сила тренда и уровень шума оцениваются, насколько величина Н превосходит 0.5 См. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. - М.: Мир, 2000..

Одним из показателей фрактальной размерности временного ряда является величина б, равная

б = 1/Н.

Это выражение впервые получил Б. Мандельброт в 1972 году См. Mandelbrot B.B. Les objets fractals: forme, hazard, et dimension. Paris:Flammarion, 1975., б -- есть фрактальная размерность пространства вероятностей. Другими словами, б измеряет толщину хвостов в функции плотности вероятности («лептоэксцесс»).

Попытаемся распространить метод Х. Хёрста изучения временных рядов природных явлений на временные ряды в экономике.

Пусть е_i -приток в некоторый экономический ряд в i - году, т.е. скорость изменения параметров ряда v. Тогда Х_t,_N - накопленное отклонение за N периодов вычисляется по формуле:

где М_N - среднее е_i за N периодов. Тогда размах становится разностью между максимальными и минимальными значениями изменений параметров ряда.

Для сравнения различных типов временных рядов Х. Хёрст разделил этот размах на стандартное отклонение исходных наблюдений. Этот «нормированный размах» должен увеличиваться со временем. Х. Хёрст ввел следующее соотношение:

, (1.1)

где - нормированный размах, N - число наблюдений, a₀ - константа, H - показатель Хёрста.

Справедливость приведенного степенного закона ограничена значениями , достаточно малыми по сравнению с числом наблюдений. При увеличении показатель Хёрста начинает описывать случайные блуждания. С другой стороны при малом числе наблюдений в цикле нельзя сделать вывод о развитии системы в целом, понять закономерности. Следовательно, на практике степенной закон выполняется только в ограниченном диапазоне значений , который называется скейлиноговым и может быть использован для определения показателя Хёрста.

Имеются три различных интервала для показателя Хёрста. Н равное 0.5 указывает на случайный ряд. События случайны и не коррелированны. Настоящее не влияет на будущее. Функция плотности вероятности может быть нормальной кривой, но это не обязательное условие.

Если , то получаем антиперсистентные или эргодические ряды. Такой тип системы называют «возврат к среднему». Эти системы демонстрируют после роста спад. И наоборот, если система демонстрировала спад в предыдущий период, то, скорее всего в следующем периоде начнется подъем.

При мы имеем персистентный ряд, или трендоустойчивый. Если ряд возрастал (убывал) в предыдущий период, то, вероятно, что он сохранит свою тенденцию какое-то время в будущем. В терминах хаотической динамики существует чувствительная зависимость от начальных условий. Такая долговременная память имеет место независимо от масштаба времени. Все ежемесячные изменения соотнесены со всеми будущими месячными изменениями; все ежегодные изменения соотнесены с будущими годовыми изменениями. Не существует характерного масштаба времени, ключевой характеристики фрактального временного ряда. Персистентный ряд - это обобщенное броуновское движение, или смещенное случайное блуждание. Сила смещения зависит от того, насколько Н больше 0.5. Персистентный временной ряд является фракталом.

Для очень большого количества наблюдений можно ожидать сходимость ряда к величине Н = 0.5, так как эффект памяти уменьшается до того уровня, когда становится незаметным. Другими словами, в случае длинного ряда наблюдений его свойства становятся неотличимыми от свойств обычного броуновского движения, и или простого случайного блуждания, поскольку эффект памяти рассеивается.

Х. Хёрст предложил также формулу для оценки величины Н.

т.е. .

R/S анализ Х. Хёрста дает нам среднюю длину цикла, необходимую для оценки инерции развития. Под средней величиной цикла системы понимается длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях.

2. R/S анализ акций ВТБ

фрактальный рынок ценный бумага

Подробнее на примере акций ВТБ проанализируем рынок ценных бумаг, с целью получения оценки квазициклов изменения котировок.

Рассмотрим ежедневное изменение цен P в коп. рублей для бумаг ВТБ с 2007 по 2009 годСм.Финансовый портал URL: http//mfd.ru/MarketData/Ticker/?ID=258#&type=c&step=d&from=16.09.2009&to=15.12.2009&refresh=1. В изучаемых временных рядах имеется долговременная память. Каждое наблюдение коррелирует до некоторой степени с последующими наблюдениями. Из теории хаоса, следует, что в любой нелинейной системе, в ее движении, всегда существует точка, где теряется память о начальных условиях См. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.:- Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. 1992. -544 с.. Эта точка «потери» аналогична концу естественного периода системы. Попытаемся найти циклы для изменения котировок, с этой целью проведем R/S - анализ наших данных. Пусть е_i - цена P на рынке в i - день, т.е. скорость изменения цены v_L. Пусть Х_t,_N - накопленное отклонение за N периодов. Далее применяя алгоритм, изложенный в предыдущем параграфе, получим следующие результаты. На рисунке 1 представлены данные изменения средней цены акций ВТБ за весь период существования бумаги.

