Деньги любят счет, или элементы финансовой математики (проценты, кредиты, вклады)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Деньги любят счет, или элементы финансовой математики (проценты, кредиты, вклады)

Вступление

кредит финансовый ставка дисконтирование

В наше время во всех сферах жизни общества встречается понятие процентов. Но наиболее часто оно используется именно в экономической. Без понятия «проценты» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Поэтому выбранная мной тема особенно актуальна.

Цель моей работы созвучна с её темой: изучить элементы финансовой математики, применяемые в банковской системе.

Для достижения поставленной цели я определила для себя следующие задачи:

o расширить свои сведения о процентах;

o изучить различные формулы в банковской системе;

o применить полученные знания при решении задач;

o изучить понятие «кредит»;

o исследовать условия кредитования в некоторых банках города Ржева.

1. Основные понятия кредитной операции

Слово «процент» происходит от латинского pro centum, т.е. «на сотню». С математической точки зрения 1% от А означает сотую долю некоторого числа А, обычно именованного. В финансовой сфере А - количество каких-то денежных единиц - рублей, долларов, марок и т.д. С экономической точки зрения «процент» представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы. Например, 5% от А = 0,05А.

Получение кредита - распространенная финансовая операция. В своей простейшей форме она подразумевает участие двух лиц - кредитора и дебитора и однократное предоставление денежной ссуды. При этом дебитор обязан вернуть полученную ссуду через точно оговоренный срок и уплатить ее в соответствии с установленном в договоре процентом.

Эта кредитная операция с количественной стороны характеризуется следующими временными параметрами и денежными величинами:

t₀ - дата выдачи ссуды;

Т - ее срок или период;

t₀ + Т - дата погашения ссуды (date of maturity);

S(t₀) - величина выданной ссуды;

I(t₀, T, S(t₀)) - плата за ссуду, процент, доход или абсолютное приращение начального капитала S(t₀);

S(t₀ + Т) = S(t₀) + I(t₀, Т, S(t₀))

- полная стоимость кредита или наращенная сумма (accumulated value).

трех денежных величин только две являются независимыми, причем наиболее важной является процент I(t₀, Т, S(t₀)). Если условия договора ясны из контракта, то плату за ссуду будем обозначать I. Заметам, что если под ссудой имеется в виду вклад в банке иле какая-нибудь другая инвестиция, то процент является доходом от этой инвестиции.

Рассмотрим общепринятые в рыночной экономике алгоритмы вычисления процента I в зависимости от срока ссуды, типа процентов, схемы их начисления и т.д., что с математической точки зрения позволит построить график функции S(t₀), t₀ ? t ? t₀ + T, соединяющий точки S(t₀) и S(t₀ + Т) (см. рис. 1.) На практике это послужит основой для установления правил досрочного расторжения договора.

Разумная сделка должна быть взаимовыгодной для обеих сторон, что является основой ее регулярного применения. Поэтому необходимо правильно оценить ее эффективность, чтобы она не слишком отличалась от существующей в момент t₀ ее заключения средней рыночной величины.

Введем два показателя, каждый из которых имеет свою сферу применения.

Первый показатель

- отношение приращения I ссуженной суммы за срок T к начальной сумме. Этот важный показатель имеет несколько названий: ставка процента, эффективность вложения, интерес (interest rate, return).

Второй показатель

- отношение приращения I ссуженной суммы за срок T к наращенной сумме. Его называют относительной скидкой или дисконтом (discount rate).

> Во многих случаях удобно использовать еще одну величину

называемую дисконт-фактором (discount factor).

При теоретическом анализе этой простейшей кредитной операции часто бывает удобно принять момент выдачи кредита за начальный, т.е. положить t₀ = 0. Тогда вместо S(t₀) и S(t₀ + T) можно писать S(0) и S(T), а срок Т кредита указывать в виде индекса, например, i_T, d_T, v_T.

В финансовой практике в договоре указывают обе даты - даты выдачи и погашения кредита, т.е. t₀ и t₀ + Т.

Задачи

1. Кредит выдан в момент t₀ = 0 на срок Т =1 год в сумме S(0) = 1 млн. руб. с условием возврата S(1) = 2 млн. руб. Чему равны интерес и дисконт?

Решение:

1 100%

0,5 50%

2. Кредит выдан на сумму S(0) = 3 млн. руб. на срок T = 1 год под ставку i₁ = 50%.Сколько придется вернуть через год?

Решение: S(t₀ + T) = S(t₀) (1 + i₁) = 3

(1+0,5) = 4,5 млн. руб.

3. Кредит выдан на срок T = 1 год с условием возврата S(1) = 3 млн. руб. и дисконтом d₀ = 20%. Чему равен дисконт-фактор и какую сумму получит дебитор?

Решение: v₁ = 1 - d(t₀, T) = 1 - 0,2

1 = 0,8 80%

S(t₀) = S(t₀ + T) v₁ = 3

0,2 = 2,4 млн. руб.

4. Пусть в момент t₀ = 0 выдан кредит S(0) = 2 млн. руб. на срок Т = 0,5 года за плату I (0,5) -1,2 млн. руб. Определите полугодовую процентную ставку.

