Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема статьи

Модели управления оборотным капиталом торговой фирмы

Авторы: Мищенко А.В., Таныгин А.В.

Москва, 2011

Содержание

• Аннотация
• Динамическая модель управления оборотным капиталом торговой фирмы
• Оптимизация управления оборотным капиталом торговой фирмы в условиях фиксированных цен на товары
• Модель управления оптовыми закупками товаров в условиях риска
• Литература
• АННОТАЦИЯ
• Последние десятилетия разработка инструментария оценки эффективности управления финансовыми ресурсами предприятия осуществляется по двум направлениям. С одной стороны, результаты производственно-финансовой деятельности предприятия оцениваются на основе данных финансовой отчетности: бухгалтерский баланс, отчет о прибылях и убытках, отчет о движении денежных средств. На основе этих документов рассчитываются многие финансовые показатели, динамика изменения и значение которых позволяет судить о том, насколько эффективно осуществляется управление фирмой. Недостаток этого подхода состоит в том, что такая апостериорная оценка чаще всего не содержит рекомендаций о том, как изменить ситуацию в лучшую сторону в случае, если результаты деятельности фирмы неудовлетворительны. В этом случае возможно использование другого подхода к управлению предприятием, заключающегося в разработке и анализе экономико-математических моделей деятельности предприятия, с целью исследовать различные варианты использования всех видов ресурсов предприятия, в том числе и финансовых. В данной работе такой подход предполагается использовать при управлении оборотным капиталом торговой фирмы.

Динамическая модель управления оборотным капиталом торговой фирмы

В данном разделе будет рассмотрена ситуация, когда торговое предприятие закупает оптом некоторый набор товаров, реализация которых в розничной сети осуществляется на заданном временном интервале. В условиях ограниченного оборотного капитала, направляемого на оптовую закупку товаров, необходимо максимизировать маржинальный доход, получаемый от реализации этих товаров в розничной сети. Математическая оптимизационная модель этой задачи может быть представлена следующим образом: капитал торговый цена товар

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

В приведенной оптимизационной задаче использовались следующие обозначения:

- розничная цена продаваемого товара вида i в момент t;

- интенсивность продаж товара вида i в момент t при розничной цене продажи равной;

- оптовая цен продаж единицы товара вида i в момент совершения оптовых закупок;

Интервал [0;T] - это время, в течение которого должен быть реализован в рознице весь закупленный оптом товар;

- минимально возможная партия оптовых закупок товара вида i (i=1,2,3,…,n);

- искомая величина, задающая количество минимальных партий закупок товара i;

- общий объем товара i, который в момент оптовых закупок есть на складе;

- число минимальных партий товара i, которое есть на складе в момент оптовых закупок;

- интенсивность спроса на товар вида i в момент времени t при цене на товар;

F - объем оборотного капитала торговой фирмы, который может использоваться для осуществления оптовых закупок;

- соответственно верхняя и нижняя границы цены реализации товара вида i в розничной сети;

- множество целых положительных чисел.

Таким образом, в задаче (1)-(6) необходимо определить объемы оптовых закупок (i=1,2,3,…,n), цену розничных продаж и интенсивность продаж , которые бы максимизировали функционал (1), задающий маржинальный доход от проданного в розничной сети товара, при ограничениях на оборотный капитал, интенсивность спроса по каждому виду товара, объемы товара каждого вида на складе в момент совершения оптовых закупок и ограничениях на диапазон изменения цен при продаже товаров в розничной сети. В общем случае задача (1)-(6) является нелинейной задачей оптимального управления, решение которой определяется выбором вектора закупок и выбором вектор-функций времени и , которыe соответственно задают розничные цены на товары и интенсивность реализации товаров с учетом ограничения на спрос. В таком виде задача (1)-(6) не может быть решена аналитическими методами теории оптимального управления, но можно использовать различные подходы, связанные с имитационным моделированием или допущениями о стационарности некоторых исходных параметров задачи. Например, можно предположить, что если интервал времени (0, T) не слишком продолжителен, а интенсивность спроса на товары линейно меняется в зависимости от цены, то задача (1)-(6) может быть рассмотрена как задача целочисленной оптимизации, в которой интенсивность продаж товара и доля товара не зависят от времени и являются постоянными на всем интервале (0,Т).

