Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Автономная некоммерческая организация высшего

профессионального образования академия

«МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В МОСКВЕ»

Калининградский филиал

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания по организации самостоятельной работы студентов и выполнению контрольных работ для студентов

всех форм обучения по направлению 080100.62 - Экономика

(профиль «Финансы и кредит»)

Г.В. Панюта, А.Н.Кохан

Калининград

2013

ББК 65.26

УДК 336.6

П16

Автор:

Кандидат экономических наук, зав.кафедрой «Финансы и кредит» Калининградского филиала АНОВПОА «Международный университет в Москве»

доцент кафедры «Финансы и кредит» Калининградского филиала АНОВПОА «Международный университет в Москве»

Панюта Григорий Владимирович

Рецезент:

к.э.н., доцент кафедры «Экономика» ИПЭМ ФГБОУ ВПО «КГТУ»

Дзарасов Сиблаг Саламович

Методические указания по организации самостоятельной работы студентов и выполнению контрольных работ для студентов всех форм обучения по направлению 0801100.62 - Экономика рассмотрены и одобрены на заседании кафедры «Финансы и кредит» АНОВПОА «Международный университет в Москве» Калининградского филиала 21 октября 2013 г., протокол № 2.

Методические указания по организации самостоятельной работы студентов и выполнению курсовых работ для студентов всех форм обучения по направлению 0801100.62 - Экономика печатаются по решению Ученого Совета АНОВПО «Международный университет в Москве» Калининградского филиала от 24 октября 2013, протокол №2. . .

финансовый дисконтирование процент конверсия

Содержание

1. Общие организационно-методические указания

2. Общий перечень рекомендуемой литературы

3. Программа курса и примерный тематический план

4. Основные формулы и краткий конспект лекций по дисциплине

5. Задания и методические указания по выполнению контрольных работ

6. Вопросы к экзамену

1. Общие организационно-методические указания

В соответствии с учебным планом студенты заочной и очно-заочной форм обучения изучают дисциплину «Финансовая математика».

Основной целью преподавания данной дисциплины является изучение и освоение теоретических основ по вопросам

К задачам дисциплины относятся овладение студентами вопросами сущности

Студент, изучивший дисциплину, должен:

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

- основы финансовых вычислений, операции наращения и дисконтирования

- методику расчета простых процентов;

- методику расчета сложных процентов;

- методику оценки денежных потоков;

- расчет аннуитетных платежей.

Уметь:

- применять основные операции линейной алгебры и аналитической геометрии, правила дифференцирования и интегрирования для решения задач по специальности;

- эффективно применять в будущей профессиональной деятельности экономиста основные методы статистического анализа и прогнозирования социально-экономических процессов;

- применять базовые методы оптимизации для решения актуальных прикладных задач;

- использовать основные способы расчета параметров типовых математических моделей для задач оптимизации социально-экономических процессов.

Владеть навыками:

- применения базовых математических методов для количественного анализа типовых ситуаций по специальности;

- использования математического аппарата дифференцирования и интегрирования функций;

- самостоятельной работы с литературой и другими источниками по дисциплине.

В соответствии с учебным планом студент, при изучении дисциплины «Финансовая математика», должен выполнить контрольную работу.

Контрольная выполняются не только на основании рекомендованной литературы, но и предполагают использование ранее полученных знаний по всем взаимосвязанным дисциплинам.

Предусмотренная форма контроля - экзамен.

В результате освоения дисциплины студент должен владеть следующими профессиональными компетенциями (ПК):

В области расчетно-экономической деятельности:

- способностью собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);

- способностью выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);

в области аналитической, научно-исследовательской деятельности

- способностью осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);

- способностью на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6);

- способностью анализировать и интерпретировать финансовую, бухгалтерскую и иную информацию, содержащуюся в отчетности предприятий различных форм собственности, организаций, ведомств и т.д. и использовать полученные сведения для принятия управленческих решений (ПК-7);

2. Общий перечень рекомендуемой литературы

Основная литература:

1. Четыркин Е.М. Финансовая математика: учебник. - М.: Дело, 2010

2. Малыхин В. И.Финансовая математика. Учебное пособие. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012 [Электронный ресурс] - ГРИФ. - www.biblioclub.ru. - (ЭБС)

3. Лукашин Ю. П.Финансовая математика. Учебно-методический комплекс. - М.: Еврозийский открытый институт, 2010 [Электронный ресурс] - ГРИФ. - www.biblioclub.ru. - (ЭБС)

Дополнительная литература

Анышин В.М. Инвестиционный анализ. М.: Дело, 2002

Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: учебник. - М.: Гардарики, 2002

Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. - М.: Финансы и статистика, 2000

Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. -М.: Финансы и статистика, 2000

Финансовый менеджмент: теория и практика: Учебник / Под ред. Е.С. Стояновой. - М.: Изд-во «Перспектива», 2003

Финансовый менеджмент: практикум: Учебное пособие для вузов / Под ред. Н.Ф. Самсонова. - М.: ЮНИТИ, 2000

Валенкин И.В., Гробер В.М. Высшая математика: Учеб. пособие.- Ростов Н/Д: Феникс, 2009.

Гриб А.А. Математический анализ для экономиста. М.: Филинъ, 2009.

Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учебник.- М.: ВЛАДОС, 2009.

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие.- СПб: Профессия, 2009.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособие.- М.: Интеграл-пресс, 2009.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник.- М.: Физматлит, 2002.

Кремер Н.Ш., Лутко В.Я. Высшая математика для экономистов: Учебник.- М.: ЮНИТИ, 2009.

Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: Учебник. - М.: Проспект, ООО “ТК Велби”, 2009.

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие.- СПб: Профессия, 2010.

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.:2010.