Решение: i_0,5 = 0,6 i_0,5 = 60%.

Таким образом, процентная ставка i_T относится ко всему периоду действия кредитного договора, т.е. является процентной ставкой за период Т. Сроки кредитов меняются от нескольких дней до нескольких лет, а иногда и не фиксируются заранее, поэтому процентная ставка обычно задается не для всего периода Т сделки, а для некоторого базового периода.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

Основная единица времени, например, год называется базовой.

Временной интервал, в конце (иногда - в начале) которого начисляются проценты за этот интервал, называется конверсионным периодом или периодом начисления.

Если длина конверсионного периода совпадает с базовой единицей времени, то соответствующая процентная ставка называется эффективной.

Для начисления процентов на практике используют схемы простых процентов (simple interest), сложных процентов (compound interest) и их различные комбинации.

Остановимся теперь на экономической сущности рассмотренной нами простейшей кредитной операции. Для кредитора эта операция является инвестицией, так как он получает доход в виде процента на предоставленные заемщику денежные средства. В этом случае кредитор является инвестором, а предоставленные им заемщику средства - капиталом кредитора. Одно и то же лицо (физическое или юридическое) может в различных сделках выступать в различных ролях. Так, при вложении своих средств в банк вкладчик выступает в роли инвестора (кредитора), а банк - в роли заемщика. При выдаче банковской ссуды банк является кредитором (инвестором), а получатель ссуды - заемщиком.

В финансовом анализе и расчетах большую роль играет время. Эта роль велика даже при малой инфляции, а при большой инфляции она может стать просто огромной. Поэтому часто указывают и момент t₀ и ее срок Т. Если в момент t₀ мы располагаем суммой C(t₀), а в момент t₁ > t₀ - суммой С(t₁) = C(t₀), то экономически эти суммы неэквивалентны, т.е. одна тысяча рублей сегодня дороже, чем эта же сумма через год. Этот важный факт в англоязычной экономической литературе называется «time value of money», т.е. временная стоимость денег. Инфляция и связанная с ней неопределенность делает ее смысл понятным всем.

2. Простые проценты

Будем считать базовой единицей времени 1 календарный год и обозначим

i₁ i, d₁ =: d, v₁ =: v.

Для простоты положим t₀ = 0, т.е. начнем отсчитывать календарное время с момента заключения анализируемого договора.

Допустим, что вкладчик открывает в банке счет до востребования на 1 млн. руб. при ставке 90% годовых. Проценты простые, т.е. деньги можно снимать в любое время, а проценты на проценты не начисляются, сколько бы времени ни хранился вклад. Тогда через 6 месяцев вкладчик может снять 1,45 млн. руб., через год - 1,9 млн. руб., через 16 месяцев - 2,2 млн. руб.

Поэтому, если сумма S(0) зачисляется на вклад под простые проценты по постоянной ставке i в год, то плата I (t, S(0)) банка вкладчику за право использовать его вклад пропорциональна S(0) и длительности t хранения вклада без промежуточных операций, выраженной в годах, и равна

I (t, S(0)) = S(0) it.

Здесь размерность S(0) - ден. ед., i - 1/ед. вр., t-ед. вр. Поэтому после приведения (если это необходимо) к одной и той же временной единице и сокращения ее наименований получим размерность произведения в денежных единицах.

Таким образом, доход вкладчика растет линейно вместе с t, а наращенная сумма вклада за t лет в соответствии с (1.1) составит

S(t) = S(0) + I (t, S(0)) = S(0) (1 + it).

Формулу (2.2) иллюстрирует рис. 2, на котором начальная S(0) и наращенная S(t) суммы соединены прямой линией. Далее будут рассмотрены случаи, в которых закон наращения является более сложным.

Отметим также, что ставка i может зависеть от величины S(0), увеличиваясь вместе с последней. На практике эту задачу обычно упрощают, устанавливая, например, одно значение i для вкладов от 100 до 500 тыс. руб., другое - от 500 тыс руб. до 1 млн. руб. и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Выражение (2.2) часто называют формулой наращения по простым процентам, а множитель

- коэффициентом наращения простых процентов, его обозначают А(t).

Простые проценты применяют в следующих случаях:

o при выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года;

o когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору заемщиком в конце каждого конверсионного периода;

o при сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов и т.д.;

Задачи

5. Пусть 3 млн. руб. выдано в кредит на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10% в месяц. Найдите наращенное значение долга в конце каждого месяца.

Решение: Обозначим через S(k) наращенное значение долга в конце месяца k. Так как S(0) = 3 млн. руб., i = 0,10, то в силу формулы (2.2)

S(k) = 3 (1 + 0,10k), k =1, 2, 3, 4, 5, 6.

Полученный результат представим в виде следующей таблицы:

k	0	1	2	3	4	5	6
S(k)	3	3,3	3,6	3,9	4,2	4,5	4,8

Мы видим, что последовательность S(0), S(l),…, S(6) представляет собой арифметическую прогрессию из 7 членов с начальным членом 3 млн. руб. и разностью 300 тыс. руб.

ТЕОРЕМА 2.1.

