Финансовая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача № 1

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется.

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания .

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;

- нормального распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на один год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
35	44	52	34	37	48	59	36	41	52	62	38	46	56	67	41



Задача № 2

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

Требуется рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Результаты расчетов отобразить на графиках. Сделать соответствующие выводы.

Вариант 5		цены
дни	макс.	мин.	закр.
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523
6	535	501	506
7	555	500	553
8	580	540	570
9	580	545	564
10	603	550	603

Задача № 3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условиях задач значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях,T_лет - время в годах,i - ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие значения параметров и выполнить расчеты.

Вариант	Сумма	Начальная дата	Конечная дата	Время в днях	Время в годах	Ставка	Кол-во начислений
№	S	Tн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
5	2 500 000	15.01.02	15.03.02	180	4	30	2

1. Банк выдал ссуду размером S руб. Дата выдачи ссуды - Т_н, дата возврата - Т_к. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i%годовых. Найти:

- точные проценты с точным числом дней ссуды;

- обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

- обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

2. Через Т_дн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3. Через Т_дн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом: учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Т_лет лет зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

5. Ссуда размером S руб. предоставлена на Т_лет. Проценты сложные, ставка - i%годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты mраз в году исходя из номинальной ставки i% годовых.

7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

8. Через Т_лет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

9. Через Т_лет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

10. В течение Т_лет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Задача № 4

Решение:

По исходным данным построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания .

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	35	44	52	34	37	48	59	36	41	52	62	38	46	56	67	41

Покажем исходные данные на графике (мастер диаграмм / график).

процент хольт аппроксимация



График отражает как общую тенденцию к повышению выдачи кредитов на жилищное строительство, так и сезонные колебания этой цены. В этом случае использование модели Хольта-Уинтерса целесообразно.

Выполним предварительный расчет.

Для проведения вычислений по формулам необходимо знать начальные оценки коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности за весь предыдущий год.

Зарезервируем для этих величин дополнительно 4 уровня в расчетной таблице и выполним предварительный расчет.

По первым восьми наблюдениям (t=1ч8) построим вспомогательную линейную модель = a + b*t(РЕГРЕССИЯ)

	Коэффициенты
Y-пересечение	39,21429
t	0,869048

Примем , , занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы.

Для оценки коэффициентов сезонности найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения для и сопоставим их с фактическими:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	35	44	52	34	37	48	59	36
	40,083	40,952	41,821	42,690	43,559	44,428	45,297	46,166

Коэффициент сезонности - это отношение фактического значения показателя к значению, найденному по линейной модели.

Для первого квартала это в первом году и во втором году. В качестве окончательной (более точной) оценки коэффициента сезонности первого квартала предыдущего года возьмем среднее арифметическое значение

.

Аналогично найдем

,

,

.

Полученные значения занесем в соответствующие уровни столбца «F» основной расчетной таблицы.

Согласно условию задачи коэффициенты сглаживания ; период сезонности .

По основной формуле модели Хольта-Уинтерса, приняв , рассчитаем начальное значение

.

Теперь перейдем к и уточним коэффициенты модели

;

;

Аналогично расчеты делаем дальше, растянув формулы вниз.

Результаты вычислений приведены в расчетной таблице. Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.

Исходные данные	2. Построение модели Хольта-Уинтерса
t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)
-3				0,861
-2				1,077
-1				1,273
0		39,21	0,87	0,788
1	35	40,25	0,92	0,866	34,52
2	44	41,07	0,89	1,074	44,35
3	52	41,63	0,79	1,259	53,41
4	34	42,63	0,85	0,794	33,43
5	37	43,26	0,78	0,860	37,67
6	48	44,24	0,84	1,081	47,29
7	59	45,62	1,01	1,279	56,75
8	36	46,24	0,89	0,785	37,01
9	41	47,30	0,94	0,864	40,52
10	52	48,21	0,93	1,079	52,13
11	62	48,93	0,87	1,272	62,87
12	38	49,39	0,75	0,775	39,07
13	46	51,07	1,03	0,886	43,32
14	56	52,03	1,01	1,078	56,23
15	67	52,93	0,97	1,268	67,46
16	41	53,59	0,88	0,769	41,80
17					48,26
18					59,65
19					71,32
20					43,93

Оценим точность построенной модели.