Таким образом, будем полагать, что интенсивность спроса на товар i также будет зависеть только от его цены и будет меняться по следующему линейному закону:

(7)

Здесь - интенсивность спроса на товар i на интервале времени (0,Т) при цене ;

- интенсивность спроса на товар i при минимальной розничной цене;

- коэффициент, отражающий падение спроса на товар вида i при переходе от цены к цене .

Из формулы (7) видно, что спрос на товар вида i линейно падает при увеличении розничной цены.

Далее для каждого объема закупок товара i ()может быть рассчитана оптимальная цена продажи, максимизирующая маржу от реализации товара i в объеме в розничной сети.

Для этого решим следующие задачи:

(8)

(9)

(10)

i=1,2,3,…,n

С учетом соотношение (7) задачи (8)-(10) можно переписать в следующем виде:

(11)

(12)

i=1,2,3,…,n (13)

С учетом ограничения (12) цена при любом объеме закупок

определяется по следующей формуле:

(14)

i=1,2,3,…,n,

Из соотношения 14, в частности, следует, что максимальная розничная цена на продукцию вида i достигается при =1 (i=1,2,3,…,n). Обозначим эту цену . В то же время наименьшая цена на товар вида i, как было сказано выше, равна.

Рассмотрим метод решения задачи (1)-(6) в условиях, когда интенсивность спроса (i=1,2,3,…,n) на товары зависит только от цены .

В качестве такого метода будем использовать схему метода ветвей и границ, который традиционно заключается в следующем:

Шаг 1. Вычисление верхней границы целевой функции задачи (1)-(6).

Для этого сформулируем гипотетический портфель закупок следующим образом. Перегруппируем все виды закупок в следующем порядке:

Далее определим максимальное количество закупаемого продукта исходя из следующей формулы:

i=1,2,3,…,n

Таким образом, объем закупаемого продукта вида i есть минимум из трех величин, первая из которых - это наибольший объем продукции вида i (который может быть продан по минимальной цен на периоде времени [0,Т]), а вторая - это объем этой продукции , имеющийся на складе. Величина - это ограничение по финансовым ресурсам. Далее формируем портфель следующим образом: сначала закупаем в максимально возможном объеме товары первого вида, затем второго и так далее, пока либо не будут израсходованы все деньги, либо не будут закуплены все товары. Ограничение на целочисленность партии при этом не учитывается. После того, как такой портфель сформирован, вычисляются значения целевой функции (1) для этого портфеля закупок, с учетом того, что (i=1,2,3,…,n). Это значение целевой функции обозначим через . Эта величина и есть верхняя граница целевой функции.

Шаг 2. Вычисление нижней границы целевой функции задачи (1)-(6).

Это значение целевой функции может быть получено, например, путем формирования некоторого допустимого решения , задачи (1)-(6) и последующим вычислении целевой функции (1) на этом решении при ценах продаж в розничной сети, вычисляемых по формуле (14). Полученное значение целевой функции (1) и будет нижней границей целевой функции (1), задачи (1)-(6), которую обозначим как.

Если =, то задача решена и является решением.

Если <, то переход к следующему шагу.

Шаг 3. Вычисление текущих оценок и направленный перебор вариантов. На этом этапе предполагается, что уже сформирован частичный целочисленный портфель закупок товаров и необходимо выяснить, насколько перспективно дальнейшее формирование этого портфеля. Для этого вычисляется текущая верхняя оценка целевой функции (1) для формирования портфеля следующим образом:

Здесь k - это множество партий товаров, которое уже закуплено, представленное вектором ;

- цена продажи этих товаров, вычисленная по формуле (14);

- это верхняя оценка целевой функции (1) на множестве товаров и с учетом того, что остаток оборотного капитала равен . Если полученное значение , то продолжать формирование портфеля, выбрав еще одну партию закупок товаров, оставшихся на складе.

Получим новое множество закупленных товаров . Для множества также вычисляется оценка , которая сравнивается с . Описанная процедура продолжается до тех пор, пока не станет меньше или равен и тогда данный вариант закупок не будет оптимальным и он может в дальнейшем не рассматриваться или наступит момент, когда на оставшиеся деньги невозможно купить ни одну партию товара из тех, что остались на складе.

