Оценка долгосрочных активов

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Классическая модель САРМ

С математической точки зрения стоимостью капитала является процентная ставка, используемая для пересчета будущих потоков доходов в единую величину текущей стоимости. В экономическом смысле стоимость капитала представляет собой альтернативную доходность, которую можно получить на фондовом рынке от инвестирования в бумаги, подобные по риску и сроку погашения, рассматриваемому объекту инвестирования. Существует несколько подходов к определению стоимости акционерного капитала. Наиболее часто на практике используются три модели: модель оценки 2 долгосрочных активов (Capital Asset Pricing Model, модель САРМ), модель кумулятивного построения и модель мультипликатора. Далее основное внимание будет уделено модели оценки долгосрочных активов. Основная идея модели оценки долгосрочных активов заключается в том, что существует только один источник риска, влияющий на долговременную доходность вложений в реальные активы и ценные бумаги. Модель САРМ утверждает, что этот риск есть рыночный риск, т.е. тенденция акций изменять свои позиции относительно уровня рынка акций в целом. В модели САРМ этот рыночный риск измеряется с помощью показателя бета. Модель оценки долгосрочных активов имеет следующий вид:

rm = rf + в Ч E или ( ) m f m f r = r + в r ? r,

где mr - рыночная ставка доходности; f r - безрисковая ставка доходности; в - «бета»-коэффициент, для рынка в целом равный единице; E - премия за риск вложения в акции, равна ( ) m f r ? r. Гипотетически безрисковая ставка равна доходности ценной бумаги или портфеля ценных бумаг, ни при каких обстоятельствах не подверженных риску невыполнения обязательств, и поэтому она совершенно не коррелирует с другими доходностями в экономике. Теоретически наилучшим материалом безрисковой ставки была бы доходность инвестиционного портфеля с нулевой бетой. Но поскольку формирование таких портфелей с нулевой бетой - дело дорогостоящее и весьма сложное, этот инструмент оценки безрисковой ставки не используется. В качестве безрисковой ставки дохода в мировой практике обычно используется ставка дохода по долгосрочным государственным долговым обязательствам (облигациям или векселям) с аналогичным исследуемому проекту горизонтом инвестирования. Например, в США обычно используется процентная ставка 3 десятилетних казначейских облигаций. Среди причин выбора именно этой ставки выделяются следующие положения [1, 2]. Во-первых, это долгосрочная процентная ставка, которая более других соответствует продолжительности денежных потоков оцениваемой компании. Текущая ставка казначейских векселей - ставка краткосрочная, и поэтому она не вполне соответствует продолжительности денежных потоков. Если приходится пользоваться краткосрочной ставкой, то самый приемлемый выбор в таком случае - ожидаемые краткосрочные ставки на каждый будущий период, а не сегодняшняя краткосрочная ставка. По сути, десятилетняя процентная ставка представляет собой среднее геометрическое значение ожидаемых краткосрочных ставок по казначейским векселям за весь период оценки. Во-вторых, долгосрочная процентная ставка более устойчива с течением времени, а значит менее рискованная, чем краткосрочная. Так в [1] приводится пример изменения процентных ставок в двух странах США и Новой Зеландии, согласно которому краткосрочная процентная ставка сильнее изменяется и в США (за шесть лет ставка упала на 77%, а долгосрочная - только на 28%) и в Новой Зеландии (почти за четыре года краткосрочная ставка упала на 74%, а долгосрочная - только на 55%). В-третьих, десятилетняя ставка по своему временному горизонту близка портфелю акций рыночного индекса, и в силу этого она совместима с бетой и рыночной премией за риск, относящийся к этому рыночному портфелю. В-четвертых, десятилетняя ставка характеризуется меньшей чувствительностью к неожиданным колебаниям инфляции, а также меньшей премией за ликвидность относительно более долгосрочных ставок. Премия за риск вложения в акции представляет собой разницу между ожидаемой доходностью рынка и безрисковой процентной ставкой. Показатель общей доходности рынка представляет собой среднерыночный индекс доходности и 4 рассчитывается на основе долгосрочного анализа статистических данных в соответствии с гипотезой о детерминированности или взаимосвязанности цен на акции с искомой фундаментальной стоимостью предприятий. Согласно [2] обычно используют среднее геометрическое значение доходности, поскольку оно более точно отражает ожидаемую инвесторами доходность за продолжительные периоды времени. По крайней мере, именно такой подход используется в исследованиях представителей компании «Ibbotson Associates» [3]. Данные по доходности активов этой компании - Stocks, Bonds, Bills, and Inflation: Yearbook - публикуются в каждом уважаемом учебнике по корпоративным финансам. Среднеарифметическая доходность - это просто среднее значение доходностей за единственный период, соответственно средние арифметические значения разнятся в зависимости от периода оценки. Средняя геометрическая доходность - это доходность со сложным начислением, которая уравнивает исходную и конечную стоимости. Существуют обоснованные доводы [4] в пользу использования именно среднего геометрического. Во-первых, эмпирические исследования показывают, что доходность акций статистически коррелирует во времени. Иными словами, удачные годы с бульшей вероятностью сменяются неудачными годами, и наоборот. Следовательно, среднеарифметическая доходность завышает доходность. Во-вторых, хотя модель САРМ может быть моделью с одним периодом, ее использование для получения ожидаемых доходов на длительных периодах (например, 5-10 лет) предполагает, что единичный период может значительно превышать один год. Расчет средней геометрической доходности производится по следующей формуле: 1 1 0 ? ч ч ш ц м м н л = t t m S S r где mr - средняя геометрическая доходность; 5 0 S - начальное значение индекса; t S - значение индекса через период времени t; Среднегеометрическое значение рыночной премии за риск в США за период 1926-2000гг. составляло 5,24%. Долгосрочное значение премии предполагается на уровне 4% [3].

