Размещено на http://allbest.ru

Введение

валютный курс риск

Данная работа посвящена изучению валютного рынка в аспекте прогнозирования его состояния. Предметом исследования динамика конфигураций валютного рынка. Объектом исследования подразумевается валютный курс евро/доллар.

Актуальность данного исследования отражается в нескольких факторах. Во-первых, хеджирование валютных рисков на сегодняшний день является важным аспектом, на фоне нестабильности российского рубля. Во-вторых, на текущий момент не выявлен наилучший способ прогнозирования валютного рынка, каждый новый способ может быть эффективнее предыдущего. Так же стоит отметить, что прогнозирование валютного рынка не так часто производится с помощью оператора Фредгольма. Это говорит о недостаточном раскрытии потенциала данного метода и возможном его преобладании в последующих исследованиях.

Целью исследования является оценка эффективности прогнозирования валютного курса с помощью оператора Фредгольма.

В связи с этим возникают следующие задачи. Прежде всего необходимо изучить ситуацию на валютном рынке, рассмотреть основные критерии для участников при определении валютного курса, найти источники изменения валютного курса. Далее необходимо изучить инструментарий для построения функции плотности вероятности валютного курса, составить критерии для регрессионной выборки. Так же необходимо изучить оператор Фредгольма как основу динамики стохастического процесса, изучить методологию применения данного оператора.

При выполнении выше поставленных задач была изучена научная литература , использованы собственные знания, использовано ПО Mathcad14. Рассмотрение совокупности литературы по математическим и финансовым дисциплинам позволило составить инструментарий работы.

К применённому инструментарию относятся метод моментов для построения функции плотности вероятности, критерий оптимальной длины регрессионного ряда, уравнения Штурма-Лиувилля, Фредгольма, энтропия по Шеннону, метод Гамбургера для построения ядра интегрального преобразования.

Глава 1. Валютный рынок и его функционирование

В этой главе будут рассмотрены следующие вопросы, касающиеся функционирования валютного рынка:

· Какие основные валюты при совершении сделок?

· Кем являются основные субъекты валютного рынка?

· Как взаимодействуют субъекты рынка и с помощью каких инструментов?

· Возможно ли учесть несистемные риски на валютном рынке?

· За счёт чего можно обособиться от внешних рисков на валютном рынке?

1.1 Основные валюты и параметры оценки котировок валютного курса

На валютном рынке сделки осуществляются в любых валютах. На данный момент можно говорить о том, что сумма сделок, осуществленных за 24 часа, составляет 7 триллионов долларов. При этом стоит отметить, что не все валюты торгуются в равной степени. Спрос на определённые валюты значительно выше, чем на остальные.

Данный факт обуславливается в большей степени тем, что отдельные валюты своими финансовыми параметрами превосходят остальные. За счёт того, что большинство этих параметров не могут быть оценены корректно из-за различной степени чувствительности к риску, достаточно высокой неопределенности и асимметрии информации, возникает различная волатильность курсов валют. Для субъектов валютного рынка необходимо найти определённые параметры для оценки необходимого курса для осуществления сделки.

Субъекты имеют свои представления о значимости определённых параметров при оценке курса, ниже будут приведены основные из этих параметров. Следует начать с экономической ситуации в стране-эмитенте валюты.

Экономическая ситуация описывается такими параметрами, как процентная ставка (как реальная, так и номинальная), уровень инфляции, безработицы, политика центрального банка, средний уровень оплаты труда.

В отдельных случаях достаточно сильно влияет на экономическую ситуацию и политическая составляющая государства.

Внутренняя политика может стимулировать экономический рост за счёт создания благоприятной среды для осуществления бизнеса. Её государство может создать с помощью изменения законодательства, субсидирования, льготного налогообложения и прочих инструментов.

Внешняя политика так же очень значима в определении экономической ситуации. Данный факт можно подтвердить влиянием санкций, которое отражается как ограничение на производство и лишние издержки для осуществления коммерческой деятельности.