Рис. 1 Изменение котировок акций ВТБ

Мы наблюдаем некоторые непериодические циклы. Временной ряд носит скачкообразный характер, и изменения могут отличаться друг от друга на несколько порядков.

Скорость изменении котировок имеет хаотический характер и зрительный анализ не позволяет выявить циклы (см. рис.2). Проанализируем их поведение с помощью R/S анализа.

Рис. 2 Скорость изменения котировок акций ВТБ

На следующем рисунке 3 представлены показатели Хёрста для ВТБ, рассчитанные для каждого периода N равного от 2 до 309 дней. Был проведен R/S - анализ с вычислением показателя Хёрста для групп по два дня, начиная с 28 мая 2007 года, а затем полученные данные усреднялись.

Аналогичные действия были проведены с циклами по 3, 4, 5 и т.д. до 309 дней. Из рисунка 3 видно, что с увеличением количества лет в цикле показатель Хёрста начинает приближаться к 0.5, т.е. к случайным блужданиям.

Рис. 3 Отклонение показателя Хёрста к случайным блужданиям

Аналогичные действия были проведены с циклами по 3, 4, 5 и т.д. до 309 дней. Из рисунка видно, что с увеличением количества дней в цикле показатель Хёрста начинает приближаться к 0.5, т.е. к случайным блужданиям.

Прологарифмируем соотношение (1.1):

Если в двойных логарифмических координатах найти наклон R/S как функцию от N, то тем самым мы получим оценку для показателя Н. Для этого нужно выбрать скейлиноговый диапазон в котором изменение кривой ln(R/S) имеет почти линейную зависимость от ln(N). Для ВТБ это интервал циклов от 2 до 7 дней. В таблице 1 представлены результаты линейной регрессии в скейлинговом диапазоне с использованием N, с 2 до 7 дней.

Таблица 1

Результат регрессии

Кроме того следует учитывать замечание Федера, о том, что эмпирическое правило (1.1) завышает показатель Хёрста при Н > 0.7. Но, тем не менее, в обоих случаях идет подтверждение, что мы имеем дело с персистентным рядом, или трендоустойчивым.

На следующем рисунке показана кривая в логарифмической шкале по времени полученная R/S - анализом для ВТБ. Процесс с долговременной памятью наблюдается приблизительно в продолжение около 25 дней. Далее с увеличением числа дней, явно это наблюдается после 35 дней, показатель Хёрста уменьшается и график начинает отклоняться к случайным блужданиям Н = 0.5 (см. рис. 4). Ось абцисс измеряется в натуральных логарифмах циклов наблюдений ln(N), ось ординат представляет собой ln(R/S). Пунктирная линия представляет тренд с углом наклона Н = 0,7388.

Рис. 4 R/S - анализ акций ВТБ

Существует более легкий способ оценки продолжительности цикла. Так называемая, V_N - статистика, предложенная Х. Хёрстом для проверки на стабильность, дает более точное измерение длины цикла и особенно хорошо работает в присутствии «шума» в статистических данных. Статистика определяется следующим образом:

.

Это соотношение приведет к горизонтальной линии, если R/S статистика изменяет масштаб пропорционально квадратному корню из времени. Другими словами, график V_N против ln(N) будет плоским, если процесс является независимым, вероятностным процессом (Н = 0.5, что соответствует «белому шуму»). С другой стороны, если процесс персистентен и R/S изменяет масштаб быстрее, чем корень из времени (Н > 0.5, что соответствует «черному шуму»), то график будет иметь наклон вверх. Наоборот, если процесс антиперсистентен (Н < 0.5, что соответствует «розовому шуму»), график будет иметь наклон вниз. При вычерчивании V_N по оси ординат и ln(N) по оси абцисс появляются плоские участки, когда график V_N выравнивается. В таких точках процесс с долговременной памятью рассеивается.

Момент перелома () тенденции графика V_N -статистики соответствует длине как периодического, так и непериодического цикла См. Петерс Э. Там же. стр 97..

Рис. 5 Статистика для ВТБ

На рис. 5 показана V_N - статистика для ВТБ. По оси ординат откладываются значения V_N - статистики, а по оси абцисс ln(N). Обратите внимание на сглаживание наклона в конце каждого непериодического цикла. Исследуя максимальное значение V_N в каждом интервале, можно оценить длину цикла для каждой частоты. Так на графике наблюдаются явные циклы в 60 дней, 90 дней, 125 дней,165дней и 250дней. Полученные циклы можно объяснить следующим образом 250 дней это годовой цикл взятые только рабочие дни, 125 дней это полугодовой календарный цикл,60 дней - это квартал. Два цикла 90 и 165 дней вероятнее всего учитывают внешние и внутренние экономические и политические изменения. Из полученного графика можно видеть, что R/S - анализ способен определять непериодические циклы, даже когда они накладываются друг на друга.