Вывод о точности модели делают на основании расчета средней относительной погрешности :

1. если < 5%, говорят о высокой точности модели;

2. если 5%<< 15%, точность модели считают удовлетворительной;

3. если > 15%, точность модели неудовлетворительная.

Предварительно для каждого уровня исходных данных нужно вычислить остатки E(t) = Y(t)-Yp(t) и относительные погрешности Eотн.(t)= , затем определить среднюю относительную ошибку аппроксимации

Для этого дополним расчетную таблицу столбцами и :

t	Y(t)	Yp(t)	E(t)	Eотн.(t)
1	35	34,52	0,48	1,36
2	44	44,35	-0,35	0,81
3	52	53,41	-1,41	2,71
4	34	33,43	0,57	1,68
5	37	37,67	-0,67	1,82
6	48	47,29	0,71	1,48
7	59	56,75	2,25	3,82
8	36	37,01	-1,01	2,80
9	41	40,52	0,48	1,16
10	52	52,13	-0,13	0,25
11	62	62,87	-0,87	1,40
12	38	39,07	-1,07	2,83
13	46	43,32	2,68	5,83
14	56	56,23	-0,23	0,41
15	67	67,46	-0,46	0,69
16	41	41,80	-0,80	1,94

Средняя относительная погрешность аппроксимации составит

(%), посчитано (СРЗНАЧ(E(t)).

0%<1,94<5%. Следовательно, прослеживается высокая точность модели.

Оценим адекватность построенной модели.

Для проверки свойства случайности используем критерий поворотных точек.

Построим график остатков E(t):

В соответствии с этим критерием подсчитывают количество поворотных точек для ряда остатков E(t). Удобно рассмотреть график остатков: поворотными считаются точки максимумов и минимумов на этом графике.

Критическое значение определяют по формуле

,

где n - количество уровней ряда, квадратные скобки в формуле означают целую часть числа. Сравнивая значения р и р_кр делают вывод:

- если р>р_кр, то свойство случайности уровней ряда остатков выполняется;

- если р<р_кр, то ряд остатков нельзя считать случайным

Выделим на нем поворотные точки и подсчитаем их количество .

Вычислим при .

Сравним >, следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

Для проверки независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона.

По таблице d-статистик Дарбина-Уотсона определяют два критических значения d₁ и d_2.

- если 0<d<d₁, то уровни ряда остатков автокоррелированы;

- если d₁<d<d₂, то однозначного вывода о зависимости или независимости уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона сделать нельзя, требуется дополнительная проверка;

- если d₂<d< 2 , то уровни ряда остатков являются независимыми;

- если 2<d<4 , то это свидетельствует об отрицательной корреляции. В этом случае перед проверкой величину d следует заменить на величинуd^/ =4-d.

С помощью функций «СУММКВ» и «СУММКВРАЗН» найдем

, .

Таким образом,

При критические значения d - статистик .

Сравнение величин показывает, что . Это свидетельствует об отрицательной корреляции. В этом случае перед проверкой d заменяем на .

; следовательно , уровни ряда остатков являются независимыми.

Для дополнительной проверки свойства независимости вычислим первый коэффициент автокорреляции.

Требуется вычислить коэффициент автокорреляции



и сравнить его с критическим значением r_кр:

- если , то свойство независимости остаточной компоненты выполняется;

- если > , то наблюдается существенная автокорреляция уровней ряда остатков.

Используем функцию «СУММПРОИЗВ» и найдем сумму

.

Тогда .

Критическое значение для коэффициента автокорреляции составляет .

Сравнение с критическим значением показывает, что . Таким образом, свойство независимости остаточной компоненты выполняется.

Для проверки свойства нормального распределения остаточной компоненты используем R/S-критерий.

В соответствии с этим критерием вычисляют статистику

.

По таблице R/Sопределяют критический интервал. Делают следующий вывод:

- еслиR/Sкритическому интервалу, то гипотеза о нормальном распределении уровней ряда остатков принимается;

- если R/Sкритическому интервалу, то уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению.

Предварительно найдем Е_maxи Е_minи S(E) _. (в таблицеExcel функция МАКС и МИН, СТАНДАРТОТКЛОН).

Вычислим

.

Критический интервал .

, значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Вывод: По итогам проверки свойств можно сделать вывод. Данная модель адекватна, для нее выполняются все свойства, она пригодна для дальнейшего прогнозирования и изучения.

