Проценти. Види процентних ставок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проценти. Види процентних ставок



При оцінці величини грошових потоків з урахуванням фактора часу найбільш поширеними проблемами є:

1) складність вибору відповідної процентної ставки;

2) непослідовність у користуванні показниками процентних ставок.

Процент або процентна ставка є доходом інвестора від вкладення коштів на визначені цілі і визначений період часу в майбутньому. Процентна ставка - це ціна, яку сплачують інвестору за залучені грошові кошти. Для інвестора вона відображає дохідність його інвестицій, а для позичальника - витрати, які він має понести у зв'язку із залученням коштів. Вільні кошти можуть вкладатись інвестором у підприємницьку діяльність або купівлю цінних паперів. При виборі будь-якого із способів вкладення коштів власник намагатиметься компенсувати упущені можливості, що передбачаються іншими варіантами інвестицій. Якщо інвестор займається підприємницькою діяльністю, то у міру розширення виробництва збільшується вартість його власності. Якщо вважати, що середні темпи приросту виробництва відображають темпи зростання економіки в цілому, альтернативні вкладення коштів мають компенсувати інвестору упущені можливості від економічного зростання.

Крім того, ринковій економіці властива інфляція. Інфляція - тривале зростання загального рівня цін, що відображує зниження купівельної спроможності грошової одиниці Тому для процентних ставок необхідно розрізняти номінальні та реальні величини, щоб визначити діючу ефективність фінансових операцій. Якщо темп інфляції перевищує ставку відсотка, яку одержує вкладник на інвестовані кошти, то для нього результат від фінансових операцій виявиться негативним. Незважаючи на те, що за абсолютною величиною (в грошових одиницях, наприклад, в гривнях) його кошти збільшаться, їх сукупна купівельна спроможність зменшиться. Таким чином, він зможе купити на нову суму грошей менше товарів та послуг, ніж на ті кошти, якими володів до початку операції. Отже, оскільки цінність грошей у реальному виразі може знижуватися протягом часу через інфляцію, розрізняють номінальну та реальну процентні ставки.

Реальна процентна ставка відображає очікувані темпи зростання економіки за визначений період часу, реальний дохід інвестора на вкладені кошти і зміни купівельної спроможності грошей у зв'язку з інфляційними процесами (для країн з розвиненою ринковою економікою реальні темпи зростання становлять 2,5-4 %, за винятком нетривалих періодів стрімкого економічного зростання).

Номінальна процентна ставка відображає в грошовому вираженні дохід, отриманий з однієї грошової одиниці капіталовкладень. Вона перебуває під впливом попиту і пропозиції і виражає абсолютну плату за використання коштів і не відображає зміни купівельної спроможності грошей у зв'язку з інфляцією. Реальна процентна ставка дорівнює номінальній процентній ставці за вирахуванням темпів інфляції. Якщо, наприклад, інвестор вклав кошти під 10 % річних, а рівень інфляції за рік становить 4,5 %, то реальна дохідність інвестицій за цей рік становитиме 5,5 % (10-4,5) при номінальній дохідності 10 %.

Реальна процентна ставка на визначений період у майбутньому невідома на початок періоду й оцінюється на основі рівня очікуваного економічного зростання за даний період та з урахуванням ризиків. В основі її розрахунку лежить модель Фішера. Із урахуванням того, що на рівень процентних ставок (ціну капіталу) має вплив інфляція, американський економіст І.Фішер ввів поняття "номінальна ставка", що складається з двох частин: очікуваної процентної ставки за безризиковим цінним папером та очікуваної премії за можливе знецінення грошової одиниці (тобто за інфляцію).

Інфляційна премія - це компенсація для страхування ризику при втраті частини грошових коштів через знецінення грошової одиниці; це премія, яку інвестори додають до реального, вільного від ризиків, рівня доходу (норми прибутку). Формула Фішера, що в літературі має назву "ефект Фішера", виглядає таким чином:

дисконтування процент вексельний вартість

де - ціна капіталу з урахуванням ризику (процентна ставка в умовах інфляції);

- номінальна ставка;

- інфляційна премія (рівень інфляції).

Дохідність будь-якого активу, що перебуває в обігу на ринку, насамперед відображає його ризиковість та загальний стан ринку. На ефективно діючих ринках більш ризикові активи забезпечують, як правило, вищу дохідність. Якщо фінансовий ринок перебуває в стадії формування, він не завжди гарантує встановлення таких ринкових цін на активи, які відповідали б їх ризиковості. В таких випадках на ринку можуть бути в обігу активи одного рівня дохідності, але різного ступеня ризику. При цьому на будь-якому фінансовому ринку є в обігу активи, які забезпечують інвесторам мінімальний дохід і при цьому вважаються безризиковими. Це короткострокові державні боргові зобов'язання: казначейські векселі, облігації внутрішньої державної позики та ін. Вони забезпечують досить невисокий, порівняно з іншими інвестиціями, рівень доходу, але є високоліквідними активами, які гарантують отримання доходу на рівні і в терміни, передбачені умовами випуску, тобто державні цінні папери є практично безризиковими, високонадійними активами. Реальна дохідність короткострокових цінних паперів знаходиться на рівні 2-4 %. Середню- та довгострокові державні папери вважаються більш ризиковими і характеризуються переважно вищим рівнем дохідності.

Номінальний дохід може бути різним залежно від інфляційних очікувань у державі. Там, де інфляція становить 2-4 % на рік, дохідність державних цінних паперів знаходиться на рівні 5-7 %. При високих рівнях інфляції дохідність державних цінних паперів може досягати десятків процентів.

На розвинених фінансових ринках існують ефективні механізми встановлення дохідності активу на рівні, що відповідає ступеню його ризиковості. Саме дохідність будь-якого фінансового активу визначається дохідністю безризикового активу та премією за ризики, характерні для такого активу. Тобто будь-яка процентна ставка (Ri) на ринку є сумою без-ризикової процентної ставки (Rb) та премії за ризик (Rk).

