Осуществление коммерческих финансовых расчетов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Уфимский филиал

Кафедра «Математика и информатика»

Контрольная работа по дисциплине

«Основы финансовых вычислений»

Выполнил студент: Мамедова И.Ф

Курс: 3 Группа: БЭБ-13

Преподаватель: Белолипцев. И. И

Уфа 2017



Тема 1. Теория процентов

Задание 1. Выполните различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице 1. В условиях задач значения параметров приведены в виде переменных.

Задание 1.1. Банк выдал ссуду, размером P руб. Дата выдачи ссуды - Т_н, возврата - Т_к. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i % годовых. Найти:

1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды ;

1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Какой способ начисления процентов будет наиболее выгоден кредитору, а какой - заемщику?

РЕШЕНИЕ

	Май	Июнь	Июль	Август	Итого
tточ	4	30	31	21	86
tприбл	4	30	30	21	85

P = 105000 руб.

Т_н = 28.05.2015г.

Т_к = 22.08.2015г.

i = 10.5%

I-?

Дата выдачи и дата погашения считается за 1 день.

1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды

1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды

1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Ответ: Кредитору будет выгоден второй способ начисления процентов, а заемщику первый способ начисления процентов - точные проценты с точным числом дней ссуды.

Задание 1.2. Через Т_дн дней после подписания договора, должник уплатит S рублей. Кредит выдан под i % годовых (проценты простые). Какова первоначальная сумма и дисконт?

РЕШЕНИЕ

Т_дн= 270 дней

S = 468000 руб.

i= 10.5%

n=270/360=0.75лет

P = 468000/(1+0.75*0,105) = 468000/1.07875 = 433835.45руб.

D = S-P = 468000-433835.45 = 34164.55 руб.

Задание 1.3. Через Т_дн дней предприятие должно получить по векселю S рублей. Банк учел вексель по ставке i % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт, если:

а) применяется простая учетная ставка

б) применяется сложная учетная ставка

РЕШЕНИЕ

Т_дн=270дней

S = 468000 руб.

i=d = 10.5%

n=270/360=0,75лет

P - ? D - ?

а) применяется простая учетная ставка

P = 468000 - 468000*0,075*0,105 = 464314.5 руб.

D = Snd S - P = 468000 - 464314.5 = 3685.5 руб.

б) применяется сложная учетная ставка

P = 468000*(1-0,105)^0.75 ? 430638.77руб.

D = S-S*(1-d)ⁿ = S-P =468000 - 430638.77 = 37361.23руб.

Задание 1.4. В кредитном договоре, на сумму P рублей и сроком лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i % годовых. Определить наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ

P = 1050000 руб.

n = 5 года

i= 10.5%

S - ?

S = P*(1+i)ⁿ

S = 105000*(1+0,105)⁵ = 172981.9 руб.

Задание 1.5. Ссуда, размером P рублей предоставлена на Т_лет лет. Проценты сложные, ставка - i % годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму

РЕШЕНИЕ

P = 105000 руб.

n = 5 года

m = 4

i= 10.5%

S - ?

S = 105000*(1+0,105/4)²⁰ ? 176300.15 руб.

Задание 1.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i % годовых.

РЕШЕНИЕ

m = 4

i = 10.5%

iэф - ?

iэф = (1+ - 1 ? 0,109 ? 10,9% - эффективная ставка процента.

Задание 1.7. Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i % годовых.

РЕШЕНИЕ

m = 4

i= 10.5%

j - ?

Найдем номинальную ставку процента:

j = 0,0252*4 = 0,1008 ? 10.08 % -

номинальная ставка, которая обеспечивает эффективную процентную ставку 10.5 % годовых.

Задание 1.8. Через лет предприятию будет выплачена сумма S рублей. Определить ее современную стоимость, при условии, что применяется сложная процентная ставка i % годовых, а проценты начисляются m раз в году.

РЕШЕНИЕ

m = 4

i= 10.5%

S = 468000 руб.

n = 5 года

Р - ?

Величина Р - называется современной стоимостью величины S.

