Грошові потоки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Грошові потоки



1. Загальне ознайомлення

ануїтет обліковий грошовий

Надходження та/або виплата грошових сум різними або рівними сумами впродовж обумовлених проміжків часу називається грошовим потоком. Проміжок часу, в межах якого відбувається надходження та/або виток грошових сум, має назву «період надходження» (внесення, вкладення, зняття тощо). Грошовий потік має свою вартість у часі, тобто вартість грошового потоку в кінці строку (FV) і вартість грошового потоку на початку строку (PV) мають певну грошову визначеність.

Модельна задача 5

У таблиці 1 надано такий грошовий потік.

Таблиця 1

Рік	1	2	3	4	5
Сума грошових одиниць	100	200	300	300	400

Зазначені суми - 100, 200, 300, 300, 400 грошових одиниць - надходять, наприклад, на депозитний рахунок, кожна у відповідному році. Розрахувати для даного потоку показники FV та PV для двох випадків: а) потік має місце на початку кожного року при і = 12 %; б) потік має місце наприкінці кожного року при і = 15 % .

Стратегія розв'язання модельної задачі 5

При розрахунку вартостей FV або PV грошового потоку запам'ятайте таке: РОЗРАХУНОК FV або PV ПРОВОДИТЬСЯ ДЛЯ КОЖНОЇ СУМИ ВКЛАДУ, ТОБТО ДЛЯ КОЖНОЇ ІЗ ВКЛАДЕНИХ СУМ ГРОШОВИХ ОДИНИЦЬ - ОКРЕМО.

Якщо Ви визначаєте FV наданого в задачі грошового потоку, то спочатку знаходите FV для суми (для вкладу) 100 грош. од., потім FV для суми (для вкладу) 200 грош. од., потім для суми (для вкладу) 300 грош. од. та далі для кожної із сум грошового потоку. Аналогічним чином розраховується і показник PV грошового потоку. Спочатку знаходите PV для суми 100 грош. од., потім PV для суми 200 грош. од. і так далі PV для інших сум грош. од.

РОЗРАХОВАНІ ОКРЕМІ ВАРТОСТІ FV АБО PV кожної із сум грошових одиниць (кожного вкладу), що входять у грошовий потік, ПІДСУМОВУЮТЬСЯ.

Розв'язання модельної задачі 5

Випадок а) - потік має місце на початку року.

Випадок а) можна відобразити рисунком (рис. 1):

Рисунок 1 - Потік має місце на початку року

На рис. 1 точка 0 позначає початок першого року. Точка 1 позначає кінець 1-го року й початок 2-го року. Точка 2 означає кінець 2-го року й початок 3-го року і так далі. Сума 100 грош. од. надійшла на рахунок на початку 1-го року, сума 200 грош. од. - на початку 2-го року. Наступні суми - на початку кожного з відповідних років. У цьому й полягає суть фрази «потік має місце на початку року». Відповідно до умови задачі процентна ставка і річна та дорівнює 12 %. Нарахування процентів складне (за неоголошеним правилом). Період нарахування (за неоголошеним правилом) - 1 рік (щорічне нарахування процентів).

Майбутня вартість FV цього грошового потоку дорівнює сумі майбутніх вартостей кожного з вкладів (у грошових одиницях):

FV = 100·(1+0,12) ⁵ + 200·(1+0,12) ⁴ + 300·(1+0,12) ³ +

+ 300·(1+0,12) ² + 400·(1+0,12) ¹ = 1736,74 (грош. од.).

Поточна, теперішня вартість, PV грошового потоку дорівнює сумі поточних вартостей кожного з вкладів (у грошових одиницях):

.

Випадок б) - потік має місце наприкінці року.

Випадок б) можна відобразити рисунком (рис. 2):

Рисунок 2 - Потік має місце в кінці року

На рис. 2 точка 0 позначає початок першого року. Точка 1 позначає кінець 1-го року й початок 2-го року. Точка 2 позначає кінець 2-го року й початок 3-го року й тощо. Сума 100 грош. од. надійшла на рахунок наприкінці 1-го року, сума 200 грош. од. - наприкінці 2-го року. Наступні суми - наприкінці кожного з відповідних років. У цьому і є суть фрази «потік має місце наприкінці року». Відповідно до умови задачі процентна ставка і річна та дорівнює 15 %. Нарахування процентів складне. Період нарахування - 1 рік.

Як уже зазначалося, майбутня вартість FV цього грошового потоку дорівнює сумі майбутніх вартостей кожного з вкладів (у грошових одиницях):

FV = 100·(1+0,15) ⁴ + 200·(1+0,15) ³ + 300·(1+0,15) ² +

+ 300·(1+0,15) ¹ + 400·(1+0,15) ⁰ = 1597,63 (грош. од).

Поточна вартість PV цього грошового потоку дорівнює сумі поточних вартостей кожного з вкладів (у грошових одиницях):

Відповідь: якщо потік має місце на початку року (випадок а), FV = 1736,74 грош. од., PV = 985,51 грош. од.; якщо потік має місце наприкінці року (випадок б), FV =1597,63 грош. од., PV = 805,84 грош. од.



2. Основні визначення теорії грошових потоків

Одним із основних напрямків фінансових розрахунків є оцінка грошового потоку (cash flow, cash of payments, cash flows stream).

Грошовий потік, його ще називають потоком платежів, - це послідовність, ряд грошових надходжень та/або видатків визначеного розміру у зазначені моменти часу, у які їх здійснюють.

Визначення фінансової термінології

У фінансах до цього часу не існує однозначності при визначенні термінів «фінансова рента» та «ануїтет». Навіть слово «ануїтет» українською мовою пишуть подвійно: у Бакаєва [1], Долінського [6] та інших - «ануїтет», у Машиної [9] та інших - «аннуітет», або «ануітет». Звісно, це питання філології, а ми повернемося до проблеми фінансової визначеності термінів «фінансова рента» та «ануїтет».