Складова ІР розраховується на основі прогнозованих рівнів інфляції і тому, у разі нестабільної економічної та політичної ситуації в країні, може суттєво відрізнятись від реальних темпів інфляції. При розрахунку процентних ставок по державних цінних паперах використовуються очікувані чи прогнозовані рівні інфляції, тому на час виплати процентів такі папери можуть мати реальну дохідність або приносити збитки.

Так як на формування ціни на фінансові активи впливають різні ризики, за кожним з них визначається премія, яка додається до номінальної ставки.

Премія за ризик (Rdf) невиконання боржником своїх зобов'язань (дефолт) - у країнах з ринковою економікою складаються рейтинги на акції та облігації, за якими вони класифікуються на: цінні папери найвищої якості, дуже хорошої та хорошої якості, середньої та нижче середньої якості, низької якості та спекулятивні цінні папери. Чим нижче клас цінного папера, тим вищою буде премія.

Премія за ліквідність (R1) (ринковості) - ліквідний цінний папір можна швидко реалізувати без втрат або з мінімальними втратами. Низьколіквідний цінний папір несе ризик великих втрат при його продажі, що спричиняє вищий процент на такий цінний папір.

Премія за строковість (Rt), (термін обігу фінансового активу). Вкладення в цінні папери на довгий строк звичайно пов'язане з більшим ризиком, тому додається премія за ризик строковості. Але кон'юнктура ринків може бути такою, що більший ризик виявиться притаманним короткостроковим цінним паперам.

В Україні, де фінансовий ринок знаходиться в стадії розвитку, основою для формування ринкових процентних ставок, орієнтиром ціни на гроші виступають ставки рефінансування та облікова ставка НБУ.

Облікова ставка НБУ, що є найнижчою серед ставок рефінансування - це виражена у процентах плата, яку утримує з номінальної суми векселя НБУ за позики, видані під заставу комерційних векселів.

При розрахунку дохідності окремих фінансових активів чи портфеля активів використовують різні типи процентних ставок: середні арифметичні, середні геометричні чи внутрішні.

Простий процент

Простим процентом називається нарахування з теперішньої вартості вкладу в кінці одного періоду платежу, зумовленого умовами інвестування (місяць, квартал тощо).

Простий процент обчислюється за такою формулою:

I = Pіt (1.1)

де I -- величина прибутку власника інвестицій;

i -- процентна ставка;

t -- період часу інвестування;

P -- первісна сума інвестиції (вкладу).

Сутність методу нарахування за простими процентами зводиться до того, що проценти нараховуються впродовж усього терміну інвестицій (кредиту) на ту саму величину капіталу, що інвестується. Наприкінці періоду t сума, одержувана інвестором, дорівнює P + I. Тоді:

S = P + I = P + Pit = P(1 + it) (1.2)

Величина (1 + it) зветься множником нарощування простих процентів.

При використанні простих процентів, коли термін угоди не дорівнює цілому числу років, період нарахування процентів виражається дробовим числом, тобто як відношення числа днів функціонування угоди до числа днів у році (1.3):

t = n/K (1.3)

де n -- число днів функціонування угоди;

К -- часова база (кількість днів у році).

В цьому разі формула (1.2) набуде такого вигляду:

S=1+i*n/K (1.4)

В ряді країн для зручності обчислень рік триває 360 днів. Це так звана «німецька практика». Проценти, що розраховані за часовою базою K = 360 днів, називаються звичайними чи комерційними.

Існує також «французька практика», коли тривалість року К = 360 днів, а тривалість місяців за днями відповідає календарному обчисленню. І, нарешті, в цілій низці країн використовується «англійська практика», що враховує тривалість року К = 365 днів, а тривалість місяців року -- згідно з календарним обчисленням.

При математичному дисконтуванні розв'язується задача, зворотна визначенню нарощуваної суми. Сформулюємо її таким чином: яку суму необхідно інвестувати на t років, щоб при нарахуванні на неї процентів за ставкою і отримати суму, що дорівнює S.

Використовуючи формулу (1.2) розрахунку нарощуваної суми за простою процентною ставкою, отримаємо:

P=S*1 / (1 + it)



де знаменник 1 / (1 + it) -- дисконтний множник, що показує, в скільки разів первісна сума є меншою від нарощеної.

Приклади задач

1. Вкладник поклав у банк 2000 грн. під 21,3% річних (проценти начисляються в кінці періоду). Яку суму отримає вкладник в кінці року?

2. Яку суму необхідно покласти в банк, щоб через місяць отримати 125 грн. прибутки при відсотковій ставці 21% (проценти нараховуються щомісяця).

Поточна та майбутня вартість грошей

В інвестиційній практиці, як правило, необхідно порівнювати суму грошей, що вкладається в проект з сумою грошей, які інвестор сподівається отримати після завершення інвестиційного періоду. Для порівняння суми грошових коштів під час їх вкладання з сумою грошей, яка буде одержана використовують поняття майбутня та теперішня вартість грошей.

Майбутня вартість грошей - це та сума, в яку повинні перетворитись через визначений час, вкладені сьогодні під процент гроші.

Розрахунок майбутньої вартості грошей пов'язаний з процесом нарощування (компаундування) початкової суми.

Нарощування - це збільшення початкової суми грошей шляхом приєднання до неї суми процентних платежів.

Для розрахунку майбутньої вартості грошей використовується формула складних процентів:

FV = P(1+r)n

де: FV (Future value) - майбутня вартість грошей ; Р (present value)- початкова інвестована сума; r- ставка %, або ставка дохідності; n - кількість періодів, за якими нараховуються проценти; (1+r)n - множник нарощування (компаундування).