Если j - постоянная ставка простых процентов за конверсионный период, k - число конверсионных периодов с момента заключения договора, то наращенная сумма S(k) для вклада S(0) без промежуточных операций образует арифметическую прогрессию с а₀ = S(0) и разностью d = S(0) j.

2.1 Обычные и точные простые проценты

При краткосрочных операциях срок инвестирования удобно измерять в днях, а продолжительность Т года принимать равной либо 360 = 12 * 30 дням, либо фактическому числу дней в году. В первом случае простые проценты называют обычными, во втором - точными. При фиксированном i обычные проценты больше точных.

При подсчете числа дней срока инвестирования возможны два варианта. Первый вариант: наиболее часто подсчитывают точное число дней с помощью специальной таблицы, в которой приведены порядковые номера каждого дня в году. При этом день выдачи и возврата ссуды считают за один день. Во втором варианте подсчитывают точное число месяцев в сроке и добавляют число оставшихся дней. При этом длительность каждого полного месяца полагают равной 30 дням. Второй вариант дает обычно меньшее значение

Таким образом, всего имеется четыре варианта схемы расчета простых процентов, из которых применяются следующие три.

а) Точные проценты с точным числом дней ссуды. При начислении процентов за 6 месяцев срок ссуды полагается равным 182 дням. Эта, наиболее точная, схема широко применяется в банках Великобритании.

б) Обычные проценты с точным числом дней ссуды. Эта схема дает несколько больший результат, чем предыдущая, и используется в банках Франция.

в) Обычные проценты с приближенным числом дней ссуды. Это - менее точная схема, она применяется в банках Германии.

Четвертая схема - точные проценты и приближенное число дней ссуды - не применяется.

2.2 Переменные ставки простых процентов

Предположим, что инфляция вынуждает часто изменять ставку простых процентов (floating rate). Пусть за период договора (t₀, t₀ + Т) изменения годовой ставки происходили т - 1 раз в моменты

Обозначим t_m:= t₀ + Т и разобьем период договора (t_0, t_m) на m подинтервалов с постоянной годовой ставков, так что на подинтервале (t₀, t_m) ставка составляет j₀ на подинтервале (t₁, t₂) - j₁, …, а на последнем подинтервале (t_m-1, t_m) она равна j_m-1, (рис.).



ТЕОРЕМА 2.2.

Если начальная сумма S(t₀) помещена под простые проценты при указанных выше переменных годовых ставках, то при отсутствии промежуточных операций коэффициент (множитель) наращения на всем интервале (t_0, t_m).

Примечание. Здесь использованы общепринятые в математике обозначения суммы нескольких слагаемых. Например, причем индекс суммирования можно обозначать любой буквой.

Доказательство.

Согласно формуле (1.1)

S(t_m) = S(t₀) + I(t₀, t_m, S(t₀))

Здесь I(t₀, t_m, S(t₀)) - абсолютное приращение начальной суммы S(t₀) на интервале (t₀, t_m).

Мы знаем, что наращение простых процентов на начальную сумму S(t₀) на каждом подинтервале (t_s t_s+1) происходит независимо от наращения на предыдущих подинтервалах. Обозначим через I(t_s, t_s+1, S(t₀)) абсолютное приращение на подинтервале (t_s t_s+1), а через - относительное приращение. Тогда абсолютное приращение на всем интервале (t₀, t_m) равно сумме абсолютных приращений на каждом из подинтервалов.

Это означает, что относительное приращение S(t₀) по схеме простых процентов на всем интервале (t₀, t_m) равно сумме относительных приращений на каждом из подинтервалов. При этом в силу формулы (2.1) для любого

s = 0, 1, 2,…, т - 1

Отсюда и из (2.6) следует, что

Геометрически (2.8) означает площадь прямоугольника с основанием (t_s t_s+1) и высотой j_s, a (2.9) - сумму площадей всех m таких прямоугольников.

СЛЕДСТВИЕ.

Пусть годовые ставки простых процентов на всех интервалах одинаковы, т.е.

j₀ = j₁ = j₂ = … = j_m-1.

>Как и следовало ожидать, эта формула совпала с первоначальной формулой наращения по простым процентам.

Задачи

6. Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: за первый год - 60%, в каждом следующем полугодии ставка повышается на 10%. Определите коэффициент наращения за 2,5 года.

Решение: Здесь длина начального подинтервала составляет 1 год, первого, второго и третьего подинтервалов - полгода. Поэтому в силу формулы (2.4) коэффициент наращения равен

1 + 1

0,60 + 0,5

0,70 + 0,5

0,80 + 0,5

0,90 = 2,80.

7. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов:

а) за первый квартал - 230% годовых, за второй и третий - по 240% годовых, за четвертый - 200% годовых;

б) за первый квартал - 10% ежемесячно, за второй и третий кварталы - 40% за каждый квартал, за четвертый квартал - 15% ежемесячно.

Определите коэффициент наращения за год.

Указание. При использовании формулы (2.4) обратите внимание на размерность входящих в нее величин.