Поскольку рынок акций ВТБ имеет величину Н, большую 0.5, то делаем заключение, что рынок фрактальный и применение стандартного статистического анализа становится проблематично и необоснованно. Большая величина Н показывает меньше «шума», и указывает на большую персистентность и более ясные тренды. Спрос на акции связан с настоящим и прошлым, поэтому применять к анализу рынка акций Центральную предельную теорему и использовать вероятностное исчисление и линейные модели при анализе цен не корректно.

Это означает, что полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время. Это влияние ослабевает со временем, однако, медленнее, чем кратковременные зависимости. Длина цикла, в данном случае, является мерой того, как долго длится этот период влияния - пока не уменьшится до неразличимой величины.

Фрактальные распределения известны давно, в экономической литературе они носят название «Парето» или «Парето-Леви». Это распределение очень похоже на нормальное распределение, но имеет «толстые концы» и островершинность. Леви обобщил характеристическую функцию вероятностных распределений следующей формулой:

Здесь - локальный параметр среднего (параметр положения), - масштабирующий параметр, при нормализации распределения (µ=0) параметр походит на выборочное отклонение и является мерой дисперсии. Единственная цель этих двух параметров - задать масштаб распределения относительно среднего и дисперсии. Когда µ = 0 и = 1, говорят, распределение принимает приведенный вид. Следующий параметр - параметр асимметрии и , при 0 или толстый хвост расположен слева, или скошено влево, в противном случае эти явления наблюдаются справа. Коэффициент = 1/H_f одна из характеристик измеряющих островершинность распределения и изменяется в диапазоне от 0 до 2.

При получаем характеристическую функцию стандартного нормального распределения, т.е. нормальное распределение является частным случаем фрактальных распределений.

Когда , дисперсия становится неопределенной, или бесконечной, но имеется устойчивая средняя величина. Бесконечная дисперсия означает, что не существует «дисперсии совокупности», к которой стремится распределение в пределе. Когда мы берем выборочную дисперсию, мы делаем это, согласно гауссову предположению, как оценку неизвестной дисперсии совокупности.

При не существует устойчивого среднего, которое также не существует в пределе.

Если характеристический показатель б и параметр асимметрии остаются теми же самыми, изменение г просто приводит к изменению масштаба распределения. После внесения поправки на масштаб вероятности остаются одинаковыми во всех масштабах г равными значениями б и . Таким образом, б и не зависят от масштаба, хотя г и µ от него зависят. Это свойство делает устойчивые распределения самоподобными при изменениях масштабов. Ряды - и, следовательно, распределения - безгранично делимы. Это самоподобная статистическая структура является основанием, по которой устойчивые распределения Леви рассматриваются как фрактальные распределения. Характеристический показатель б, который может принимать дробные значения , является фрактальной размерностью пространства вероятностей Размерности, определяемые с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называются вероятностными.. Подобно всем фрактальным размерностям, она представляет собой масштабное свойство процесса.

На следующем рис. 6 представлена гистограмма, показывающая изменение прироста цен акций ВТБ. На графике на оси абцисс показано изменение прироста цен в рублях, по оси ординат - относительная частота события.

В нашем случае для ВТБ параметры = 1,353, = -0,000133, = -0,01246, г = 0,002025, а характеристические функции распределения для независимых случайно распределенной величин х примут вид:

,

Рис. 6 Гистограмма относительных частот компоненты скорости изменения цены акций ВТБ

На рисунке 6 изображена гистограмма относительных частот полученных распределений. Даже при беглом взгляде можно отметить островершинность распределений.

Показано, что рынок акций имеет фрактальную природу, что противоречит гипотезе эффективного рынка. Поэтому использовать классическое вероятностное исчисление и линейные модели для изучения трудовых ресурсов, не оправдано.

В работе обоснована и предложена к внедрению на российском рынке система, учитывающая фрактальный характер этого рынка. Многие методы анализа и предпосылки ценового движения активов, основанные на гипотезе эффективных рынков, разработанной в 20-х годах прошлого века, показывают свою несостоятельность при ответе на многочисленные вопросы инвесторов и трейдеров, разрабатывающих торговые системы. В настоящей работе предлагаются новые методы анализа, основанные на новой гипотезе фрактального рынка.

Для акций ВТБ выявлены квартальный, полугодовой и годовые циклы, также получены два цикла 90 и 165 дней, учитывающие внешние и внутренние экономические и политические изменения. Из полученных результатов можно видеть, что R/S - анализ способен определять непериодические циклы, даже когда они накладываются друг на друга.

Литература

1. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. 1992. 544 с.

2. Финансовый портал URL: http//mfd.ru/MarketData/Ticker/?ID=258#&type=c&step=d&from=28.05.2007&to=15.12.2009&refresh=1.

3. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000.

4. Mandelbrot B.B. Les objets fractals: forme, hazard, et dimension. Paris:Flammarion, 1975.

Размещено на Allbest.ru