Складний процент - це сума доходу, яку отримає інвестор в результаті інвестування певної суми грошей за умов, що простий процент не сплачується наприкінці кожного періоду, а додається до суми основного вкладу і в наступному періоді також приносить доход.

Процентна ставка використовується не тільки як інструмент нарощування вартості грошових коштів, але і як норма дохідності інвестиційних операцій. Множник нарощування (компаундування) - майбутня вартість однієї грошової одиниці на даний час, інвестованої на певний період під відсоткову ставку.

Приклад:

Банк сплачує 5% річних по депозитному валютному вкладу. У відповідності з формулою майбутньої вартості грошей $100, що Ви поклали на депозит сьогодні через рік дорівнюватиме:

FV1= $100 (1+0,05) = $105

Якщо Ви вирішили залишити цю суму на депозиті ще на один рік, то наприкінці другого року розмір вкладу становитиме:

FV2= $105(1+0,05) = $110,25,

або за формулою:

FV2 = P (1+r)2 = $100(1+0,05)2 = $ 110,25

Теперішня (сучасна) вартість грошей - це сума майбутніх грошових надходжень, приведених до сучасного моменту з врахуванням процентної ставки, або норми дохідності.

Теперішня вартість грошей розраховується за формулою:

PV =



де: PV (present value)- теперішня вартість грошей.

Приклад:

Припустимо інвестор хоче отримати $200 через 2 роки. Яку суму він повинен покласти на депозит сьогодні, якщо ставка проценту становить 5%? Це можна визначити за допомогою формули:

PV2 = = $181,4

Розрахунок теперішньої вартості грошей називається процесом дисконтування майбутньої вартості грошей. З формули випливає, що дисконтування - процес зворотній нарощуванню. Величина r називається ставкою дисконту, або просто дисконтом, а величина (1+r)n - множником дисконтування.

Дисконт - це процентна ставка, яка застосовується до грошових сум, які інвестор планує отримати в майбутньому для того, щоб визначити розмір інвестицій в теперішній час. При визначенні дисконтних ставок враховують такі принципи:

· з двох майбутніх надходжень вищу дисконтну ставку матиме те, що надійде пізніше;

· чим нижчий визначений рівень ризику, тим нижчою повинна бути ставка дисконту;

· якщо загальні процентні ставки на ринку ростуть, ростуть і дисконтні ставки.

Дисконт може зменшитись, якщо є перспектива ділового підйому, зниження інфляції та процентних ставок. Якщо зменшується дисконт, то зростає теперішня вартість майбутніх доходів.

Множник дисконтування - поточна вартість 1 грошової одиниці за період n, дисконтована на відсоток r за кожний період.

Розрахунок майбутньої та теперішньої вартості грошей можна зробити за допомогою звичайного або фінансового калькулятора, а також за допомогою фінансових таблиць, які наведені у додатках до даного підручника. У фінансових таблицях по горизонталі вказані ставки процентів, а по вертикалі - номер періоду, На перетині цих значень можна знайти величину відповідно множника нарощування або дисконтування.

Очевидно, якщо Ви маєте два різні проекти з однаковим періодом реалізації, але різними дисконтними ставками, то можна визначити їхню теперішню вартість і порівняти, який з них доцільно вибрати.

Для формування ефективних стратегічних і тактичних програм підприємству необхідно постійно проводити діагностику запропонованих проектів і спрямовувати її насамперед на перспективу (хоча результати ретроспективної діагностики стану інвестиційної діяльності об'єкта теж беруться до уваги).

Якість діагностичного аналізу залежить від обраних критеріїв оцінки прийняття інвестиційних рішень, тобто наскільки вагомим є комплекс факторів, що використовується під час досліджень, і наскільки правильно враховується їх можливий вплив на прийняття конкретного інвестиційного рішення.

Вексель

Відродження ринкової економіки, фінансового ринку і багатьох його традиційних механізмів призвело до відновлення вексельного обігу в Україні. Використання векселів у господарській діяльності дозволяє суб'єктам господарювання збільшувати обігові кошти, знижувати вартість залучених ресурсів, ліквідовувати касові резерви та формувати позитивний інвестиційний імідж. Вексель виступає дохідним, ліквідним та надійним фінансовим інструментом, який поєднує інтереси виробників, фінансових інститутів та держави. Проте розвиток вексельного обігу в Україні, призвівши до позитивних економічних зрушень, виявив ряд негативних явищ, які перешкоджають ефективному використанню векселів і створюють умови для зловживання у сфері вексельного обігу.

У процесі здійснення господарської діяльності нерідко виникають ситуації, коли потрібно розрахуватися з постачальниками та підрядниками і не вистачає грошових коштів. Під час реалізації продукції компанії вимагають передоплату з метою запобігання виникненню сумнівної, а в майбутньому можливо безнадійної заборгованості. Одним із можливих шляхів виходу з такої ситуації є застосування вексельної форми для розрахунків з покупцями, постачальниками та для розрахунків за іншими операціями.

Вексель - (нім. Wechsel - обмін) - цінний папір, який засвідчує безумовне грошове зобов'язання векселедавця оплатити після настання строку визначену суму грошей власнику векселя (векселедержателю).

За своєю юридичною природою вексель: по-перше - документ встановленої форми, цінний папір (інструмент здійснення фінансових вкладень, один з видів майна на балансі підприємства); по-друге - своєю сутністю становить зобов'язання, яке пов'язує векселедавця з вексельним кредитором.

Вексельні відносини передбачають наявність двох учасників - держателя векселя платника за ним, а також емітента векселя, який може бути як юридичною, так і фізичною особою.

За формою та способом використання векселі поділяються на прості та переказні.

Простий вексель - це письмовий документ, який містить зобов'язання векселедавця сплатити у зазначений строк визначену суму грошей власнику векселя (векселедержателю).

