Применение Excel в решении типичных задач финансовой математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

по дисциплине: Финансовая математика

Задание 1

Постановка задачи.

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Квартал	Значение
1	36
2	46
3	55
4	35
5	39
6	50
7	61
8	37
9	42
10	54
11	64
12	40
13	47
14	58
15	70
16	43

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б₁=0,3, б₂=0,6, б₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперёд, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчётные и прогнозные данные.

Решение задачи.

1) Возьмём первые 8 значений из таблицы о кредитах и построим на их основе линейную модель для того, чтобы узнать начальные параметры a(0) и b(0). Для этого применим встроенную функцию ЛИНЕЙН. В ячейку А13 введём формулу:

=ЛИНЕЙН(B2:B9;A2:A9;1;1)

При помощи полученного линейного уравнения получим расчётные значения показателя. Результаты данных операций представлены на рис. 1.

Рис. 1. Линейное уравнение, его параметры и расчётные значения Y_p(t)

На основе полученных данных рассчитаем коэффициенты сезонности для каждого квартала года, для I квартала формула будет:

Аналогично рассчитаем и для остальных кварталов. Результаты расчётов приведены на рис. 2.

Рис. 2. Коэффициенты сезонности

Теперь можно перейти к построению адаптивной модели Хольта-Уинтерса с параметрами сглаживания б₁=0,3, б₂=0,6, б₃=0,3.

Рассчитаем Y_p(t), a(t), b(t), а также F(t) при t=1 по формулам:

, (1)

е k - период упреждения;

Y_p(t) - расчётное значение показателя;

a(t), b(t), и F(t) - коэффициенты модели;

L - период сезонности (в нашем случае: L = 4 - для квартальных данных).

(2)

(3)

(4)

Для уравнения (1) примем t=0 и k=1:

Для уравнений (2) - (4) t=1:

Рассчитаем аналогично показатели для остальных периодов до t = 16.

Результаты построения модели Хольта-Уинтерса представлены в табл. 1.

Таблица 1. Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)
0		41,07	0,85	0,8597
1	36	41,91	0,85	0,8593	36,04
2	46	42,71	0,83	1,0779	46,14
3	55	43,38	0,78	1,2723	55,70
4	35	44,38	0,85	0,7852	34,45
5	39	45,28	0,86	0,8606	38,86
6	50	46,21	0,89	1,0803	49,73
7	61	47,35	0,96	1,2819	59,92
8	37	47,96	0,85	0,7770	37,93
9	42	48,81	0,85	0,8605	42,00
10	54	49,76	0,88	1,0833	53,65
11	64	50,43	0,82	1,2742	64,92
12	40	51,32	0,84	0,7785	39,82
13	47	52,89	1,06	0,8773	44,88
14	58	53,83	1,02	1,0798	58,45
15	70	54,88	1,03	1,2750	69,90
16	43	55,71	0,97	0,7745	43,53

2) Для оценки точности построенной модели используем среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Для этого достроим в таблице 1 ещё 2 столбца со значениями абсолютной и относительной ошибок аппроксимации. Исходя из абсолютных погрешностей, рассчитаем относительные: значение абсолютной погрешности по модулю разделим на фактическое значение Y(t), и выразим в процентах. Результаты расчётов приведены в таблице 2.

Суммарное значение относительных погрешностей составляет 17,63%, что в среднем даёт значение . Эта цифра не превышает 5%, что говорит о выполнении условия точности построенной модели.

Таблица 2

t	Y(t)	Yp(t)	Абс. погр. E(t)	Относ. погр., в %
1	36	36,04	-0,04	0,10
2	46	46,14	-0,14	0,31
3	55	55,70	-0,70	1,28
4	35	34,45	0,55	1,57
5	39	38,86	0,14	0,35
6	50	49,73	0,27	0,54
7	61	59,92	1,08	1,77
8	37	37,93	-0,93	2,53
9	42	42,00	0,00	0,01
10	54	53,65	0,35	0,65
11	64	64,92	-0,92	1,43
12	40	39,82	0,18	0,45
13	47	44,88	2,12	4,51
14	58	58,45	-0,45	0,77
15	70	69,90	0,10	0,15
16	43	43,53	-0,53	1,22
			1,07	17,63

3) Для исследования адекватности модели построим таблицу со вспомогательными данными (см. табл. 3).