Модель САРМ

Основные положения модели САРМ от Goldman Sachs уже описывались в специализированной литературе [5], однако очень усеченном виде. Выводы, сделанные на основе приложения этой модели, говорят о слабой применимости ее в российских условиях. Попробуем проверить эту модель еще раз, но только уже в полном виде. Модель Goldman Sachs была специально разработана для использования в портфельном инвестировании на развивающихся рынках Латинской Америки, Азии и стран Восточной Европы. В интерпретации Goldman Sachs [6, 7, 8] формула модели САРМ имеет следующий вид: E ( ) A S S r r r u u b m = f + s + в Ч Ч Ч 1? где f r - доходность государственных облигаций США; sr - спрэд доходностей государственных облигаций США и развивающейся страны; в - «бета»-коэффициент, для рынка в целом равный единице; b S - изменчивость индекса фондового рынка развивающейся страны; u S - изменчивость индекса фондового рынка США; Eu - рыночная премия за риск для условий США; A - коэффициент корреляции рынков государственных облигаций и фондового рынка развивающейся страны. 6 В модели Goldman Sachs в качестве безрисковой ставки используется доходность 30-летних государственных облигаций США. В качестве страновой риск-премии используется спрэд доходностей государственных облигаций США и развивающейся страны. Премия за риск инвестирования в акции рассчитывается на основе рыночной премии для условий США скорректированной на отношение изменчивостей индексов развивающейся страны и США, а также на коэффициент, позволяющий исключить двойной учет рисков. Например, валютный риск учитывается и в доходности еврооблигаций, и в доходности фондового индекса. Изменчивость индекса фондового рынка определяется как стандартное отклонение ежедневных изменений индекса за шестимесячный период. Коэффициент, позволяющий исключить двойной учет рисков, рассчитывается как разница между единицей и коэффициентом корреляции рынков государственных облигаций и фондового рынка развивающейся страны. Корреляция рынков определяется на шестимесячном отрезке времени. Для расчета стоимости акционерного капитала отдельной компании в модели Goldman Sachs используется стандартный коэффициент в. Все элементы модели Goldman Sachs обозначены, соответственно можно перейти к расчету стоимости акционерного капитала для российского рынка в целом. Расчет базируется на фактических данных, зафиксированных на конец сентября 2005 г. Использование модели САРМ от Goldman Sachs на российском рынке Для расчета безрисковой ставки обратимся к российскому рынку фиксированной доходности. На рынке присутствуют государственные еврооблигации номинированные в долларах США с периодом обращения 30 лет. Однако дюрация, т.е. эффективный срок погашения, этих облигаций никогда не превышала 10-11 лет. Соответственно и в модели Goldman Sachs, по нашему мнению, следует использовать доходность американских государственных облигаций с сопоставимым сроком. 7 Доходность к погашению российских еврооблигаций с конца декабря 2000 г. по конец декабря 2004 г. значительно снизилась (см. рис. 1). Исходя из линейных трендов кривых доходности облигаций, основное снижение пришлось на постоянную часть доходности, которая сократилась с 13,2% до 3,6%. При этом переменная часть сократилась немного, с 0,7% до 0,36%. Фиксация кривой доходности на сентябрь 2005г. показала, что постоянная часть по сравнению с началом года возросла до 4,4%, а переменная часть - уменьшилась более чем в три раза до 0,11%.