У Четиркіна [15, с. 94-95] читаємо: «Поток платежей, все члены которого - положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой, или просто рентой (rent). … Иногда … поток платежей называют аннуитетом (annuity), что, строго говоря, применимо только к ежегодным выплатам.» Такої ж думки дотримується Долінський [6, с. 31-32]. «Фінансова рента - потік послідовних додатних платежів, здійснюваних через однакові проміжки часу». «Річну ренту (ренту, за якою платежі здійснюють щорічно) ще називають ануїтетом. У деяких економічних виданнях терміни «рента» та «ануїтет» використовують як синоніми. Проте між цими дуже близькими за змістом поняттями існує одна відмінність, оскільки ануїтет - завжди річний платіж». У наданих визначеннях розмір платежів не оговорюється, оговорюються тільки проміжки часу між платежами, які «однакові».

Інша точка зору: «фінансова рента» та «ануїтет» - терміни-синоніми. Ковальов, Уланов [7, с. 187] пояснюють так: «Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета (annuity). Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, а именно - это поток, в котором длительности всех периодов равны между собой. … Исторически вначале рассматривались ежегодные (период равен одному году) денежные поступления, что послужило основой для названия «аннуитет» (так как год на латинском языке - anno). В дальнейшем, в качестве периода стал выступать любой промежуток времени при сохранении прежнего названия. Аннуитет ещё называют финансовой рентой, или просто рентой». Також, що «фінансова рента» та «ануїтет» терміни-синоніми, вважає і Кутуков [8, с. 59]: «Наиболее простой пример потока платежей - финансовая рента. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом (от annuity - ежегодный) вне зависимости от происхождения этих платежей, их назначения и целей». Н. І. Машина визначає [9, с. 52]: «Регулярні потоки (потоки називаються регулярними, якщо надходження коштів відбуваються через рівні проміжки часу) називаються … рентами, або аннуітетами».

Звертаємо увагу, що у попередніх визначеннях (Четиркіна, Долінського, Ковальова, Уланова, Кутукова, Машиної) спільним є подання визначень, в яких за основу береться рівність проміжків часу між вкладами або виплатами.

Медведєв взагалі термін «рента» не вживає. У нього при розгляді грошових потоків фігурує лише термін «аннуитет - російською». Медведєв [10, с. 57] дає таке визначення: «Аннуитет - это последовательность периодических платежей, обычно одинаковых (сделанных через одинаковые промежутки времени). Первоначально слово «аннуитет» относилось только к ежегодным платежам, но современное использование этого термина может предусматривать и интервалы платежа любой продолжительности». Але у наведеному визначенні за основу береться не рівність проміжків часу між послідовністю періодичних платежів, а «…послідовність періодичних платежів, зазвичай однакових…», тобто термін «ануїтет», за Медведєвим, - в першу чергу характеристика платежів, а уже в другу чергу - часових інтервалів між платежами. У даному випадку Медведєв абсолютно правий.

Коли давали версію визначеності терміна «ануїтет» із використанням латиномовного значення цього терміна, звернули увагу на першу частину, яка, дійсно, означає «рік». Але термін «ануїтет» не означає в першу чергу часову характеристику. У першу чергу це платежі, внески, грошові суми тобто - це виплати за 1 рік, річні внески. Якщо брати мовне латинське тлумачення найбільш близьким до терміна «ануїтет», є латинське слово «annuum», у множині «annua», які означають річне(і) грошове(і) забезпечення, річне(і) грошове(і) утримання тощо.

Отже, відносно грошового потоку, термін «ануїтет» означає перш за все суми грошей (надходження або виплати), і саме рівні суми грошей (рівні суми надходжень або виплат), і разом із тим передбачає рівні періоди вкладання між надходженнями або рівні періоди між виплатами.

Якщо взяти до уваги доводи, наведені у попередньому матеріалі за рубрикою «Визначення фінансової термінології», то зрозумілими і термінологічно обґрунтованими є такі визначення.

Грошовий потік, його ще називають потоком платежів, - це послідовність, це ряд різних за сумами грошових надходжень та/або витрат у будь-які зазначені моменти часу, у які їх здійснюють, тобто проміжки часу між надходженнями (витратами), не рівні між собою.

Таке визначення є загальним для потоку грошей, потоку платежів. Через загальне визначення одержуємо інші визначення.

Фінансова рента, або рента, - це грошовий потік (потік платежів), в якому часові проміжки між вкладами (виплатами) рівні між собою, а суми вкладів (виплат) різні.

Ануїтет - це фінансова рента, в якій суми вкладів (виплат) рівні між собою.

Визначення ануїтету можна зробити не через визначення ренти, а через загальне визначення грошового потоку (потоку платежів).

Ануїтет - це грошовий потік (потік платежів), в якому часові проміжки між вкладами (виплатами) рівні між собою і суми вкладів (виплат) рівні між собою та ще й здійснюються всі в одному напрямку, або як внески (вклади), або як видатки (виплати, витоки).

Запропоноване вище розмежування та зв'язок у визначеннях термінів «грошовий потік», «фінансова рента» та «ануїтет» наведено вперше. Використовуючи ці визначення, стає зрозумілим, в яких випадках у сучасній науковій та навчальній літературі терміни «фінансова рента» та «ануїтет» є синонімами по суті, а в яких випадках вони відрізняються. За визначенням, ануїтет є окремим (часним) випадком фінансової ренти, яка, в свою чергу, є часним (окремим) варіантом більш загального за визначенням грошового потоку. У визначенні Бакаєва [1, с. 18] маємо: «Ряд послідовних фіксованих платежів, здійснюваних через рівні проміжки часу, називають фінансовою рентою або ануїтетом». У цьому визначенні звернемо увагу на слово - «… фіксованих …». Отже, якщо розуміти фразу: «Ряд послідовних фіксованих платежів…» так: «Ряд послідовних рівних між собою (однакових) платежів…», то це визначення ануїтету. Якщо розуміти фразу: «Ряд послідовних фіксованих платежів…» по-іншому, а саме: «Ряд послідовних не рівних між собою (неоднакових) платежів…», проте фіксованих певними умовами, то це визначення фінансової ренти. Зазначене визначення Бакаєва є не однозначним стосовно розміру платежів і тому сполучник «або» є доречним. Але далі за текстом у Бакаєва мова йде лише про ануїтети.

