Методологические основы оценивания волатильности и спецификация моделей

Размещено на http://allbest.ru

Введение

финансовый волатильность рынок

В современных условиях общей экономической нестабильности особую актуальность приобретает прогнозирование и оценка рисков. Первостепенное значение имеет рыночный риск, который возникает из-за изменений цен биржевых финансовых инструментов. Именно поэтому проблемы разработки стратегий контроля и управления ценовых колебаний, а также моделей для отражения характеристик финансовых временных рядов на сегодняшний день являются особенно актуальными.

Одной из существенных особенностей финансовых данных, которым уделяют повышенное внимание, является волатильность - числовая мера риска, с которой сталкиваются индивидуальные инвесторы и финансовые учреждения. Хорошо известно, что волатильность финансовых данных часто меняется с течением времени и имеет тенденцию к кластеризации, то есть высоковолатильные периоды сменяются низковолатильными. Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH) и ее модификации предназначены для «объяснения» эффекта кластеризации волатильности на финансовых рынках, а также прогнозирования будущей волатильности.

В частности, при анализе движений инструментов на финансовом рынке, важно оценить, построить и спрогнозировать динамику волатильности и доходности активов в портфеле. Ведь простой факт состоит в том, что большинство эмпирических применений финансовых моделей, на самом деле являются многомерными: они включают 2 или более активов/ ценных бумаг/акций. Эта задача может быть выполнена с помощью многомерных GARCH моделей (MGARCH). Разработка моделей MGARCH может рассматриваться как большой прорыв в отношении «проклятия размерности» в финансовом моделировании. MGARCH модели могут быть применены к ценообразованию активов, в портфельной теории в процессе диверсификации, при оценке Value at Risk (VaR) и управлении рисками - там, где требуется применение волатильности одного актива или сопутствующие волатильности нескольких рынков.

В работе рассматриваются несколько подходов к многомерной оценке.

Во-первых, подход, который помогает перейти от эконометрики к ценообразованию активов, такие как САРМ. Преимущество этого способа является то, что он требует меньше эконометрики. К сожалению, большая часть теорий ценообразования активов, представленных в настоящее время, имеет тенденцию быть отвергнута в большинстве наборов данных. В результате, «пользователи» финансовой эконометрики (например, риск-менеджеры) предпочитают делать прогнозы с помощью эконометрических моделей, нежели с использованием часто бракованных моделей ценообразования активов. Второй подход, предлагаемый в данной диссертации - это использование методов, которые непосредственно моделируют условную ковариацию: на практике это - многомерные расширения ARCH и GARCH моделей. Идея аналогична , когда делается переход от моделей одномерных временных рядов для условного среднего в многомерные, векторные модели (такие как вектор авторегрессии). Однако, в случае с ковариационными матрицами, такие расширения одномерных моделей GARCH к их многомерным формам представляет довольно много практических трудностей. Поэтому при правильной реализации соответствующий материал имеет неплохую практическую значимость. И наконец третий подход - это модели динамической условной корреляции (DCC), представляющие собой также важный, ключевой инструмент, который описан в этой работе. Несмотря на трудности, многомерные модели оценивания волатильности дают возможность ответить на важные вопросы для участников рынка в целом. Например: действительно ли корреляция изменяется с течением времени? Приводит ли волатильность одного конкретного актива к нестабильности другого? Является ли волатильность актива «передающейся» другому активу напрямую (через его условную дисперсию) или косвенно (через его условную ковариацию)? И многие другие. Все эти и подобные вопросы мотивируют к изучению многомерных подходов к анализу временных рядов волатильности и ковариации. В данной работе исследуются не только простые, можно сказать, наивные, модели, используемые для прогнозирования ковариации. Но и более сложные, возможно, даже лучшие рабочие наборы методов для моделирования и прогнозирования временных финансовых рядов, например модель DCC Энгла, которая является одной из самых последних и очень успешных подходов в семье многомерны GARCH-моделей. Приложение на реальны данных представляет собой несколько результатов, касающихся методов оценки, в частности представляется возможным GLS подход. А также работа включает в себя разработанный подход к моделированию DCC.

Целью магистерской диссертации является изучение принципов работы многомерных моделей оценивания волатильности на примере крупнейших Российских компаний нефтяного сектора и построение принципиально нового алгоритма прогнозирования финансовых рядов.

Поставленная цель определила следующие задачи:

1.Конкретизировать понятие волатильности, как параметра изменчивости финансового рынка;

2.Описать и систематизировать многомерные модели оценивания волатильности;

3.Оценить преимущества и недостатки описываемых методов оценки и прогнозирования волатильности, обосновать предпочтительность их применения в различных условиях;

4.Описать методы оценивания эффективности многомерных моделей;

5.Сделать выводы о спецификациях рассмотренных многомерных моделей волатильности;

6.Применить несколько конкретных моделей на реальных данных;

7.Предложить новый способ прогнозирования финансовых рядов.

Объектом исследования в данной работе выступают ценовые ряды акций таких компаний, как Лукойл, Сургутнефтегаз и Татнефть. В нефтяном секторе экономики России эти компании являются гигантами, занимая первые строчки рейтинга. Предметом исследования являются различные многомерные модели оценивания волатильности.

В качестве инструментария используются графические и табличные средства представления статистических данных, методы анализа прогнозирования, структурных сдвигов, корреляционного анализа.