Решение:

а) A(1) = 1

(t_s+1 - t_s) j_s = 1 + 0,25

2,3 + 0,25

2,4

2 + 0,25

2 = 3,275

б) A(1) = 1

(t_s+1 - t_s) j_s = 1 + 3/12

0,1 + 2

0,25

0,4 + 3/12

0,15 = 0,6

2.3 Реинвестирование под простые проценты

Примем теперь, что в момент каждого изменения ставки наращенная к этому моменту сумма вкладывается вновь под новый простой процент. Эта операция называется реинвестированием или капитализацией процентов.

ТЕОРЕМА 2.3.

Доказательство.

Коэффициент наращения на интервале (t_0, t_m) составит 1 + (t₁ - t₀₎j₀, после чего сумма

S(t₁) = S(t₀) [1+(t₁ - t₀) j₀]

будет переоформлена на следующий срок по ставке j₁. Коэффициент наращения на интервале (t₁, t₂) составит 1 + (t₂ - t₁) j₁, а в момент t₂ наращенная сумма будет равна

S(t₂) = S(t₁) [1+(t₁ - t₀) j₁] = S(t₀) [1+(t₁ - t₀) j₀] [1+(t₂ - t₁) j₁]

Рассуждая аналогично, получим формулу (2.11).

СЛЕДСТВИЕ

Если t₁ - t₀ = t₂ - t₁ =… = t_m - t_{m - 1} = 1, т.е. одному конверсионному периоду, а j₀ = j₁ = … = j_{m - 1} =: j - ставка за этот конверсионный период, то наращенная сумма за т периодов начисления составит

S(t_m) = S(t₀) (1+j)^m

Задачa

8. На некоторую сумму S(0) ежемесячно в течение квартала начисляются простые проценты по ставке 9% в первый месяц, 10% - во второй, 11% - в третий. Определите коэффициент наращения суммы за квартал при реинвестировании.

Решение:

А (0,25) = 1 +t_s+1 - t_s) j_s = (1 + 0,09) (1 + 0,10) (1 + 0,11) = 1,319.

2.4 Дисконтирование по простым процентам

В финансовой практике очень часто приходится решать задачу, обратную вычислению наращенной суммы: по заданной заранее наращенной сумме S(t₀ + Т) требуется определить, какую сумму S(t₀) надо инвестировать в момент t₀ = 0, чтобы через время Т при постоянной ставке простого процента получить требуемую сумму S(t₀ + T).

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Современным, приведенным или текущим значением (present value) будущей суммы S(t₀ + T) в настоящий момент t₀ называется сумма S(t₀), которая при инвестировании в момент t₀ по ставке i(t₀) простого процента даст через время Т требуемое наращенное значение S(t₀ + T).

Операция вычисления современного значения будущих денег называется математическим дисконтированием, а величина

- дисконтным множителем.

Разность S(t₀ + Т) - S(t₀) часто называют дисконтом суммы S(t₀ + Т) и обозначают D(Т).

Задачи

9. Заемщик получил кредит на 6 месяцев под 80% годовых с условием вернуть 3 млн. руб. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

Решение: Принимая год равным 360 дням, а 6 месяцев - 180 дням, получим

S(t₀) = 2,143 млн. руб.

D = S(t₀ + Т) - S(t₀) = 857 тыс. руб.

10. Какую сумму инвестор должен внести сегодня под простые проценты по ставке 50% годовых, чтобы накопить 200 тыс. руб.: а) за полгода; б) за два года; в) за пять лет?

Решение: Имеем (в рублях):

a) S(0) = 160 000;

б) S(0) = 100 000;

в) S(0) = 57 143.

Проценты «вперед» и годовая учетная ставка

Рассмотрим случай, когда простой процент за кредит или любую другую инвестицию выплачивается в момент заключения договора сроком на 1 год, т.е. «вперед» (предварительно). Обозначим этот процент через d и назовем годовой учетной ставкой, если он эквивалентен годовой ставке i простого процента.

ТЕОРЕМА 2.4.

Годовая учетная ставка d для простых процентов «вперед» связана с годовой ставкой i для простых процентов «потом» соотношением

Доказательство.

1) Для начальной инвестиции S(0) наращенная за 1 год составляет S(0) (1 + i), а ее приращение - S(0) i. Если же банк или другой заемщик выплачивает эквивалентный процент вперед по ставке d, то он должен уплатить инвестору в момент заключения договора сумму S(0) d. В силу эквивалентности современной суммы S(0) d будущей сумме S(0) i после приведения S(0) i к моменту 0 заключения договора получим

Сокращая обе части равенства на S(0), имеем (2.14).

2) Приведем еще одно доказательство этой важной теоремы. Пусть вкладчик А вкладывает в банк 1 ден. ед. по годовой ставке i и получает через год доход i ден. ед. Вкладчик Б одновременно с А также вкладывает в тот же банк 1 ден. ед. и получает сразу доход в размере d ден. ед. Если он сразу же снова вложит свой доход в банк, то через год d ден. ед. возрастут до d + di ден. ед. Согласно условию эквивалентности (рис. 4) имеем

d (l + i) = i,

>Отметим, что так как в силу (2.14) d < 1 и d < i, то

d < min (1, i).