Помимо экономической ситуации на волатильность курса влияют объёмы осуществления сделок по заданным валютам, их частота и средний размер сделок.

Необходимо так же обозначить значимость конфигурации Мировой экономики. Такие параметры, как спад мирового внутреннего валового продукта, создание и разрушение трансграничных экономический цепей производства и прочие, создают дополнительные условия для динамики.

Так же на валютный курс сильно влияет характер осуществления сделок субъектами рынка. В этой связи необходимо отметить отдельно спекулятивный спрос, который возникает с целью заработка прибыли на операциях по обмену валют за счёт разницы в цене покупки и продажи. В свою очередь операционный спрос так же имеет место среди операций субъектов рынка. Данный спрос обуславливается необходимостью заключения сделок между субъектами, не являющимися резидентами одной страны.

Необходимо обозначить помимо всего прочего и ожидания субъектов на последующее изменение курса и экономической ситуации в целом. В случае спекулятивного спроса данные критерии значимы для обозначения стратегии игры на валютном рынке, в случае операционного спроса для выбора времени для необходимого и выгодного осуществления сделки.

Учитывая все вышеуказанные факторы необходимо отметить, что игроки валютного рынка выбирают валюты по нижеуказанным принципам.

Прежде всего, валюта должна быть широко распространена, и страна-эмитент должна иметь большую массу. Данный принцип позволяет нивелировать риск сильного влияния спекулятивного спроса. Так же стоит учесть тот факт, что процентная ставка в стране-эмитенте должна быть близка к нули при максимальном отклонении на 5 пунктов. Данный принцип позволяет уйти от риска неоднозначно определимой инфляции или дефляции. Динамика уровня безработицы так же является важным макроэкономическим параметром, который для избегания риска высокой волатильности должна быть на уровне развитых стран.

Политика центрального банка является одной из ключевых при оценке курса, за счёт её изменения и происходит последующая оценка курса субъектов рынка, так как монетарные и фискальные являются движущей силой экономики.

Минимальное изменение политического курса стран является основой для благоприятной оценки отсутствия риска среди действующих лиц на валютном рынке. Данный факт необходимо обусловить тем, что государство стабильно развивается и риск наступления дефолта и прочих макроэкономических провалов минимален.

Соблюдение условия большого количества сделок с различной суммой заключения и отсутствием сделок с большой долей на рынке данной валюты так же необходимо отнести к условиям благоприятной обстановки для низкого риска вложений.

В случае оценки ситуации в Мировой экономике необходимо определить, что страна должна быть достаточно независима от внешнеэкономического воздействия, при этом сама ситуация должна быть стабильной ради отсутствия фактора спада за счёт ухудшения на мировых рынках.

Так же достаточно важно рассмотреть ситуацию с платёжным балансом. Его стабильность и приближение к нулю являются важным детерминантом малого риска. При этом счёт текущих операций и торговый баланс должны быть значимы.

Значение ситуации на фондовом рынке страны-эмитента тоже достаточно велико. Для сокращения риска необходимо наличие стабильного роста комплексных индексов.

Данным критериям могут соответствовать страны с крупной экономикой, имеющие вес в мировой политике. При этом необходимо отметить, что это, прежде всего, развитые страны, обладающие стабильным ростом. Указанному описанию на текущий момент соответствует лишь ряд валют. В данной работе выбор сделан в сторону валют евро и доллара, так как большая часть сделок на валютном рынке заключается по паре евро/доллар (60%).

1.2 Основные субъекты валютного рынка и их взаимодействие

К основным субъектам валютного рынка необходимо отнести биржевых брокеров, биржи, клиентов брокеров, банки.

Биржи являются средой для выполнения операций, обеспечивающей бесперебойную возможность заключения сделок брокерами. Работа биржи осуществляется за счёт гарантийного фонда и клиринговой палаты. Гарантийный фонд играет роль нейтрализатора риска невыполнения своих обязательств клиентами. Клиринговая палата производит сбор информации по заключенным сделкам, сверку полученной информации на корректность и корректировку при возникновении расхождений. Брокеры в свою очередь являются посредниками между биржей и клиентами, которые отвечают за составление сделок - поиск покупателей и продавцов.