Основа методологии исследований - математическое моделирование. В работе применяются методы математической статистики и эконометрики. При оценке характеристик исследуемых моделей применена программная среда MATLAB с использованием панели MFE (UCSD_GARCH), а также Microsoft Excel.

Информационная база курсовой работы состоит из исследований зарубежных и отечественных авторов в области исследования многомерных моделей оценивания волатильности. Все расчеты выполнены на основе использования открытых данных базы котировок с веб-сайта Инвестиционной компании «ФИНАМ», которая является лидером российского рынка брокерского обслуживания, а также статистик, взятых непосредственно с официальных сайтов исследуемых компаний.

1. Методологические основы оценивания волатильности и спецификация моделей

Модели ARCH.

ARCH -- AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity (модель авторегрессионной условной гетероскедастичности) применяется в эконометрике для анализа финансовых временных рядов. Модели ARCH впервые были предложены Энглом в 1982 году.

В главную мысль этой модели заложено положение о том, что оценки, получаемые в рамках дисперсионного анализа волатильности, не являются в достаточной степени эффективными, так как не учитывают явление гетероскедастичности. Гетероскедастичность означает однородность остатков полученных параметров модели, это выражается в переменной дисперсии случайной ошибки регрессии. Статистический анализ с использованием моделей ARCH предполагает, что искомое значение цены в некоторой степени зависит от предыдущих изменений цен, таким образом, их влияние тоже необходимо учитывать для оценки текущего уровня. К тому же ARCH модели предполагают, что степень влияния предыдущих значений цен снижается по мере удаления от текущего момента времени.

Статистические авторегрессионные модели условной гетероскедастичности позволяют учесть так называемое явление кластеризации волатильности. Такие модели оценивания волатильности предполагают, что рынок обладает своего рода «памятью», именно поэтому последующие значения исследуемых рыночных параметров в некоторой степени зависят от их предыдущих их значений, что и вызывает явление кучкования волатильности. Вследствие этого, на рынке появляются затяжные периоды либо относительного спокойствия, либо повышенной изменчивости, так называемые «кластеры».

Особенности волатильности.

Итак, волатильность обладает некоторыми особенностями:

1) Негауссовость (так назваемые "тяжёлые хвосты"). Обычно график доходности финансовых инструментов характеризуется острыми вершинами с положительным эксцессом(выше нормального). Доходности не подчиняются распределению Гаусса.

2) Кластеризация ("пучкование"). Большие изменения влекут за собой большие изменения, малые изменения следуют за малыми изменениями, любого знака. Эффект кластеризации волатильности отмечен для таких рядов как изменение цен акций, валютных курсов, доходности спекулятивных активов.

Процесс, рассматриваемый ARCH моделями, может быть представлен в виде:

, t = 1,….T

Где м - среднее значение временного ряда , - остатки временного ряда, T - количество наблюдений.

Что касается дисперсии остатков, предположим, что , где , тогда модель ARCH порядка q, задаётся следующим соотношением:

,

Где ( - предыстория процесса , а - условная по предыстории дисперсия .

Главная идея ARCH-модели заключается в моделировании кластеризации волатильности. Если значение большое, то это означает повышение условной дисперсии в будущем, а при высокой условной дисперсии более вероятно появление больших по абсолютной величине значений . И наоборот, если значения в течение нескольких периодов близки к нулю, то это приводит к понижению условной дисперсии в последующие периоды практически до уровня константы . В свою очередь при низкой условной дисперсии более вероятно появление малых по абсолютной величине значений .

Ещё одна особенность ARCH-моделей состоит в том, что они хорошо описывают финансовые временные ряды, так как для безусловного распределения характерны «тяжёлые» хвосты и острые вершины (так называемый «высокий куртозис»).

Тем не менее, модель имеет свои недостатки, так как предположение о том, что положительные и отрицательные шоки имеют сопоставимые эффекты влияния на волатильность, не соответствует реальности. Очень часто стоимость финансового актива по-разному реагирует на положительные и отрицательные шоки.

К тому же из-за ограниченной «памяти» в q периодов модели класса ARCH для правильного описания данных требуют большой длины лага q и большого количества параметров, это создаёт некоторые затруднения при оценивании: нередко нарушается условие неотрицательности оценок , порождается все большее количество выбросов.

2.Модели GARCH

Generalized ARCH.

Обобщенный ARCH процесс (GARCH), предложенный Т. Боллерслевым, в отличие от ARCH-моделей, характеризуется не только бесконечной памятью, но и позволяет использовать меньшее число параметров. Модель GARCH (p,q) описывается формулой:

,

где p - число лагов условной дисперсии, порядок модели - количество последних ценовых изменений, влияющих на текущую волатильность;

q - порядок модели - количество предшествующих оценок волатильности, влияющих на текущую волатильность;

- константа - базовая волатильность,

- весовые коэффициенты, определяющие степень влияния предыдущих изменений цен на текущее значение волатильности.

- весовые коэффициенты, определяющие степень влияния предыдущих оценок волатильности на текущее значение.

GARCH-процесс, как и ARCH имеет более высокий куртозис, по сравнению с нормальным распределением, причём безусловное распределение отдельного наблюдения в GARCH-модели является симметричным, поэтому все нечётные моменты, начиная с третьего, равны нулю.

Модель GARCH (1,1).

На практике наиболее часто используемая модель семейства GARCH - модель GARCH (1,1), в которой условно-дисперсионная матрица вычисляется на основе дисперсии долгосрочной процентной ставки , с условиями запаздывания и .