2. Практическая часть

Исходная информация для выполнения практических заданий курсовой работы представлена в таблице 1.

Таблица 1. Котировки индекса ММВБ и некоторых российских акций

Период	ММВБ	«МТС»	«Армада»	«Мегафон»
5	1477,28	195	270,5	672
6	1471,06	182,5	265	681
7	1485,77	176	269	679,1
8	1480,43	180	270	679,7
9	1484,85	182,1	270	695
10	1495,94	172	270	692,3
11	1503,6	174,89	272	688,6
12	1498,73	180	267	723,2
13	1493,79	184,54	271	742,4
14	1492,72	186,99	260	738
15	1477,87	187,35	263	750
16	1470,83	187,15	265	740
17	1463,11	187	271,35	721,5
18	1463,6	191,5	271	724,7
19	1454,05	188,5	271,5	723,8
20	1440,9	190	271,5	727
21	1441,79	193	304,5	725,3
22	1456	189	341	723
23	1463,96	189	388	748
24	1478,22	185	395	756,8
25	1475,9	185	409	760
26	1483,57	187	425	754,9
27	1498,08	186,99	385	755,1
28	1478,77	189	400	755,2
29	1494,32	183,5	403	768,3
30	1507,49	183,94	397	803
31	1504,24	185,95	399	790
32	1485,6	185,9	400	798
33	1480,99	189	396,99	792,4
34	1487,64	195	397,7	810
35	1489,01	198	395	822,3
36	1478,64	201	400	818
37	1469,51	202	400	813,2
38	1448,7	202	397,5	805,1
39	1444,71	197	400	806,2
40	1288,81	203,15	408	811,8
Период	ММВБ	«МТС»	«Армада»	«Мегафон»
41	1356,54	202	407	830
42	1351,11	204	420	847
43	1337,98	205,7	417	845
44	1339,36	204	417	850
45	1308,7	200,5	419,99	847,5
46	1274,21	212,4	415,55	846,3
47	1248,56	211	417	848,4
48	1237,43	211,28	416,55	845,5
49	1283,7	210,42	419	848,5

Задание 1. Используя дневные котировки индекса ММВБ или любой акции, рассчитать ожидаемую доходность, логарифмическую ожидаемую доходность, риск, корреляцию и ковариацию между двумя активами. Сделать выводы. Проверить, подчиняются ли котировки нормальному распределению (визуально с помощью гистограммы).

Решение.

Для того чтобы превратить дневные котировки в дневную доходность, используем формулу:

(2.1)

где r_t - доходность на период t;

P_t - цена на период t;

P_t-₁ - цена на период t - 1.

Логарифмическую доходность будем находить по следующей формуле:

 (2.2)

Возьмем из таблицы 2 котировки акций «Мегафон» и скопируем их в Excel. Затем в ячейку С3 введем формулу = (В3 - В2)/В2.

Эту формулу скопируем до конца столбца доходностей.

Результат получился следующий (рис. 1).

Рисунок 1. Исходные данные и доходность акций «Мегафон»

Ожидаемую доходность вычисляем с помощью функции Excel «СРЗНАЧ»: в ячейку С47 введем формулу =СРЗНАЧ(C3:C46), в ячейку D47 - =СРЗНАЧ(D3:D46).

Риск вычисляем как дисперсию и стандартное отклонение с помощью функций «ДИСП» и «СТАНДОТКЛОН», для чего вводим формулы:

С48 = ДИСП(C3:C46);

D48 =ДИСП(D3:D46);

С49 =СТАНДОТКЛОН(C3:C46);

D49 = СТАНДОТКЛОН(D3:D46).