Переказний вексель - це письмовий документ, який містить наказ однієї особи іншій особі сплатити у зазначений строк визначену суму грошей третій особі.

Особливістю національного вексельного права є те, що вексель на території України, як простий, так і переказний, може бути виданий тільки для оформлення грошового боргу за фактично поставлені товари, виконані роботи, надані послуги.

Схема фінансування відстрочень платежу простим векселем загалом виглядає у такий спосіб. Постачальник відвантажує товар, в оплату якого одержує вексель покупця. Платіж за векселем здійснюється «за пред'явленням, але не раніше визначеної дати».

При використанні переказного векселя беруть участь щонайменше 3 особи: векселедавець, векселедержатель і платник. Векселедавець видає переказний вексель векселедержателю, а платник повинен сплатити індосанту (векселедержатель, що придбав вексель за надписом) визначену суму.

І простий, і переказний вексель держатель може продати на вторинному ринку або одержати під нього інше фінансування, окрім того випадку, коли на векселі зроблено застережний напис. При настанні строку платежу останній векселедержатель пред'являє його до оплати покупцю.

При виписці векселя емітенту слід пам'ятати такі умови:

- вексель, що не відповідає встановленій формі, в якому неправильно зазначений або зовсім відсутній хоча б один із обов'язкових реквізитів не має вексельної сили;

- умова розрахунків у вексельній формі за товари, роботи, послуги повинна міститися в тексті письмового договору;

- виданий на території України вексель складають українською мовою.

Отриманий у забезпечення заборгованості вексель можна :

1) Продати за кошти.

2) Передати за індосаментом у забезпечення власної заборгованості перед кредитором.

3) Передати в обмін на активи (роботи, послуги) третій особі (не векселедавцеві). Таку операцію доцільно відображати в бухгалтерському обліку аналогічно операції продажу векселя за грошові кошти.

Бувають ситуації, коли під час індосаменту (передачі векселя) кредитор приймає вексель не за номіналом, а з дисконтом (нижче за номінал).

У порівнянні з іншими формами не грошових розрахунків, вексель має низку переваг. Головними перевагами фінансових векселів є: простота організації розміщення; найбільш оперативний спосіб залучення коштів; найдешевший механізм залучення коштів; інструмент, що дозволяє залучати будь-який обсяг фінансових ресурсів; платіжний засіб.

Поряд з рядом переваг вексель також має певні недоліки. Це пов'язано з сукупністю ризиків для продавця товарів. По-перше, це ризик того, що після відвантаження товарів, передбачених зовнішньоекономічним договором, покупець може відмовитися виписати (акцептувати) вексель. По-друге, ризик того, що внаслідок погіршення фінансового становища покупець не розрахується за виданим (акцептованим) векселем.

На сьогодні одночасно з поширенням вексельних операцій поширюється проблема масових махінацій і зловживань на вексельному ринку України. Хоча сьогодні вексель і є засобом відстрочки сплати боргу за товарними угодами і засобом кредиту, він все ще залишається засобом неплатежу і незаконного отримання грошей. Тому незважаючи на важливість вексельного обігу, особливо у період кризи, даний цінний папір характеризується недовірою до нього та поганим іміджем на ринку, що в основному спричинено зловживаннями деяких суб'єктів господарювання та недосконалою нормативно-правовою базою, яка регулює вексельний обіг в Україні.

Запровадження вексельних розрахунків - перспективний напрям, який сприяє підвищенню гарантованості оплати за реалізовану продукцію, надані роботи, послуги для підприємств-продавців, для покупців тимчасово зменшує потребу в грошових коштах. Отже, важливість вексельного обігу вимагає кооперації діяльності державних і комерційних структур щодо скорочення сум неплатежів і впровадження вексельного обігу. Також потрібно забезпечити сферу використання векселів більш серйозною правовою основою, так як існує значне зловживання у сфері вексельного обігу.

Валютний курс

Валютний курс - вираз ціни грошової одиниці однієї країни в грошових одиницях іншої. Фіксація валютного курсу здійснюється або відповідно до золотого паритету (гарантованим золотим змістом національної грошової одиниці), або за міжнародною угодою. При класичному золотому стандарті, тобто при вільному розміні валют на золото в центральному банку, валютний курс встановлювався в пропорціях до їх золотого вмісту.

Для конвертованих валют в основі курсу лежить валютний паритет. Проте курси валют майже ніколи не збігаються з їхнім валютним паритетом. В умовах міжнародної торгівлі і інших зовнішньоекономічних акцій співвідношення надходжень і платежів в іноземній валюті і, отже, попит і пропозиція іноземної валюти не перебуває у рівновазі. При активному платіжному балансі курси іноземних валют на валютному ринку даної країни падають, а курс національної грошової одиниці підвищується. Зворотне відбувається у разі, коли країна має пасивний платіжний баланс. Тому в більшості країн разом з твердим офіційним курсом національної валюти також існує вільний. За офіційного паритету здійснюються розрахунки центральних національних банків та інших валютно-фінансових установ між різними країнами і з міжнародними організаціями. Розрахунки між приватними особами і організаціями, виходять із зовнішньоторговельних і зовнішньоекономічних зв'язків та здійснюються по вільному курсу.

Валютні курси мають різні види:

- Що коливається -- вільно змінюється під впливом попиту і пропозиції і заснований на використанні ринкового механізму.

- Плаваючий -- різновид валютного курсу, що коливається, зумовлюючий використання механізму валютного регулювання. Так, для обмеження різких коливань курсів національних валют, що викликають несприятливі наслідки валютно-фінансових та економічних відносин, країни, що увійшли в Європейську валютну систему, ввели в практику узгодження відносних меж взаємних коливань валютного курсу.

- Фіксований - офіційно встановлене співвідношення між національними валютами, засноване на визначеннях в законодавчому порядку валютних паритетах. Він допускає закріплення змісту національних грошових одиниць безпосередньо в золоті або доларах США при строгому обмеженні коливань ринкових курсів валют в межах одного відсотка.