Уравнение условной дисперсии для модели GARCH (1,1) выглядит следующим образом:

,

Где - весовые коэффициенты для соответственно.

К тому же, сумма этих весовых коэффициентов равна 1:

Обозначая , получим модель GARCH (1,1) в виде:



Такая форма обычно используется для оценки параметров в случае одномерного анализа.

Модифицированные GARCH модели

Классическая форма модели GARCH имеет множество трансформаций.

Нелинейная ассиметричная GARCH (NAGARCH или NGARCH) модель была предложена Энглом и Нг в 1993 г. Условная дисперсия этого процесса описывается уравнением

,

где .

В модели IGARCH (the integrated GARCH) сумма всех параметров сводится к единице: .

В 1991 г. Нельсон представил EGARCH модель (The exponential GARCH), в которой используются логарифмы условных дисперсий, что не только учитывает ассиметрию, но и решает проблему положительной определенности модели:

,

где .

Модель GARCH-M (GARCH-in-Mean) была предложена в 1987 г. Энглом. Здесь фактором регрессионной модели для премии за риск выступает условная дисперсия.

В 1995 г. Сантана представил модель QGARCH (the quadratic GARCH), которая может обрабатывать асимметричные эффекты положительных и отрицательных шоков.

GARCH модель, предложенная в 1993 г. Глостеном, Джаганнатаном и Ранклом (GJR-GARCH), так же может моделировать асимметрию в процессе.

Пороговая T-GARCH модель (the Threshold GARCH) Закояна (1991 г.) отличается от GJR-GARCH только тем, что опирается на условные стандартные отклонения, а не условную дисперсию.

Модель FGARCH (Family GARCH) Хентшеля (1995 г.) представляет собой сочетание сразу нескольких симметричных или несимметричныхмоделей семейства GARCH.

Многомерные GARCH модели

Основной идеей расширения одномерных моделей GARCH до многомерных является то, что волатильность одних активов влияет на волатильность других, причем взаимодействующие активы могут принадлежать к разным секторам экономики. Многомерные модели генерируют более надежные и точные оценки волатильности, чем одномерные модели по отдельности. Таким образом, можно принимать эффективные решения в области управления рисками, прогнозирования, формирования портфелей.

В первую очередь, необходимо рассмотреть спецификацию моделей MGARCH. С одной стороны, она должна быть достаточно гибкой, чтобы выявить динамику условных дисперсий и ковариаций. С другой стороны, с количеством параметров модели MGARCH быстро возрастает ее размерность, при этом оценивание и интерпретация параметров модели должны быть как можно проще. Однако упрощение модели может снизить не только количество параметров, но и ее эффективность. Поэтому при разработке модели важно найти баланс между уменьшением числа параметров и сохранением содержательной составляющей MGARCH.

Спецификации MGARCH моделей.

Как упоминалось ранее, MGARCH модели бывают разных модификаций. Рассмотрим их подробно.

Мы будем представлять модели типа GARCH (1,1) в виде:

Где и

Когда мы имеем дело с многомерным случаем, то есть n>1, выражение () приобретает следующий вид:

Где - положительно определенная матрица условных ковариаций размера и и .

Эти традиционные спецификации моделей MGARCH отличаются друг от друга . Они могут быть сгруппированы в 3 вида. Первая категория моделей представляет собой непосредственное обобщение одномерных GARCH моделей (VEC, BEKK и Factor модели). Вторая категория включает в себя Orthogonal and Latent Factor модели. И последняя категория объединяет в себе CCC, DCC модели. Для простого рассмотрения рассмотрим все модели в форме (1,1).

VEC(1,1) model.

В 1988 г. Боллерслев, Энгл и Вулдридж представили новую многомерную GARCH модель, назвав ее VEC модель.

Где - матричные операторы, суммирующие элементы нижнетреугольной матрицы, t - номер наблюдения, с представляет собой вектор размерностью , где n - количество переменных, - матрицы параметров размерностью . Здесь условие о положительной определенности матрицы не является ограничительным. Кроме этого число параметров модели велико и равно . Даже при спецификации (1,1) и количестве переменных n=2, число параметров модели будет равно 21. Поэтому оператор требует большого количества вычислений.

DVEC-GARCH model.

Другая версия VEC модели, DVEC-GARCH (the Diagonal VEC-GARCH model) модель, была предложена в том же году теми же авторами. Она предполагает диагональные матрицы A и G, что делает положительно определенной для всех t. Количество параметров модели равно . Однако модель не учитывает взаимодействие между условной дисперсией и ковариацией. Модель представлена в терминах матрицы Адамара (обозначается, как ):

Где - симметричные матрицы размера , .

BEKK(1,1,k) model.

В качестве еще одной ограниченной версии VEC-GARCH модели Бабой, Энглом и Кронером в 1995 году была представлена BEKK модель, которая предполагает положительную определенность ковариационной матрицы остатков .

BEKK модель выглядит следующим образом:



Где - матрицы параметров размерностью , причем - верхнетреугольная матрица.

BEKK модель так же, как и VEC имеет диагональную форму (когда представлены в форме диагональных матриц).

Количество параметров полной BEKK модели равно . В диагональной форме модели оно уменьшается до , что все равно велико.

Factor-GARCH(1,1,k) model

Как мы видим, модели VEC и BEKK имеют дело с большим числом неизвестных параметров. Чтобы решить данную проблему, Энгл в 1990 году представил модификацию BEKK модели, которая называет Factor-GARCH модель, в которой - скаляры, а - векторы-столбцы ().