Повертаючись до модельної задачі 5, можемо констатувати, що це грошовий потік у вигляді фінансової ренти тому, що часові проміжки між вкладами рівні між собою, а суми вкладів - різні.

Загалом у фінансах прийняті такі терміни. Якщо надходження здійснюються на початку періодів, то потік називається авансовим потоком, або ПОТОКОМ (рентою) ПРЕНУМЕРАНДО (prenumerando) - випадок а) у модель-ній задачі 5, якщо наприкінці періодів - звичайним потоком або ПОТОКОМ (рентою) ПОСТНУМЕРАНДО (postnumerando) - випадок б) у модельній задачі 5. Якщо в грошовому потоці всі надходження рівні й надходять через рівні проміжки часу, то такий грошовий потік називається - АНУІТЕТОМ або АНУЇТЕТОМ. Звичайно, ануїтет відповідно до часу надходження вкладу може бути АНУЇТЕТОМ ПРЕНУМЕРАНДО (авансовим), (annuity due) або АНУЇТЕТОМ ПОСТНУМЕРАНДО (звичайним), (ordinary annuity).

Якщо строк дії ануїтету обмежений, ануїтет називається строковим, якщо надходження здійснюються невизначено довго, ануїтет називається безстроковим, або ПЕРПЕТУЇТЕТОМ (perpetuity). Знаючи нову фінансову термінологію, сформулюємо наступну задачу «по-новому».

Приклад 1

Задача

Дано ануїтет пренумерандо. Внески - 500 грн. Періодичність надходження внесків - кожні півроку. Строк - 3 роки. Процентна ставка - 20 %. Визначити вартість внесків у кінці 3-го року.

Стратегія розв'язання

За умовою задачі внесків по 500 грн - 6 (надходження кожні півроку впродовж 3 років). Кожні 500 грн вносили на початку відповідного півріччя.

Механізм вкладання подано на рис. 3. Процентна ставка - річна. Нарахування процентів - щороку.

Розв'язання задачі

FV = 500·(1+0,2)³ + 500·(1+0,2)^2,5 + 500·(1+0,2)² +

+500·(1+0,2)^1,5+500·(1+0,2)¹+ 500·(1+0,2)^0,5=500·(1+0,2)³ +

+500·(1+0,2)²·(1+0,2·0,5)+500·(1+0,2)²+500·(1+0,2)¹

·(1+0,2·0,5)+500·(1+0,2)¹+500·(1+0,2)⁰·(1+0,2·0,5)=4186грн.

Відповідь: майбутня вартість ануїтету пренумерандо 500 грн, вкладених кожні півроку впродовж 3 років при ставці 20 %, дорівнює 4186 грн.

ЗАПАМ'ЯТАЙТЕ: в задачі прикладу 1 надход-ження внесків - КОЖНІ ПІВРОКУ, а нарахування процентів - ЩОРОКУ. Будь ласка, надалі, не плутайте вирази: ПЕРІОД НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ та ПЕРІОД ВКЛАДАННЯ ВНЕСКІВ.

Розрахунок показників FV і PV грошових потоків, у тому числі фінансової ренти й ануїтетів, проводиться за формулами, що мать загальний характер:

, (1)

, (2)

де PV_t - сума надходження або видатку (вкладання на рахунок або вилучення з рахунку) t - го надходження (вилучення);

FV_t - сума надходження або видатку (вкладання на рахунок або вилучення з рахунку) t - го надходження (вилучення);

t - порядковий номер надходження (вилучення) грошової суми PV_t або FV_t грошового потоку;

i - процентна ставка у кожному з періодів нарахування процентів n_t;

n_t - кількість періодів нарахування процентів, у кожному з яких процентна ставка дорівнює i для відповідного PV_t або FV_t .

ЗАПАМ'ЯТАЙТЕ: у формулах (1) і (2) ЗНАК СУМИ У МАЄ АЛГЕБРАЇЧНЕ ЗНАЧЕННЯ, тобто якщо внески, надходження, взяти зі знаком «+», то вилучення, зняття, береться зі знаком «-».

Уявлення про грошові потоки в їх різноманітності дають їх описання та класифікація. За основу опису та класифікації візьмемо класифікацію Долінського [6, с. 32-33] з деякими нашими змінами та доповненнями.

Кожний грошовий потік описується такими параметрами:

- членом грошового потоку - величиною кожного окремого платежу;

- періодом грошового потоку - проміжком часу між двома послідовними платежами;

- строком грошового потоку - часом від початку першого періоду грошового потоку до кінця останнього періоду;

- ставкою процента (ставкою дохідності) - використовується у разі нарощення або дисконтування платежів, з яких складається грошовий потік;

- механізмом нарахування процентів (простий, складний чи безперервний).

Для окремих видів грошових потоків розраховуються або зазначаються додаткові параметри:

- кількість платежів у році;

- частота нарахування процентів тощо.

Класифікацію видів грошових потоків наведено в табл. 1.

Таблиця 1 - Класифікація грошових потоків

Ознака класифікації	Вид грошового потоку
Періодичність платежів	Річні (платіж один раз за рік); р-термінові (р платежів за рік)
Частота платежів	Дискретні; безперервні
Проміжки між платежами (для дискретних платежів)	Рівні між собою (регулярні) - це ознака як для ренти, так і для ануїтету; не рівні між собою (нерегулярні)
Величина членів грошового потоку	Постійні (з однаковими членами) - це одна з ознак ануїтету; змінні (з різними членами) - це одна з ознак фінансової ренти
Кількість членів, платежів	Обмежені (з кінцевою кількістю членів, платежів); необмежені (вічні)
Обов'язковість платежу	Умовні (кількість членів наперед не відома, оплачуються згідно з умовою); безумовні, правильні (обов'язково оплачуються)
Момент платежу	Звичайні - постнумерандо (платежі в кінці періодів платежів); авансові - пренумерандо (платежі на початку періодів платежів)

Узагальнювальні показники для будь-яких видів грошових потоків - це нарощена (майбутня) вартість і теперішня (поточна) величина грошового потоку.