Міжнародна торгівля ведеться у в грошових одиницях. У кожній країні існує своя валюта. І перш, ніж купити товари, послуги або фінансові активи за кордоном, треба спочатку звернутись на зовнішній валютний ринок, де валюту можна купити чи обміняти на іншу. Основний обмін валют для міжнародної торгівлі проводиться в найбільших фінансових центрах світу.

Курси, по яких обмінюються валюти, визначаються їх попитом і пропозицією. Наприклад, на початку 1986 року американський долар коштував 10 французьких франків, два роки опісля він коштував вже 6 франків. По мірі зміни обмінних курсів валют - змінюються ціни на товари цих країн, що імпортуються та експортуються.

Обмінні курси впливають на зовнішньоторговельний баланс країни і впливають на хід міжнародних фінансових операцій. Але незалежно від того, чи є обмінні курси валют високими або низькими, чи перевищує вартість експорту вартість імпорту, або навпаки, експортуються ті товари, які країна може виготовити і які мають порівняно низьку альтернативну вартість, та імпортуються ті, що виготовляються за кордоном за аналогічних умов.

Основним поняттям, створеним для пояснення валютних курсів є паритет купівельної спроможності, ППС (purchasing power parity - РРР), для формулювання якого зазвичай привертають так званий закон однієї ціни: ціна товару в одній країні повинна бути рівна ціні товару в іншій країні; а оскільки ці ціни виражаються в різних валютах, це співвідношення цін і визначає курс обміну однієї валюти на іншу.

Нехай Pd - внутрішня ціна (domestic price) даного товару, а Pf - його ціна за кордоном, в сусідній країні (foreign price). Ці ціни являють собою кількість валют, національної для даної країни та іноземної, які дають за одиницю товару всередині країни та закордоном. Відношення цін і буде тим курсом, за яким одну валюту стануть обмінювати на іншу заради купівлі даного товару.

Складний процент. Основна формула складного процента

Складні відсотки - це відсоткові гроші, при нарахуванні яких за базу береться нарощена сума попереднього періоду.

Задача-алгоритм, що дозволяє вирішувати різноманітні інвестиційні проблеми, може бути сформульована в такий спосіб:

Яка сума буде накопичена вкладником через n років, якщо первісний внесок складає PV грн., а відсотки нараховуються щорічно (щомісячно, щоквартально) по ставці і %?

Складний відсоток припускає нарахування відсотків не тільки на суму первісного внеску, а й на суму відсотків, накопичених до кінця кожного періоду. Це можливо тільки у випадку реінвестування суми нарахованих відсотків, тобто приєднання їх до інвестованого капіталу.

Формула для обчислення річного складного відсотку така:

Де, A = вихід;

· P = початковий внесок;

· r = річна номінальна процентна ставка (як дріб, не відсоток);

· n = кількість разів складання відсотку за рік;

· t = кількість років.

Приклад використання: Сума 1500.00 вкладена в банк, річна відсоткова ставка якого становить 4.3%, і складається щоквартально. Знайти баланс через 6 років.

A. Із використанням попередньої формули, з P = 1500, r = 4.3/100 = 0.043, n = 4 і t = 6:

Отже баланс по проходженні 6 років становитиме близько 1938.84.

Приклади задач

1) Вкладник поклав до банку 200 000 грн. під 7% річних. Який прибуток він отримає через 5 років?

2) Скільки грошей треба покласти до банку під 3% річних, щоб через 3 роки отримати більше від 3000 грн.?

3) Через скільки років капітал, покладений до банку під 5% річних, збільшиться в два рази?

4) Говорять, що в 1723 році гетьман Полуботок поклав до англійського банку великий капітал з України під 4% річних. У скільки разів збільшився б той капітал до наших днів?

Номінальна та реальна ставка процента

Як у компаундуванні, так і у дисконтуванні користуються ставкою дисконту, яка є очікуваною майбутньою альтернативною вартістю грошей, іноді теперішньою або реальною ставкою процента або окремою величиною, що залежить від наведеної строкової обмеженої цінності грошей.

Під час оцінки проектів необхідно обрати один з методів приведення всіх грошових потоків до базового року. Якщо використовується метод дисконтування, то всі грошові потоки приводять у відповідність з першим (або нульовим) роком. При застосуванні методу компаундування всі грошові потоки приводять до останнього n-го року.

Як говорилося раніше, при оцінці величини грошових потоків з урахуванням фактора часу найбільш поширеними проблемами є: 1)складність вибору відповідної процентної ставки; 2)непослідовність у користуванні показниками процентних ставок.

Величина процентної ставки відображає вартість капіталу для інвестора, наприклад рівень дохідності за облігаціями державної позики. Оскільки цінність грошей у реальному виразі може знижуватися протягом часу через інфляцію, у проектному аналізі використовують такі дві ставки:

ь реальна процентна ставка (r) -- ставка доходу на капітал без урахування інфляції. У разі використання реальної ставки процента необхідно проводити розрахунок грошових потоків у постійних цінах, тобто нейтралізувати вплив інфляції;

ь номінальна (теперішня) процентна ставка (i) -- ставка доходу з позицій інвестора на приватному ринку, яка включає інфляцію (t) і тому визначається підсумовуванням реальної ставки процента та величини темпу інфляції:

i = r + t

де r -- реальна процентна ставка (дохідність інвестицій); t - темп інфляції.

Якщо інфляція має значні темпи, то розрахунок номінальної процентної ставки здійснюється за формулою складних процентів:

i = r + t + r*t

де r*t -- інфляційна премія.

Інфляційна премія -- це премія за інфляційне очікування, яку інвестори додають до реального, вільного від ризиків рівня доходу (норми прибутку).