Возьмем из таблицы 1 котировки индекса ММВБ и скопируем их в Excel. Для индекса ММВБ вычислим доходности, как для акций «Мегафон». Ковариацию и корреляцию между доходностями двух активов рассчитаем с помощью функций «КОВАР» и «КОРРЕЛ»:

С50 =КОВАР(C3:C46;F3:F46);

С51 =КОРРЕЛ(C3:C46;F3:F46).

Результат получился следующий (рис. 2).

Рисунок 2. Характеристики доходностей акций «Мегафон» и индекса ММВБ

Проверку соответствия распределения доходностей нормальному закону осуществить, построив гистограмму и визуально проверив ее сходство с гистограммой нормального распределения. Для этого воспользуемся надстройкой «Анализ данных», где выберем пункт «Гистограмма». В качестве исходных данных выделяем исходную выборку.

Для заполнения пункта «Карман» приготовим данные следующим образом. Сформируем 8 групп в гистограмме. Тогда от максимального значения отнимаем минимальное и делим разность на 8.

Полученный результат прибавляем к минимальному значению, затем к полученному - и так далее, пока не дойдем до последнего значения. Получившийся столбец будет диапазоном данных для графы «Карман». Надстройка выдаст частоту попадания в каждый карман и по этим данным построит график-гистограмма.

Для доходностей акций «Мегафон» совершаем следующие действия.

В ячейки записываем формулы:

I3=(МАКС(C3:C46)-МИН(C3:C46))/8;

J3 =МИН(C3:C46);

J4 =J3+I$3.

Копируем ячейку J4 на диапазон J5: J10.

Выбираем на панели инструментов Данные >Анализ данных> Гистограмма. Выберем входной интервал - значения доходностей акций «Мегафон», карман - сформированные значения интервалов, выходной интервал - ячейку начала выходной информации, вывод графика, интегральный процент.

Рисунок 3. Окно вывода Гистограммы

Полученная гистограмма приведена на рис. 4.

Аналогично выводим гистограмму доходностей индекса ММВБ. Полученная гистограмма приведена на рис. 5.

Рисунок 4. Гистограмма доходностей акций «Мегафон»

Рисунок 5. Гистограмма доходностей индекса ММВБ

Расчеты показали, что за рассматриваемый период дневная доходность акций «Мегафон» в среднем составила 0,5%, а среднедневная убыточность индекса ММВБ - 0,3%. Значит, больше потенциальной прибыли может принести вложение в акции «Мегафон». Максимальная доходность акций «Мегафон» составила 5% за 12-й день торгов, а индекса ММВБ - 5,3% за 41-й день торгов.

Мера рассеивания (стандартное отклонение) значений доходности вложений в индекс ММВБ больше, чем в акции «Мегафон», значит, риск вложений в индекс ММВБ выше, несмотря на его среднюю убыточность.

Коэффициент корреляции доходностей ( < 0,3) показывает, что изменение стоимости акций «Мегафон» и индекса ММВБ находятся в прямой слабой зависимости.

Гистограммы показывают, что распределение доходностей акций «Мегафон» и индекса ММВБ не соответствуют нормальному закону. При этом распределение доходностей акций «Мегафон» ближе к нормальному закону, чем индекса ММВБ.

Задание 2. Используя дневные котировки трех акций, рассчитать по каждой акции собственный риск, доходность и бета-коэффициент. При безрисковой ставке 0,00014 (0,14%) в день определить доли активов в оптимальном портфеле по модели САРМ.

Решение.

Возьмем из таблицы 1 котировки индекса ММВБ и акций «МТС», «Армада» и «Мегафон» и скопируем их в Excel. Затем для расчета ежедневных доходностей в ячейку С3 введем формулу = (В3 - В2)/В2. Эту формулу скопируем до конца столбца доходностей и в пятый, седьмой и девятый столбцы. Результат получится следующий (рис. 6).



Рисунок 6. Исходные данные и доходность индекса ММВБ и акций трёх компаний

Используем для определения собственного риска надстройку «Регрессия» во вкладке «Анализ данных».