3. Программа курса и примерный тематический план

Тема 1. Сущность, функции и предмет финансовой математики

Финансовая математика - основа количественного анализа финансовых операций .Сущность и задачи финансовой математики; основные методы финансовой математики. Количественный финансовый анализ и его основные задачи.

Логика финансовых операций в рыночной экономике. Временная ценность денег. Операции наращения (компаудинга) и дисконтирования. Экономический смысл операций наращения и дисконтирования.

Тема 2. Операции наращения и дисконтирования по простым процентам

Определение процентной и учетной ставок в финансовом менеджменте.

Понятие простого процента. Определение простых процентов по различным методикам (точные проценты, приближенные проценты).

Операции дисконтирования по процентным ставкам.

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM 1 (r, n). Области применения простых процентов (краткосрочные ссуды, операции по учету векселей банком).

Эквивалентные и средние процентные ставка.

Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтирование по простым ставкам. Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

Тема 3. Операции наращения и дисконтирования по сложным процентам

Понятие сложного процента. Годовая процентная ставка и номинальная ставка.

Внутригодовые процентные начисления и начисления процентов за дробное число лет. Эффективная годовая процентная ставка.

Понятие приведенной стоимости. Экономический смысл дисконтирующего множителя FM 2 (r, n). Применение дисконтирования по сложным процентам в инвестиционном анализе.

Учет инфляции при начислении процентов. Эквивалентные и средние процентные ставка. Непрерывные проценты.

Тема 4. Методы оценки денежных потоков

Понятие денежного потока. Основные виды денежных потоков: постнумерандо и пренумерандо.

Проблема оценки денежных потоков с позиции будущего и с позиции текущего момента. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями.

Понятие аннуитет (или финансовой ренты). Виды финансовых рент. Аннуитет постнумерандо и аннуитет пренумерандо. Оценка срочных аннуитетов.

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM 3 (r, n) и дисконтирующего множителя FM 4 (r, n).

Переменные потоки платежей. Ренты с постоянным абсолютным изменением элементов, а также с постоянным темпом изменения элементов.

Тема 5. Конверсия и консолидация платежей

Понятие конверсионных операций. Определение основных параметров конверсии: суммы заменяющего платежа, срока заменяющего платежа, критической процентной ставки.

Использование конверсионных расчетов в практике финансово-хозяйственной деятельности предприятия.

Понятие консолидации платежей. Определение суммы консолидированного платежа при использовании простых и сложных процентов. Определение срока консолидированного платежа при использовании простых и сложных процентов.

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Тема	Аудиторных часов при заочной форме обучения
	Лекции	Практические занятия
Тема 1. СУЩНОСТЬ, ФУНКЦИИ И ПРЕДМЕТ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ	1	-
Тема 2. ОПЕРАЦИИ НАРАЩЕНИЯ И ДИСКОНТИРОВАНИЯ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ	1	2
Тема 3. ОПЕРАЦИИ НАРАЩЕНИЯ И ДИСКОНТИРОВАНИЯ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТАМ	2	2
Тема 4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ	1	1
Тема 5. КОНВЕРСИЯ И КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ	1	1
Всего часов:	6	6

4. Основные формулы и краткий конспект лекций по дисциплине

4.1 Операции наращения по простым и сложным процентным ставкам

Одним из важнейших свойств денежных потоков является их распределенность во времени. При анализе относительно краткосрочных периодов (до 1 года) в условиях стабильной экономики данное свойство оказывает относительно незначительное влияние, которым часто пренебрегают. Определяя годовой объем реализации по предприятию, просто складывают суммы выручки за каждый из месяцев отчетного года. Аналогично поступают со всеми остальными денежными потоками, что позволяет оперировать их итоговыми значениями. Однако в случае более длительных периодов или в условиях сильной инфляции возникает серьезная проблема обеспечения сопоставимости данных. Одна и та же номинальная сумма денег, полученная предприятием с интервалом в 1 и более год, в таких условиях будет иметь для него неодинаковую ценность. Но проблема не сводится только к учету инфляции. Одним из основополагающих принципов финансового менеджмента является признание временной ценности денег, то есть зависимости их реальной стоимости от величины промежутка времени, остающегося до их получения или расходования. В экономической теории данное свойство называется положительным временным предпочтением.

Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного экономического феномена. Во-первых, “сегодняшние” деньги всегда будут ценнее “завтрашних” из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого “завтра”. Во-вторых, располагая денежными средствами “сегодня”, экономический субъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности. Расставаясь с деньгами “сегодня” на определенный период времени (допустим, давая их взаймы на 1 месяц), владелец не только подвергает себя риску их невозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученных доходов от инвестирования. Кроме того снижается его платежеспособность, так как любые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую ликвидность, чем “живые” деньги. То есть у кредитора возрастает риск потери ликвидности, и это третья причина положительного временного предпочтения. Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя столь существенные дополнительные риски. Поэтому, предоставляя кредит, они устанавливают такие условия его возврата, которые по их мнению полностью возместят им все моральные и материальные неудобства, возникающие у человека, расстающегося (пусть даже и временно) с денежными знаками.

Количественной мерой величины этого возмещения является процентная ставка.

С ее помощью может быть определена как будущая стоимость “сегодняшних” денег (например, если их собираются ссудить), так и настоящая (современная, текущая или приведенная) стоимость “завтрашних” денег - например, тех, которыми обещают расплатиться через год после поставки товаров или оказания услуг. В первом случае говорят об операции наращения, поэтому будущую стоимость денег часто называют наращенной. Во втором случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости к ее современной величине (текущему моменту) - отсюда термин дисконтированная, приведенная или текущая стоимость. Операции наращения денег по процентной ставке более просты и понятны, так как с ними приходится сталкиваться довольно часто беря или давая деньги взаймы.

Выделяют два вида процентных ставок:

1. Простая процентная ставка - это ставка при которой величина процента начисляется на первоначально вложенную сумм у средств; это означает, что сумма процентов за предыдущие периоды не принимается в расчет последующего наращения.