Задание 1.9. Определите срок, за который вклад в размере руб., помещенный на депозит по ставке % годовых, увеличится вдвое, при условии, что

а) применяются простые проценты

б) сложные проценты

РЕШЕНИЕ

P = 105000 руб.

i= 10.5%

Т - ?

а) Определим, за сколько лет удвоится сумма вклада при применении простых процентов, для этого используем «Правило 100»:

б) Определим, за сколько лет удвоится сумма вклада при применении сложных процентов, для этого используем «Правило 70»:

Задание 1.10. Вклад в размере руб. помещен на депозит по ставке % годовых сроком на один год. Темп инфляци равен . Определите реальную доходность этой инвестиции

РЕШЕНИЕ

P = 105000 руб.

i= 10.5%

= 7%

i_{реальн.}= = = 0,033 = 3,3%

- наращенная сумма.

Задание 1.11. Депозит, в размере руб. размещен под % годовых сроком на лет. Проценты начисляются непрерывно. Определите наращенную сумму.

РЕШЕНИЕ

P = 105000 руб.

n = 5 года

д = 10%

S - ?

Формула для нахождения наращенной суммы за n лет при непрерывном начислении процентов принимает вид:

,

где е -- множитель наращения ? 2,718281

Найдем наращенную сумму:

Задание 1.12. За какой срок сумма в размере руб., помещенная в банк под % годовых сроком на лет, вырастет до величины руб.

РЕШЕНИЕ

P = 105000 руб.

S = 468000 руб.

i = 10.5%

n -?

Так как в задании не указан способ начисления процентов, то решим что депозит размещен под простой процент.

Используем формулу наращения для простых процентов:

468000 = 105000*(1+0,105*n)

468000/105000-1=0.105n

3.45 = 0.105n

n 32.8 лет.

Примерно за 32.8 года 105000 рублей помещенные на депозит по простой процентной ставке равной 10.5% увеличатся до 468000 рублей.

Задание 1.13. Темп инфляции за год равен . При условии, что темп инфляции не меняется, определите темп инфляции

а) за квартал;

б) за лет.

РЕШЕНИЕ

= 7

n = 5 года

а) Найдем темп инфляции за квартал:

б₁ = - 1 = 0,0136 1,36 %.

б) Найдем темп инфляции за 5 лет:

б = (1 + 0,07 - 1 = 0,402 40,2 %

Задание 1.14. В банке "А" проценты начисляются один раз в году по ставке % годовых, а в банке "Б" проценты начисляются раз в году, исходя из номинальной ставки % годовых. В каком банке выгоднее открыть депозит?

РЕШЕНИЕ

m = 4

i = 10.5%

j = 10%

Пусть сумма вклада равна 105000 рублей помещенная на срок 5 лет.

1) Найдем наращенную сумму вклада, помещенного в банк «А»:

S_A = P * (1 + i)ⁿ = 105000 * (1+0,105)⁵ = 172981.9руб.

2) Найдем наращенную сумму вклада, помещенного в банк «Б»:

S_Б = P * (1+)^m*n = 105000 * (1 + )²⁰ = 172054.7руб.

Ответ: Открыть депозит выгоднее в банке «А».

Задане 1.15. Инвестор решил открыть вклад в иностранной валюте со ставкой % годовых (проценты простые). Дата открытия вклада , дата закрытия - . В день открытия вклада сумма в размере руб. была конвертирована в иностранную валюту по курсу . Курс иностранной валюты к рублю на дату закрытия вклада составлял . Определите множитель наращения и величину наращенной суммы в рублях на дату закрытия вклада.

РЕШЕНИЕ

P = 105000 руб.

Т_н = 28.05.2015г.

Т_к = 22.08.2015г.

i = 10.5%

К₀ = 58 = 1/58 = 0,0172

К₁ = 0,0179

n = 87/365

S_RR - ?

M - ?

Найдем наращенную сумму в национальной валюте по формуле:

Найдем множитель наращения:



Тема 2. Финансовые потоки

Задание 2.1. Дан денежный поток (см. таблицу 2) Определите:

а) внутреннюю норму доходности денежного потока;

б) текущую (дисконтированную) величину денежного потока при ставке дисконтирования равной % годовых.

