Формирование оптимального портфеля активов, моделируемых стохастическими дифференциальными уравнениями Ито
Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг, цены которых моделируются случайными процессами как одна из актуальных проблем современной финансовой математики. Определение доли активов в портфеле с помощью дифференциальных уравнений Ито.
| Рубрика | Финансы, деньги и налоги |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2018 |
| Размер файла | 106,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Формирование оптимального портфеля активов, моделируемых стохастическими дифференциальными уравнениями Ито
Микишанина Евгения Арифжановна,
старший преподаватель
Чувашского государственного
университета им. И. Н. Ульянова.
Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг (активов), цены которых моделируются случайными процессами, является одной из актуальных проблем современной финансовой математики. При составлении такого портфеля инвестор сталкивается с необходимостью оценки ожидаемой доходности каждого актива и связанного с ним риска неполучения дохода. Очень часто активы рассматриваются в конкретный момент времени и сроятся предположения на основе теоретико-вероятностной трактовки выше упомянутых понятий. Однако стоимость ценных бумаг можно рассматривать и как случайный процесс на некотором промежутке времени со своими числовыми характеристиками, такими как математическое ожидание и дисперсия.
Пусть - капитал инвестора в момент времени . Предположим, что он инвестирует свои средства в различных рисковых активов. Будем считать, что цены каждого актива являются решением стохастических дифференциальных уравнений Ито
,
где - постоянные, которые характеризуют мгновенное изменение трендовой составляющей и степень будущей изменчивости цены актива (волатильность), - независимые стандартные винеровские процессы, В начальный момент времени капитал является детерминированной величиной, равной .
Инвестор распределяет свой капитал между данными активами в долях соответственно, причем , . Тогда стохастическое дифференциальное уравнение для капитала примет вид
.
Закон изменения величины капитала во времени будет иметь вид
. (1)
Математическое ожидание случайного процесса (1) примет вид
(2)
дисперсия -
(3)
Математическое ожидание (2) и дисперсия (3) являются функциями -й неизвестной .
Одна из целей, которую преследует инвестор, - это минимизация дисперсии величины капитала как случайного процесса и максимизация ожидаемой выгоды от капитала в последующие моменты времени. Одновременно это сделать невозможно. Но можно зафиксировать желаемый уровень будущей ожидаемой величины капитала и при этих условиях минимизировать дисперсию. Эта задача известна как первая задача Марковица, [1]. ценный бумага финансовый дифференциальный уравнение
В нашем случае эта задача примет вид:
(4)
где - константа, определяющая ожидаемую инвестором величину капитала.
Получить желаемую величину капитала можно в любой момент из некоторого временного интервала, который определяется ограничениями системы (4). Более того, инвестируя все средства в актив с наибольшей составляющей , желаемый уровень капитала можно достичь максимально быстро. Но, как правило, активы с большей ожидаемой доходностью, а, соответственно, и с большей скоростью изменения трендовой составляющей , обладают и большей волатильностью. Поэтому и дисперсия такого портфеля будет достаточно велика. Решение задачи (4) поиска условного экстремума позволяет определить момент времени, к которому будет достигнут желаемый уровень величины капитала при минимальной дисперсии, а также доли вложений в имеющиеся активы.
Задача (4) для конкретных данных может быть решена разными способами, например, методом множителей Лагранжа с ограничениями типа равенств и неравенств, методом исключения некоторых неизвестных, численными методами. Однако, в общем виде для произвольного количества активов эту задачу решить довольно сложно.
Решим в общем виде задачу для двух рисковых активов. В этом случае система (4) примет вид
(5)
Пусть Сделаем замену
.
Целевая функция системы (5) примет вид
. (6)
Находя экстремум функции (6) и, учитывая, что , получим:
(7)
(8)
(9)
Итак, для портфеля, состоящего их двух рисковых ценных бумаг, определены доли активов в портфеле (7),(8) и момент времени (9), к которому будет достигнут желаемый уровень капитала, при этом дисперсия капитала как случайного процесса будет минимальна.
Литература
1. Уильям Ф. Шарп. Инвестиции / Уильям Ф. Шарп, Гордон Дж. Александер, Джеффри В. Бейли. - М.: ИНФРА-М, 1999. - 1028с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие портфеля ценных бумаг, его виды и основные принципы формирования. Модель ценообразования на основной капитал: применение парного регрессионного анализа. Вывод линейной зависимости между риском и прибылью. Составление оптимального портфеля.
дипломная работа [339,5 K], добавлен 19.05.2013Формирование оптимального портфеля ценных бумаг. Паевые инвестиционные фонды на рынке России. Использование копула-функций для оптимизации портфеля ценных бумаг. Анализ данных по выбранным паевым инвестиционным фондам. Тестирование оптимальных портфелей.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 18.10.2016Понятие и формы финансовых инвестиций. Классификация портфеля ценных бумаг и методы его оптимального формирования для разных типов инвесторов, стратегии управления. Оценка риска и доходности финансовых активов. Формализация процесса инвестирования в ЦБ.