Основные формулы при определении начисленных процентов и наращенной суммы при использовании схемы простых процентов

(1)

где

PV - первоначальная сумма

I - сумма начисленных процентов

r - годовая процентная ставка

k - количество дней в году

d - срок начисления процентов в годах

При расчете количества дней используются несколько методик:

1. Точный процент с точным количеством дней ( год 365 (366), месяц - фактически по календарю);

2. Обыкновенный процент с приближенным числом дней (год 360 дней, месяц - 30 дней);

3. Точный процент с приближенным количеством дней (год 360 дней, месяц - фактически по календарю).

(2)

n - срок начисления процентов в днях

(3)

FV - наращенная сумма (первоначальная сумма + начисленные проценты)

Пример 1:

Вклад в размере 160 000 рублей поместили в банк на 2 года. Определить сумму начисленных процентов при простой схеме их начисления, если банк предлагает 9 % годовых.

Решение: = 160 000 * 2 * 0, 09 = 28 800 рублей

Пример 2:

Деньги депонированы в банк на срочный депозит на два года. Первоначальная сумма 100 000 рублей. Проценты начисляются по схеме простых процентов из расчета 12 % годовых в первый год, 13 % в последующие три месяца и 14 % годовых в оставшееся время.

Определить наращенную сумму.

Решение:

FV = 100 000 (1 + 1* 0,12 + 0,25*0,13 + 0,75 * 0,14) = 125 750 рублей.

2. Сложная процентная ставка - это ставка, при которой процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды (« проценты на процент»).

Основные формулы при определении начисленных процентов и наращенной суммы при использовании схемы сложных процентов:

(4)

(5)

Бывают ситуации, когда сложные проценты начисляются несколько раз в год (по полугодиям, кварталам и т.д.), тогда ставка на периоде начисления определяется j : m, а наращенная сумма по формуле:

 (6)

Где j - номинальная ставка;

m - количество начислений в году.

Пример 3:

Деньги вложены в банк в сумме 5 млн. рублей на два года с полугодовым начислением процентов под 20 % годовых. В этом случае начисление процентов происходит четыре раза (два раза в год) по ставке 10 %.

Определить:

1. Сумму начисленных процентов

2. Изобразить схему возрастания капитала.

Решение:

1. = 5 млн. руб. * (1 + 0,2 : 2) ^{4 =} 7,3205 млн. рублей

Ставка на периоде начисления, в % = 20 % : 2 = 10 %

2. Схема возрастания капитала будет иметь следующий вид:

Период начисления в месяцах	Сумма, с которой идет начисление. млн. рублей	Ставка в долях единицы	Сумма к концу периода, млн. рублей
6	5	1,1	5,5
12	5,5	1,1	6,05
18	6,05	1,1	6,655
24	6,655	1,1	7,3205

Таким образом, можно сделать несколько простых практических выводов:

1. Чем чаще идет начисление процентов по сложной схеме, тем больше итоговая накопленная сумма.

2. При начислении процентов 12 % годовых не эквивалентно 1 % в месяц при использовании схемы сложны процентов.

Начисление сложных процентов за дробное число лет

Достаточно обыденным являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут быть начислены по одному из двух методов:

по схеме сложных процентов

FV = PV * (1 + r ) ^{na + nb} (7)

по смешанной схеме

FV = PV * (1 + r ) ^na * (1 + r * nb) (8)

где FV - наращенная сумма (сумма вклада с процентами)

PV - первоначальная сумма вклада

nb - дробная часть года

na - целая часть года

r - годовая процентная ставка

Продемонстрируем представленные методы на практическом примере.

Пример 4:

Банк предоставил ссуду в размере 10 млн. руб. на 30 месяцев под 30 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По формуле (7)

FV = PV * (1 + r ) ^{na + nb} = 10 * (1 + 0,3 ) ^2,5 = 19,27 млн. руб.

По формуле (8)

FV = PV * (1 + r ) ^na * (1 + r * nb) = 10 * (1 + 0,3 ) ² * (1 + 0,3 * 0,5) = 19,44 млн. руб.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодная для банка.

4.2 Операции дисконтирования по простым и сложным процентным ставкам

Однако для финансового менеджмента значительно более важное значение имеет дисконтирование денежных потоков, приведение их будущей стоимости к современному моменту времени для обеспечения сопоставимости величины распределенных по времени платежей.

В принципе, дисконтирование - это наращение “наоборот”, однако для финансовых расчетов важны детали, поэтому необходимо более подробно рассмотреть как прямую, так и обратную задачу процентных вычислений. Прежде чем рассматривать их применительно к денежным потокам, следует усвоить наиболее элементарные операции с единичными суммами (разовыми платежами).

Дисконтирование - это процесс нахождения первоначальной суммы исходя из величины наращенной суммы; другими словами это приведение прогнозируемых денежных поступлений к текущему моменту времени с использованием определенного коэффициента дисконтирования.

Дисконтирование можно осуществлять по двум схемам:

1. схеме простых процентов

 (9)

2. схеме сложных процентов

(10)

Пример 5:

Прогнозируются денежные поступления в течении трех лет: первый год - 150 000 рублей, второй - 160, третий - 200 000 рублей. Определить приведенную стоимость прогнозируемых денежных поступлений, если коэффициент дисконтирования 20 % (сложные проценты).

Решение:

Годы	Прогнозируемые денежные поступления	Множитель дисконтирования, при r = 20 %	Приведенная стоимость
1	150 000	0,833	124 950
2	160 000	0,694	111 040
3	200 000	0,579	115 800
Итого:	510 000	-	352 790

Таким образом, «сегодняшняя стоимость» прогнозируемых в течении трех лет 510 000 с учетом коэффициента дисконтирования 20 % составляет 352 790 рублей (что меньше на 157 210 рублей)

4.3 Определение приведенной и будущей стоимости денежных потоков

Основные правила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются неизменными и для совокупности платежей, однако возникает необходимость ввести несколько дополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин рента.