Таким образом, i - наращенное за 1 год значение d, a d - простые проценты по ставке i, уплачиваемые вперед.

Связь ставок процента и дисконта

Проиллюстрируем теперь понятия об основных показателях финансовой операции для случая простых процентов и простых дисконтов. Положим для простоты t₀ = 0. Тогда доход от операции за интервал (0, Т) с позиции S(0) составит

I(Т) = S(T) - S(0) = iT,

а дисконт (скидка) за (0, Т) с позиции S(T) составит

D(T) = S(T) - S(0),

Учет векселей

Пример

Рассмотрим в качестве примера следующий вексель, т.е. подписанное обязательство уплатить указанную сумму в указанный срок:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Номинальная стоимость векселя составляет $ 2000, фактическая стоимость равна номинальной плюс проценты за 60 дней:

$ 2000 [1 + 0,11] = $ 2036,16.

Хотя срок платежа наступает 31 октября 1994 г., вексель можно учесть (продать) и раньше, но с дисконтом (скидкой). Примем, что мистер А продает вексель банку 2 октября 1994 г. с дисконтом по годовой учетной ставке 9,5%. Выясним, по какой цене его купит банк и какой будет норма прибыли мастера А и банка от этой операции.

> Чтобы установить цену векселя при его досрочной продаже, необходимо доказать справедливость следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2.5.

Рассмотрим интервал (0, 1) времени длиною 1 год и пусть d - годовая учетная ставка, t - время в долях года, S(1) - наращенная сумма первоначального долга S(0). Тогда значение S(t) долгов момент t < 1, выраженное через S(1) и d, имеет вид

S(t) = S(1) [1 - (1 - t) d],

Доказательство.

Как и раньше, выразим сначала S(t) через S(0) и i.

Имеем

S(t) = S(0) (1 + ti).

Подставляя в формулу (2.21) выражения

S(1) (1 - d +td) = S(1) [1 - (1 - t) d].

> Таким образом, если в (2.21) S(t) получено в результате приращения к S(0) в размере I(t) = S(0) ti, зависящем от времени t от начала срока действия договора, то в (2.20) S(t) получено в результате дисконта (скидки) с S(1) в размере

D (1 - t) = S (1 - t) d,

зависящем от оставшегося до конца срока времени 1 - t.

Формула (2.20) позволяет закончить решение примера. На момент продажи векселя до срока платежа по нему остается 29 дней. Следовательно, цена продажи с дисконтом по учетной ставке 9,5% составит

$ 2036,16 [1 - 0,095] = $ 2020,79

Поэтому норма прибыли мистера A и банка в процентах составит соответственно

100 = 12,24%,

100 = 9,57%.

> Величина [1 - (1 - t) d] называется коэффициентом дисконта или дисконтным множителем, который не может быть отрицательным. Поэтому

Это означает, что при учете векселя задолго до срока платежа по нему и при большом d дисконт может привести к нулевой или даже отрицательной продажной цене векселя, что лишено смысла. Например, при d = 200% и

t = 0,5 года при учете за вексель не дадут ничего.

3. Сложные проценты

Пусть банк выплачивает по сберегательному счету простые проценты по ставке i в год, причем эта ставка действует два года. Примем, что в данный момент t₀ = 0 вкладчик открывает счет с начальным вкладом S(0), который можно пополнить или закрыть в любое время.

Если вкладчик закроет счет через год, то он в соответствии с § 2.1 получит сумму

S(l) = S(0) (1 + i)

Допустим, что вкладчик положит эту сумму еще на один год. Тогда в конце второго года он в соответствии с § 2.1 получит

S(2) = S(l) (l + i) = S(0) (1 + i)² = S(0) (1 + 2i + i²)

Если же вкладчик не будет переоформлять свой клад, то через два года он получит в соответствии с § 2.1, сумму

S(0) (1 + 2i),

т.е. на S(0) i² меньше. Это дополнительное наращение [S(0) i] i представляет собой проценты, начисленные в конце второго года на проценты S(0) i за первый год, реинвестированные на второй год.

Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов в коммерческой практике принято выплачивать сложные проценты.

3.1 Формула и коэффициент наращения по сложным годовым процентам

В долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты либо выплачиваются сразу после их начисления, либо реинвестируют, применяя сложные проценты (compound interest). Исходная сумма или база для начисления увеличивается с каждым периодом начисления, а для простых процентов база постоянна и равна S(0). Поэтому наращение по сложным процентам происходит с ускорением. Присоединение начисленных процентов к их базовой сумме называется капитализацией процентов.

Установим формулу наращения при условии, что проценты капитализируются один раз в год. Пусть S(0) - начяальная сумма, i - годовая ставка процента, n - число лет наращения, при этом никаких промежуточных платежей не производится. Тогда в конце первого года проценты равны S(0) i, а наращенная сумма составит

S(1) = S(0) + S(0) i = S(0) (1 + i).