Таблица 3

t	Абс. погр. E(t)	Точки поворота	E(t)2	[E(t) - E(t-1)]2	E(t)*E(t-1)
1	-0,04		0,00
2	-0,14	0	0,02	0,01	0,01
3	-0,70	1	0,49	0,32	0,10
4	0,55	1	0,30	1,57	-0,39
5	0,14	1	0,02	0,17	0,07
6	0,27	0	0,07	0,02	0,04
7	1,08	1	1,16	0,65	0,29
8	-0,93	1	0,87	4,05	-1,01
9	0,00	0	0,00	0,87	0,00
10	0,35	1	0,12	0,12	0,00
11	-0,92	1	0,84	1,60	-0,32
12	0,18	0	0,03	1,20	-0,17
13	2,12	1	4,49	3,75	0,38
14	-0,45	1	0,20	6,59	-0,95
15	0,10	1	0,01	0,30	-0,05
16	-0,53		0,28	0,39	-0,05
	1,07	10	8,91	21,61	-2,03

- адекватность модели исходя из случайности остаточной компоненты по критерию пиков

Количество поворотных точек (10) больше рассчитанного значения (6), значит условие случайности остаточной компоненты выполнено.

- независимость уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37)



Значение критерия больше 2, значит, его необходимо уточнить:

; ;

Уровни ряда остатков являются независимыми.

- независимость уровней ряда по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32

Модуль рассчитанного значения автокорреляции меньше критического, значит, уровни ряда остатков независимы.

- нормальность распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21

Так как рассчитанное значение попадает в заданный интервал (3<3,96<4,21), значит, уровень ряда остатков подчиняются нормальному распределению. Таким образом, все условия адекватности построенной модели выполнены.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперёд, т.е. на 1 год.



5) Фактические, расчётные и прогнозные данные отражены на графике на рис. 3.

Рис. 3. Сопоставление фактических и расчётных данных

Задание 2

Постановка задачи.

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K и %D.

Расчёты проводить для всех дней, для которых эти расчёты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	600	550	555
2	560	530	530
3	536	501	524
4	545	521	539
5	583	540	569
6	587	562	581
7	582	561	562
8	573	556	573
9	610	579	592
10	645	585	645

Решение задачи.

Рассчитаем некоторые показатели на основе цен закрытия при интервале сглаживания равным пяти дням по следующим формулам:

- экспоненциальную скользящую среднюю , где ;

- момент ;

- скорость изменения цен ;

- индекс относительной силы ;

Результаты расчётов приведены в табл. 4.

Таблица 4

Дни	Цена зак-ры-тия	Экспон. скол. средняя	МОМ	ROC	Повы-шение цены	Пони-жение цены	Сумма повы-шений	Сумма пони-жений	RSI
1	555
2	530					25
3	524					6
4	539				15
5	569	543,4000	14	102,5225	30
6	581	555,8080	51	109,6226	12		57	31	64,77
7	562	557,8514	38	107,2519		19	57	25	69,51
8	573	562,8504	34	106,3080	11		68	19	78,16
9	592	572,4698	23	104,0422	19		72	19	79,12
10	645	596,4047	64	111,0155	53		95	19	83,33

Теперь, с использованием кроме цены закрытия, также максимальных и минимальных цен, рассчитаем:

- ;

-

- .

Расчёты представлены в табл. 5.

Таблица 5

t	Ht	Lt	Ct	H5	L5	H5-Ct	H5-L5	Ct-L5	%R	%K	Сумма за 3 дня Ct-L5	Сумма за 3 дня H5-L5	%D
1	600	550	555
2	560	530	530
3	536	501	524
4	545	521	539
5	583	540	569	600	501	31	99	68	31,3131	68,6869
6	587	562	581	587	501	6	86	80	6,9767	93,0233
7	582	561	562	587	501	25	86	61	29,0698	70,9302	209	271	77,1218
8	573	556	573	587	521	14	66	52	21,2121	78,7879	193	238	81,0924
9	610	579	592	610	540	18	70	52	25,7143	74,2857	165	222	74,3243
10	645	585	645	645	556	0	89	89	0,0000	100,0000	193	225	85,7778

Задание 3

мультипликативный аппроксимация скользящий экспоненциальный

Постановка задачи.

Банк выдал сумму, размером S (3 000 000) руб. Дата выдачи суммы - 14.01.02 (Т_н), возврата - 18.03.02 (Т_к). День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i=35% годовых.

Найти:

точные проценты с точным числом дней ссуды;

обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение задачи.