Каждый отдельный рентный платеж называют членом ренты. Частным случаем ренты является финансовая рента или аннуитет - такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними. Часто аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет. В буквальном переводе “аннуитет” подразумевает, что платежи происходят с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат. Очевидно, что рента - это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределены неравномерно.

Параметры ренты:

Наряду с членом ренты (обозначим его R) любой денежный поток характеризуется рядом других параметров: период ренты (t) - временной интервал между двумя смежными платежами; срок ренты (n) - общее время, в течение которого она выплачивается; процентная ставка (i) - ставка сложного процента, используемая для наращения и дисконтирования платежей, из которых состоит рента.

В зависимости от числа платежей за период различают годовые и p-срочные ренты. По величине членов денежного потока ренты могут быть постоянными (с равными членами) и переменными.

Рассмотрим пример определения будущей величины ограниченной постоянной ренты (аннуитета) постнумерандо которая выплачивается 1 раз в год (p = 1) и проценты по которой начисляются по сложной эффективной процентной ставке i 20% годовых также 1 раз в год (m = 1). Размер годового платежа R составляет 3 тыс. рублей, общий срок ренты n равен 5 годам.

Наращение денежного потока

№ периода	1	2	3	4	5	Итого
1.Член ренты, тыс. руб.	3	3	3	3	3	15
2.Время доконца ренты, периодов (лет)	4	3	2	1	0	-
3.Множитель наращения	(1+0,2)4	(1+0,2)3	(1+0,2)2	(1+0,2)1	(1+0,2)0	-
4.Наращенная величина, тыс. руб. (стр.1*;стр.3)	6,22	5,18	4,32	3,6	3	22,32

Полученное значение (22,32 тыс. руб.) заметно больше арифметической суммы отдельных членов ренты (15 тыс. руб.), однако она значительно меньше той гипотетической суммы, которая могла быть получена, если бы мы захотели нарастить по ставке 20% все 15 тыс. руб. за весь срок ренты (15*; 1,2⁵). Наращенная сумма ренты S получена путем последовательного начисления процентов по каждому члену ренты и последующего суммирования полученых результатов. Введя обозначение k = номеру периода ренты, в наиболее общей форме данный процесс можно выразить следующей формулой:

(11)

В нашем примере член ренты R неизменен в течение всего срока, процентная ставка i также постоянна. Поэтому наращенную величину ренты можно найти как сумму геометрической прогрессии с первым членом 3000 и знаменателем (1 + 0,2):

Следовательно, от общей формулы наращения ренты (11) можно перейти к ее частному случаю - формуле наращения аннуитета:

(12)

Наращение денежных потоков имеет место при периодическом внесении на банковский депозит фиксированных сумм с целью накопления финансового фонда к определенному моменту времени.

Например, разместив долгосрочный облигационный заем, предприятие готовится к погашению суммы основного долга в конце срока займа путем периодического внесения на банковский счет фиксированных платежей под установленный процент. Таким образом к моменту погашения облигационного займа у предприятия накопятся достаточные средства в этом фонде. Аналогичные задачи решаются в ходе формирования пенсионного фонда или при накоплении суммы для оплаты обучения детей. Например, заботясь о своей старости, человек может наряду с обязательными отчислениями в государственный Пенсионный фонд, вносить часть своего ежемесячного заработка на банковский депозит под проценты. Наращение суммы такого вклада будет происходить по описанному выше алгоритму.

Обратный по отношению к наращению процесс - дисконтирование денежного потока имеет еще большую важность для финансового менеджмента, так как в результате определяются показатели, являющиеся в настоящее время основными критериями принятия финансовых решений. Рассмотрим этот процесс более подробно. Предположим, что рассмотренный в нашем примере денежный поток характеризует планируемые поступления от реализации инвестиционного проекта. Доходы должны поступать в конце периода. Так как эти поступления планируется получить в будущем, а инвестиции, необходимые для выполнения проекта, должны быть произведены уже сегодня, предприятию необходимо сопоставить величину будущих доходов с современной величиной затрат. Как уже было сказано выше, использование для сравнения арифметической суммы членов потока (15 тыс. руб.) бессмысленно, так как эта сумма не учитывает влияние фактора времени. Для обеспечения сопоставимости данных величина будущих поступлений должна быть приведена к настоящему моменту, иными словами данный денежный поток должен быть дисконтирован по ставке 20%. Предприятие сможет определить сегодняшнюю стоимость будущих доходов. При этом процентная ставка будет выступать в качестве измерителя альтернативной стоимости этих доходов: она показывает, сколько денег могло бы получить предприятие, если бы разместило приведенную (сегодняшнюю) стоимость будущих поступлений на банковский депозит под 20%.

Дисконтирование денежного потока предполагает дисконтирование каждого его отдельного члена с последующим суммированием полученных результатов. Для этого используется дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке i. Операции наращения и дисконтирования денежных потоков взаимообратимы, то есть наращенная сумма ренты может быть получена начислением процентов по соответственной сложной ставке i на современную (приведенную) величину этой же ренты (S = PV*; (1+i)ⁿ).