Построим точечный прогноз

Построенная модель имеет достаточное качество, ее можно использовать для прогнозирования. Применяем основную формулу модели , в ней фиксируем момент t=n=16, и изменяем шаг упреждения k=1,2,3…

.

Для второго квартала будущего пятого года при найдем

.



Для третьего квартала будущего пятого года при найдем

.

Для четвертого квартала будущего пятого года при найдем

.

Исходные данные и результаты всех выполненных расчетов покажем на общем графике.

Задача № 5

Решение:

1. Экспоненциальная скользящая средняя ЕМА учитывает все цены предыдущего периода, придавая большие значения ценам последних дней и вычисляется по следующей формуле:при коэффициент сглаживания,

Для определения начального значения ЕМА₅ используем формулу простой скользящей средней:

;

Выполним дальнейшие расчеты:

;

и т.д.

Результаты вычислений приведены в таблице:

Исходные данные	Экс.ск.ср.
t	C(t)	EMA(t)
1	675
2	646
3	575
4	570
5	523	597,80
6	506	567,20
7	553	562,47
8	570	564,98
9	564	564,65
10	603	577,43

Покажем исходные цены закрытия и найденную экспоненциальную среднюю на графике, проведем анализ.



С 5 - 6 деньнаблюдается нисходящий тренд (нисходящая экспоненциальная скользящая средняя, ее график расположен выше ценового графика); рекомендуется продажа финансового инструмента.

На 7 - 9 деньпроисходит пересечение линии скользящей средней с ценовым графиком сверху - это сигнал разворота тренда (сигнал к покупке).

На 10 деньнаблюдается восходящий тренд (скользящая средняя находится под графиком цен) следует покупать.

2. Индекс МОМ рассчитывают как разность цен закрытия текущего периода С_t и C_t-nn дней назад:

значения МОМ_tрассчитывается для t?n+1

;

и т.д.

Результаты вычислений занесем в соответствующие столбцы расчетной таблицы и покажем на графике.

t	C(t)	MOM(t)
1	675
2	646
3	575
4	570
5	523
6	506	-169
7	553	-93
8	570	-5
9	564	-6
10	603	80

Рассмотрим график момента:

С 6 по 8 день график момента расположен ниже линии нулевого уровня, рекомендуется продажа финансового инструмента;

На 8-9 день происходит пересечение с линией нулевого уровня снизу вверх - это сигнал разворота тренда, означающий сигнал к покупке.

На 10 день график момента расположен выше линии нулевого уровня, рекомендуется покупка.

3. Индекс ROCрассчитывается как процентное отношение цены закрытия текущего дня С_t к цене C_t-nn дней тому назад:

значения ROC_tрассчитывается для t?n+1

и т.д.

Результаты вычислений занесем в соответствующие столбцы расчетной таблицы и покажем на графике. Рассмотрим график.

t	C(t)	ROC(t)
1	675
2	646
3	575
4	570
5	523
6	506	74,96
7	553	85,60
8	570	99,13
9	564	98,95
10	603	115,30

На 6 - 8 день график изменения цен находится ниже уровня 100%, рекомендуется продажа финансового инструмента.

На 8-9 день происходит пересечение с уровнем 100% - это сигнал разворота тренда, означающий сигнал к покупке.

На 10 день график расположен выше уровня 100%, рекомендуется покупка.

4. ИндексRSIрассчитывается согласно формулы:



Для использования формулы расчета индикатора RSI предварительно найдем изменения цен закрытия для всех дней .

Из значений выберем положительные, характеризующие повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен.

Для всех рассчитаем суммы приростов и суммы убыли цен закрытия за 5 дней до дня t ( задано по условию).

Теперь несложно найти величины RSI_t . Расчет проводим в таблице:

t	C(t)	изменен.	повышен.	понижен.	AU(t,5)	AD(t,5)	RSI(t)
1	675
2	646	-29	0	29
3	575	-71	0	71
4	570	-5	0	5
5	523	-47	0	47
6	506	-17	0	17	0	169	0,00
7	553	47	47	0	47	140	25,13
8	570	17	17	0	64	69	48,12
9	564	-6	0	6	64	70	47,76
10	603	39	39	0	103	23	81,75

.;

Рассмотрим график RSI:



6 - 7 дни: графикRSIв зоне «перепроданности», цены упали предельно низко, рекомендуется прекратить продажи и ожидать разворота тренда

7-9 дни: график RSI вышел из зоны «перепроданности», что является сигналом разворота тренда, рекомендуется начать покупку финансового инструмента.