Нарощена сума грошового потоку (FV) - це сума всіх членів грошового потоку з нарахованими на них процентами на кінець строку.

Теперішня величина грошового потоку (PV) - це сума всіх членів грошового потоку, продисконтованих на початку його строку. Цю величину можуть називати капіталізованою ціною ренти (ануїтету).

Крім зазначених показників, розглянемо методи розрахунку строку потоку і розміру періодичного платежу.

Надалі будемо користуватися позначками:

Р - сума платежу, внеску, плати, сума надходжень або виплат (від англ. pay, payment);

Т - строк грошового потоку;

k - кількість платежів (виплат) Р упродовж строку Т;

р - кількість платежів Р у році;

і - процентна ставка;

d - облікова ставка;

n - кількість періодів нарахування (дисконтування) процентів;

m - кількість нарахувань (дисконтувань) процентів у році;

N - кількість років.

У навчальній літературі, в якій автори розглядають грошові потоки і формулюють їх визначення як фінансову ренту, при виведенні формул розрахунку завжди надають формули розрахунку тільки для ануїтетів. Автори (напри-лад, Четиркін [15], Долінський [6], Мелкумов [11]) в назвах пунктів підручників повідомляють про розрахунок рент, а в тексті пунктів мова йде про ануїтети. Такий факт намагалася пояснити Машина [9, с. 54]: «Вивести зручні формули для розрахунків можна тільки для потоків з постійними членами і конкретними умовами нарахування процентів». Потік «…з постійними членами…» - це одна із ознак ануїтету. Про іншу ознаку ануїтету Машина у наведеному поясненні не згадує, і тому більш повним буде таке пояснення: «Вивести зручні формули для розрахунків можна тільки для потоків із постійними розмірами платежів (виплат) і рівними проміжками часу між ними за наявності інших конкретних умов нарахування процентів». Іншими словами, при розрахунку грошових потоків виводимо формули для ануїтетів.



3. Майбутня та теперішня вартості звичайного ануїтету (ануїтету постнумерандо)

Розрахунки майбутньої та теперішньої вартостей ануїтету, платежі якого здійснюються в кінці періодів платежів, тобто ануїтету постнумерандо, проілюструємо прикладом 2.

Приклад 2

Задача

Дано ануїтет постнумерандо. Внески - 500 грн. Періодичність надходження внесків - кожен рік. Строк - 5 років. Процентна ставка - 20 %. Визначити FV і PV ануїтету постнумерандо.

Стратегія розв'язання

За умовою задачі вкладали 5 разів по 500 грн (вкладання кожен рік впродовж 5 років). Кожні 500 грн вкладали в кінці відповідного року.

Механізм вкладання подано на рис. 4. Процентна ставка - річна. Нарахування процентів - щороку.

Розв'язання задачі

FV = 500·(1+0,2) ⁴ + 500·(1+0,2) ³ + 500·(1+0,2) ² + 500·(1+0,2) ¹ +

+500·(1+0,2) ⁰ = 3720,8 (грн).

.

Відповідь: майбутня вартість ануїтету постнумерандо 500 грн, вкладених кожний рік упродовж 5 років при ставці 20 % дорівнює 3720,8 грн; поточна вартість ануїтету постнумерандо дорівнює 1495,3 грн.

Як бачимо з прикладу 2, при розрахунку майбутньої вартості ануїтету постнумерандо кожний окремий внесок Р «обростає» різними процентами залежно від періоду, в якому він надійшов. На перший внесок нараховуються проценти, і внесок збільшується за коефіцієнтом , наступний внесок «зростає» на , наступний за ним - на і так далі. Останній - на, а за правилами математики будь-яке число у нульовому степені дорівнює одиниці, отже,=1. Розрахунок майбутньої вартості за формулою (12.1) у загальній формі має вигляд:

Винесемо показник Р за дужки, а члени в дужках перепишемо у зворотному порядку:

Вираз у квадратних дужках являє собою геометричну прогресію з першим членом «1» і знаменником .

Додаткова інформація

Геометричною прогресією є послідовність чисел, в якій відношення між наступними та попередніми членами є незмінним. Це незмінне відношення має назву знаменника прогресії. Сума членів геометричної прогресії розраховується за формулою

(3)

де а₁ - перший член прогресії;

q - знаменник прогресії;

k - кількість членів прогресії.

Тоді суму членів ряду, що в квадратних дужках, записуємо так:

Цей показник є коефіцієнтом нарощення ануїтету постнумерандо (звичайного ануїтету). Він показує, у скільки разів нарощена сума (майбутня вартість) більша за перший член ануїтету.

3.1 Період внесення платежів співпадає з періодом нарахування процентів

Беручи до уваги попередні міркування, формула розрахунку майбутньої вартості звичайного ануїтету (ануїтету постнумерандо - позначки a і pst) є такою:

(4)

Проведення подібних перетворень для розрахунку поточної вартості (за прикладом 2 та із застосуванням формули (2)) дає формулу розрахунку теперішньої вартості звичайного ануїтету (ануїтету постнумерандо):

(5)

Нагадаємо, що знак «мінус» при показнику степеня означає що це дріб, в чисельнику якого - одиниця, а в знаменнику - число в даному степені, але вже без знака «мінус». Запишемо формулу (5) без знака «мінус» в степені, позначимо її через (5*) та зауважимо, що формули (5) та (5*) - абсолютно ідентичні:

(5*)

Формули (4) та (5) можуть бути записані з використанням позначки N:

(4*)

(5**)

Зрозуміло, що у разі k = N, формули (4) та (4*) по суті не відрізняються, як не відрізняються формули (5), (5*) та (5**). Згадка про таку однозначність потрібна тому, що в розрахунках існують різні форми запису.