Дисконтирование денежного потока

№ периода	1	2	3	4	5	Итого
1.Член ренты, тыс. руб.	3	3	3	3	3	15
2. Число лет от начальной даты	1	2	3	4	5
3.Множитель дисконтирования	1/(1+0,2)1	1/(1+0,2)2	1/(1+0,2)3	1/(1+0,2)4	1/(1+0,2)5	-
4.Приведенная величина, тыс. руб. (стр.1*; стр.3)	2,5	2,08	1,74	1,45	1,21	8,98

Из таблицы видно, что при альтернативных затратах 20% сегодняшняя стоимость будущих доходов составляет 8,98 тыс. руб. Именно эта величина и должна сравниваться с инвестициями для определения целесообразности принятия проекта или отказа от его реализации. Обобщая алгоритм, по которому выполнялись расчеты, получаем общую формулу дисконтирования денежных потоков:

(13)

Так как в нашем примере i и R постоянные величины, то снова применяя правило суммирования геометрической прогрессии, получим частную формулу дисконтирования аннуитета:

(14)

Рассмотренный выше пример можно было найти по формуле (14)

= 3 *( (1 - (1+0,2)^-5 ) : 0,2) = 8,98 тыс. рублей.

Пример 6:

Создается фонд денежных средств путем внесения на депозит по 100 000 в конце каждого года. Банк платит 11 % годовых. Проценты начисляются раз в год по схеме сложных процентов.

Определить сумму фонда к концу 5 лет.

Решение:

= 100 000 * (( 1 + 0,11)⁵ -1) : 0,11 = 622 780, 14 рублей.

Таким образом к концу пятого года на счете будет 622 780, 14 рублей, в том числе 500 000 рублей это собственные деньги вкладчика и 122 780,14 начисленные проценты.

4.4 Конверсия платежей

Конверсионные операции (конверсия платежей) - это замена одних финансовых обязательств другими.

Основным принципом конверсии является принцип финансовой эквивалентности. Он заключается в неизменности финансовых взаимоотношений сторон в случае замены финансовых обязательств. Иными словами, при замене обязательств и соблюдении при этом принципа финансовой эквивалентности ни один из участников сделки не должен получить дополнительной выгоды ( или потерпеть ущерб).

Конверсия платежей производится в случаях изменения сроков платежей, объединения платежей, замены первоначальной серии платежей на другую серию по суммам и срокам и т.д. При проведении расчетов возможны разные варианты:

1. Определение суммы заменяющего платежа:

а) при простых процентах

(15)

б) при сложных процентах

(16)

Где FV_{1 -} первоначальная сумма

FV₂ - заменяющая сумма

n ₁ - первоначальный срок

n ₂ - срок заменяющего платежа

r - годовая процентная ставка

Пример 7:

Платеж 60 000 рублей через 2 года заменяется на платежом со сроком уплаты через три года . Определить сумму заменяющего платежа, если в расчетах используется ставка 20 % годовых (простые проценты).

Решение: 1

= 60 000 * (1 + 0,2*2) * (1 +0,2*3)= 68 571,43 рублей.

Таким образом, если плательщик оттягивает срок оплаты своих обязательств на год, он жертвует дополнительно 8 572, 43 рублей при использовании в расчетах 20 % ставки, рассчитываемой по схеме простых процентов.

Изменим схему начисления процентов в предыдущем примере.

Пример 8:

Платеж 60 000 рублей через 2 года заменяется на платежом со сроком уплаты через три года . Определить сумму заменяющего платежа, если в расчетах используется ставка 20 % годовых (сложные проценты).

Решение: 1

= 60 000 * (1 + 0,2)² * (1 +0,2)³= 71 999 рублей.

Таким образом, если плательщик оттягивает срок оплаты своих обязательств на год, он жертвует дополнительно 11 999 рублей при использовании в расчетах 20 % ставки, рассчитываемой по схеме сложных процентов.

2. Определение срока заменяющего платежа

а) при простых процентах

(17)

б) при сложных процентах

(18)

4.5 Консолидация платежей

Консолидация платежей - это объединение нескольких платежей в один. Консолидацию можно рассматривать как частный случай конверсии. Сумма заменяемых платежей должна быть эквивалентна одному заменяющему платежу.

Пусть мы имеем серию платежей FV_{1 ,} FV_{2 ……} FV_m c соответствующими сроками n ₁ , n _{2 …..} n _{m .} Заменяем эту серию платежей на один платеж в размере FV₀ со сроком уплаты n ₀ .

При определении размера консолидированного платежа рассматривают два случая:

1. Если срок консолидированного платежа находится в пределах первоначальных сроков:

1.1. для схемы простых процентов

(19)

1.2. для схемы сложных процентов

(20)

где t_j - период наращения

t_{k -} период дисконтирования

2. Если срок консолидированного платежа выходит за рамки первоначальных сроков:

1.1. для схемы простых процентов

(21)

1.2. для схемы сложных процентов

(22)

Пример 9:

Два платежа со сроком уплаты через год и два года и суммами 45 000 и 50 000 рублей соответственно заменяются одним платежом со сроком уплаты через четыре года. Процентная ставка равна 12 % годовых.

Определить сумму консолидированного платежа, рассмотрев два случая:

А) используется простая ставка

Б) используется сложная ставка

Решение:

А) Сумму консолидированного платежа будем определять по формуле 21

= 45 000 (1 + 3* 0,12) + 50 000 * (1 + 2* 0,12) = 61 200 + 62 000 = 123 200 рублей.

Таким образом, если плательщик решил объединить два платежа и оплатить их через четыре года, ему потребуется отдать 123 200 рублей, т.е. на 28 200 рублей больше первоначальной суммы.

Б) Сумму консолидированного платежа будем определять по формуле 22

= 45 000 (1 + 0,12)³ + 50 000 * (1 + 0,12)² = 63 221, 76 + 62 720 = 125 941,76 рублей.

Таким образом, если плательщик решил объединить два платежа и оплатить их через четыре года, ему потребуется отдать 125 941,76 рублей, т.е. на 30 941, 76 рублей больше первоначальной суммы (если в расчетах используется сложная процентная ставка).