Клиентами брокеров могут быть как юридические, так и физические лица. При заключении сделки клиент отдаёт брокеру комиссию за заключение и вносит залог. При этом клиент так же должен внести деньги в гарантийный фонд. Эта процедура проводится для обеспечения соблюдений обязательств клиента.

Клиент имеет право открыть у брокера кредит с каким-либо кредитным плечом от своего залога. После этого клиент в праве осуществлять сделки на рынке с большей суммой.

Комиссия при совершении сделки зависит от статуса клиента, в данной работе мы рассмотрим случай, в котором комиссия по паре евро/доллар составляет 5/100000, что соответствует статусу премиального клиента при работе с большим объёмом.

1.3 Несистемные риски на валютном рынке

Появление возмущений, влияющих на котировки валют, но не вписывающихся в модель и систему текущих принятых параметров и правил, является большой проблемой при осуществлении оценки состояния валютного рынка. Это вносит большой риск при осуществлении операций, необходимо учесть их возможное появление.

Яркой иллюстрацией внесения внесистемных мер в процесс образования обменного курса валют является встреча министров финансов США, Германии, Великобритании, Франции и Японии в 1985 году, прошедшей в Нью-Йорке. По месту проведения данную встречу называют «встреча в отеле «Плаза»». Встреча была организована из-за отсутствия механизмов регулирования валютного курса после краха золотого стандарта и Бреттон-Вудской системы. Валютный рынок оперировал только через законы спроса и предложения. В силу кризиса стран ОПЕК, дефицита торгового баланса США и профицита торгового баланса в Германии и Японии перед мировой экономикой стояла угроза серьёзной нестабильности. Для сокращения риска увеличения волатильности курсов было принято решение о сдерживании и занижении курса доллара относительно валют стран участниц. Соглашение было принято, но не ратифицировано. Данный случай является подтверждением того, что учесть несистемные риски практически невозможно.

1.4 Обособление от внешних рисков на валютном рынке

Рассмотрение формирования валютного курса как процесса , зависящего от ряда переменных, является субъективным допущением. Оценка вышеописанных параметров оценки курса стоит рассматривать как недостаточно точное, в силу сложности их измерения.

Но если сделать допущение об их потенциальной измеримости, то возникает ситуация, когда за счёт макропараметров происходит оценка микропараметров.

Но это говорит о наличии системных рисков, так как опуская допущение мы приходим к возможной оценке макропараметров с некоторой погрешностью. Но на валютном рынке отсутствует системный риск, ибо иначе мы получили бы сходящиеся ряды котировок.

Выходом из данной ситуации следует считать подразумевание наличия необходимой информации для прогнозирования валютного курса не в среде (на валютном рынке, мировой экономике и прочее), а в самом процессе.

Данное предположение можно так же обосновать предельным переходом от конечного количества параметров к бесконечному. Подразумевая каждое значение параметров в заданной точке времени как некий случайный процесс, можно с помощью центральной предельной теоремы перейти к выводу о том, что сам процесс имеет стохастическую природу. Данное допущение стоит признать эвристическим.

2. Сопоставление функции плотности вероятности ряду котировок валютного курса

В данной главе будут отображены шаги по оценке функция плотности вероятности изменения валютного курса:

· Нахождение исторических данных по котировкам и их обработка

· Определение рамок временного ряда, на основе которого будет произведена оценка функции плотности вероятности

· Применение метода моментов к построению функции плотности вероятности

2.1 Исторические данные котировок и их обработка

Данные по состоянию курса предоставляют различные специализированные агентства. В большинстве случаев данные большой частотности (чаще, чем среднесуточные) не доступны без наличия счёта в агентстве и осуществления через этот счёт торговых операций. Но при оформлении заявки на исследование можно получить такие данные.