РЕШЕНИЕ

i = 10.5%

a) Найдем внутреннюю норму доходности

А = -2000 + + = 0

Cоставим уравнение:

-2000 + 2000 * (1+IRR)^-1 +2000 * (1+ IRR)^-2 = 0

Заменяя х = (1+IRR)^-1, получим квадратное уравнение

2000х² + 2000х - 2000 = 0 Преобразуем это уравнение:

2х² + 2х - 2 = 0

Решая его, находим:



D = 4 - 4*2*(-2) = 20

x₁ =0.86

x₂ =

(1+IRR)^-1=0,86

IRR=1/0,86-1=0,163? 16,3%

б) Найдем текущую (дисконтированную) величину денежного потока при ставке дисконтирования равной 10.5 % годовых.

А = -2000 + + = -2000 + + = 1447.9

Задание 2.2. В течение лет на банковский счет в конце каждого года поступают платежи в размере руб., проценты начисляются 1 раз в год ставке i %. Найти современную и наращенную стоимость этой ренты.

РЕШЕНИЕ

n= 8 лет

R = 3400 руб.

i =10.5%

Рента постнумерандо, так как платежи поступают в конце срока.

1) Найдем современную стоимость данной ренты:

2) Найдем наращенную стоимость этой ренты:



Задание 2.3. В течение лет на в конце каждого года на банковский счет поступали денежные средства (размеры выплат - постоянны), на которые раз в году начислялись проценты по ставке i % годовых. Наращенная сумма ренты составила рублей. Определите величину ежегодного платежа R и коэффициент наращения ренты.

РЕШЕНИЕ

n= 8 лет

S = 230000 руб.

i =10.5%

m = 4

R - ?

1) Из формулы наращения следует, что

2) Найдем коэффициент наращения:

= 11.83

Задание 2.4. Рассмотрим -срочную ренту сроком лет. Величина рентного платежа равна , процентная ставка - %. Определите:

а) наращенную стоимость ренты, если проценты начисляются 1 раз в году ();

б) современную стоимость ренты, если проценты начисляются раз в году ().

РЕШЕНИЕ

n= 8 лет

R/P = 3400 руб.

i =10.5

k = 3

р = 6

а) Найдем наращенную стоимость ренты, если проценты начисляются 1 раз в году ():

б) Найдем современную стоимость ренты, если проценты начисляются раз в году ()

20400* = 109846.1 руб

Задание 2.5. Чтобы погасить кредит, взятый под % годовых заемщик должен в течение лет ежемесячно () выплачивать сумму . (Здесь речь идет о -срочной ренте: , ). Заемщик обратился в банк с просьбой об изменении графика выплат (конверсии ренты): он просит заменить -срочную ренту на обычную годовую ренту с выплатой суммы один раз в год. Определите размер ежегодного платежа , при условии, что все остальные параметры ренты (срок и процентная ставка) останутся неизменными.

РЕШЕНИЕ

1) р-срочная рента, р=12, R/p=3400 руб., R=20400 руб., i = 10.5%, n=8 лет, k=1 - годовая рента постнумерандум.

2) n₂=8 лет, i = 10.5%, m=1

R^* - ?

A₁=A₂ - современная стоимость новой ренты должна быть равна старой ренте.

A₁ = R/P*=

А₁ = R/p*3400 * = 225301.2 руб.

A₂ = R^* * = R^* * отсюда следует:

R^* = A₂: = 225301.2: 5,23 = 43078.62 руб.

Тема 3. Доходность и риск финансовых операций

Задание 3.1. Дана матрица последствий Q, в которой строки соответствуют возможным управленческим решениям (стратегиям), а столбцы -- альтернативным вариантам развития событий (исходы, состояния внешней среды).

Выберите рациональную управленческую стратегию, применяя критерии максимакса, Вальда, Гурвица, Сэвиджа и правило равновозможности Лапласа. Значение б-критерия Гурвица выберите самостоятельно.