Получим, что Factor-GARCH модель выглядит следующим образом:

Можем наблюдать, что количество параметров модели F-GARCH (1,1,k), равное n(n+4k+1)/2, намного меньше, чем n(n(4k+1)+1)/2 для BEKK (1,1,k) модели.

FF-GARCH model.

В 2003 году Вронтос предложил другую версию F-GARCH модели, которую назвал Full-Factor GARCH модель:



Где W - нижетреугольная матрица параметров размерностью с единицами на главной диагонали, - условная дисперсия. Общее число параметров модели равно n(n+5)/2.

O-GARCH (1, 1, m) model.

Рассмотрим вторую категорию MGARCH моделей, которые не являются прямым обобщением одномерных GARCH.

Orthogonal GARCH модель была введена Карией в 1988 году и представляет собой:

Где , - дисперсии , - матрица размером . - вектор, основанный на процессе GARCH (1,1).

Число параметров в O-GARCH модели в случае m=n равно 2n. Преимущество модели O-GARCH заключается в том, что она использует небольшое количество основных компонентов (например, Александер и Чибумба (1997) взяли m = 2 для 12 активов), что снижает сложность вычислений. Эта схема, однако, также имеет свои недостатки. В случае m<n, ранк матрицы будет равен m (not full rank). Однако, диагностика будет проводиться с помощью обратной .

GO-GARCH(1,1) model.

Модель была предложена Вайдом в 2002 году. Она представляет собой измененную модель O-GARCH, где m=n и - невырожденная матрица параметров. Матрица условных корреляций :

Число параметров модели равно n(n-1)/2.

После рассмотрения моделей, которые предполагают линейную комбинацию одномерных GARCH, мы рассмотрим модели, основанные на предположении от том, что многомерная дисперсионная матрица представляет собой нелинейной сочетание одномерных GARCH процессов.

CCC (Constant Conditional Correlations) model

Модель постоянной условной корреляции была введена Боллерслевым в 1990 году, в первую очередь, чтобы смоделировать матрицу условной ковариации путем оценки условно корреляционной матрицы. Предполагалось, что условная корреляция будет величиной постоянной в отличие от условных дисперсий.

Где

- условная дисперсия отельного актива, полученная в результате любого одномерного GARCH процесса, R - симметричная матрица. Элемент - условная корреляция между активами i и j. Из спецификации модели CCC, мы видим, что многомерная дисперсионная матрица является нелинейным сочетанием одномерных дисперсий . Число параметров модели равно n(n+5)/2. Такие модели имеют меньше параметров, в отличие от моделей первой категории. Чтобы гарантировать, что дисперсионная матрица положительно определена, R тоже должна быть положительно определенной.

DCC (1,1) (Dynamic Conditional Correlations) model

Динамическая модель условной корреляция была предложена Энглом в 2002 году. Она представляет собой нелинейную комбинацию одномерных GARCH моделей, и является обобщенной версией CCC модели.

DCC модель выглядит следующим образом:

Где

Здесь каждый описывается одномерной GARCH моделью.

Где - симметричная положительно определенная матрица размерностью :

Здесь , - неотрицательные скаляры такие, что , а - матрица безусловных дисперсий размерностью .

Недостатком модели является то, что все условные корреляции подчиняются одной и той же динамической структуре.

Число параметров модели равно , Это меньше, чем в полном виде BEKK модели той же размерности при малых N. Если N велико, то оценка DCC может быть выполнена в два этапа, что снижает сложность. Коротко говоря, в первую очередь, условная дисперсия оценивается с помощью однофакторной GARCH модели для каждой переменной. Далее оцениваются параметры условной корреляции. Модель DCC предполагает положительно определенную ковариационную матрицу в любой момент времени.

3.Оценивание MGARCH моделей

Для того, чтобы в дальнейшем сравнить точность и эффективность моделей, будем использовать величину Mean absolute error (MAE), которая показывает, на сколько близки предсказания и прогнозы. Абсолютное отклонение будем считать для корреляций и волатильности для каждой модели.

Наиболее распространенным способом оценивания параметров MGARCH моделей является метод максимального правдоподобия (Maximum Likelihood Estimation, MLE):

Где - вектор параметров .

Как уже было сказано, многомерные GARCH модели отличаются друг от друга спецификацией , которая определяет ряд параметров для оценки, форму функции правдоподобия по отношению к вектору параметров , скорость сходимости и чувствительность к начальным значениям. Из-за различных характеристик , некоторые MGARCH модели требуют оценки всех параметров в одном шаге, а другие, такие как DCC модель, могут преодолеть «проклятие размерности» только с помощью оценки параметров в два этапа. Модель DCC раскладывает матрицу ковариаций на две части: процесс определения волатильности отдельного актива и корреляционную матрицу. Таким образом, сначала определяются параметры одномерных GARCH процессов для N активов:

Где - вектор параметров, который включает в себя параметры i-го одномерного GARCH процесса. Оценки используются во втором шаге метода максимального правдоподобия:

Где - квадратная матрица с индивидуальными волатильностями на главной диагонали.

Выбор эстиматора волатильности на реальных данных

Описание и анализ данных.

В работе используются дневные котировки акций нескольких крупных компаний двух различных секторов на период с 12.01.2010 по 30.12.2014.