Перевіримо використання формул (4) та (5) їх застосуванням в задачі прикладу 2.

Приклад 2 (продовження)

Задача

Ця задача в позначках може мати такий запис. Дано ануїтет постнумерандо. Р = 500 грн, Т = 5 років, k = 5, i = 20 %. Визначити FV і PV ануїтету постнумерандо .

Розв'язання задачі

Для розрахунку майбутньої вартості звичайного ануїтету (ануїтету постнумерандо) застосовуємо формулу (4):

Для розрахунку поточної вартості звичайного ануїтету (ануїтету постнумерандо) застосовуємо формулу (5) у записі (5*):

Приклад 2 показує що розрахунки за формулами (1), (2) та формулами (4), (5) дають один і той самий результат, але формули (1), (2) можуть застосовуватися для будь-якого грошового потоку, а формули (4), (5) - тільки для ануїтетів.

У формул (4), (5) є ще одне суттєве обмеження. Ці формули використовуються тільки тоді, коли період нарахування процентів збігається з періодом внесення платежів. Іншими словами, якщо платежі один раз на рік і нарахування річне; якщо платежі кожного півріччя і нарахування процентів за півріччями; якщо платежі щоквартальні і нарахування процентів щоквартальне і т. д., то тільки в таких випадках формули (4) та (5) дадуть правильний результат.

3.2 Внесення платежів один раз на рік із m-разовим нарахуванням процентів у році

Розрахунок річного ануїтету постнумерандо з m-разовим нарахуванням процентів у році. У цьому випадку нарахування процентів у кожному з періодів нарахування процентів буде проводитися за ставкою i/m, де і - номінальна (річна) процентна ставка. Нарахування процентів - складне. Розрахунок нарощеної суми буде виконуватися за формулою

(6)

Розрахунок суми поточної вартості виконується за формулою

(7)

Формули (6), (7) можуть мати інший вигляд, якщо взяти до уваги, що N·m=k.

3.3 Внесення платежів р разів за рік із нарахуванням процентів один раз на рік

Розрахунок р-термінового (р-строкового, р-разового) ануїтету постнумерандо при нарахуванні складних процентів олин раз на рік (m = 1):

(8)

(9)

3.4 Внесення платежів р разів на рік із m-разовим нарахуванням процентів у році

Розрахунок р-разового ануїтету постнумерандо при нарахуванні складних процентів m-разів на рік за умови, що :

(10)

(11)

Якщо m=р, використовувати формули (4), (5) .



4. Майбутня та теперішня вартості авансового ануїтету (ануїтету пренумерандо)

4.1 Період внесення платежів збігається з періодом нарахування процентів

Якщо задано ануїтет пренумерандо, тобто платежі здійснюються на початку кожного періоду, то число нарахування процентів буде на один період більше, тому

(12)

(13)

Пам'ятаємо, що замість показника k може бути записаний показник N.

4.2 Внесення платежів один раз на рік із m-разовим нарахуванням процентів у році

Розрахунок річного ануїтету пренумерандо з m-разовим нарахуванням процентів у році. Механізм виникнення формул той самий, тобто число нарахування процентів буде в m разів більше, і тому формули набирать вигляду

(14)

Розрахунок суми поточної вартості виконується за формулою

(15)

Нагадуємо, замість показника N·m може бути показник k.

4.3 Внесення платежів р разів за рік із нарахуванням процентів один раз на рік

Розрахунок р-разового ануїтету пренумерандо при нарахуванні складних процентів один раз на рік (m = 1):

(16)

(17)

4.4 Внесення платежів р разів на рік із m-разовим нарахуванням процентів у році

Розрахунок р-разового ануїтету пренумерандо при нарахуванні складних процентів m разів на рік за умови, що :

(18)

. (19)

Якщо m = р, використовувати формули (12), (13).



5. Майбутня та теперішня вартості звичайного ануїтету (ануїтету постнумерандо) при використанні облікової ставки

Формули (4) - (19) дають можливість оціню-вати ануїтети постнумерандо та пренумерандо, в яких використовується процентна ставка, або, що одне й те саме, ануїтети, до яких застосовується декурсивне нарахування процентів. Тепер розглянемо антисипативне нарахування процентів.

5.1 Період платежів збігається з періодом дисконтування процентів

При антисипативному методі нарахування процентів, що передбачає використання облікової ставки d, та за складної схеми нарахування процентів, грошовий потік (при m = 1, p = 1) при його розміщенні в числовий ряд, починаючи з останнього грошового надходження, має вигляд

і тому, застосовуючи формулу (3), маємо

(20)

а застосовуючи формулу (4.5), маємо

(21)



Формули, за якими розраховуються інші види ануїтетів при антисипативному методі нарахування процентів, визначаються аналогічним способом.



6. Майбутня та теперішня вартості авансового ануїтету (ануїтету пренумерандо) при використанні облікової ставки

У разі антисипативного нарахування процентів формули для розрахунку ануїтетів пренумерандо визначаються таким же чином, як і формули авансового ануїтету (ануїтету пренумерандо) при використанні процентної ставки (див. підрозділ 4). Тобто суми таперемножуються на відповідний множник. Цей множник є знаменником геометричної прогресії відповідного ануїтету. Наприклад, для формул (20), (21) множником є знаменник геометричної прогресії. Отже, формули розрахунку ануїтетів пренумерандо є такими:

(22)

(23)



7. Розрахунки ануїтетів при механізмі простого нарахування процентів

При розрахунках ануїтетів на практиці частіше використовують механізм складного нарахування процентів. Але існують ануїтети з використанням механізму простого нарахування процентів. Розглянемо формули розрахунку нарощеної суми та поточної вартості в таких ануїтетах.