1. Критерий «максимакса». Следует выбрать ту стратегию, которая позволяет получить максимально возможный результат.

i*: max_imax_jq_ij

q_i=max_j, q₁=36, q₂=49, q₃=39, q₄=36

i* = 2

2. Правило Вальда. Согласно этому правилу надо рассчитывать на получение худшего результата вне зависимости от выбранной стратегии. Следует выбирать ту стратегию, которая позволяет минимизировать убытки.

i*: max_imin_jq_ij

q_i=min_j, q₁=28 q₂=25, q₃=25, q₄=26

По правилу Вальда можно выбрать или 2 или 3 стратегию. i=2, i=3.

3.Правило Гурвица. Для каждой стратегии вычислим значение.

C_i = лmin_jq_ij + (1-л)maxq_ij; л [0;1]; i*: max_iC_i

Пусть л = 0.5, тогда

C₁= 0.5*28+(1-0.5)*36= 32

C₂= 0.5*25+0.5*49=37

C₃=0.5*25+0.5*39=32

C₄=0.5*26+0.5*36=31

i* = 2

4. Критерий Сэвиджа. При применении этого правила анализируется матрица рисков.

r_ij - величина потенциально недополученного дохода.

i*: min_imax_jr_ij

r_i=max_j, r₁=17, r₂=11, r₃=10, r₄=20

i* = 3

5. Правило равновозможности Лапласа

Предположим, что вероятности всех четырех исходов одинаковы и равны между собой.

P₁= P₂= P₃= P₄=1/4

P₁+ P₂+ P₃+ P₄=1

Для каждой стратегии вычислим математическое ожидание:

M(Q_i) =

i*: maxM(Q_i)

M(Q₁)=1/4*(30+32+28+36)= 31,5

M(Q₂)=1/4*(30+49+30+25)= 33,5

M(Q₃)=1/4*(25+39+35+26)=31,25

M(Q₄)=1/4*(29+29+26+36)=30

i* = 2

Задание 3.2. Рассматриваются 2 финансовые операции А и В. Известны возможные значения доходности этих операций () и соответствующие им вероятности (). Рассчитайте математическое ожидание доходности финансовых операций, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Сделайте вывод, какая из двух операций предпочтительнее.

А	В
	0,05	0,05	0,2	0,6	0,1		0,05	0,2	0,4	0,3	0,05
	20	27	16	16	9		16	26	19	27	6

Доходность финансовой операции можно рассматривать как случайную величину. Случайная величина имеет два значения: математическое ожидание и дисперсию.

- формула математического ожидания:

Найдем математическое ожидание финансовой операции «А»:

Найдем математическое ожидание финансовой операции «В»:



Найдем дисперсию по формуле:

Дисперсия финансовой операции «А»:

Дисперсия финансовой операции «В»:

Найдем среднеквадратическое отклонение доходности по формуле:

5)

6)

Коэффициент вариации (стандартное относительное отклонение)

=0.29

=0.19

Ответ: предпочтительнее финансовая операция «А».

Тема 4. Портфельный анализ

Задание 4.1. Из трех ценных бумаг А, В и С сформируйте портфель максимальной доходности при условии, что совокупный риск портфеля не превысит максимально допустимый уровень .

Ценная бумага	Доходность , %	Риск	Коэффициенты корреляции	Максимально допустимый уровень риска
А	20,00%	0,5		-0,4	0,9
B	25,00%	0,8		0,1
C	30,00%	1,5		0,4

Решение:

Обозначим: - доли ценных бумаг в портфеле.

Составим математическую модель этой задачи:

Для n=3:

Раскроем скобки в выражении для совокупного риска портфеля.

Решим задачу в Excel при помощи надстройки «Поиск решения»:

Рисунок 1 Исходные данные и необходимые для расчетов формулы



Рисунок 2 Параметры поиска решения

В качестве целевой функции указываем ячейку, в которой записано выражение для доходности портфеля, значение в ячейке должно быть максимальным, при риске портфеля, не превышающем 90%.



Рисунок 3 Результат поиска решения

Ответ: Максимальная доходность в 27% достигается при Х₁=0,06, Х₂=0,49, Х₃=0,46

Тема 5. Облигации

Задание 5.1. Рассматривается возможность покупки облигаций со следующими характеристиками: номинал облигации , дата выпуска , дата погашения , купонная ставка % годовых. Купонный доход выплачивается 1 раз в год. Норма доходности - % годовых.