Для анализа эстиматоров волатильности в исследовании были выбраны следующие компании:

Рассматриваемые компании с указанием сектора экономики

1	Apple inc.	США, IT Sector
2	International Business Machines (IBM)	США, IT Sector
3	Exxon Mobil Corporation	США, Petroleum Sector
4	Chevron Corporation	США, Petroleum Sector

По входным данным несложно рассчитать логарифмическую доходность по формуле:

Графическое представление динамик логарифмических доходностей для каждой компании представлены на рисунках:

Динамика логарифмической доходности, Apple.

Динамика логарифмической доходности, IBM.

Динамика логарифмической доходности, Exxon.

Динамика логарифмической доходности, Chevron.

Гистограммы временных рядов.

Как видно на рисунках, ряды доходности обладают всеми свойствами финансовых временных рядов: кластеризацией («кучкованием») и островершинными плотностями вероятности доходностей («негауссовость»).

Рассмотрим оценки временных рядов более подробно с помощью эконометрического пакета EViews.

Описательные статистики рядов доходности

	Apple	IBM	Exxon	Chevron
Mean	0.001123	0.000180	0.000238	0.000285
Median	0.000937	0.000200	0.000000	0.000772
Max	0.084724	0.053872	0.049673	0.051704
Min	-0.131968	-0.087358	-0.086287	-0.090136
Std.Dev.	0.017393	0.011920	0.011623	0.012859
Skewness	-0.326602	-0.676949	-0.351836	-0.433280
Kurtosis	8.473902	9.040606	7.304115	6.438379
Jarque-Bera	1490.390	1879.373	932.8002	616.6192
Prob	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000

Рассматриваемые финансовые ряды обладают следующими характеристами:

· Кластеризация волатильности. Волатильности не является величиной постоянной. Как правило, высоковолатильные периоды сменяются низковолатильными, и наоборот.

· Лепкуртозис - эффект заостренного пика. При просмотре значения эксцесса, можно сделать вывод, что ряд обладает положительным эксцессом и увеличенными «хвостами» по отношению к нормальному распределению.

· Эффект левериджа. Асимметрия на финансовых рынках состоит в том, что отрицательные шоки влекут за собой больший скачок волатильности, чем положительные. Объяснение состоит в том, цены акций снижаются, увеличивая финансовый леверидж компаний, а значит и уровень рисков. То есть волатильность выше на падающем рынке, чем на растущем.

· Асимметрия. Все рассматриваемые ряды характеризуются асимметрией в той или иной степени.

· Эффект долговременной памяти. Структура данных ряда повторяется с некоторой периодичностью.

Кроме того, тест Харке -- Бера отверг нулевую гипотезу о том, что рассматриваемые ряды логарифмических доходностей подчинены нормальному закону распределения, так как вероятности теста BJ равны 0.

Теоретическое сравнение эстиматоров волатильности

Теперь рассмотрим входящие данные со стороны волатильности и применим к ним одномерные модели оценки.

В одну из групп показателей, применяемых для оценки волатильности, входят статистические индикаторы и осцилляторы.

Основная их функция состоит в том, чтобы определить центральные моментов разворота рынка или скорректировать существующий тренд. Класс этих показателей довольно обширный и включает в себя множество моделей, различающихся между собой методикой расчета. Мы рассмотрим два наиболее популярных и часто используемых индикатора, эффективность которых уже проверена несколькими авторами. И также проанализируем и докажем большую эффективность другого эстиматора, упоминания о котором были всего лишь в пару источниках.

В данной работе рассматриваются эффективность эстиматоров Park (Parkinson, 1980) [25] и GK-Гармана Класса (Garman & Klass, 1980) [13], а также «мост» (Bridge Estimation, Meng and Wong, 1996; оценка волатильности на основе экстремумов моста).

Рассмотрим сами эстиматоры подробнее.

При обсуждении оценок волатильности будем говорить о зависимости от времени t цены P(t) некоторого финансового инструмента (акции рассматриваемого банка). Как правило, при измерении волатильности используют логарифм цены, то есть случайный процесс . Волатильностью цены на заданном интервале времени длительности T часто называют дисперсию приращения логарифма цены на указанном временном интервале.

Приведем сопутствующие понятию волатильности математические соотношения. Для этого введем новый случайный процесс , равный приращению логарифма цены на промежутке времени . Дисперсия данного приращения равна [3]:

.

Именно ее мы и называем в дальнейшем волатильностью на интервале времени длительности T.

Напомним, Park и GK оценки волатильности содержат максимум и минимум приращений логарифма цены:

,

.

При этом Park оценка равна:

,

а GK оценка задана выражением:

,

где = 0,511, = 0,0109, = 0,383. Обратим внимание, что GK оценка использует помимо экстремумов (1) еще и величину C (логарифм цены закрытия).

Перед тем как определить оценку волатильности, определим мост приращения логарифма цены. Он задан равенством:

.

Термин «мост» отражает тот факт, что на краях интервала он равен нулю: . Введем максимум и минимум моста:

,

.

Соответственно, обсуждаемая оценка волатильности равна:

.

Фактор делает оценку моста несмещенной.

Будем называть оценкой мостa.

Чтобы выбрать модель оценивания волатильности для дальнейшего анализа, рассмотрим на примере данных выбранных компаний применение моделей волатильности Паркинсона, Гармана-Класса и Кунитомо.

В своей работе «On the estimation of security price volatility from historical data» by Mark B. Garman and Michael J. Klass авторы доказывают, что модель Гарман-Класса эффективнее других методов оценивания волатильности, в частности, оценки Паркинсона.