В 10 день: график RSI находится в критической зоне «перекупленности», рекомендуется остановить покупки и ожидать разворота тренда

5. Расчет возможен для . Проведем его в таблице, занося в соответствующие столбцы результаты промежуточных вычислений.

Исходные данные
t	H(t)	L(t)	C(t)
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523
6	535	501	506
7	555	500	553
8	580	540	570
9	580	545	564
10	603	550	603
Расчет индексов %K, %R, %D (стохастические линии)
H(t,5)	L(t,5)	C(t)-L(t,5)	H(t,5)-C(t)	H-L	%K	%R	sum(C-L)	sum(H-L)	%D
718	501	22	195	217	10,14	89,86
685	501	5	179	184	2,72	97,28
629	500	53	76	129	41,09	58,91	80	530	15,09
598	500	70	28	98	71,43	28,57	128	411	31,14
598	500	64	34	98	65,31	34,69	187	325	57,54
603	500	103	0	103	100,00	0,00	237	299	79,26

Согласно расчетным формулам индикаторы %K, %R и %D могут принимать значения от 0 до 100

Рассмотрим стохастические линии %K, %R и %D:

График К% показывает, что в 5 -6 дни рекомендуется не производить финансовых операций (график находится в критической зоне «перепроданности»).

С 7-9 день линия находится в нейтральной зоне (от 25 до 75), то рекомендуется проводить финансовые операции.

На 10 день необходимо приостановить продажи (график снова уходит в критическую зону).

График R% является зеркальным отражением графика К%. Для него верхняя критическая зона является зоной «перепроданности», а нижняя- зоной «перекупленности». Таким образом, выводы по графику R% совпадают с выводами по графикуК%.

График D% подтверждает приостановку операций в 7 день (находится в критической зоне) 8 - 9 дни можно покупать, а вот в 10 день эти действия необходимо приостановить. Индикатор D% сглаживает графикК%, поэтому его сигналы имеют большее отставание от динамики рынка, чем сигналы К%.

Задача № 6

Решение:

1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - T_н, возврата -T_к. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды;

б)обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

в)обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды

Решение.

Простые проценты используют при выдаче краткосрочных ссуд (до года).Воспользуемся формулой наращения с постоянной ставкой простых процентов.

проценты, начисленные за n лет,t-срок ссуды в днях, k-количество дней в году, где



.

Тн=15.01.02, Тк=15.03.02

а) Точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика, 365/365, ACT/ACT)-учитывается действительное число дней в году (k=365илиk=366), а также точное число дней (по календарю).

n= 0,1638(в Excel найдем по формуле: ДОЛЯГОДА)

I = 2500000*0.3*1,1638=121232,88 руб.

Ответ: наращенная сумма при простых процентах с точным числомдней ссуды будет составлять 121232,88 руб.

б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская практика, 365/360, ACT/360)- за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней, число дней ссуды определяют точно (по календарю)

n= 0,161 (в Excel найдем по формуле: ДОЛЯГОДА)

I = 2500000*0.3*1,161=122916,67 руб.

Ответ: наращенная сумма при обыкновенных процентах с точным числом дней ссуды будет составлять 122916,67 руб.

в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика, 360/360)-за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней, число дней ссуды определяют приближенно (в каждом месяце по 30 дней).

n= 0,1666 (в Excel найдем по формуле: ДОЛЯГОДА)

I = 2500000*0,3*1,1666 = 125000 руб.

Ответ: наращенная сумма при обыкновенных процентах с приближенным числом дней ссуды будет составлять 125000 руб.

2. Через T_дн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение. Рассматривается операция с дисконтированием, разовый платеж, проценты простые. При использования кредита по условию S=2500000,n= 1800/360;i=30%.

Современную стоимость Р найдем по формуле математического дисконтирования, проценты простые .

и

P = 25000 000/(1+0,30*180/360) = 2173913руб.

D=2500 000 - 2173913 = 326087 руб.

Ответ: первоначальная сумма - 2173913 руб.; дисконт - 326087 руб.

3. Через T_дн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этотвексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение. Рассматривается операция с дисконтированием, разовый платеж, проценты простые. При использования кредита по условию S=2500000, n = 180/360; i=30%.