Величина реальної ставки визначається за рівнянням:



r = (1 + i) : (1 + t) - 1

Якщо в аналізі проекту використовують лише реальні (постійні) ціни, то для визначення вартості капіталу не слід збільшувати на інфляцію річні виробничі експлуатаційні витрати і вигоди.

Дисконтування за складним процентом

У проектному аналізі при оцінці ефективності інвестиційного проекту порівняння поточних та майбутніх витрат та вигод здійснюється шляхом приведення (дисконтування) їх реальної грошової вартості до початкового періоду (періоду прийняття рішення базового періоду).

Дисконтування - це процес розрахунку майбутньої вартості коштів, що інвестуються сьогодні.

Основою дисконтування є поняття "часової переваги" або зміни цінності грошей у часі. Це означає, що раніше одержанні гроші мають більшу цінність, ніж гроші, одержані пізніше, що зумовлюється зростанням ризиків і невизначеності у часі.

Дисконтування доходу застосовується для оцінки майбутніх грошових надходжень із позиції поточного моменту. Інвестор, зробивши вкладення капіталу, керується наступними положеннями:

а) відбувається постійне знецінювання грошей;

б) бажано періодично одержувати доход на капітал не нижче певного мінімуму.

Інвестор повинен оцінити, який доход він одержить у майбутньому і яку максимально можливу суму фінансових ресурсів потрібно вкласти в даний проект, виходячи з прогнозованого рівня прибутковості. Перерахунок вигод і витрат для кожного розрахункового періоду інвестор здійснює за допомогою дисконтування.

Існує два методи дисконтування: за допомогою простих та складних процентів.

Прості проценти

FV = PV ( 1 + nR)

де: FV - сума, накопичена до кінця n-го періоду;

PV - початкова сума позики;

R - процентна ставка;

n - кількість періодів часу.

Складні проценти. Графічний вигляд

У довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсотки не виплачуються відразу після їхнього нарахування, а додаються до суми боргу для нарощування суми вкладу, застосовують складні проценти.

FV = PV (1+R)n

де: FV - сума, накопичена до кінця n-го періоду;

PV - сума позики;

R - річна процентна ставка;

n - кількість періодів.

Чому фінансовим менеджерам так важливо знати нинішню вартість грошей? Справа в тому, що ця вартість служить для порівняння прибутковості різних проектів і інвестицій за певний період. Таким чином, нинішня вартість - це грошова вартість майбутніх надходжень чи доходів із поправкою на ставку дисконту (капіталізації). Існує просте правило: високий ризик означає високу дисконтну ставку, маленький ризик - низьку. У цілому для оцінки дисконтних ставок застосовують такі принципи:

· із двох майбутніх надходжень більш високу ставку буде мати те, що надійшло пізніше.

· чим нижче ступінь ризику, тим нижче дисконтна ставка.

· якщо процентні ставки на фінансовому ринку ростуть, то ростуть і дисконтні ставки.

Визначення терміну позики і величини процентної ставки

Формування відсоткової ставки багатофакторний процес, який визначається багатьма чинниками. Серед них: рівень облікової ставки Національного банку, термін надання позики, особливості забезпечення позики, платоспроможність і авторитет позичальника, темпи інфляції, перспективи зміни ринкової кон'юнктури тощо. Сукупність цих чинників буде визначати межі диференціації кредитного відсотка. Головним чинником, що впливає на рівень відсоткових ставок, є ціна кредитних ресурсів. Чим дорожче банку обходиться формування кредитних ресурсів, тим вище відсоткова ставка. В сучасних умовах вирішальний вплив на ціну кредитних ресурсів здійснюють, насамперед, розміри депозитних ставок. За короткостроковими позиками ставка, як правило, вища, ніж за довгостроковими. Короткостроковими є кредити на поточну виробничу діяльність; вони, як правило, забезпечені товарами, які швидко реалізуються.

Суттєвий вплив на рівень відсоткової ставки здійснює інфляція. В умовах інфляційних очікувань комерційні банки змушені "страхувати" себе на випадок прискорення темпів інфляції шляхом збільшення ставок за кредитами. Позичковий відсоток за мінусом знецінення грошей часто називається "реальним відсотком". Використовується також поняття "від'ємний відсоток", який відображає умови випередження темпів знецінення грошей відносно темпів зростання позичкового відсотка.

Рівень відсоткової ставки є головною умовою проведення кредитної операції. Крім наведених вище чинників, що визначають рівень відсоткових ставок комерційних банків, можна виділити ще такі чинники: ризикованості проекту, рівень ставки податку на прибуток банку, умови надання аналогічного виду кредиту на загальнодержавному та регіональному кредитних ринках, можливості банку щодо додаткового залучення кредитних ресурсів, а позичальника щодо отримання такої ж позики в інших банках, наявність різних форм матеріального забезпечення позики тощо. За великими позиками відсоткова ставка нижче, ніж за дрібними.

У банківській практиці широко використовується термін "маржа". Маржа -- це різниця між відсотковими ставками; для процесу кредитування це різниця між ставками виданих кредитів (ставки позичкового відсотка) і залучених депозитних коштів (ставки депозитного відсотка). Зрозуміло, що маржа має бути такого рівня, щоби забезпечувати належну рентабельність комерційного банку і створювати фінансові ресурси для його розвитку. Проте банк, що орієнтується на довгострокові перспективи своєї діяльності, не розглядає максимізацію маржі як визначальну свою мету і першочергове завдання. Часто буває економічно вигідніше інше: створити пільгові умови для постійних клієнтів, сприяти розширенню їх кола, надавати допомогу в розвитку їхньої фінансово-господарської активності тощо. Робота на перспективу у сфері управління відсотковими ставками більшою мірою сприятиме забезпеченню ліквідності, рентабельності й розширенню діяльності комерційних банків.