В работе «Volatility estimation based on extremes of the bridge» by S. Lapinova, A. Saichev and M. Tarakanova авторы наглядно показывают, что для одних и тех же реализаций вектора данных оценка по Кунитомо лучше оценок Гармана-Класса и Паркинсона оценивает волатильность [1].



Графики двухсот значений оценок волатильности по Гарман-Классу, Кунитомо и Паркинсона (соответственно сверху вниз).

Оценки дисперсии оценок Паркинсона, Гарман-Класса и Кунитомо.

На рисунке видно, что дисперсия оценки моста является константой и существенно меньше дисперсий других рассматриваемых оценок.

Сравнение эстиматоров на реальных данных.

Был разработан программный код в прикладной среде MATLAB (прил.1). Приложение 1 представлено на основе данных компании Apple inc., для остальных фирм программный код был аналогичным.

Программа позволяет строить графики всего массива значений оценок согласно моделям Паркинсона, Гарман-Класса и Кунитомо для каждой компании (рис.).

График оценок волатильности Apple для трех эстиматоров.

График оценок волатильности IBM для трех эстиматоров.

График оценок волатильности Exxon для трех эстиматоров.

Синий цвет на графиках означает оценку по Кунитомо, красный - по Гарман-Классу, зеленый - по Паркинсону. На графиках снова хорошо видно, что высоковолатильные периоды сменяются низковолатильными, и наоборот, это означает, что присутствует эффект кластеризации, а также наблюдается «негауссовость». К тому же заметим, что, как и подчеркивалось в работе Гармана и Класса, их оценка предпочтительнее оценки Паркинсона. Также на графиках видно, что оценка «моста» (по Кунитомо) обладает существенно большей чувствительностью к ценовым изменениям, в отличие от двух других моделей. Также оценка по Кунитомо немного раньше реагирует на движение рынка, тогда как две другие рассматриваемые оценки имеют больший временной лаг, т.е. являются более смещенными.

Дисперсионный анализ эстиматоров.

С помощью простого оператора «disp» в программной среде MATLAB, была оценена дисперсия для каждого из эстиматоров для Apple Inc.:

disp(vp(50))= 3.8027e-006 - оценка по Паркинсону

disp(vp(150))= 9.6532e-006

disp(vg(50))= 1.6027e-005 - оценка по Гарман-Классу

disp(vg(150))= 1.3578e-005

disp(vbr(50))= 1.9505e-005 - оценка моста (по Кунитомо)

disp(vbr(150))= 1.9354e-005

На практике оказалось, что оценка «моста» (по Кунитомо) имеет приближенную к константе дисперсию, тогда как дисперсии оценок по Паркинсону и Гарман-Классу меняются во времени.

Такая динамика сравнения наблюдается и для данных других рассматриваемых компаниях.

Таким образом оценка волатильности по Кунитомо является наиболее эффективной и адекватно описывающей скачки волатильности во времени моделью, по сравнению с оценками Паркинсона и Гармана-Класса. Значит, в дальнейшем анализе будем использовать оценку «моста».

Применение многомерных моделей на реальных данных.

Решение поставленных в магистерской диссертации задач реализовывалось с помощью программы технического моделирования MATLAB (версия R2010b, пакет Econometrics Toolbox).

Для данного исследования были выбраны крупнейшие компании нефтяного сектора России: Лукойл, Татнефть и Сургутнефтегаз. Импортировались дневные и месячные котировки вышеупомянутых компаний с помощью софта от компании-брокера Финам.

Рассмотрим временные ряды в отдельности.

Загрузим данные по месяцам и конвертируем даты в формат, который будет удобен для написания программы.

На рисунке представлен график логарифмической доходности для акций Татнефть за период с 31/12/2001 по 28/02/2016.

Логарифмическая доходность акций. Лукойл.

Логарифмическая доходность акций. Сургутнефтегаз.

Логарифмическая доходность акций. Татнефть.

Зависимость величины прибыли каждого из трех индивидуальных рядов цен в логарифмическом выражении и лог-доходность для равно-взвешенного портфеля (доли каждой акции в портфеле одинаковы):

Теперь оценим по месячной выборке GARCH (1,1) -DCC (1,1) модель с постоянным средним, матрица ориентации будет следующей:

Оценки параметров, со стандартными ошибками QMLE:

GARCH(1,1)-DCC(1) PARAMETERS

omega US returns 1.1758 with robust S.E. 0.7337 t-stat 1.7822

alpha US returns 0.0589 with robust S.E. 0.0008 t-stat 31.4607

beta US returns 0.7637 with robust S.E. 0.0023 t-stat 82.2395

omega UK returns 0.6830 with robust S.E. 0.8428 t-stat 0.8614

alpha UK returns 0.0707 with robust S.E. 0.0045 t-stat 29.4476

beta UK returns 0.7285 with robust S.E. 0.0015 t-stat 132.6540

omega Germany returns 1.0830 with robust S.E. 1.4296 t-stat 0.3295

alpha Germany returns 0.3486 with robust S.E. 0.0029 t-stat 27.0341

beta Germany returns 0.6481 with robust S.E. 0.0171 t-stat 77.0062

alpha DCC equation 0.2531 with robust S.E. 0.0005 t-stat 126.0430

beta DCC equation 0.9593 with robust S.E. 0.0003 t-stat 498.5478

MaxLikelihood: -2749.6119

Условные среднемесячные доходности и волатильности и условная корреляция в модели GARCH/DDC:

Условные средние, в соответствии с рисунком, являются фактически постоянной величиной в течение долгого времени. Напротив, условные волатильности являются величинами, изменяющимися во времени способами, которые характерны для исследования временных рядов моделями GARCH, т.е. скачками волатильности, которые достаточно убедительно интерпретируются состоянием экономики сектора и в целом.