Розглянемо випадок, коли внески здійснюються один раз в кінці року (потік постнумерандо), нарахування процентів - річне. У цьому випадку майбутня вартість такого ануїтету складається із суми річних внесків, кожний з яких (кожний із внесків - Р) збільшується на відповідну йому суму простих процентів, що на нього нараховуються. Перший внесок Р збільшується на коефіцієнт [1+(k1)·i], де k - кількість внесків Р упродовж строку дії ануїтету. Другий внесок Р збільшується на коефіцієнт [1+(k2)·i], третій - на [1+(k3)·i] і так до розрахунку внеску Р, при якому коефіцієнт стане таким: [1+(kk)·i], тобто коефіцієнт стає таким, що дорівнює одиниці, і це означає, що на останній внесок Р проценти не нараховуються.

Запишемо послідовно внески наведеного ануїтету разом із відповідними кожному з них коефіцієнтами нарощення і можемо констатувати, що це арифметична регресія, або арифметична прогресія, за умови роз-міщення внесків із коефіцієнтами у зворотному порядку.

Додаткова інформація

Арифметичною прогресією є послідовність чисел, в якій різниця між наступними та попередніми членами є незмінною. Ця незмінна різниця має назву різниці прогресії. Сума k членів арифметичної прогресії розраховується за формулою

(24)



де - перший член прогресії;

- останній член прогресії;

k - кількість членів прогресії.

Також суму k членів арифметичної прогресії можна розрахувати за формулою

(25)

де d - різниця прогресії; якщо відомі два члени арифметичної прогресії, що стоять поряд, то.

Тоді сума членів ряду платежів річного ануїтету постнумерандо розраховується за допомогою формули суми членів арифметичної прогресії (формула 24) де першим членом прогресії є Р, а останній член прогресії дорівнює Р·[1+ (k1)·i]. Отже, майбутня вартість простого річного ануїтету постнумерандо розраховується за формулою:

(26)

Поточна (приведена) вартість простого річного ануїтету постнумерандо не є арифметичною прогресією, тому не може бути виведеною у вигляді компактної формули, подібної до розрахунку (формула 26). Також приведена вартість простого річного ануїтету постнумерандо не є також і геометричною прогресією. Приведена вартість простого річного ануїтету постнумерандо, так само, як і пренумерандо, може бути розрахована за загальною формулою розрахунку (див. формулу 28).

У зв'язку з тим, що формула 26 «спрацьовує» в умовах, за яких кількість внесків (платежів) збігається з кількістю років, тобто k = N, то вона може мати і такий запис:

. (26*)

Цілком можливим є варіант розрахунку ануїтетів, що застосовують механізм простого нарахування процентів, за загальними формулами розрахунку показників FV і PV грошових потоків:

, (27)

. (28)

При внесенні платежів р разів за рік (потік постнумерандо) з нарахуванням простих процентів один раз на рік нарощена сума ануїтету дорівнює

(29)

Поточна (приведена) вартість простого річного ануїтету постнумерандо при внесенні платежів р разів за рік розраховується за формулою (28), але може бути записана і по-іншому:

(30)

Формули 26 та 29 виведені за допомогою формули 24. Також і будь-які інші варіанти формул розрахунку майбутньої вартості ануїтетів при застосуванні механізму простого нарахування процентів можуть бути виведеними за допомогою формул 24 та 25.



8. Ануїтети з безперервним нарахуванням процентів

Перепишемо у зворотному порядку ряд платежів - ануїтету з нарахованими безперервними процентами. Візьмемо, наприклад, щорічні платежі постнумерандо, які мають вигляд:Майбутня вартість цього ануїтету є сумою членів геометричної прогресії (див. формулу 3) та дорівнює

(31)

де е - основа натуральних логарифмів;

- сила зростання.

Поточна вартість цього ануїтету

(32)

Для р-разового ануїтету

(33)

(34)



9. Змішані ануїтети

У практиці фінансових розрахунків є випадки, коли для p-разових ануїтетів застосовують змішаний метод нарахування процентів. Суть цього методу полягає в тому, що впродовж року на внески нараховуються прості проценти, а за цілі річні періоди - складні проценти. За таких умов розрахунок поділяють на дві частини:

- першу частину - розрахунок показників FV або PV для ануїтетів у межах кожного року проводять за формулами простого нарахування процентів;

- другу частину - знайдені в попередньому розрахунку величини є ануїтетом річних платежів, який розраховують за складним механізмом нарахування процентів.



10. Ануїтети з виплатами в середині періодів

Уже зазначалося раніше, що ануїтет пренумерандо - це грошовий потік, платежі якого мають місце на початку періодів вкладів (періодів платежів). Цілком зрозумілим є твердження, що в ануїтеті пренумерандо кожний внесок (платіж) нарощується (а це і є розрахунок FV), іншими словами, зростає на один період нарахування процентів більше, ніж в ануїтеті постнумерандо. А при розрахунку PV ануїтетів кількість періодів дисконтування в ануїтеті пренумерандо на один період нарахування менша, ніж в ануїтеті постнумерандо. Такий підхід застосовувався у підрозділі 4. Отже, як при розрахунку , так і при розрахункупоказники та перемножу-валися на відповідний коефіцієнт нарощення.

У практиці трапляються ануїтети з вкладами або виплатами в середині періодів вкладів (виплат). Нарощені суми, або теперішні вартості, таких ануїтетів знаходимо шляхом перемноження відповідно розрахованих за схемою постнумерандо FV на множник нарощення за половину періоду нарахування процентів. Так, при розрахунку потрібно спочатку знайти , а потім перемножити його на коефіцієнт нарощення:

- при p = 1, m = 1 коефіцієнт нарощення

- при p >1, m = 1 коефіцієнт нарощення

- при p = 1, m >1 коефіцієнт нарощення

- при p >1, m >1 коефіцієнт нарощення.

Така сама схема розрахунку і для находження. Спочатку знаходимо, а потім перемножуємо його на зазначений вище відповідний коефіцієнт нарощення.



11. Відкладений ануїтет

Розглянемо випадок, коли перший внесок (виплата) починає надходити через h періодів внесення. Початок виплат (внесків) у відкладеного (відстроченого) ануїтету (deferred annuity) переведено у майбутнє відносно певного моменту часу. Наприклад, це може бути погашення заборгованості рівними сумами через деякий обумовлений строк. Звичайно, що наявність проміжку часу, де платежі відсутні, ніяк не впливає на розмір нарощеної суми - FV. По-іншому «поводить себе» сума PV.