Централізоване регулювання рівня відсоткових ставок здійснюється НБУ на базі зміни офіційної облікової ставки. Облікова ставка НБУ є нині одним із основних важелів регулювання фінансово-кредитної сфери національної економіки. Українські комерційні банки враховують цей важливий норматив у своїй кредитній діяльності.

Методика визначення облікової ставки НБУ базується на п'яти основних принципах:

-- забезпечення позитивного реального рівня ставки відносно інфляції;

-- встановлення у межах коридору ринкових відсоткових ставок комерційних банків за кредитами та депозитами; наближення до рівня міжбанківських відсоткових ставок у стабільній ситуації на грошово-кредитному ринку;

- урахування інших чинників (обмінний курс, ліквідність банківських установ, попит на кредит у кінцевих споживачів тощо);

-- відповідність поточній політиці НБУ щодо регулювання грошово-кредитного ринку.

На початку 90-х років в Україні в умовах високих темпів інфляції комерційні банки були зобов'язані змінювати ставки за чинними кредитними угодами синхронно зі зміною облікової ставки. В умовах фінансової стабільності таке жорстке регулювання кредитно-грошового ринку не потрібне. У цих умовах облікова ставка НБУ має для комерційних банків не директивний, а швидше індикативний характер.

Підвищення облікової ставки спрямоване на скорочення видачі Національним банком кредитів комерційним банкам, а тим самим на зменшення обсягу кредитних ресурсів на грошово-кредитному ринку. Навпаки, для збільшення кредитних ресурсів в економіці НБУ знижує облікову ставку. Зниження облікової відсоткової ставки заохочує видачу кредитів.

У зв'язку з дією цього механізму відповідно до зміни облікової ставки НБУ відбувається й коригування відсоткових ставок у комерційних банках. Стимулювати розвиток виробництва може лише низька відсоткова ставка.

Таким чином, за різних макроекономічних умов держава в особі Національного банку може провадити (залежно від обраних цілей) або політику кредитної рестрикції (подорожчання кредиту за рахунок обмеження кредитної емісії), або політику кредитної експансії (зниження облікової ставки заради пожвавлення процесу кредитування виробництва).

У сучасних умовах значний вплив на відсоткову ставку за кредитами здійснює очікувана динаміка відсоткових ставок за державними цінними паперами.

За станом на 01.08.2001 р. відсоткова ставка за кредитами комерційних банків в Україні в національній валюті становила ЗО--35% річних, в іноземній -- 15--18% річних.

У західних країнах чинні законодавчі акти, які обмежують рівень відсотка, що стягується за позиками; встановлюються граничні відсоткові ставки залежно від конкретного виду банківського кредиту, юридичного статусу позичальника, характеру кредитної угоди тощо.

При визначенні конкретної величини відсоткової ставки комерційний банк ставить двояке завдання: по-перше, відшкодувати за рахунок відсотка всі свої витрати та отримати належний прибуток; по-друге, зацікавити клієнтів (позичальників) такою відсотковою ставкою, при якій вони брали б кредити саме в цьому банку.

Рівень відсоткової ставки за користування кредитом комерційні банки встановлюють також залежно від рівня ризику. Банківський ризик пов'язаний із можливістю економічних втрат у разі виникнення несприятливих для банку обставин. Відсотковий ризик -- це небезпека фінансових втрат банку через перевищення відсоткових ставок, що виплачуються за залученими коштами, над ставками за наданими позичками. Відсотковий ризик виникає також внаслідок можливості втрат від несплати позичальниками відсотків за користування позичкою. В умовах кризової економіки закономірно має місце високий ризик неповернення позик.

Покажемо дію цих тенденцій. Відсоткові ставки за споживчими позиками, як правило, вищі, ніж за більшістю інших видів банківського кредиту, адже ці позики є незначними і ризикованими. Крім того, такі позики є досить трудомісткими для банку. При іпотечному кредитуванні чітко виявляється така закономірність: чим вище відношення величини позики до вартості об'єкта іпотеки, тим вища відсоткова ставка, оскільки ризик при цьому значно більший.

Еквівалентні процентні ставки

У фінансових розрахунках використовуються різні відсоткові ставки. Якщо ці ставки у конкретних умовах угоди призводять до одного і того ж фінансового результату, то вони називаються еквівалентними.

Для учасників операції не має значення які ставки будуть використані в угоді, якщо ці ставки еквівалентні.

Виведемо кілька співвідношень еквівалентності простих, простих і складних, складних ставок.

Оскільки початкові і кінцеві результати угоди однакові при застосуванні різних ставок, то повинні бути рівними множники нарощення або множники дисконтування.

Еквівалентність простих ставок відсотків і облікової.

З рівності множників нарощення

де: - проста відсоткова;

d - проста облікова ставки.

Отримуємо (n - у роках):

Бачимо, що еквівалентність залежить від терміну n.

Якщо позика вимірюється у днях, то в залежності від бази року К маємо співвідношення між еквівалентними ставками:

К=360:

K=365 (366):

Якщо К=366, то замінюємо у (48) 365 на 366.

Приклад

Знайти значення відсоткової ставки еквівалентної простій обліковій 25% за рік.

Розв'язок.

n=1, d=0,25.

знаходимо:

Приклад 28.

Яка доходність у ставці простих відсотків (К=365) обліку векселя по обліковій ставці 15%. Термін сплати по векселю - 250 днів.

Розв'язок.

знаходимо:

Приклад 29.

Операція обліку повинна принести 35% доходу на рік. Термін позики 60 днів. К=365. Прості відсотки. Знайти облікову ставку.

Розв'язок.

знаходимо:

Еквівалентність простої і складної ставок

З рівності множників нарощення

знаходимо співвідношення між простою і їй еквівалентною складною ставкою:

Приклад

Позика видана під 40% складних річних. Знайти рівень еквівалентної простої ставки при терміні 2 роки. К=365. Теж саме при терміні 6 місяців.