В нашем случае следует учесть факт отречения от предположения о зависимости от макропараметров. Поэтому среднесуточные котировки и котировки меньшей частоты не стоит учитывать.

При рассмотрении частот минутной размерности и чаще стоит учесть факт того, что конкретные сделки могут быть большим основанием для изменения курса, в отличии от макропараметров, в случае данной частотности.

Поэтому следует прийти к выводу, что при предпосылке о достаточности информации в самой котировке нужно выбрать частоту, при которой можно достичь оптимальной нейтральности к повышенному воздействию к микрофакторам и макрофакторам. В случае пары евро/доллар за час производится операций на сумму около 150 миллиардов долларов, что достаточно, чтобы опустить значение конкретных сделок, при этом не быть зависимым от макропараметров. В данной ситуации были выбраны почасовые котировки. База данных необходимых котировок была получена с сайта компании Oanda путём выгрузки через терминал. Данные предоставлены для периода с 13.00 07.10.2015 по 09.00 13.04.2016.

В данной работе рассматривается средняя котировка за час. Начальный массив из котировок() преобразуется в массив прироста котировок (r) длиной в 3309 элементов. Преобразование производится по формуле:

For i ? 1..2869

:= 100*ln(/)

Учитывая то, что в большинстве случаев эти значения близки к нулю и не превосходят по модулю 5, то можно считать данный массив массивом приростов котировки в процентах, показывающую доходность относительно предыдущего периода.

2.2 Оценка длины базовой выборки при проведении прогноза

Осуществление прогноза на дальнейшее изменение валютного курса необходимо производить на основе исторических данных. В этом случае возникает вопрос о том, что является источником изменения - возмущения курса.

В данной ситуации необходимо оценить, когда меняется генератор возмущений и что происходит с оператором эволюции. В науке принято считать, что при наступлении нового периода может меняться только оператор эволюции, при этом количество актуальных элементов выборки остаётся неизменным при переходе в новое состояние.

В данной работе берётся обратное предположение - мощность выборки может меняться при изменении периода ввиду изменения характера процесса. Подразумевается, что актуальность более старых значений может меняться в зависимости от характера возмущений.

Главным критерием, от которого может зависеть количество элементов в базовой выборке, предполагается разница между модулем отклонения последнего значения от среднего значения выборки предыдущего периода и стандартного отклонения предыдущего периода. Если модуль отклонения больше или меньше критического значения, то можно предположить изменение генератора возмущений, что стоит расценивать как сигнал для изменения длины текущей выборки относительно количества элементов выборки предыдущего периода. В остальных случаях стоит говорить о стабильности генератора, что актуализирует предыдущие элементы последовательности.

Данные условия стоит записать следующим образом:

:=

Где - количество элементов в оцениваемой выборке на момент времени i,

- выборка на момент времени t-1,

a - допустимая доля отклонения от стандартного отклонения выборки в предыдущий момент времени (предыдущий час) модуля разницы между новым элементом и средним значением выборки момента времени t-1,

b и c - минимальное и максимальное количество элементов выборки, при котором можно рассматривать процесс.

При задании данного условия необходимо наличие базисного периода, для которого оценено первоначальное значение количества элементов выборки. В данном случае было решено взять 240 элементов.

Реализация данного условия была осуществлена в ПО Mathcad14 следующим образом:

Параметры a,b и c таким образом, что динамика длины выборки не сводится к конечному значению. При этом граничные условия подобраны такими, чтобы совокупность элементов не была подвергнута излишней обобщённости или излишней конкретизации.

На данный момент можно сказать, что данные параметры должны находиться эмпирически. Но каждый из них можно было бы задать, если бы возможно было вычислить потенциальную калибровку генератора возмущений. Но это сейчас является маловероятным, поэтому стоит остановиться на текущем методе поиска значений параметров.