Розглянемо дві схеми розрахунку PV відкладеного ануїтету.

Перша схема передбачає застосування загальних формул розрахунку теперішньої вартості грошових потоків (формули 2 та 28). При розрахунку за цими формулами показник h входить у розрахунок так би мовити «автоматично», іншими словами, входить у розрахунок за правилами застосування формул.

Друга схема розрахунку відкладеного ануїтету. Спочатку проводиться розрахунок PV безпосередньо ануїтету (простого чи складного, постнумерандо чи пренумерандо залежно від умов), а потім одержану суму PV дисконтуємо на h періодів дисконтування (внесення) і таким чином одержуємо приведену вартість відкладеного ануїтету.



12. Вічний ануїтет

Вічний ануїтет, безстроковий ануїтет, або - перпетуїтет (від англ. perpetuity), - це ряд платежів, кількість яких не обмежена у часі. Теоретично це виплати (вклади) упродовж безкінечного у часі строку. У практиці фінансів існують випадки, коли строки ануїтетів не оговорено, мається на увазі, що вони дуже великі, і тому вважається, що строк не має кінця, а виплати (вклади) здійснюються безкінечно, або вічно. Прикладами можуть бути виплати процентів за деякими видами облігацій або виплати дивідендів за привілейованими акціями.

Цілком правильним є твердження, що (FV) нарощена сума вічного ануїтету є безкінечно великою величиною, а теперішня вартість вічного ануїтету є конкретною величиною, яка розраховується дуже просто.

Якщо брати формулу 5:

(5)

в якій k >, то теперішня вартість вічного ануїтету розраховується так:

(35)

Отже, формула розрахунку теперішньої вартості вічного ануїтету має такий вигляд:

(36)

У формулі (36) є дві суттєві особливості.

Перша - ця формула використовується тільки тоді, коли період нарахування процентів збігається з періодом внесення платежів. Іншими словами, якщо платежі один раз на рік і нарахування річне; якщо платежі кожного півріччя і нарахування процентів за півріччями; якщо платежі щоквартальні і нарахування процентів щоквартальне, загалом коли m = p, то тільки в цих випадках формула (36) дає правильний результат.

Друга особливість - показник і є показником процентної ставки в кожному з періодів нарахування, тобто в цій формулі і - не завжди річна ставка, це ставка в кожному з періодів m.

Якщо внесення платежів один раз на рік із m-разовим нарахуванням процентів у році, тобто при p = 1, m > 1, то формула розрахунку теперішньої вартості вічного ануїтету повинна розраховуватися за формулою

(37)

У випадку внесення платежів р разів за рік із нарахуванням процентів один раз на рік (тобто при p > 1, m = 1)

(38)

При внесенні платежів р разів на рік із m-разовим нарахуванням процентів у році (при p >1, m >1, за умови, що )

(39)



Якщо у формулах 37, 38, 39 p = 1 та m = 1, то ці формули перетворюються у формулу 36.



13. Розрахунок строку ануїтету

Строк ануїтету може бути розрахованим із наведених у попередніх підрозділах формул розрахунку нарощеної суми (FV) та теперішньої вартості (PV) шляхом їх перетворення відносно показника N. Нагадуємо, що N - це кількість років, упродовж яких здійснюється ануїтет.

Наприклад, із формули (4*)

(4*) одержуємо

Прологарифмуємо одержаний вираз:

з якого маємо

(40)

Таким же чином одержуємо формулу розрахунку строку ануїтету з використанням теперішньої вартості. Перетворюючи формулу, наприклад (5**), відносно N

(5**)

маємо таку формулу розрахунку строку ануїтету:

(41)

Звертаємо увагу, що формули 40 та 41 «працюють», коли m = p. Нагадуємо: р - кількість платежів Р за рік; m - кількість нарахувань процентів за рік.

У разі p = 1, m > 1

(42)

(43)

Якщо p > 1, m = 1

(44)

(12.45)

За умов p > 1, m = p



(46)

(47)

І за загальних умов, коли p > 1 таформули розрахунку строку ануїтету є такими:

(48)

(49)

Розрахунок строку ануїтету з безперервним нарахуванням процентів здійснюється за формулами:

а) для річного ануїтету (p = 1):

(50)

(51)



б) для ануїтету при p > 1:

(52)

(53)

При розрахунку строку ануїтетів потрібно враховувати декілька важливих зауважень.

По-перше. У разі, коли розрахований показник N має цілу та дробову частини, його треба округлити до найменшого цілого значення. При розрахунку цього показника за формулами при p > 1 округлення до найменшого цілого числа застосовується до показника N ·p , який показує кількість періодів платежів ануїтету.

По-друге. Треба пам'ятати, що у зв'язку з округленням N, (N·p) до зменшеного цілого числа зменшується нарощена сума FV. Таке зменшення потрібно врахувати при розрахунках або компенсувати при підписанні договорів (контрактів).

По-третє. Значення величини N може забезпечити погашення боргу або накопичення певної суми шляхом виплати суми Р при забезпеченні таких умов, а саме необхідне додержання таких нерівностей:

- для (41) P > · i;

- для (43) P >

- для (45) P >

- для (47) P > · i;

- для (49) P >

- для (51) P >

- для (53) P >

Зміна в попередніх нерівностях напрямку знака нерівності на протилежний (наприклад, для (41) P < · i) означає, що нараховані на залишок боргу проценти перевищують розмір Р, і борг у сумі не може бути виплаченим за допомогою ануїтету з виплатою, що дорівнює сумі Р.