дипломная работа [2,2 M], добавлен 16.05.2017Суть теории портфельных инвестиций. Модель оценки доходности финансовых активов. Основные постулаты и принципы теории. Практическое применение и значимость теории. Математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
контрольная работа [23,7 K], добавлен 28.02.2006Изучение основ формирования и моделей выбора оптимального портфеля ценных бумаг: модель Марковитца, индексная модель Шарпа, модель выровненной цены, теория игр. Характеристика основных проблем портфельного инвестирования в условиях российского рынка.
курсовая работа [121,9 K], добавлен 05.06.2010Понятие и классификация инвестиций, особенности портфельного инвестирования. Типы инвестиционных портфелей и особенности управления ими, методы оптимизации. Тип, объем и структура портфеля инвестиций. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг.
дипломная работа [657,9 K], добавлен 31.07.2010Методы формирования инвестиционного портфеля ценных бумаг. Краткая характеристика предприятия ОАО "ОТП Банк". Анализ операций с ценными бумагами. Структура активов и пассивов. Локальные акты по подходу организации к формированию инвестиционного портфеля.
курсовая работа [631,8 K], добавлен 08.09.2014Виды ценных бумаг: государственная и муниципальная облигация, вексель, закладная, акция, коносамент, чек. Жилищный, депозитный и сберегательный сертификаты. Формирование оптимального портфеля. Способы управления и снижения риска инвестиционного портфеля.
реферат [17,1 K], добавлен 21.12.2013Выбор стратегии формирования фондового портфеля. Сущность и виды фондового портфеля Методы оценки инвестиционной привлекательности ФЦБ. Анализ денежных потоков и определение размера возможных вложений. Расчет доходности фондового портфеля.
курсовая работа [83,1 K], добавлен 11.06.2004Общие положения о формировании портфеля ценных бумаг. Основные базовые модели формирования портфеля ценных бумаг: модель Марковица, модель оценки стоимости активов, индексная модель Шарпа. Рыночный портфель и проблемы портфельного инвестирования в России.
курсовая работа [171,9 K], добавлен 14.07.2011Рассмотрение понятий и форм финансовых инвестиций. Исследование понятия портфеля ценных бумаг и его классификации. Рассмотрение методов оценки риска и доходности финансовых активов. Формирование портфеля ценных бумаг, оценка его доходности и риска.
дипломная работа [4,9 M], добавлен 03.05.2018Портфельное инвестирование. Основные принципы формирования портфеля инвестиций. Характеристика основных видов ценных бумаг и оценка их доходности. Акции, облигации. Методики формирования оптимальной структуры портфеля. Модель Марковица, Блека.
курсовая работа [81,3 K], добавлен 17.05.2006Инвестиционный портфель: понятие, типы, цели формирования. Инвестиционные риски: сущность и понятие. Оценка и оптимизация формирования портфеля инвестиций. Анализ портфеля акций консервативного инвестора. Кривые безразличия оптимального портфеля.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.08.2010Формирование инвестиционного портфеля с участием коротких продаж на основе алгоритма EGP. Сравнение доходностей индексных фондов и рыночных индексов. Формирование оптимального инвестиционного портфеля, определение его состава и структуры, доходности.
дипломная работа [467,8 K], добавлен 11.02.2017Состояние инвестиционного рынка и его сегментов. Основные свойства портфеля ценных бумаг. Принципы формирования инвестиционного портфеля в зависимости от ожидаемой нормы прибыли. Расчет индекса доходности. Вклад Марковица в современную теорию портфеля.
контрольная работа [447,6 K], добавлен 17.03.2015Основы формирования и управления портфелем ценных бумаг. Типы портфелей и цели портфельного инвестирования. Принципы формирования портфеля ценных бумаг. Характеристика основных видов ценных бумаг и оценка их доходности. Модели портфельного инвестирования.
дипломная работа [205,6 K], добавлен 05.10.2010Расчет средней доходности, дисперсии и коэффициента вариации акций, ежедневно торгуемых на фондовой бирже. Выбор акций двух эмитентов для формирования инвестиционного портфеля. Исследование взаимосвязи риска и доходности портфеля с помощью модели CAPM.
контрольная работа [3,0 M], добавлен 16.07.2012Управление риском. Стандартное отклонение портфеля. Коэффициент корреляции. Кривые безразличия. Теорема об эффективном множестве. Графическое решение задачи выбора индивидуального оптимального портфеля. Математическая модель Марковица. Модель CAРM.
курсовая работа [366,8 K], добавлен 18.01.2016Сущность и особенности долговых ценных бумаг. Методики оценки риска ценных бумаг и стоимости разных видов облигаций. Методы формирования портфеля ценных бумаг. Современное состояние и тенденции развития рынка российских государственных ценных бумаг.
дипломная работа [1,6 M], добавлен 26.02.2010Методы оптимизации и диверсификации фондового портфеля, оценка его эффективности. Мониторинг портфеля ценных бумаг. Оценка инвестиционной привлекательности ценных бумаг эмитента. Риски, связанные с портфельными инвестициями и способы их снижения.
реферат [35,4 K], добавлен 17.03.2011