К концу второго года наращенная сумма будет равна

S(2) = S(0) (1 + i) + S(0) (1 + i) i = S(0) (1 + i) (1 + i),

S(2) = S(0) (1 + i)²

В конце года наращенная сумма составит

S(n) = S (n - 1) + S (n - 1) i = S (n - 1) (1 +i)

Выражая S (n - 1) через S (n - 2), S (n - 2) - через S (n - 3): т.д., получим формулу наращения по сложным годовым процентам со ставкой i:

S(n) = S(0) (1 +i)ⁿ, n = 1, 2, ….

Следовательно, наращение по сложным процентам вписывается геометрической прогрессией, начальный член которой a₀ = S(0), а знаменатель q = 1 + i.

3.2 Произвольная длина интервала наращения

Формула наращения (3.3) была выведена только для целых значений интервала наращения n, но она имеет место и для всех неотрицательных значений n.

Справедлива следующая важная теорема.

ТЕОРЕМА 3.1 (ПРИНЦИП СТАБИЛЬНОСТИ РЫНКА).

Если не учитывать налоги и другие накладные расходы, то коэффициент наращения на некотором интервале равен произведению коэффициентов наращения на каждом из составляющих его подинтервалов.

Доказательство.

Для простоты интервал наращения (t₀, t₂) разобьем на два подинтервала (t₀, t₁) и (t₁, t₂) (рис. 5).

В соответствии с определением коэффициента наращения запишем

S(t₂) = S(t₀) А(t₀, t₂).

С другой стороны,

S(t₁) = S(t₀) А(t₀, t₁),

S(t₂) = S(t₁) А(t₁, t₂) = S(t₀) = S(t₀) А(t₀, t₁) А(t₁, t₂).

Сравнивая два выражения для S(t₂), получаем

А(t₀, t₂) = А(t₀, t₁) А(t₁, t₂)

> Отметим, что в такой простой формулировке эта важная теорема в финансовой практике выполняется лишь приблизительно, поскольку она не учитывает налоги и некоторые другие факторы. Однако более сложная теория позволяет учесть многие из этих факторов.

3.3 Несколько периодов начисления в году

Рассмотрим случай, когда период начисления меньше года, причем 1 год содержит целое число т периодов начисления. В следующей таблице приведены несколько часто встречающихся периодов начисления и соответствующие им значения т:

Период начисления	1 день	1 неделя	1 месяц	2 месяца	3 месяца	4 месяца	6 месяцев	12 месяцев
т	365	52	12	6	4	3	2	1

Пусть g_m - ставка сложных процентов за период начисления, число которых за год составляет т. Тогда за п лет число периодов начисления составит тп, так что, в силу формулы (3.4), коэффициент наращения на интервале времени (0, п) равен

А (0, п) = (1 + g_т), п = 1, 2….

Если любой начальный капитал S(t₀) вложен в момент t₀ под постоянную ставку g_m, то на основании формулы (3.6) коэффициент наращения на интервале (t₀, t₀ + Т) любой длины Т, измеренной в годах, равен

A(t₀, t₀ + T) = (1 + g_m)^mT, T 0

Отметим, что в формулах (3.8), (3.9) срок инвестиции измеряется в периодах начисления и составляет соответственно тп и тТ периодов.

Задачи

11. Пусть начальный вклад S(0) = 250 тыс. руб. положен на 4 года под сложные проценты при ставке 100% годовых. Проследите за ростом вклада по годам. Для этого с помощью формулы наращения (3.3) составьте следующую таблицу:

t, лет	0	1	2	3	4
(1 + i)t	1	2	4	8	16
S(t) = S(0) 2t, руб	250 103	5 105	106	2 106	4 106

Мы видим, что при i = 100% рост происходит очень быстро.

12. Сумма 800 тыс. руб. инвестируется на 3 года под 80% годовых. Найти наращенную сумму за этот срок и коэффициент наращения.

Решение:

S(n) = S(0) (1 +i)ⁿ = 800

10³

(1 +0,8)³ = 4 665 600 руб.

А(3) = (1 + i)ⁿ = (1 + 0,8)³ = 5,832

13. Найти сложные проценты за 2 года, начисленные на 900 тыс. руб. по ставке 30% в квартал.

Решение:

I(2) = S(2) - S(0) = S(0) (1 + i)² - S(0) = 900

10³

1,3² - 900

10³ = 621 000 руб.

14. На срочный вклад в банке зачислено $ 100 по ставке 6% годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 2, 3, 4 и 5 лет при условии начисления: а) простых и б) сложных процентов.

Решение: Имеем (в долларах):

а) S(2) = S(0) (1 + it) = 100

(1+0,062)=112

S(3) = S(0) (1 + it) = 100

(1+0,063)=118

S(4) = S(0) (1 + it) = 100

(1+0,064)=124

S(5) = S(0) (1 + it) = 100

(1+0,065)=130

б) S(2) = S(0) (1+i)ⁿ = 100

(1+0,06)² = 112,36

S(3) = S(0) (1+i)ⁿ = 100

(1+0,06)³ = 119,1

S(4) = S(0) (1+i)ⁿ = 100

(1+0,06)⁴ = 126,25

S(5) = S(0) (1+i)ⁿ = 100

(1+0,06)⁵ = 133,82

3.4 Плавающие ставки сложных процентов

При большой инфляции банк иногда меняет ставки сложных процентов, предусмотренные договором с вкладчиком. Естественно, что тогда точно рассчитать наращенную сумму невозможно, и речь может идти только о ее ориентировочном прогнозе. В некоторых случаях в договоре предусматриваются изменяющиеся от одного периода начисления к следующему, но заранее оговоренные процентные ставки. Если j₁, j₂, …, j_k - последовательные значения договорных процентных ставок, a n₁, n₂, …, п_к - число периодов начисления по соответствующим ставкам.