Решим задачу при помощи встроенной функции ДОЛЯГОДА. В ячейку F3 введём формулу:

=B2*ДОЛЯГОДА(B3;B4;1)*B5

Аналогичную формулу используем и в остальных случаях, меняя только базис функции ДОЛЯГОДА для (2) варианта на 2 и для (3) варианта на 4.

Рис. 4. Лист с результатами решения задачи

Постановка задачи.

Через 90 (Т_дн) дней после подписания договора должник уплатит S (3 000 000) руб. Кредит выдан под i=35% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение задачи.

Для решения используем формулы, указанные в столбце Е. Также для решения необходимо перевести количество дней в долю года. Решение задачи приведено на рис. 5.

Рис. 5. Лист с результатами решения задачи

Постановка задачи.

Через 90 (Т_дн) предприятия должно получить по векселю S (3 000 000) руб. Банк приобрёл этот вексель с дисконтом. Банк учёл вексель по учётной ставке i =35% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение задачи.

Формулы, по которым проводятся вычисления, указаны в столбце Е. Решение задачи приведено на рис. 6.

Рис. 6. Лист с результатами решения задачи

Постановка задачи.

В кредитном договоре на сумму S (3 000 000) руб. и сроком на 5 (Т_лет) лет зафиксирована ставка сложных процентов, равная i =35% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение задачи.

Для решения задачи применим математическую встроенную функцию СТЕПЕНЬ, в ячейку F4 введём формулу:

=B2*СТЕПЕНЬ(1+B4;B3)

Результаты решения задачи приведены на рис. 7.

Рис. 7. Лист с результатами решения задачи

Постановка задачи.

Ссуда размером S (3 000 000) руб. предоставлена на 5 (Т_лет) лет. Проценты сложные, ставка - i =35% годовых. Проценты начисляются 4 (m) раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение задачи.

Рассчитаем наращенную сумму по формуле из ячейки Е4 с применением функции СТЕПЕНЬ. Результаты решения приведены на рис. 8.

Рис. 8. Лист с результатами решения задачи

Постановка задачи.

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 (m) раза в году, исходя из номинальной ставки i =35% годовых.

Решение задачи.

Для решения задачи используем встроенную функцию ЭФФЕКТ, возвращающую эффективную процентную ставку, исходя из номинальной и количества периодов начисления. Результаты решения задачи представлены на рис. 9.

Рис. 9. Лист с результатами решения задачи

Постановка задачи.

Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 (m) раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i=35% годовых.

Решение задачи.

Для решения задачи используем встроенную функцию НОМИНАЛ, возвращающую номинальную процентную ставку, исходя из эффективной и количества периодов начисления. Результаты решения задачи представлены на рис. 10.

Рис. 10. Лист с результатами решения задачи

Постановка задачи.

Через 5 (Т_лет) лет предприятию будет выплачена сумма S (3 000 000) руб. Определить её современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i =35% годовых.

Решение задачи.

Для решения задачи воспользуемся встроенной функцией ПС, возвращающей приведенную стоимость инвестиции. В ячейку F4 введём следующую формулу:

=ПС(B4;B3;0;-B2;1)

Результаты решения задачи представлены на рис. 11.

Рис. 11. Лист с результатами решения задачи

Постановка задачи.

Через 5 (Т_лет) лет по векселю должна быть выплачена сумма S (3 000 000) руб. Банк учёл вексель по сложной процентной ставке i =35% годовых. Определить дисконт.

Решение задачи.

Для решения задачи воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ. В ячейку F4 введём следующую формулу:

=B2*(1-СТЕПЕНЬ(1-B4;B3))

Результаты решения задачи представлены на рис. 12.

Рис. 12. Лист с результатами решения задачи

Постановка задачи.

В течение 5 (Т_лет) лет на расчётный счёт в конце каждого года поступает по S (3 000 000) руб., на которые 4 (m) раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке i =35%.

Определить сумму на расчётном счёте к концу указанного срока.

Решение задачи.

Для решения задачи воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ. В ячейку F5 введём следующую формулу:

=B3*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B4;B4*B2)-1)/(СТЕПЕНЬ(1+B5/B4;B4)-1)

Результаты решения задачи представлены на рис. 13.

Рис. 13. Лист с результатами решения задачи

Список использованной литературы

1. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций. Учебное пособие / Под ред. В. А. Половникова и А. И. Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2004.

2. Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. - М.: ЮНИТИ, 1998.

3. Орлова И. В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL / Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000.

Размещено на Allbest.ru

...