Определение срока консолидированного платежа:

Для простых процентов

(23)

Для сложных процентов

(24)

4.6 Средние процентные ставки

Средняя ставка - это ставка эквивалентная серии ставок, для которых определяется эта средняя, т.е. замена нескольких ставок их средней не меняет результата финансовой операции.

Возможны два случая:

1. Нахождение средней процентной ставки за период, состоящей из подпериодов с известными размерами ставок за каждый подпериод:

1.1. для схемы простых процентов

(25)

1.2. для схемы сложных процентов

(26)

2. Определение средней ставки для нескольких операций, периоды проведения которых одинаковы:

1.1. для схемы простых процентов

 (27)

1.2. для схемы сложных процентов

(28)

5. Задания и методические указания по выполнению контрольных работ

В установленные учебным заведением сроки студент должен выполнить контрольную работу, которая состоит из теоретического вопроса и практических задач.

На пересечении горизонтальной и вертикальной линий, соответствующих предпоследней и последней цифрам зачетной книжки, находится номер варианта контрольной работы. Первая цифра - это номер теоретического вопроса, вторая - номер варианта задач

Варианты контрольных работ

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	1,9	2,2	3,9	4,4	5,5	6,6	7,7	8,8	9,1	10,2
2	11,3	12,4	13,5	14,6	15,7	16,8	17,1	18,2	19,3	20,4
3	1,9	2,2	3,3	4,4	5,5	6,9	7,7	8,8	9,1	10,9
4	11,3	12,4	13,5	14,6	15,7	16,8	17,1	18,2	19,3	20,4
5	1,1	2,2	3,3	4,9	5,5	6,6	7,7	8,8	9,1	10,2
6	11,3	12,9	13,5	14,6	15,	16,8	17,1	18,2	19,3	20,4
7	1,1	2,2	3,3	4,4	5,5	6,6	7,8	8,8	9,1	10,2
8	11,3	12,4	13,5	14,6	15,7	16,8	17,1	18,2	19,3	20,4
9	1,1	2,2	3,3	4,8	5,5	6,6	7,3	8,8	9,1	10,2
0	11,3	12,9	13,5	14,9	15,7	16,8	17,1	18,2	19,3	20,6

При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться также следующими требованиями:

1. В начале работы указать номер варианта задания.

2. Перед решением задачи привести её условие.

3. Решение задачи следует сопровождать формулами, развернутыми расчетами, краткими определениями и пояснениями показателей. Если имеется несколько методов расчета того или иного показателя, то применять надо наиболее простой из них, указав при этом и другие возможные варианты решения.

4. Рассчитанные показатели необходимо вычислять с точностью до 0,001.

5. Контрольная работа может быть оформлена в рукописном или компьютерном вариантах без помарок и сокращений слов (кроме общепринятой аббревиатуры). Статистические таблицы строятся и оформляются в соответствии с принятыми в статистике правилами, формулы приводятся в той записи, которая дается в учебнике или лекционном курсе, страницы нумеруются.

6. В конце работы приводится список использованной литературы (автор, название, издательство, год издания, страница).

7. Работа подписывается студентом с указанием даты её выполнения.

8. Контрольную работу вместе студент обязан представить при сдаче зачета. Если в работе рецензентом были сделаны замечания, студент обязан учесть их и, не переписывая работу, внести необходимые исправления и дополнения.

Вопросы к контрольной работе

1. Временная ценность денег, учет временного фактора в принятии финансовых решений.

2. Принятие финансовых решений в условиях инфляции.

3. Операции наращения (компаудинга) и дисконтирования.

4. Простые проценты: понятие и область применения.

5. Сложные: понятие и область применения.

6. Учет инфляционного обесценивания денег в принятии финансовых решений.

7. Определение реальной ставки доходности в условиях инфляции. Формула Фишера.

8. Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM 1 (r, n) и его применение в финансовых вычислениях.

9. Внутригодовые процентные начисления и начисление процентов за дробное число лет.

10. Эффективная годовая процентная ставка, ее значение в принятие финансовых решений.

11. Понятие приведенной стоимости.

12. Экономический смысл дисконтирующего множителя FM 2 (r, n).

13. Денежные потоки: сущность и основные виды.

14. Оценка денежных потоков с неравными поступлениями.

15. Аннуитет. Основные виды аннуитетных платежей.

16. Оценка аннуитетов. Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM 3 (r, n).

17. Экономический смысл и дисконтирующего множителя FM 4 (r, n).

18. Консолидация платежей

19. Конверсия платежей.

20. Эквивалентные и средние процентные ставки.

Варианты задач к контрольной работе

Вариант 1

Задача 1

Создается фонд денежных средств путем внесения на депозит по 100 000 в конце каждого года. Банк платит 11 % годовых. Проценты начисляются раз в год по схеме сложных процентов.

Определить сумму фонда к концу 5 лет.

Задача 2

Чистые денежные потоки по годам прогнозируются в следующих объемах: 1-ый год - 50 000 рублей, 2-ой год - 56 000 рублей, 3-ий год - 75 000 рублей, 4-ый год - 80 000 рублей. Стоимость капитала 14 % (сложные проценты).

Определить: приведенную стоимость проекта.

Задача 3

Доход по договору аренды оборудования, заключенному на 5 лет, составляет 1 млн. в год. Сколько стоит право на получение такого дохода сегодня, если норма доходности по аналогичным сделкам равна 10 % (сложные)

Задача 4

Платеж 40 000 рублей через 2 года заменяется на платежом через 3,5 года . определить сумму заменяющего платежа, если в расчетах используется ставка 20 % годовых (простые проценты).

Задача 5

Суммы 26 млн. руб. и 110 млн. руб. помещены в банк на 2 года на депозит, причем первая по ставке 7 % годовых, а вторая - 12 % годовых. По какой ставке можно было бы поместить эту сумму на указанный срок, чтобы получить тот же финансовый результат (простые и сложные проценты)?