Задача

15. Процентная ставка по ссуде составляет 30% плюс марка 2% в квартал в первый год и 40% плюс марка 3% за полугодие во второй год. Определите коэффициент наращения за два года.

Решение: Согласно формуле (3.10):

А(2) = 1,32⁴ * 1.43² = 3,036 * 2,045 = 6,208.

4. Сравнение простых и сложных процентов

Сравним теперь коэффициенты наращения по простым и сложным процентам. В качестве примера приведем коэффициенты наращения по простым и сложным процентам при ставке 8% годовых и временной базе дней в следующей таблице:

Коэффициент наращения	Срок ссуды
	30 дней	180 дней	1 год	5 лет	10 лет	50 лет	100 лет
1 + ni	1,00657	1,0394	1,08	1,40	1,80	5,0	9,0
(1 + t)n	1,00635	1,0392	1,08	1,47	2,16	46,9	2200

На рис. 6 в качестве иллюстрации приведены графики коэффициентов наращения в зависимости от срока Т в годах для простых и сложных процентов при одинаковой годовой ставке i.

Очевидно, что при Т = 1 коэффициенты наращения совпадают и равны 1 + i. Можно показать, что при любом i в зависимости от величины Т имеют место следующие два противоположных неравенства:

1 + iТ > (1 +i)^T при 0 < T < 1,

1 + iТ < (1 + i)^T при T > 1.

4.1 Период удвоения

Найдем теперь период Т₂ инвестиции, за который исходит удвоение первоначальной суммы при одинаковой годовой ставке i простых и сложных процентов.

В табл. приводятся эти значения для нескольких значений i:

i, %	5	10	15	25	50	75	100
Т2пр, лет	20	10	6,7	4	2	1,4	1
T2сл, лет	14,2	7,3	5	3,1	1,7	1,2	1

4.2 Начисление годовых процентов при нецелом Т

Пусть срок Т инвестиции не является целым числом, то есть

Т =[T] + {T},

где [Т] - целая часть Т, а {T} - дробный остаток. Тогда проценты можно начислять, во-первых, по общей формуле

S(T) = S(0) (1 + i)^T, T > 0,

во-вторых, - с помощью комбинированного метода, когда за целое число периодов начисления начисляются сложные проценты, а за дробную часть - простые:

S(T) = S(0) (1 + i)^[T] (l + {T} i), T > 0.

Интересно отметить, что в силу неравенства (4.1) наращенная сумма (4.4) будет больше, чем (4.3). Это означает, например, что для вкладчика выгоднее второй метод, а для банка - первый. Можно показать, что наибольшая разница между (4.3) и (4.4) достигается при {Т} = 1/2.

Задача

16. Кредит в размере 4 млн. руб. выдав на срок 1,5 года по ставке 180% годовых. Вычислите сумму долга на конец срока по первому и второму способам.

Решение:

1) S (1,5) = S(0) (1 + i)^1,5 = 18 741 184,6 руб.

2) S (1,5) = S(0) (1 + i)^[1] (l + {0,5} i) = 21 280 000 руб.

5. Номинальная и эффективная процентные ставки

В условиях инфляции проценты капитализируются несколько раз в году - ежедневно, еженедельно, ежемесячно, ежеквартально и т.д. Однако в финансовых контрактах обычно фиксируется годовая ставка и указывается число m периодов начисления.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Годовая ставка i^(m) называется номинальной (nominal rate), если соответствующая процентная ставка j_1/m за один период начисления длиною T

лет составляет

j_1/m =, m = 1, 2, 3….

Если T - срок инвестиции в годах, то

S(T) = S(0) (1 +)^mT.

Здесь mT - число периодов начисления за T лет.

Очевидно, что чем больше т, тем быстрее растет коэффициент наращения

А(Т) = (1 +)^mT.

Задачи

17. 10 млн. руб. инвестированы на 2 года по ставке 120% годовых. Найти наращенную за это время сумму и ее приращение при начислении: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно; д) еженедельно; е) каждые пять дня; ж) ежедневного начисления процентов.

Решение:

Здесь S(0) = 10⁷ руб., Т = 2, i^(m) = 120% при m = 1, 2, 4,12.

Ответ на поставленный вопрос содержится в табл. 5.1.