В последнем случае на полученном портфеле закупок вычисляется значение целевой функции (1), которое обозначим и, если ,то сужаем интервал [], предположив, что . Перебор вариантов продолжается до тех пор, пока либо при очередной корректировке его значение не совпадет с, и тогда оптимальным решением будет то, для которого значение целевой функции равно , либо перебор всех вариантов закончен, но равенство не получено. В этом случае оптимальным решением будет то, которое соответствует последнему (наибольшему) значению .

В некоторых случаях цена реализации товара в розничной сети

назначается менеджментом компании, исходя из собственного опыта и оценки макроэкономических параметров в регионе, таких как уровень занятости населения, динамика изменения средней или минимальной зарплаты, уровень инфляции и т.д. В этом случае может быть рассмотрена следующая модификация задачи (1)-(6).

Оптимизация управления оборотным капиталом торговой фирмы в условиях фиксированных цен на товары

Рассмотрим следующую задачу формирования портфеля оптовых закупок товаров торгово-коммерческой фирмы. Пусть на оптовой базе фирма может приобрести товары n видов (или товары множества N), минимальный объем покупки которых составляет v_iединиц, а максимальный - V_i (i =1, …, n). Цена оптовой покупки товара i равна б_i рублей за единицу, а цена продажи этого товара в розницу - в_i рублей (б_i < в_i, i = 1, …, n).

Пусть объем свободных финансовых средств на временном интервале [0, T] составляет величину F. Необходимо приобрести такие виды товаров, которые после перепродажи в розничной торговле максимизировали бы доход к моменту времени T, т.е. покупатель, имея первоначально сумму денег F, хотел бы максимизировать прирост этой суммы ДF, полученный после розничной продажи товаров, приобретенных оптом в начале периода [0, T].

Приведем формализованную постановку данной задачи. Обозначим через k_i = V_i / v_i количество партий товара i.

Необходимо максимизировать целевую функцию:

(1.1)

при ограничениях:

, (1.2)

; ; , (1.3)

, . (1.4)

Здесь ограничение (1.2) лимитирует объем используемых финансовых ресурсов; ограничение (1.3) означает, что количество купленного оптом товара не должно быть больше чем объем V_i.

В ограничении (1.4) и_i(t) задает интенсивность реализации товара, т.е. неравенство (1.4) свидетельствует о том, что закупать товара больше, чем его можно продать на интервале времени [0, T], нецелесообразно в рамках рассматриваемой постановки задачи.

Рассмотрим алгоритм решения поставленной задачи с использованием традиционной схемы метода ветвей и границ.

Шаг 1. Вычисление верхней оценки оптимального решения задачи (1.1)-(1.4). для вычисления S_в - верхней оценки целевой функции (1.1) не будем учитывать ограничения на то, что при оптовой покупке товары должны приобретаться партиями объемом v_i (i = 1, …, n), считая, что их можно купить в любом объеме. Далее предположим, что товары пронумерованы в порядке убывания величины в_i / б_i (i = 1, …, n). тогда стратегия формирования оптимального портфеля оптовых закупок будет состоять в том, что необходимо сначала купить максимально возможное количество товара первого вида ( но не более чем ), затем второго вида и так далее, пока не будут израсходованы все средства. Обозначим эти объемы закупок w₁, …, w_n. легко видеть, что целевая функция на этом портфеле закупок будет равна и ее значение будет не меньше, чем на любом формируемом портфеле закупок задачи (1.1)-(1.4).

Шаг 2. Вычисление нижней оценки. В качестве нижней оценки S_н может быть взято значение целевой функции на произвольно формируемом решении задачи (1.1)-(1.4). это может быть, например, решение, состоящее в том, что сначала покупается максимально возможное количество партий товара первого вида, затем второго и так далее, вплоть до того момента, когда все деньги будут израсходованы либо остаток финансовых средств будет такой, что ни одну партию какого-либо товара на эти деньги купить уже невозможно.

Если значение нижней оценки будет равно значению верхней оценки, т.е. S_н = S_в, то оптимальное решение построено.