Всем точкам t времени можно сопоставить свой числовой ряд процентов прироста котировки. После предыдущей операции по выявлению длины выборки на каждый момент времени рассмотрим динамику этого параметра на протяжении рассматриваемого периода:

2.3 Построение функции плотности вероятности для заданного набора процентного прироста котировок

В данной работе для построения функции плотности вероятности изменения котировки валютного курса используется метод моментов.

Первым шагом при применении метода моментов следует обозначить выделение самих моментов. Моментами функции являются математические ожидания степеней аргумента. В эмпирическом случае моменты могут быть интерпретированы через средние значения степеней элементов выборки. Данная операция соответствует формуле:

В данном случае было найдено 25 моментов.

Необходимо представить мер информации по данной выборке энтропией по Шеннону:

,

Где f - искомая функция, - множители Лагранжа, - моменты функции.

В данном случае предполагается, что f представима в виде:

,

где М - количество моментов.

Для определения функции плотности вероятности необходимо найти множители Лагранжа. Данной процедуре соответствует решение системы уравнений Jos мe Alberto Orozco Rodr мэguez March (2011) Regularization methods for inverse problems:

Перед решением данной системы необходимо решить важный вопрос о количестве моментов, необходимых для построения функции плотности вероятности. При увеличении количества моментов увеличивается точность измерений, но возникает проблема чрезмерного определения, вследствие чего ошибки могут возникать не в силу недостаточного описания, а в силу неспособности учесть отдельные потенциальные состояния.

В силу того, что уравнение (1) можно представить в матричном виде, как

H*л = b,

то возможно применения такого критерия, как число обусловленности.

Число обусловленности в данном случае можно интерпретировать как меру того, насколько ошибки при получении значений л зависят от ошибки измерений b. Предполагая то, что процесс является самодостаточным, то есть необходимая информация о процессе заключается в самом процессе, необходимо, чтобы число обусловленности матрицы Ганкеля (H) (которым является вторая норма матрицы) было максимально возможным. При переборе количества моментов получаем следующие значения, на которые необходимо сократить размерность матрицы при каждой выборке:

Решая систему уравнений получим коэффициенты Лагранжа и с помощью них восстановим функцию плотности вероятности, учитывая нормировку полученной функции f до функции p. При этом стоит обозначить, что границы области определения можно задать следующим образом:

,

так как граничные точки при таком определении имеют значение функции сравнимое с нулём в подавляющем большинстве случаев.

Задаём функцию p как:

3. Эволюция функции плотности вероятности процесса через оператора Фредгольма

Данная часть исследования раскрывает такие задачи, как:

· Сведение дифференциального уравнения динамики функции плотности вероятности к интегральному уравнению Фредгольма первого рода

· Построение ядра уравнения Фредгольма

· Нахождение собственных значений интегрального уравнения и построение прогнозируемой функции плотности вероятности

· Имитация игры на валютном рынке на основе полученных прогнозов

3.1 Постановка задачи динамики функции плотности вероятности

В финансовой науке наиболее распространено рассмотрение динамики процесса через уравнение Фоккера-Планка. В данном случае обязательно нужно знать какого вида является функция плотности вероятности, или, по крайней мере, знать вид функций математического ожидания и стандартного отклонения. Любой способ задачи таких функций предполагает наличие предпосылок, что вносит большую долю субъективизма в оценку ситуации.

В данном случае стоит предположить, что у функций, полученных в предыдущей главе, есть свои неоднородные дифференциальные уравнения динамики, задающие изменения. Но при этом функции не представлены в необходимом для этих уравнений виде.

Дифференциальное уравнение можно свести к задаче Штурма-Лиувилля в однородном случае - подразумевая обособленность функции от параметра времени. Получаем следующую систему:



Отметим, что постановка данной задачи соответствует заданному случаю, так как краевые условия соблюдены.

Исходя из того, что данное уравнение имеет единственное решение, его можно представить в виде:

,

где G(x,s) - функция Грина. При этом G(x,s)= G(s,x).