Задача 6

Вам предлагают сдать в аренду участок на четыре года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды:

А) 20 тыс. рублей в конце каждого года;

Б) 95 тыс. рублей в конце четырехлетнего периода.

Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 13 % годовых по вкладам?

Вариант 2

Задача 1

Предприниматель решил приобрести объект недвижимости сегодня, чтобы через три года перепродать его с 10-процентной выгодой для себя за 3 млн. рублей. Какую максимальную сумму он может предложить продавцу недвижимости сегодня?

Задача 2

Создается фонд на основе ежегодных отчислений в сумме 50 000 рублей с начислением 8 % годовых по сложной схеме. Определить сумму фонда через пять лет, если денежные взносы осуществляются:

1. постнумерандо

2. пренумерандо.

Задача 3

Суммы в размерах 10, 15, 15 млн. руб. должны быть выплачены соответственно через 60, 90, 180 дней. Принято решение заменить их одним платежом 60 млн. руб. Найти срок консолидированного платежа, если используемая в расчетах процентная ставка 12 % годовых (простые проценты).

Задача 4

Исходная инвестиция составляет 100 000 рублей. Чистые денежные поступления годам прогнозируются в следующих объемах: 1-ый год - 25 000 рублей, 2-ой год - 30 000 рублей, 3-ий год - 55 000 рублей, 4-ый год - 30 000 рублей.

Рассчитать приведенную стоимость проекта, если: Стоимость капитала 20 % (простые проценты). Сделать выводы о выгодности инвестиции.

Задача 5

Вам предложено инвестировать 200 тыс. рублей на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями в начале года по 40 тыс. руб. по истечении пяти лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 50 тыс. руб.

Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 11 % годовых?

Задача 6

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока продолжающегося 4 года: 1 год - 115 тыс. руб., 2 год - 90 тыс. руб., 3 год - 230 тыс. руб., 4 год - 120 тыс. руб., если ставка дисконтирования 18 %.

Денежный поток:

А) постнумерандо;

Б) пренумерандо и сделать выводы

Вариант 3

Задача 1

Создается фонд денежных средств путем внесения на депозит по 50 000 в конце каждого года. Банк платит 10 % годовых. Проценты начисляются по кварталам по схеме сложных процентов. Определить сумму фонда к концу 5 лет.

Задача 2

Рассчитать приведенную стоимость денежного потока продолжающегося 4 года: 1 год - 15 тыс. руб., 2 год - 9 тыс. руб., 3 год - 23 тыс. руб., 4 год - 20 тыс. руб., если ставка дисконтирования 15 %.

Денежный поток:

А) постнумерандо;

Б) пренумерандо и сделать выводы

Задача 3

Создается фонд в который в течении трех лет вносятся рентные платежи 50 000 по полугодиям, а проценты 9 % годовых сложных начисляются один раз в год. Определить сумму фонда к концу третьего года.

Задача 4

Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на условиях: в первые шесть лет по 20 тыс. руб., а оставшиеся четыре года по 22 тыс. руб.

Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 20 %.

Для решения задачи рассмотреть исходный денежный поток в двух вариантах:

как сумма двух аннуитетов: первый имеет А=20 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй имеет А=2 тыс. руб. и продолжается четыре года;

как разность двух аннуитетов: первый имеет А=22 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй А=2 тыс. руб. и, начавшись в первом году, заканчивается в шестом.

Задача 5

Рассчитать эквивалентные процентные ставки для следующих ситуаций:

1. простая ставка 12 % годовых. Найти сложную ставку для двухлетнего периода.

2. сложная ставка 15 % годовых. Найти простую ставку для четырехлетнего периода.

3. простая ставка 10 %. Найти сложную процентную ставку для четырехлетнего периода.

Задача 6

Суммы в размерах 15, 25, 15 млн. руб. должны быть выплачены соответственно через 30, 60, 90 дней. Принято решение заменить их одним платежом через 70 дней.

Найти сумму консолидированного платежа, если используемая в расчетах процентная ставка 12 % годовых (простые проценты).

Вариант 4

Задача 1

Создается фонд денежных средств путем внесения на депозит по 50 000 в конце каждого года. Банк платит 10 % годовых. Проценты начисляются два раза в год по схеме сложных процентов. Определить сумму фонда к концу 3 лет.

Задача 2

Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на условиях: в первые шесть лет по 30 тыс. руб., а оставшиеся четыре года по 32 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 15 %.

Для решения задачи рассмотреть исходный денежный поток в двух вариантах:

1. как сумма двух аннуитетов: первый имеет А=30 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй имеет А=2 тыс. руб. и продолжается четыре года;

2. как разность двух аннуитетов: первый имеет А=32 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй А=2 тыс. руб. и, начавшись в первом году, заканчивается в шестом.

Задача 3

Два платежа со сроком уплаты через 150 и 180 дней и суммами 35 000 и 40 000 рублей соответственно заменяются одним платежом со сроком уплаты через 200 дней. Процентная ставка (простая) равна 12 %. Определить сумму консолидированного платежа.

Задача 4

АО «Вымпел» заняло у банка «Сатурн» 300 000 руб. на 3 месяца под 18 % годовых. Проценты выплачиваются вперед. Какую сумму получит «Вымпел», если: используются простые проценты 2. используются сложные проценты.

Задача 5

Предприниматель может получить ссуду по одному из трех вариантов:

на условиях ежеквартального начисления процентов из расчета 25 % годовых;

на условиях полугодового начисления процентов из расчета 24 % годовых;

на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 21 % годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Задача 6

Чистые денежные потоки по годам прогнозируются в следующих объемах: 1-ый год - 50 000 рублей, 2-ой год - 56 000 рублей, 3-ий год - 75 000 рублей, 4-ый год - 80 000 рублей, причем денежные потоки осуществляются в начале года. Стоимость капитала 20 % (сложные проценты). Определить: приведенную стоимость денежного потока.

