Алгоритм оптимізації інвестиційного портфеля за умов ризику

Размещено на http://www.allbest.ru/

Університет економіки та права "КРОК"

Кафедра математичних методів і статистики

Алгоритм оптимізації інвестиційного портфеля за умов ризику

кандидат економічних наук, доцент

Кігель В.Р.

Анотація

Запропоновано новий метод і алгоритм розв'язування задачі оптимізації інвестиційного портфеля за умов ризику щодо майбутньої дохідності вкладень за потенційними напрямами інвестування. Зазначено сфери можливого використання алгоритму.

Ключові слова: алгоритм, інвестиційний портфель, оптимізація, ризик

Аннотация

Предложен новый метод и алгоритм решения задачи оптимизации инвестиционного портфеля в условиях риска относительно будущей доходности вложений по потенциальным направлениям инвестирования. Указаны сферы возможного использования алгоритма.

Ключевые слова: алгоритм, инвестиционный портфель, оптимизация, риск

Постановка проблеми. Визначення інвестиційного портфеля за критерієм максимального доходу за умов ризику щодо майбутньої дохідності вкладень за потенційними напрямами інвестування є актуальною задачею не лише інвестиційного менеджменту, а фінансового менеджменту взагалі. Можливими сферами використання методу та алгоритму розв'язування задачі інвестиційного планування є також управління валютним резервом, кредитування, формування страхового портфеля та інші.

Відомо, що Г.Марковиць - засновник сучасної портфельної теорії - запропонував оцінювати випадковий дохід детермінованого інвестиційного портфеля за двома показниками - математичним сподіванням та дисперсією, а найкращий інвестиційний портфель обирати з множини ефективних планів двокритеріальної задачі з критеріями максимізації очікуваного доходу та мінімізації дисперсії доходу.

В подальшому науковцями проблему Марковиця, яка є задачею лише несхильного до ризику інвестора, було зведено до задачі опуклого квадратичного програмування. Якщо розглядати інвестора, який ставиться до ризику нейтрально, замість квадратичної матимемо задачу лінійного програмування, а для схильного до ризику інвестора - задачу квадратичного програмування з опуклою цільовою функцією, що підлягає максимізації (наприклад, [3_8]). Тож у випадках нейтрального або схильного ставлення до ризику пошук оптимального інвестиційного портфеля здійснюється легко і швидко. А саме: за нейтрального ставлення до ризику всі інвестиції потрібно вкладати за таким із напрямів інвестування, очікувана дохідність за яким є найвищою; коли ж напрямів інвестування з максимальною очікуваною дохідністю є декілька, оптимальним також є довільний розподіл між ними усіх інвестицій. У випадку схильного до ризику інвестора оптимальним є рішення вкладати весь вільний капітал за таким напрямом інвестування, за яким детермінований еквівалент випадкової дохідності є найбільшим, проте, на відміну від аналогічної ситуації для випадку нейтрального ставлення до ризику, проте зараз розподіл інвестицій за кількома напрямами інвестування може вже виявитися неоптимальним.

Найскладнішим є третій випадок - коли інвестор ставиться до ризику несхильно. До того ж цей випадок зустрічається найчастіше. Тож не дивно, що основна увага і економістів, і математиків була прикута саме до цієї ситуації (наприклад, [6-13] ). В нашій роботі [14] обґрунтовано, що математична модель задачі про оптимізацію інвестиційного портфеля за умов несхильності інвестора до ризику є такою:

(1)

де відомі: - математичне сподівання випадкової дохідності за -м напрямом інвестування, - стандартне відхилення цієї випадкової дохідності від її очікуваного рівня (), - коефіцієнти кореляції між випадковими дохідностями та (), які в сукупності утворюють кореляційну матрицю . Значення множника відбиває рівень несхильності інвестора до ризику: від нейтрального (при ) до ледь несхильного (), помітно схильного () та дуже чи надзвичайно несхильного ). Невідомими виступають змінні , , …, _ обсяги вкладень за відповідним напрямом інвестування, а також цільова змінна , яка є детермінованим еквівалентом випадкового загального доходу інвестиційного портфеля.

Маємо задачу опуклого програмування, проте цільова функція в ній не є квадратичною. Постає проблема розробки методу та алгоритму вирішення цієї задачі, причому у такий спосіб, щоб її розв'язок можна було б записати аналітично.