Современную стоимость Р найдем по формуле банковского учета для простой учетной ставки.

P= S*(1-n*d)

P =S*(1-d*(Тдн/360)) = 2 500 000*(1-0,3*180/360) = 2 125 000 руб.

D = Snd, D = 2 500 000*180/360*0,3 = 375000 руб.

Ответ: полученная предприятием сумма равна 2125000 руб., а дисконт - 375000 руб.

4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на T_лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение. Рассматривается операция наращения, проценты сложные.

По условию Р = 2500000; i = 30%, n = 4;

Используем формулу наращения для сложных процентов:

S= 2500 000*(1+0,30)⁴= 7140250 руб.

Тот же результат можно получить спомощью функции БС:

руб.

Ответ: наращенная сумма равна 7140250 руб.

5. Ссуда размером Sруб. предоставлена на Т_лет. Проценты сложные, ставка-i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение: Рассматривается операция наращения, разовй платеж, проценты сложные.По условию S = 2500000, i = 30%, m = 2, тогдаN = mn = 2*4=8;

Используем формулу наращения для сложных процентов по формуле

S = P*(1+j/m)^N,

S = 2500000*(1+0,30/2)^4*2= 2 500 000(1,15)⁸ = 7647557,16руб.

или решим задачу в Excel спомощью функции БС:руб.

Ответ: наращенная сумма равна 7647557,16 руб.

6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставке i% годовых.

Решение.По условию задана номинальная ставка i_н =30%, требуется определить эффективную ставку i_э, при начислении m = 2

Воспользуемся формулой для определения эффективной ставки:

i_э = (1+j/m)^m-1

i_э = (1+0,30/2)²-1 = 0,3225, т.е. 32,25%.

или в Excel с помощью функции ЭФФЕКТ:i_э =ЭФФЕКТ(0,3;2)=0,3225, т.е 32,25%

Ответ: Если банк начисляет проценты 2 раза в год, то эффективная ставка процента равна 32,25%.

7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

Решение. По условию задана эффективная ставка i_э =30%, требуется определить номинальную ставку i_н, при начислении раз в пол года, m = 2

Воспользуемся формулой для определения номинальной ставки

i_н = m[(1+i_э)^1/m-1]=

i =[2*(1+0,30)^1/2 -1] =0,2803 или 28,03 %

или тот же результат можно получить в Excel с помощью функции НОМИНАЛ:

i_н =НОМИНАЛ(0,3;2)=0,2803 или 28,03%

Ответ: номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в год равна 28,03%.

8. Через T_лет. предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

Решение.Рассматривается операция наращения, разовый платеж, проценты сложные. По условию S = 2500000, i = 30%, n = 4. Используем формулу наращения для сложных процентов по формуле

S = P(1 + i)ⁿ

2 500 000 = P(1 + 0,3)⁴

P = 2 500 000 / (1,3)⁴ = 875 319,49

или решим задачу в Excel спомощью функции ПС:

ПС=(30%;4;0;-2500000)=875319,49 руб.

Ответ: современная стоимость при сложной процентной ставке 30% годовых будет составлять 875319,49 руб.

9. Через T_лет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

Решение. Рассматривается операция с дисконтированием, разовый платеж, проценты сложные. В случае учет векселя S=2500000, n = 180/360; i=30%.

По формуле банковского учета в случае сложной учетной ставки найдем

, ,

где d = 30%, n = 4;

Р = 2500000(1-0,30)⁴ = 600250 руб.

D = 2500 000 - 600250 = 1899750 руб.

Тот же результат можно получить с помощью функции БС

руб.

Ответ: дисконт равен 1899750 руб.

10. В течение T_лет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%.

Решение. Сумма на расчетном счете к концу указанного срока представляет собой наращенную величину ренты. Определимее по формуле наращенной суммы.

S = 2 500 000, i = 0,3,m = 2, n = 4,

решим задачу в Excel спомощью функции ЭФФЕКТ: i_э =ЭФФЕКТ(0,3;2)=0,3225, т.е 32,25%

S₍₄₎ = 2 500 000 х ((1 +0,3225)⁴ - 1)/0,3225 = 15961417,54 руб.

или с помощью функции БС: руб.

Ответ: Сумма на расчетном счете к концу срока будет составлять 15961417,54 руб.

Размещено на Allbest.ru

...