Учитывая то, что f(s)=-лp(x)u, можно преобразовать к следующему виду:

Помножив обе части уравнения на корень из функции плотности можем представить его в виде:

Далее необходимо произвести замену:

 после чего получаем следующее уравнение, которое является уравнением Фредгольма первого рода Васильева А. Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - 2-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 160 с.:

Данное представление указывает на то, что в левой части находится функция после преобразования оператора Фредгольма - искомая функция плотности вероятности на следующий период.

Возникает вопрос о том, насколько справедливо суждение о функции плотности на следующий момент времени. Параметра времени в чистом виде в данном случае нет, поэтому данное воздействие оператора нельзя равнозначно оценить. Но следует отметить, что при оценке функции плотности вероятности на первичный момент времени не было обусловленности о наличии динамики во времени. Было сделано допущение о том, что вся выборка есть конфигурация процесса, который происходит в данный момент. Поэтому следует отпустить временное масштабирование и сказать, что результат преобразования - новый элемент последовательности.

3.2 Построение ядра интегрального уравнения, нахождения собственных значений, построение прогнозируемой функции плотности вероятности

Процесс сам по себе является носителем информации о себе. Он является источником возмущения. За счёт этого можно применить метод Гамбургера при построении ядра интегрального преобразования.

Данный метод основывается на построении ядра за счёт моментов функции плотности вероятности процесса. Приводим их вычисление:

По методу Гамбургерабазисные функции вычисляются следующим образом (первые 5, остальные 4 по аналогии) Jos мe Alberto Orozco Rodr мэguez March (2011) Regularization methods for inverse problems:

.

Далее необходимо произвести поиск собственных значений базисных функций:

,

Весовая функция в данном уравнении:



Разложив функцию p(x) в базисе получим веса, которые за счёт представления уравнения Фредгольма в матричном виде преобразуются в веса следующего периода по следующей формуле:

Нужно так же задать нормировочную постоянную:

.

Получаем функцию плотности вероятности на последующий момент времени в базисе текущего момента времени:

.

Для нахождения функции плотности вероятности на прогнозируемый период в её явном виде воспользуемся методом моментов, при этом опуская поиск определения оптимального количества моментов в силу неопределённости будущей конфигурации процесса и избегая проблему излишней определённости процесса:



Определим ожидаемую доходность в последующий момент времени:

3.3 Имитация игры на валютном рынке на основе полученных прогнозов

Рассмотрим накопленную доходность за весь рассматриваемый период при удержании актива:

,

Что соответствует практически нулю процентам.

Построим стратегию игры на рынке, основанную на прогнозах - удерживать позицию при сохранении знака прогноза, менять при изменении:

.

В этом случае получается накопленная доходность в размере:

,

Что соответствует 38 процентам годовых.

При опущении критерия длины выборки и составлению регрессии на основе только последних 240 элементах накопленная доходность падает до:

,

Что соответствует 21 проценту годовых.

Вывод

Поставленная цель достигнута - эффективность прогнозирования валютного курса с помощью оператора Фредгольма определена превышением накопленной доходности над рыночной.

При этом допущение о достаточности информативности о курсе в самом курсе тоже стоит считать верным.

Так же стоит отметить, что выработанный критерий оценки оптимальной длины регрессионного ряда весом - при применении данного критерия происходит увеличение доходности в 1.8 раз.

Список литературы

1. Jos мe Alberto Orozco Rodr мэguez March (2011) Regularization methods for inverse problems

2. Kai Zhang, James T. Kwok (2009) Density-Weighted Nystro ?m Method for Computing Large Kernel Eigensystems // Neural Computation 21, p. 121-146

3. M& Frontini, A. Tagliali (200) Entropy-Convergence, Instability In Stieltjes And Hamburger Moment Problems // ResearchGate (February) p. 1-13

4. Васильева А. Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - 2-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 160 с.

5. Метьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики Атомиздат, 1972. -- 401 с.под ред. Горячая, Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения., М., 1967 г., 368 стр.

Размещено на Allbest.ru

...