Определить "справедливую" цену облигации на 1.02.2016 г., если курс облигации на момент принятия решения о покупке будет равен . Сделать вывод о целесообразности покупки облигации по текущему курсу. Как изменится цена облигации, если норма доходности :

а) возрастет на 1,5%;

б) упадет на 0,5 %.

РЕШЕНИЕ

= 1.01.2011

= 1.01.2017

= 2500

= 7,5%

= 13%

= 88,4

«Справедливая» цена облигации при выплате дохода 1 раз в год рассчитывается по формуле:

Р = ,

где Р - цена облигации, N - номинал, k - купонная ставка, r - норма доходности, F - цена погашения (F=N), n - число лет до погашения.

По условию задачи дата покупки - 01.02.2016г., момент следующей выплаты дохода - 01.01.2017г. - 335/366=0,92 года. С даты покупки до погашения - 0,92 года. Найдем справедливую цену:

Р = 2500/100 * 88,4 =2210 руб. - цена покупки облигации по курсу = 88,4

а) Рассчитаем стоимость облигации, если норма доходности возрастет на 1,5%:



б) Рассчитаем стоимость облигации, если норма доходности упадет на 0,5%:

Ответ: Целесообразно купить облигацию по данному курсу, т.к. ее стоимость ниже справедливой цены. При увеличении нормы доходности цена облигации падает, а при уменьшении нормы доходности цена облигации возрастает.

Задание 5.2. Имеются две облигации с номиналом 1000 рублей и сроком обращения, равным лет. Первая облигация с купоном % продается по курсу . Вторая облигация с купоном продается по номиналу.

Какую облигация Вы предпочтете? Обоснуйте свой ответ расчетами.

РЕШЕНИЕ

= 1000

= 7,5%

=8,5%

= 13%

= 88,4

n=6 лет

Для того, чтобы решить какая облигация предпочтительнее, нужно рассчитать доходность к погашению для каждой облигации. Доходность к погашению (YTM) находится из формулы:

Где

CF - купонный платеж (CF=N*k),

F - цена погашения (обычно F=N),

P - цена покупки (курс),

YTM - доходность к погашению.

Но так как найти точное значение YTM из этой формулы трудно, можно воспользоваться формулой для приближенного расчета YTM:

Номинал обеих облигаций равен 1000.

1) Доходность к погашению облигации, продающейся по курсу:

2)Доходность к погашению облигации, продающейся по номиналу:

Ответ: Предпочтительнее покупка облигации по курсу, т.к. ее доходность к погашению больше, чем у облигации, продающейся по номиналу.

Задание 5.3. Имеется облигация со следующими характеристиками: до погашения облигации остается лет, купонная ставка % годовых, купонный доход выплачивается раз в год, норма доходности инвестора - % годовых. Определить дюрацию этой облигации.

РЕШЕНИЕ

Так как в условии не указано, примем m=1, N=2500, =8,5%, = 13%, n=6 лет

Определим дюрацию облигации по формуле

рента ссуда процент облигация

;

Где

- купонный доход в момент времени t (=N*k)

N - номинал,

k - купонная ставка,

r - требуемая норма доходности,

F - цена погашения (F=N),

n - число лет до погашения,

m - число купонных выплат в году

На дату выпуска облигации (01.01.2011 г., срок обращения n=6, число купонных выплат m=1) дюрация составит:



D= = 4,82 лет.

Ответ: Дюрация составит 4,82 лет.



Список литературы

1. Брусов П. Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В., Финансовая математика, Учебное пособие для бакалавров, Кнорус, 2010, 253 с.

2. Брусов П. Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В., Задачи по финансовой математике, Учебное пособие для бакалавров, Кнорус, 2011.

3. Брусов П. Н., Филатова Т. В., Финансовая математика, Учебное пособие для магистров: Инфра-М, 2011.

4. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.; Дело, 2001.

5. Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика: Учеб.-справ. пособие. 2-е изд. М.: ИНФРА-М, 2016. 408 с. (Высшее образование: Бакалавриат).

6. Брусов П. Н., Филатова Т. В. Финансовый менеджмент. Учебное пособие, том.I- III. М.: Кнорус, 2011.

Размещено на Allbest.ru

...