Виклад основного матеріалу дослідження. Уведемо до розгляду нові змінні: (), а також обчислимо нові відомі величини:

, , (2)

Тоді задача (1) несхильного до ризику інвестора у векторно-матричній формі запису набере вигляду:

(3)

де , - відомі вектори-рядки, - вектор-стовпчик невідомих, - знак операції транспонування, - відома матриця парних коефіцієнтів кореляції між випадковими дохідностями, яка є симетричною.

Складемо для задачі (3) функцію Лагранжа, залучивши нові невідомі числові множники та :

та скористаємося необхідними умовами оптимальності:

(4)

(5)

де через позначено частинну похідну функції Лагранжа за змінною , а через - вектор-рядок частинних похідних функції Лагранжа, відповідно, за змінними , …, .

З рівності (4) одразу ж визначаємо, що та що .

А з рівності (5), у свою чергу, випливає:

(6)

Помножимо рівність (6) справа на матрицю , яка є оберненою до матриці . Враховуючи, що добуток є одиничною матрицею, одержимо: , тобто:

(7)

Тепер рівність (6) помножимо справа на , після чого для значення скористаємося виразом (7):

Враховуючи, що , з цієї рівності одержимо рівняння щодо :

тобто:

Дійсні корені цього квадратного рівняння, якщо вони існують, обчислюються за формулою:

(8)

Далі, з рівняння та співвідношення (7) одержимо:

(9)

оскільки з симетричності матриць і, відповідно, випливає рівність .

Беручи до уваги, що , та відкидаючи сторонній корінь, з рівності (9) знаходимо:

Для зручності запису кінцевого результату уведемо проміжні розрахункові сталі:

(10)

З використанням наведених розрахункових сталих кінцеві вирази набирають вигляду:

(11)

(12)

Таким чином, якщо умови (4) - (5) є сумісними, а розв'язок (12) задовольнятиме вимогу невід'ємності, оптимальний інвестиційний портфель несхильного до ризику інвестора визначається за формулою:

, (13)

де сталі , та обчислюються за правилом (10), а значення змінних -компонентів вектору - за правилом (12).

Зазначений аналітичний метод є працездатним, якщо умови (4) - (5) є сумісними та коли всі компоненти вектору у розв'язку (12) невід'ємні. До цих обмежень треба додати також вимогу: (), тобто що серед потенційних напрямів інвестування немає безризикових, а також вимогу існування дійсних коренів рівняння /формула (8)/ та вимогу збереження сенсу обчислення змінних за формулами (11)_(13):

(14)

з якої випливає нерівність:

(15)

Зазначимо, що у разі порушення вимоги (15) рівень несхильності інвестора до ризику можна вважати у конкретній ситуації невідчутним, тобто обирати інвестиційний портфель за способом, розрахованим на випадок нейтральної щодо ризику особи.

Нарешті зазначимо також, що поза межами використання запропонованого аналітичного методу є ситуації, коли кореляційна матриця випадкових дохідностей є виродженою і, як наслідок, не має оберненої. Ця умова не виконується, наприклад, коли між дохідностями двох випадкових напрямів ризикового інвестування існує точний лінійний зв'язок - у такому разі гірший з цих двох напрямів інвестування слід вилучити з розгляду.

Приклад. Припустимо, що вільний капітал інвестора грошових одиниць, який потрібно у якнайкращий спосіб розподілити за двома напрямами ризикового інвестування (), очікувані дохідності за якими та стандартні відхилення відповідних випадкових дохідностей, відповідно, дорівнюють:

За показником дохідності напрями інвестування вважаються статистично незалежними, тобто кореляційна матриця випадкових дохідностей є одиничною: та має обернену матрицю , яка теж є одиничною.

Опитування інвестора показало, що він є несхильним до ризику, причому рівню його несхильності до ризику наближено відповідає значення множника .

Обчислимо за формулами (2) та (10) значення проміжних розрахункових сталих , , , і , після чого перевіримо умови (15) та (14), обчисливши значення дробу :

Оскільки умови (15) та (14) справджуються, подальші розрахунки виконаємо за формулами (12) і (13), звертаючи увагу на невід'ємність отриманих результатів /через показано допоміжну розрахункову сталу =1,520691, яку використано зараз з метою скоротити записи формул (12) і (13), а в подальшому і формули (11)/:

Бачимо, що отримали розв'язок задачі (усі компоненти вектору , а також і вектору , є невід'ємними, тому для остаточного визначення кінцевих результатів скористаємося формулами (5), (11) і (4):

Задачу розв'язано: за першим напрямом інвестування потрібно вкласти 55,06332 грошових одиниць (далі скорочено - г.о.), а за другим напрямом інвестувати 44,93668 г.о. За таких умов математичне сподівання випадкового загального доходу інвестора дорівнюватиме 145,50633 г.о., а стандартне відхилення відповідного випадкового доходу _ 32,87980 г.о. Детермінований еквівалент випадкового загального доходу, обчислений згідно індивідуальних переважань інвестора, дорівнює 129,06643 г.о. Порівняння цього плану з недиверсифікованими інвестиційними портфелями і , а також з найменш ризиковим з множини усіх допустимих портфелів /портфелем / за показником детермінованого еквіваленту випадкового загального доходу, підкреслює переваги знайденого оптимального варіанту плану.