Случай	m	(1 +)m2	S(2), млн. руб.	I(2) = S(2) - S(0), млн. руб.
a)	1	(1 + 1,2/1)2 = 4,8400	48,400	38,400
б)	2	(1 + 1,2/2)4 = 6,5536	65,536	55,536
в)	4	(1 + 1,2/4)8 = 8,1573	81,573	71,573
г)	12	(1 + 1,2/12)12 = 9,8497	98,497	88,497
д)	52	(1 + 1,2/52)104 = 10,7266	107,266	97,266
е)	73	(1 + 1,2/73)146 = 10,8102	108,102	98,102
ж)	365	(1 + 1,2/365)730 = 10,9799	109,799	99,799

Мы видим, что с ростом частоты m начислений в году коэффициент наращения и, следовательно, абсолютный годовой доход растет. Для сравнения реального относительного дохода за год при начислении процентов один и m раз введем новое понятие - эффективную ставку процентов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Эффективная годовая ставка i_эф для номинальной i^(m) находится из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за 1 год:

1 + i_эф = (1 +)^m.

Отсюда следует, что

i⁽¹⁾ = i_эф = j₁

Отметим, что в силу (5.3) эффективная годовая ставка

i_эф = (1 +)^m - 1

эквивалентна в финансовом смысле ставке, применяемой m раз в году.

Задача

18. Банк начисляет сложные проценты по номинальной ставке 120%. Определите эффективную ставку при ежедневной и ежемесячной капитализации процентов.

Решение:

i_эф = (1 +)^m - 1 = (1 +)³⁶⁵ - 1 = (1,00329)³⁶⁵ - 1 = 2,316 (при ежедневной капитализации)

i_эф = (1 +)^m - 1 = (1 +)¹² - 1 = 1,10¹² - 1 = 2,138 (при ежемесячной капитализации)

Мы видим, что разница ощутимая.

> Связь эффективных и номинальных процентов иллюстрирует табл. 5.2, в которой приведены эффективные ставки i_эф в зависимости от i^(m) и m.

i(m)%	m
	2	4	12	52	365
5	5,0625	5,0945	5,1162	5,1246	5,1267
10	10,2500	10,3813	10,4713	10,5065	10,5156
50	56,25	60,1807	63,2094	64,4788	64,8157
100	125	144,1406	161,3035	169,2597	171,4567
150	206,25	257,4463	310,9891	338,7557	346,7934
200	300	406,25	535,8599	611,7077	634,8825

> На практике начисление процентов m раз в год в США производят непосредственно по формуле наращения (5.2); в европейских странах обычно сначала по формуле (5.4) рассчитывают i_эф, а затем по формуле

S(T) = S(0) (1 + i_эф)^Т

определяют наращенную сумму.

Если при заключении контракта заданы i_эф и m, номинальную ставку i^(m) находят из выражения

i^(m) = m[(1 + i_эф)^1/m - 1]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Две номинальные годовые ставки называются эквивалентными, если соответствующие им годовые эффективные ставки совпадают.

19. Найдите номинальную процентную ставку с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.

20. По известным значениям i⁽¹²⁾ найдите эквивалентные им значения им и занесите i⁽²⁾ в следующую таблицу:

i(12), %	24	50	100	150	200
i(2), %	25	55	123	205	251

21. Найдите эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 150% при ежемесячном велении процентов.

Решение:

22. Найдите наращенную сумму на 1,5 млн. руб., инвестированную на 3 месяца по номинальной ставке 12% годовых.

Решение:

i_эф = (1 +)^m = 1,12

S(T) = S(0) (1 + i_эф)^Т = S (0,25) = 1,5 10⁶

(1+1,12)^0,25 = 1 809 986 руб.

23. Для номинальной ставки 200% с начислением центов 2 раза в год найдите эквивалентную ставку, центы по которой выплачиваются ежемесячно.

Pешение:

i_эф = (1 +)^m - 1 = (1 + 1,5/12)¹² - 1 = 3,1099

6. Современное значение денег и дисконтирование будущих сумм на сегодня

Часто бывает необходимо знать, какую сумму S(0) нужно вложить под фиксированную ставку сложных процентов сегодня, чтобы через определенный срок Т лет получить желаемую сумму S(T). Здесь S(0) называется современным или приведенным значением для S(Т); разность

S(T) - S(0) = I(T)

называется сложным дисконтом, а процесс вычисления неизвестного S(0) по известному S(T) - дисконтированием или приведением.

При заданных S(T) и годовой процентной ставке i

S(0) =, T > 0,

а при заданных S(T) и годовой номинальной ставке i^(m)

S(0) =, T > 0

Формулы (6.2) и (6.3) связывают между собой современное S(0) и будущее S(T) значения денег. Если не учитывать инфляцию и другие факторы риска, то эти суммы в определенном смысле эквивалентны: платеж суммы S(0) сегодня при фиксированной процентной ставке равноценен платежу суммы S(T) через Т лет.

Задачи

24. Найти современное значение долга, полная сумма которого через 3 года составит 7 млн. руб. Проценты начисляются по следующим ставкам:

а) 140% в конце каждого года;

б) 20% в конце каждого квартала;

в) 120% годовых в конце каждого месяца.

Решение: Имеем (в рублях):

а) S(0) = 506 366;

б) S(0) = 785 105;

в) S(0) = 226 442.

25. Найдите современное значение инвестиции, если наращенная к концу пятого года сумма составляет 15 млн. руб. Проценты начисляются по следующим ставкам:

а) 120% в конце каждого года;

б) 60% в конце каждого полугодия.

...