Шаг 3. Вычисление текущей верхней оценки. Выбирается какой-либо вариант оптовых закупок и оптимизируется текущая верхняя оценки каждый раз после того, как было определено количество закупленного товара, т.е.

, (1.5)

где - значение текущей верхней оценки, когда определены множество I закупаемых товаров и - объемы товаров из этого множества;

- деньги, полученные от реализации товаров в объеме ;

- верхняя оценка целевой функции (1.1) на множестве товаров N\I.

Если , то дальнейший анализ текущего варианта оптовых закупок прекращается.

Если , то выбирается еще один вид товаров, вычисляется , где , и сравнивается с S_н. Продолжая этот процесс, получим, что либо на каком-то этапе вычисления станет меньше и равна S_н (в этом случае данный вариант портфеля отвергается), либо будет построен новый вариант закупок, целевая функция которого S*>S_н. В последнем случае в качестве нижней оценки S_н принимаем значение S*. Далее продолжаем анализ оставшихся вариантов оптовых закупок по методу, изложенному в шаге 3.

Если в процессе анализа вариантов оптовых закупок окажется, что S_н = S_в, то вариант закупок, соответствующий S_н, будет оптимальным. В противном случае, после того как проанализированы все возможные варианты закупок, в качестве оптимального вариантам выбираем тот, который соответствует последнему (наибольшему) значению S_н.

Устойчивость решений в задаче формирования оптимального портфеля оптовых закупок

Предположим, что решение задачи (1.1)-(1.4) получено методом ветвей и границ. Возникает вопрос, сохранится ли исходное оптимальное решение x^опт = (x₁^опт, …, x_n^опт), если розничные цены реализации продукции в_i увеличатся на некоторую величину д_i. Такое увеличение может произойти, например, из-за инфляционных процессов.

Пусть уровень инфляции за истекший период [0, T] составил некоторую величину о. Будем предполагать, что розничные цены на закупленные товары изменятся на величину д_i и станут равными в_i + д_i, где д_i = k_iо. Здесь k_i - коэффициент увеличения цены на товар вида i.

Рассмотрим все допустимые решения задачи (1.1)-(1.4). обозначим это множество через X = {x₁, …, x_N}. Будем предполагать, что множество допустимых решений x₁, …, x_N упорядочено по возрастанию взвешенной суммы компонент решения, т.е. по (j = 1, …, N). Тогда x₁ имеет минимальную сумму компонент , а решение x_N - максимальную сумму компонент .

Если решение x_l (1 ? l ? N) оптимально, то рассмотрим, как изменится значение целевой функции (1.1) при увеличении цен в_i на величину k_iо (k_i > 0). Получим следующее выражение:

. (1.6)

При изменении о в интервале (0, ?) правая часть равенства может рассматриваться как линейная функция о. Обозначим ее как f_l(о). Аналогично на любом другом решении x_j (j = 1, …, N; j ? l) может быть построена функция f_j(о).

Каждая из функций f_j(о) (j = 1, …, N) является неотрицательной, линейной и возрастающей. Последнее обстоятельство следует из того, что . При о = 0 максимальное значение имеет функция f_l(о), так как x_l - оптимальное решение задачи (1.1)-(1.4) при различных ценах в_i. При увеличении же о рост функции f_j(о) (j = l + 1, …, N) будет более интенсивными и, следовательно, графики функций f_j(о) будут пересекаться с графиком функции f_l(о) (рис.1).

Рис.1.

График изменения портфеля закупок при росте инфляции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Очевидно, что графики функций f_j(о) (j = l + 1, …, N) пересекут график функции f_l(о) при каких-то значениях о. Обозначим их через о^j (j = l + 1, …, N). Вычисление значений о^j происходит с учетом выполнения соотношения

f_l (о^j) = f_j (о^j),

,

откуда

, . (1.7)

Учитывая равенство (1.7), для того чтобы определить интервал изменения уровня инфляции, на котором сохраняется оптимальным значение x_i, необходимо найти min о^j, j = l +1, …, N. Предположим, что этот минимум достигается на каком-то о^k (k > l). Тогда для решения x_k и уровня розничных цен в_i + kо^k можно повторить всю предыдущую цепь рассуждений и получить новое значение (k₁ > k) и т.д.