Для определения собственного риска акции «МТС» в качестве входного интервала Х вводим значения доходности индекса, в качестве входного интервала У - значение доходности акции. Ставим галочку напротив «Выводить остатки» (рис. 7).

Повторяем процедуру для всех трех акций. Результаты регрессии будут на отдельных листах.



Рисунок 7. Окно вывода Регрессии

Формулы индексной модели выглядят следующим образом.

Для доходности:

(2.3)

где б_i - альфа-коэффициент, коэффициент смещения - доходность акции, свободная от рыночных факторов;

r_m - ожидаемая доходность рыночного индекса;

e_i - случайная составляющая, или ошибка регрессии (в дальнейшем ей пренебрегают);

в_i - бета-коэффициент - чувствительность доходности акции к рыночной доходности.

Слагаемое в_ir_m показывает компоненту доходности, зависящую от рынка. Параметры альфа и бета находятся методом наименьших квадратов из системы уравнений.

В листах результатов будут «Пересечение с осью У» и «Переменная Х1». Это и есть соответственно альфа- и бета-коэффициенты.

По результатам Регрессии получаем следующие индексные модели:

Доходность акций «МТС» -

Доходность акций «Армада» -

Доходность акций «Мегафон» -

Для риска:

(2.4)

где - дисперсия i-й акции;

- дисперсия рыночного индекса;

- дисперсия остатков e_i.

Первое слагаемое показывает рыночный риск, а второе - специфический риск, от которого можно избавиться путем диверсификации.

Также в результатах будут остатки. Посчитаем по функции «ДИСП» дисперсию остатков - это и будет собственный риск:

акций «МТС» -

акций «Армада» -

акций «Мегафон» -

Найдем с помощью функций ожидаемую доходность (СРЗНАЧ) и дисперсию рынка (ДИСП):

акций «МТС» -

акций «Армада» -

акций «Мегафон» -

индекса ММВБ - ,

Выпишем на отдельном листе доходность рынка, безрисковую ставку, дисперсию рынка, заданную доходность (ее задаем самостоятельно в диапазоне средних доходностей акций), бета-коэффициент и собственный риск по всем трем акциям. На месте долей ставим нули. Рассчитываем риск и доходность портфеля по формулам:

(2.5)

где - риск портфеля;

x_i - доля i-й акции;

- собственный риск i-й акции;

в_i - бета-коэффициент i-й акции;

m_p - заданное значение доходности портфеля.

Открываем надстройку Excel «Поиск решения», вводим целевую функцию из формулы (2.5), также вводим два ограничения. Указываем, что целевая функция минимизируется. Ограничение по неотрицательности долей не вводим. Отрицательные доли означают заемные средства (рис. 8).



Рисунок 8. Окно Поиска решений

Результат расчетов приведен на рис. 9.

Рисунок 9. Формирование оптимального портфеля

Получаем оптимальный портфель, состоящий на 13% из акций «МТС», на 23% из акций «Армада» и на 64% из акций «Мегафон» при заданной среднедневной доходности 0,6%. При этом риск портфеля будет минимальным и составит

Задание 3. Используя дневные котировки трех акций, построить ковариационную матрицу, рассчитать по каждой акции доходность и риск. Самостоятельно задать доходность портфеля. Определить доли акций в оптимальном портфеле по модели Марковитца.

Решение.

Копируем на новый лист котировки трех акций и превращаем их в доходность по формуле (2.1). Ковариационную матрицу строим с помощью функции «КОВАР». Выглядит ковариационная матрица для трех активов следующим образом (активы 1, 2, 3):

(2.6)

Получили ковариационную матрицу:

	«МТС»	«Армада»	«Мегафон»
«МТС»	0,000503	-0,000024	0,000033
«Армада»	-0,000024	0,001457	0,000015
«Мегафон»	0,000033	0,000015	0,000231

Найдем ожидаемую доходность каждой акции (она найдена в задании 2), зададим доходность портфеля (аналогично предыдущему заданию). Зададим целевую функцию и ограничения по следующим формулам:

(2.7)

где V_p - целевая функция;

V - матрица ковариаций (диагональные элементы этой матрицы являются дисперсиями);

X - матрица-столбец долей активов;

M - матрица-столбец ожидаемых доходностей активов, входящих в портфель;

I^Т - единичная матрица-столбец;

m_p - заданное желаемое значение доходности портфеля.