Приклад закінчено.

Іншими сферами можливого використання запропонованого аналітичного методу, крім сфери інвестиційного планування, є управління валютним резервом, управління кредитним портфелем, задачі формування оптимального портфеля страхових полісів тощо.

інвестиційний портфель дохідність ризик

Висновки

Запропоновано метод і алгоритм аналітичного розв'язування задачі оптимізації інвестиційного портфеля. Доведено, що у випадку несхильності інвестора до ризику - це найпоширеніша та, одночасно, математично найскладніша ситуація - оптимальний інвестиційний портфель можна знайти за формулами:

, ,

де

, ,

, , , , ,

, , , .

Алгоритм проілюстровано прикладом, окреслено межі використання методу та зазначено інші можливі сфери його застосування для розв'язування різноманітних задач фінансового менеджменту.

Список використаних джерел

1. Markowitz H.M. Portfolio Selection / H.M.Markowitz // Journal of Finance. - 1952. - # 7 (1). - Pp. 77-91.

2. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments / H.M.Markowitz. - N.Y.: John Willey, 1959. - 758 p.

3. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике / С.Карлин; пер. с англ. - М.: Мир, 1964. - 835 с.

4. Подиновский В.В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач / В.В.Подиновский, В.Д.Ногин. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

5. Кини Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения / Р.Л.Кини, Х.Райфа; пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.

6. Дубровін В.І. Оцінювання ризиків інвестиційного портфеля / В.І.Дубровін, В.М.Льовкін // Рвдіоелектроніка, інформатика, управління. - 2010. - № 1. - С. 51-55.

7. Касимов Ю.Ф. Введение в теорию оптимального портфеля ценных бумаг / Ю.Ф.Касимов. - М.: Анкил, 2005. - 144 с.

8. Олійник В.М. Деякі аспекти оптимізації портфеля фінансових інструментів [Електронний ресурс] / В.М.Олійник, С.М.Фролов, Ю.І.Лещенко // Електронний журнал "Маркетинг і менеджмент інновацій". - 2012. - № 1. - C. 140-147. Режим доступу: http://mmi.fem.sumdu.edu.ua/

9. Климова Е.Н. Математическое моделирование оптимального портфеля ценных бумаг с ограничениями на отдельные активы / Е.Н.Климова, В.Л.Шур, О.В.Москалец // Вестник Самарского государственного университета - Естественнонаучная серия. - 2008. - № 8/2(67). - С. 263-275.

10. Новоселов А.А. Математическое моделирование финансовых рисков: Теория измерения / А.А.Новоселов. - Новосибирск, ИВМ РАН, СО, 2001. - 99 с.

11. Параев Ю.И. Исследование инвестиционных стратегий управления портфелем ценных бумаг / Ю.И.Параев, С.А.Цветницкая // Управление, вычислительная техника и информатика. Вестник Томского государственного университета. - 2009. - № 4 (3). - С. 17-25.

12. Кузнецов М.А. Алгоритм формирования инвестиционного портфеля на основе метода Марковица и его оптимизация по скорости выполнения [Электронный ресурс] / М.А.Кузнецов, А.В.Авдюхин // Электронный научный журнал "Современные проблемы науки и образования". - 2012. - № 3. Режим доступа: www.science-education.ru/103-6399.

13. Филимонов Н. Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений и ее применение при формировании портфеля ценных бумаг [Электронный ресурс] /Н.Филимонов. - Режим доступа: http://www.referat.ru/referats/view/6157

14. Кігель В.Р. Задача Марковиця: оновлена постановка, аналітичне розв'язування, межі та можливі сфери використання аналітичного методу / В.Р.Кігель // Вчені записки Університету “КРОК” (серія “Економіка”). Міжнародне фахове видання. /Університет економіки та права “КРОК”. - 2013. - Вип. 34. - С. 351-363.

Размещено на Allbest.ru