Вариант 5

Задача 1

Создается фонд денежных средств путем внесения на депозит по 150 000 в конце каждого года. Банк платит 10 % годовых. Проценты начисляются раз в год по схеме сложных процентов. Определить сумму фонда к концу 4 лет.

Задача 2

Чистые денежные потоки по годам прогнозируются в следующих объемах: 1-ый год - 50 000 рублей, 2-ой год - 56 000 рублей, 3-ий год - 75 000 рублей, 4-ый год - 80 000 рублей. Стоимость капитала 20 % (сложные проценты).

Определить: приведенную стоимость проекта.

Задача 3

Вклад в размере 20 000 руб. помещен в банк 19.01 и востребован 27.03. ставка процентов 15 % годовых.

Определить сумму начисленных процентов и наращенную сумму при различных методах определения срока начисления.

Задача 4

Платеж 60 000 рублей через 2 года заменяется на платеж 80 000 рублей через 4 года.

1. Найти критические уровни простой и сложной процентных ставок

2. Как изменятся финансовые отношения сторон, если в расчетах будет использоваться 25 %

Задача 5

Суммы 36 млн. руб. и 200 млн. руб. помещены в банк на 2 года на депозит, причем первая по ставке 9 % годовых, а вторая - 11 % годовых. По какой ставке можно было бы поместить эту сумму на указанный срок, чтобы получить тот же финансовый результат (простые и сложные проценты)?

Задача 6

Вам предлагают сдать в аренду участок на четыре года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды:

А) 40 тыс. рублей в конце каждого года;

Б) 105 тыс. рублей в конце четырехлетнего периода.

Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 11 % годов

Вариант 6

Задача 1

Вклад в размере 160 000 рублей поместили в банк на 2 года. Определить сумму начисленных процентов при простой и сложной схемах их начисления, если банк предлагает 9 % годовых.

Задача 2

Создается фонд денежных средств путем внесения на депозит по 150 000 в конце каждого года. Банк платит 8 % годовых. Проценты начисляются по кварталам по схеме сложных процентов. Определить сумму фонда к концу 5 лет.

Задача 3

Вклад в размере 250 000 рублей поместили в банк на 3 года. Определить срок в годах за который вкладчик при 11 % ставке сможет получить проценты в сумме 70 000 рублей.

Задача 4

Вклад в размере 120 000 руб. помещен в банк на 1,5 года, ставка процентов 15 % годовых. Определить:

1. сумму начисленных процентов и наращенную сумму при простых процентах

2. сумму начисленных процентов и наращенную сумму при сложных процентах.

Задача 5

Вклад в размере 150 000 рублей помещен в банк на два года с полугодовым начислением процентов. Сложная годовая процентная ставка 12 %.

1. Определить сумму к концу периода

2. Изобразить схему возрастания капитала.

Задача 6

Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на условиях: в первые шесть лет по 40 тыс. руб., а оставшиеся шесть года по 45 тыс. руб.

Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 20 %.

Для решения задачи рассмотреть исходный денежный поток в двух вариантах:

1. как сумма двух аннуитетов: первый имеет А=40 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй имеет А=5 тыс. руб. и продолжается шесть лет;

2. как разность двух аннуитетов: первый имеет А=45 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй А= 5 тыс. руб. и, начавшись в первом году, заканчивается в четвертом.

Вариант 7

Задача 1

Вклад в размере 250 000 рублей поместили в банк на 3 года. Определить сумму начисленных процентов при простой и сложной схемах их начисления, если банк предлагает 11 % годовых.

Задача 2

Вклад в размере 250 000 рублей помещен в банк на три года с ежекватальным начислением процентов. Сложная годовая процентная ставка 10 %.

1. Определить сумму к концу периода

2. Изобразить схему возрастания капитала

Задача 3

Создается фонд на основе ежегодных отчислений в сумме 80 000 рублей с начислением 12 % годовых по сложной схеме. Определить сумму фонда через пять лет, если денежные взносы осуществляются:

1. постнумерандо

2. пренумерандо.

Задача 4

Суммы в размерах 10, 15, 15 млн. руб. должны быть выплачены соответственно через 60, 90, 180 дней. Принято решение заменить их одним платежом 60 млн. руб. Найти срок консолидированного платежа, если используемая в расчетах процентная ставка 12 % годовых (простые проценты).

Задача 5

Исходная инвестиция составляет 200 000 рублей. Чистые денежные поступления от исходной инвестиции годам прогнозируются в следующих объемах: 1-ый год - 125 000 рублей, 2-ой год - 50 000 рублей, 3-ий год - 85 000 рублей, 4-ый год - 230 000 рублей.

Рассчитать приведенную стоимость проекта, если: Стоимость капитала 25 % (сложные проценты)

Сделать выводы о выгодности инвестиции.

Задача 6

Вам предложено инвестировать 200 тыс. рублей на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями в начале года по 40 тыс. руб. по истечении пяти лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 70 тыс. руб.

Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 9 % годовых?

Вариант 8

Задача 1

Вклад в размере 350 000 рублей поместили в банк на 2,5 года. Определить сумму начисленных процентов при простой и сложной схемах их начисления, если банк предлагает 9 % годовых.

Задача 2

Вклад в размере 55 000 рублей помещен в банк. Ставка банковских процентов в первые 3 месяца составляет 12 % годовых, а затем происходит их понижение до 9 %. Общий срок хранения вклада 1 год. Определить сумму начисленных процентов, если используются:

А) простые проценты

Б) сложные проценты

Задача 3

Два платежа со сроком уплаты через 180 и 250 дней и суммами 135 000 и 140 000 рублей соответственно заменяются одним платежом со сроком уплаты через 300 дней.

Определить сумму консолидированного платежа при:

А) простой ставке 11 %

Б) слож...