Условные корреляции по оценке модели по всей видимости, в значительной степени возрастает с течением времени, после прохождения дискретный скачок вверх в падении 1987. Несмотря на то, как можно было ожидать, условная попарно корреляция между UK (превышение) доходностью акций США и больше две другие парные корреляции, после 2005 года все эти корреляции сходятся к аналогичным уровням, как правило, превышает 0,7. Такие высокие уровни корреляции означают, что возможности катионные Diversi фи через эти крупные, развитые фондовые рынки в лучшем случае ограничены.

Оптимальные веса портфеля в модели GARCH/DCC для условной ковариации:

Заменим функцию постоянной средней на функцию, делающую условное среднее изменяющимся во времени

Где р - лог-доходности. Это называется "модель домино", потому что это означает, что отстающие уровни фондовых индексов в одном секторе могут прогнозировать последующую прибыль на других рынках. Дело в том, что предполагается, что ковариационная матрица диагональна и постоянна с течением времени (гомоскедастична), в этом случае простые, классические МНК будут несмещенными и эффективными. Естественно, что диагональная матрица ковариации означает, что все ковариации и, следовательно, корреляции, постоянны и равны нулю в течение долгого времени. В этой модели только условные средние являются постоянными,а условная ковариационная матрица изменяется во времени. Оценки и их робастные стандартные ошибки приводятся ниже: МНК оценки регрессии на основе условных средних функций:

OLS: US INDEX RETURNS PARAMETERS

Constant 3.5171 with robust S.E. 21.7215 t-stat 0.1619

Coeff. on lagged own DY 0.1030 with robust S.E. 0.3184 t-stat 0.3235

Coeff. on lagged Log-US P -8.9316 with robust S.E. 4.6143 t-stat -1.9356

Coeff. on lagged Log-UK P 4.8360 with robust S.E. 5.8500 t-stat 0.8267

Coeff. on lagged Log-GER P -1.1046 with robust S.E. 2.7249 t-stat -0.4054

OLS: UK INDEX RETURNS PARAMETERS

Constant 61.4069 with robust S.E. 19.3321 t-stat 3.1764

Coeff. on lagged own DY 0.3516 with robust S.E. 0.2681 t-stat 1.3115

Coeff. on lagged Log-US P 10.4004 with robust S.E. 4.0887 t-stat 2.5437

Coeff. on lagged Log-UK P -15.0917 with robust S.E. 5.2234 t-stat -2.8892

Coeff. on lagged Log-GER P 4.4126 with robust S.E. 2.4307 t-stat 1.8154

OLS: German INDEX RETURNS PARAMETERS

Constant 69.9861 with robust S.E. 28.4218 t-stat 2.4624

Coeff. on lagged own DY 0.4698 with robust S.E. 0.4042 t-stat 1.1623

Coeff. on lagged Log-US P 16.7767 with robust S.E. 5.9991 t-stat 2.7965

Coeff. on lagged Log-UK P -17.7408 with robust S.E. 7.6425 t-stat -2.3213

Coeff. on lagged Log-GER P 2.7435 with robust S.E. 3.5738 t-stat 0.7677

Интересно, что большинство коэффициентов не являются статистически значимыми.

Условные среднемесячная доходность, волатильность и корреляции для гомоскедастичной модели цепной реакции (модели домино)

Глядя на рисунок, очевидно, все волатильность и корреляция являются постоянными, причем корреляция тождественно равна нулю, как это было отмечено выше.

В случае, когда мы используем условные средние, дисперсии и корреляции для вычисления весов рекурсивной динамики Марковица:

Мы получаем рисунок: Оптимальное распределение весов в портфеле акций для гомоскедастичной регрессионной модели цепной реакции («домино»):

На самом деле, оптимальные веса иногда "взлетают" в абсолютном значении, что вряд ли является разумным, поскольку они превышают 100%. Это и наблюдается на рисунке выше. Таким образом, условные средства неточно оценены, прогнозы очень нестабильны.

Теперь оценим вышестоящие модели вместе повторно методом MLE, получим ограниченную VAR (1) модель, которая фиксирует присутствие изменений условных средних, условных дисперсий и условных ковариаций во времени. Модель VAR (1) является ограниченной, поскольку она сводится к трем различным AR (1) моделям, которые накладываются друг на друга. Тем не менее, различные фондовые рынки по-прежнему могут взаимодействовать и влиять друг на друга через динамическую ковариационную матрицу:

Обратим внимание на то, что путем оценки этой модели мы обобщаем предыдущую модель, не позволяя дисперсии меняться с течением времени, и, особенно, не сдерживая корреляции, которые в предыдущем случае всегда равны нулю и, следовательно, постоянны во времени. Во-первых, необходимо оценить остатки уже упомянутой регрессионной модели, а затем применить GARCH / DCC модель с использованием кода в MATLAB и, наконец, приступить к повторной оценке регрессионной модели по GLS, когда ковариационная матрица уже оуенена с помощью GARCH / DCC. Первый этап оценки GARCH / DCC:

GARCH(1,1)-DCC(1) PARAMETERS

omega US returns 11.7584 with robust S.E. 64.5337 t-stat 0.1822

alpha US returns 0.1189 with robust S.E. 0.0038 t-stat 31.4607

beta US returns 0.7637 with robust S.E. 0.0093 t-stat 82.2395

omega UK returns 2.9830 with robust S.E. 11.4128 t-stat 0.2614

alpha UK returns 0.2507 with robust S.E. 0.0085 t-stat 29.4476

beta UK returns 0.7285 with robust S.E. 0.0055 t-stat 132.6540

omega Germany returns 16.9830 with robust S.E. 51.5496 t-stat 0.3295

alpha Germany returns 0.3486 with robust S.E. 0.0129 t-stat 27.0341

beta Germany returns 0.5481 with robust S.E. 0.0071 t-stat 77.0062

alpha DCC equation 0.0031 with robust S.E. 0.0005 t-stat 6.0430

beta DCC equation 0.9593 with robust S.E. 0.0019 t-stat 498.5478

MaxLikelihood: -1749.6119

Второй этап оценки GLS (на основе GARCH / DCC модели) условного среднего параметра:

2SFGLS: US INDEX RETURNS PARAMETERS

Constant 0.3924 with robust S.E. 0.7013 t-stat 0.5595

Coeff. on lagged own return -0.1592 with robust S.E. 0.0672 t-stat -2.3713

2SFGLS: UK INDEX RETURNS PARAMETERS

Constant 0.7442 with robust S.E. 0.4994 t-stat 1.4902

Coeff. on lagged own return -0.0272 with robust S.E. 0.0727 t-stat -0.3735

2SFGLS: German INDEX RETURNS PARAMETERS

Constant 1.1344 with robust S.E. 0.6956 t-stat 2.2715

Coeff. on lagged own return 0.1918 with robust S.E. 0.0885 t-stat 2.6377

Стоит отметить, что в этом случае ни один из коэффициентов регрессии не является сильно статистически значимым, поэтому здесь стоит быть осторожными, прежде чем основывать свои выводы на средней дисперсии распределения активов по таким параметрам. Рисунок показывает соответственный трехпанельный вариант, в котором, наконец, условные средние величины, условные отклонения и корреляции изменяются во времени:

Условные средние, условная волатильность и корреляция для гетероскедастичной ограниченной VAR (1) модели.

Когда мы используем условные средние, волатильность и корреляцию для вычисления динамических весов Марковица, с использованием ограниченной VAR (1) модели, получаем:

Оптимальные веса портфеля для гетероскедастичной ограниченной модели VAR (1).

Для данных вне выборки: январь 2015 - январь 2016 г. мы переходим к вычислению оптимальных веса Марковица для двух моделей: первой модели GARCH / DCC с безусловным средним и последней модели VAR/GARCH/DCC. Для обеих моделей мы использовали ту же оценочную условного среднего (отсекаемый отрезок в первом случае, ограниченные параметры VAR в последнем) и параметры GARCH/DCC, но динамическая ковариационная матрица была обновлена в режиме реального времени на основе ошибок прогноза периода вне выборки, полученных на предыдущей стадии.

Например, модели GARCH используют в течение периода за пределами выборки, чтобы получить

Оптимальные веса портфеля за пределами выборки:

После получения весов, мы вычисляем реализованные коэффициенты Шарпа для периода вне выборки, которые представлены на рисунке:



Реализованные коэффициенты Шарпа для альтернативных моделей для периода вне выборки

Совершенно очевидно, что, хотя они невелики, могут быть преимущественнее перед принятием GARCH / DCC модели в качестве основы для распределения активов, когда условная средняя модель является достаточно ограниченной, чтобы избежать чрезмерных вариаций в прогнозах риска премий (ожидаемой прибыли).

Применение на ежедневных данных.

На данный момент мы можем использовать ежедневные данные, рассматривая их как высокочастотные (22 в месяц), мы вычислим ежемесячные кумулятивные прибыли, ежемесячные реализованные дисперсии (RV) и реализованную ковариацию для данных Татнефти и Сургутнефтегаз. Построим графики полученных ежемесячных реализованных дисперсий, ковариации, а также их автокоррелограммы.



Ежемесячная реализуемая дисперсия и автокоррелограммы.

На счет автокорреляционных функций стоит подчеркнуть, что реализованные дисперсии и ковариации являются довольно устойчивыми и, соответственно, предсказуемыми.

Заключение

В ходе магистерской диссертации была доказана важность и актуальность проблемы неопределённости и риска на фондовом рынке. В качестве меры риска была представлена волатильность акций крупнейших Российских компаний нефтяного сектора. Волатильность также использовалась как характеристика прогнозирования движения рынка, что и является непосредственным путем решения проблемы неопределённости.

Было описано около десятка различных моделей многомерного оценивания волатильности. Рассмотрены данные временных рядов доходностей компаний и выявлены их особенности с помощью статистических показателей и в случае одномерного оценивания волатильности эстиматором Кунитомо. Описаны методы для дальнейшего сравнительного анализа эффективности рассмотренных MGARCH моделей.

Также был написан небольшой отрывок, который является заделом для дальнейшей программы в среде Matlab, где показан пример использования многомерной GARCH модели BEKK (1,1) на данных компаний Apple и IBM.

В будущей магистерской диссертации планируется полное написание аналитического программного модуля, способного применять все описанные в данной работе многомерные модели оценивания волатильности на реальных данных. Также сравнение эффективности данных моделей и анализ полученных результатов относительно компаний одного сектора экономики и разных секторов, чтобы вывить влияние одних компаний на другие.

Размещено на Allbest.ru

...