14. Розрахунок розміру процентної ставки

Розмір процентної ставки ануїтету неможливо алгебраїчними перетвореннями знайти з формул 4 та 5:

так само як і з формул 6 - Алгебраїчного розв'язання цих рівнянь відносно процентної ставки «і» немає. Для визначення процентної ставки «і» за відомими параметрами ануїтету (P, n, N, k, p, m) існує ряд математичних методів. Частіше за все використовують метод лінійної інтерполяції. Латинське слово interpolare в перекладі означає «вставлене в середину». У математиці інтерполяцією називають такий метод, за допомогою якого між двома відомими числовими даними функції розраховується той третій показник, який необхідно визначити. За цим методом базовим показником при визначенні «і» є відношення /Р, що є коефіцієнтом нарощення за ставкою «і», який позначається (про коефіцієнти нарощення вже йшла мова, див. пояснення до формул 2.11 та 2.3), або / Р, що є коефіцієнтом приведення за ставкою «і», який позначимо Отже, формули 4 та 5 можемо записати в такому формалізованому вигляді:

Для визначення «і» застосовується така інтерполяційна формула:



(54)

або, що одне й те саме, але вже для :

(54*)

де - нижнє значення процентної ставки, розмір якої береться за припущенням (індекс l походить від англ. lower rate - нижня ставка);

- верхнє значення процентної ставки, розмір якої береться за припущенням (індекс u походить від англ. upper rate - верхня ставка);

- значення коефіцієнта нарощення (приведення) при використанні процентної ставки ;

- значення коефіцієнта нарощення (приведення) при використанні процентної ставки .

Приклад 3

Задача

Упродовж шести років передбачається створити резервний фонд у розмірі 30 млн грн, для чого будуть робитися щорічні внески в банк у розмірі 4 млн грн. Знайти значення процентної ставки за умови, що внески та нарахування процентів на них здійснюються в кінці кожного року.

Підготовчий аналіз перед розв'язуванням задачі

За умов задачі - це річний ануїтет постнумерандо, який має такі параметри: = 30 млн грн; Р = 4 млн грн; N = k = 6 (років = внесків); знайти «і» - ?

Знаходимо коефіцієнт нарощення за ставкою «і»:

Далі проведемо розрахунки коефіцієнтів нарощення за будь-якими, вільно нами обраними, показниками «і» та запишемо результати розрахунку в таблицю 2:

Таблиця 2 - Розрахунок коефіцієнта нарощення за вільно обраними показниками «і»

Процентна ставка «і»	Коефіцієнт нарощення
7 %	7,1533
8 %	7,3359
9 %	7,5233
10 %	7,7156
11 %	7,9129

За даними таблиці 2 знаходимо два найближчих до = 7,5000 значення коефіцієнтів нарощення. У нашому випадку це= 7,3359 та= 7,5233 тому, що має місце нерівність 7,3359 < 7,5000 < 7,5233.

Отже, розміри найменшої та найбільшої процентних ставок дорівнюють:= 8 %, = 9 %. Далі проводиться розв'язування задачі.

Розв'язування задачі

Підставляємо дані в (12.55) та виконуємо розрахунок:

Округлений результат дорівнює і = 8,88 %.

Проведемо перевірку:

Відповідь: для того щоб через 6 років мати на рахунку 30 млн грн при внесенні щорічно в банк по 4 млн грн необхідно мати процентну ставку не нижче 8,88 %.

Взагалі при проведенні практичних розрахунків із метою одержання розміру процентної ставки будь-якого ануїтету можна не застосовувати формулу 54, а виконати розрахунки методом підбору, який передбачає підстановку різних розмірів процентних ставок до такого розрахунку, коли коефіцієнт нарощення (приведення) не буде заданого розміру.



Список літератури

1. Бакаєв Л. О. Кількісні методи в управлінні інвестиціями : навч. посіб. / Л. О. Бакаєв. - К. : КНЕУ, 2000. - 151 с.

2. Бланк И. А. Основы финансового менеджмента : в 2 т. / И. А. Бланк. - 3-е изд. - К. : Эльга; Ника-Центр, 2007. - Т. 1.- 624 с.

3. Гриценко Олена. Гроші та грошово-кредитна політика : навч. посіб. / Олена Гриценко. - К. : Основи, 1997. - 180 с.

4. Гроші та кредит : навч. посіб. / С. Б. Ільїна, В. П. Шило, В. І. Кисла, Н. І. Шрамкова. - К. : «ВД «Професіонал», 2007. - 368 с.

5. Гроші та кредит : підручник / М. І. Савлук, А. М. Мороз, І. М. Лазепко та ін. ; за заг. ред. М. І. Савлука. - 4-те вид., перероб. і доп. - К. : КНЕУ, 2006. - 744 с.

6. Долінський Л. Б. Фінансові обчислення та аналіз цінних паперів : навч. посіб. / Л. Б. Долінський. - К. : Майстер-клас, 2005. - 192 с.

7. Ковалёв В. В. Курс финансовых вичислений / В. В. Ковалёв, В. А. Уланов. - М. : Финансы и статистика, 1999. - 328 с.

8. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики: методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем / В. В. Кутуков. - М. : Дело, 1998. - 304 с.

9. Машина Н. І. Вищі фінансові обчислення : навч. посіб. / Н. І. Машина. - К. : Центр навчальної літератури, 2003. - 208 с.

10. Медведев Г. А. Начальный курс финансовой математики : учеб. пособие / Г. А. Медведев. - М. : ТОО «Острожье», 2000. - 267 с.

Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика : учебно-справочное пособие / Я. С. Мелкумов. - М. : ИНФРА-М, 2002. - 383 с.

12. Михайловська І. М. Гроші та кредит: практикум : навч. посіб. / І. М. Михайловська, К. Л. Ларіонова. - Львів : Новий Світ - 2000, 2008. - 312 с.

13. Семко Т. В. Гроші та кредит у схемах і таблицях : навч. посіб. / Т. В. Семко, М. В. Руденко. - К. : Центр навчальної літератури, 2006. - 158 с.

14. Словник іншомовних слів / за ред. О. С. Мельничука. - К. : АН УССР, 1974. - 775 с.

15. Четыркин Е. М. Финансовая математика : учеб. / Е. М. Четыркин. - М. : Дело, 2000. - 400 с.

Размещено на Allbest.ru

...