В итоге через K итераций (K ? N - l) получим разбиение полубесконечного интервала изменения уровня инфляции на конечное число таких интервалов, что при изменении инфляции в рамках одного и того же интервала оптимальный портфель закупок сохраняется. Возможность такого разбиения следует из того, что при изменении оптимального решения, которое произошло при увеличении уровня инфляции, номер соответствующего допустимого решения, ставшего оптимальным, обязательно будет больше, чем номер предыдущего допустимого решения, бывшего оптимальным при меньшем уровне инфляции.

В заключение необходимо отметить, что предложенная процедура получения интервалов устойчивости оптимальных решений задачи может быть использована и для любого подмножества X' множества допустимых решений, т.е. для .

Модель управления оптовыми закупками товаров в условиях риска

Будем полагать, что будущая розничная цена товара i есть случайная величина с заданным законом распределения, т.е. в_i принимает значения с вероятностью p_j (p_j ? 0; ).

В этом случае математическое ожидание розничной цены товара i определим по формуле

.

Обозначим долю денежных средств, затраченную на покупку товаров i-го вида, через y_i:

.

Соответственно,

.

В этих обозначениях, используя классическую модель Марковица на минимум риска портфеля и при условии, что приращение оборотного капитала фирмы F должно быть не менее ДF, сформулируем задачу на минимум риска портфеля оптовых закупок с ограничением на его доходность:

,

,

или после упрощения последнего неравенства

,

,

,

,

где k_i - количество партий товара i.

Сформулированная задача квадратичного программирования может быть решена с использованием пакета Excel.

Рассмотрим пример использования метода ветвей и границ при решении детерминированной задачи формирования портфеля оптовых закупок.

Пусть имеется торговая фирма, использующая для оптовых закупок товаров на месяц оборотный капитал F = 4000 долл. Объем товаров на складе, интенсивность продаж товаров, их оптовая и розничная цена приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные для задачи формирования оптимального портфеля оптовых закупок

Вид продукции	1	2	3	4	5
Объем товаров на складе, шт.	100	150	80	70	60
Минимальная партия, шт.	10	5	20	10	15
Интенсивность продаж за день, шт.	4	5	2	3	2
Объем продаж за месяц, шт.	120	150	60	90	60
Цена оптовая, долл.	10	15	20	25	30
Цена розничная, долл.	12	18	25	28	36
	1,2	1,2	1,25	1,12	1,2

Верхнюю оценку целевой функции получим, закупая товары в порядке убывания показателя доходности, т.е. , с учетом объема товаров на складе и планируемых объемов продаж. Это будет продукция вида 3,2,1 и 5:

F_в = 60 * 25 + 150 * 18 + 100 * 12 +1,67 * 36 = 5460,12 долл.

Нижняя оценка вычисляется для целочисленного портфеля, куда войдет продукция вида 1,2 и 3 в максимально возможном объеме при условии, что остаток денежных средств после включения товаров указанных видов в портфель равен 50 долл.:

F_н = 5400 + 50 = 5450 долл.

Учитывая, что F_н < F_в, попытаемся сформировать новый портфель с вычислением .

Включим в формируемый портфель закупок четыре партии товара вида 5 и семь партий товара вида 4. Затраты на оптовые закупки товаров этих видов составят

30 * 60 + 25 * 70 = 3550 долл.,

а остаток средств

4500 - 3550 = 950 долл.

Максимальный объем товара 3 (как наиболее доходного) торговая фирма может приобрести в объеме, равном

950 / 20 = 47,5.

Тогда

= 36 * 60 + 28 * 70 + 47,5 * 25 = 5307,5 долл.

Так как < F_н, дальнейшее формирование этого портфеля закупок прекращается.

Литература.

1. Дж. Шапиро, «Моделирование цепей поставок», С.-П., «Питер», 2006;

2. «Корпоративная логистика», под редакцией В.И. Сергеева, М., ИНФРА-М, 2006;

3. Ламберт Д., Сток Д., «Стратегическое управление логистикой», М., ИНФРА-М, 2005.

Размещено на Allbest.ru

...