Решение задачи выглядит следующим образом:

(2.8)

где J₁ = I^TV-¹I, J₁₂ = I^TV-¹M, J₂ = M^TV-¹M.

Так как формулы матричные, то используем такие функции Excel, как «МОБР» (нахождение V-¹), «ТРАНСП», «МУМНОЖ». Сначала находим J₁, J₁₂, J₂, затем вектор-столбец Х. Сумма его элементов должна быть равна единице.

Получим решение, представленное на рис. 10.

Рисунок 10. Формирование оптимального портфеля Марковитца с заданной доходностью

Получаем оптимальный портфель, состоящий на 11,37% из акций «МТС», на 22,35% из акций «Армада» и на 66,28% из акций «Мегафон» при заданной среднедневной доходности 0,6%. При этом риск портфеля будет минимальным и составит

Задание 4. Используя дневные котировки индекса ММВБ и трех акций, рассчитать бета-коэффициенты для каждой акции и определить доли акций в арбитражном портфеле.

Решение.

Бета-коэффициенты посчитаны в задании 2, но мы их посчитаем по формуле (2.9).

(2.9)

где cov_im- ковариация между акцией и рынком.

Для этого используем функции Excel «КОВАР» и «ДИСПР».

Получим следующие значения (рис. 11).

Рисунок 11. Бета-коэффициенты

Арбитражный портфель должен соответствовать двум условиям: быть портфелем с нулевыми инвестициями и иметь нулевой риск (т.е. нулевой бета-коэффициент). Эти условия показаны следующими уравнениями:

 (2.10)

Строим систему уравнений для нашего случая:

х₁ + х₂ + х₃ = 0,

в₁х₁ + в₂х₂ + в₃х₃ = 0.

Уравнений больше, чем неизвестных, поэтому мы фиксируем долю х₁, равной 0,1. Решаем систему методом методом Крамера (рис. 12).

Рисунок 12. Формирование арбитражного портфеля

Получаем арбитражный портфель, состоящий на 10% из акций «МТС», на -43,16% из акций «Армада» и на 33,16% из акций «Мегафон». При этом риск портфеля составит в = 0, а среднедневная доходность - -0,3%.

Список использованных источников

доход инвестирование долгосрочный актив

1. Галанов В.А. Рынок ценных бумаг. Учебник. - М.: ИНФРА-М, 2014. - 378 с.

2. Дамодаран А. Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов. М.: Альпина Паблишер, 2016. - 1316 с.

3. Инвестиции: Учебник / под ред. В.В. Ковалева, В.В. Иванова, В.А. Лялина - М.: Проспект, 2016. - 588 с.

4. Кузнецов Б.Т. Инвестиционный анализ: Учебник и практикум. - М.: Юрайт, 2015. - 362 с.

5. Леонтьев В.Е. Инвестиции: Учебник и практикум. / В.Е. Леонтьев, В.В. Бочаров, Н.П. Радковская. - М.: Юрайт, 2016. - 464 с.

6. Михайленко М.Н. Рынок ценных бумаг: Учебник и практикум. - М.: Юрайт, 2016. - 326 с.

7. Михайленко М.Н. Финансовые рынки и институты: Учебник и практикум / М.М. Михайленко; под ред. А.Н. Жилкиной. - М.: Юрайт, 2015. - 304 с.

8. Никитина Т.В. Финансовые рынки и финансово-кредитные институты: Учебное пособие. / Т.В. Никитина, А.В. Репета-Турсунова. - СПб.: Изд-во СПбГЭУ, 2014. - 115 с.

9. Рынок ценных бумаг: Учебник и практикум /под общ. ред. Н.И. Березина. - М.: Юрайт, 2016. - 444 с.

10. Склярова Ю.М. Инвестиции: Учебник/ Ю.М. Склярова, И.Ю. Скляров, Л.А. Латышева. - Ростов н/Д.: Феникс, 2015. - 349 с.

11. Финансовые рынки: Электронный учебник (2013) - Режим доступа: https://finmarketstudy.wordpress.com/finmarket-pmit/textbook/.

12. Шарп У. Инвестиции / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бэйли. - М.: ИНФРА-М, 2010. - 1028 с.

Размещено на Allbest.ru

...