Розв'язок.

знаходимо:

Еквівалентність простої і номінальної j ставок

Випишемо лише співвідношення еквівалентності:



Еквівалентність простої облікової d і складної і ставки

З рівності множників нарощення

( * )

знаходимо (n у роках):

Якщо термін угоди у днях , то виходимо з такої рівності замість ( * ):

( * * )

Звідси знаходимо:

Еквівалентність складної облікової d і відсоткової і ставок

З рівності множників нарощення маємо:

Звідси:

Бачимо, що еквівалентність не залежить від терміну n.

Еквівалентність складної облікової d і номінальної j ставок

З рівності множників нарощення маємо:

Звідси:

Нагадаємо, що раніш були виведенні формули еквівалентних звичайних і точних відсотків, ефективної і номінальної ставок.

Заміна в умовах контракту однієї ставки іншою є зміною умов контракту. Зміною умов контракту є наприклад консолідація платежів, дострокове погашення позики , пролонгація позики і інші.

При зміні умов контрактів використовується принцип фінансової еквівалентності.

Цей принцип передбачає незмінність фінансових відносин сторін до і після зміни умов.

При цьому еквівалентними вважаються платежі, які стають рівними при зведенні за заданою відсотковою ставкою до одного моменту часу.

Зведення до одного моменту часу здійснюється дисконтуванням або нарощенням.

В загальному випадку при зміні умов контракту складається рівняння фінансової еквівалентності, у якому сума платежів, що заміняються, зведених до одного моменту часу, прирівнюється сумі платежів по новому зобов'язанню, що зведені на той же час.

Звичайно в межах року рівняння еквівалентності складається на основі простих ставок. За межами року - на основі складних ставок.

Розглянемо складання рівняння еквівалентності на кількох прикладах.

Приклад

Боржник домовився з банком про консолідацію трьох платежів термінів 15.05, 15.06, 15.08.

Суми платежів 10, 20, 22,8 т. грн. Термін консолідації 01.08. Ставка простих відсотків і=36,5%. К=365 дн. Знайти суму консолідованого платежу.

Розв'язок.

Знайдемо терміни від дня консолідації до дати кожного з платежів. За таблицею номерів днів року маємо:

15.05=135, 15.06=166, 15.08=227, 01.08=213.

Отже,

Зведемо усі платежі на дату консолідації. При цоьму перший і другий платежі треба наростити, а третій дисконтувати на дату консолідації.

Отримуємо таке рівняння еквівалентності:

Звідси:

т. грн.

Аналогічно можно консолідовувати векселі, що має значення при визначенні вартості пакету векселів.

Консолідацію можно проводити за складними ставками.

Приклад

Платежі т. грн., т. грн. з термінами 100 дн., 150 дню відрахованих від однієї бази замінюються одним терміном 200 днів. Складна річна ставка 30%. К=365 днів. Знайти консолідуючий платіж.

Розв'язок.

Зведемо платежі на дату консолідації

т. грн.

Перший платіж нарощували 200-100=100 днів, другий - 200-150=50 днів.

Якщо задана сума консолідованого платежу, то треба знаходити дату консолідації (знаходити n)

Приклад 33.

Платежі 10, 15, 20 т. грн. сплачуються через 25, 45, 70 днів після якоїсь дати. Їх замінюють одним платежем 47 т. грн. Проста ставка і=36,5%. Рік невисокосний. Знайти дату консолідації.

Розв'язок.

Зведемо всі платежі на початок відліку. Отримаємо таке рівняння еквівалентності:

де - термін консолідованого платежу.

Отже термін консолідації - 98 днів від дати відліку.

Таким же чином можливо проводити консолідацію за складними ставками і за обліковими ставками, можна розв'язувати і інші задачі зміни умов контрактів.

В тих випадках, коли консолідована сума дорівнює сумі платежів:

застосовують наближену формулу терміну консолідованого платежу:

тобто беруть як середнє арифметичне зважене з термінів платежів

Приклад 34.

Платежі 10, 15, 20 т. грн. сплачуються через 30, 40, 70 днів після якоїсь дати. Прийнято рішення замінити їх одним платежем 45 т. грн. Знайти термін консолідованого платежу.

Розв'язок.

знаходимо:

день.



Перелік задач, які можуть бути використані для розв'язування вправ або самостійної чи контрольної роботи

1. Банк видав позику розміром 100тис. грн 30.01 до 05.10 включно під 5% річних. Рік високосний. Знайти з точністю до тис. грн розмір погашувального платежу, обчислюючи точну кількість днів позики.

2. Надана позика 25 тис. грн. В перше півріччя простий відсоток складає 30%. В другому півріччі - 35%. Термін позики - рік. Знайти розмір боргу на кінець угоди.

3. Позика надана на 100 днів під 45% річних простих. В кінці терміну боржник сплатить 15 тис. грн. Рік високосний. Який кредит отримав боржник?

4. В умовах задачі 3 знайти суму дисконту.

5. Кредит 25000 грн. видано на рік під облікову ставку 19%. Знайти суму отриманих грошей.

6. В умовах задачі 5 знайти дисконт.

7. Вексель номіналом 100000 грн. облікований у банку за 100 днів до терміну погашення по обліковій ставці 20%. Знайти суму, отриману векселетримачем.

8. В умовах задачі 7 знайти дисконт, отриманий банком.

9. Вексель, виданий на 15000грн. з сплатою 17.11. Власник векселя облікував його у банку 23.09. по обліковій ставці 15%. Знайти отриману суму.

10. 10000грн. видається на 96 днів під просту облікову ставку 20%. Знайти суму, що треба сплатити боржнику.

11. Борг 10 тис. грн. зріс до 12 тис. грн. На суму боргу нараховувались прості відсотки - 40 %. Рік невисокосний. Знайти тривалість позики у днях.

12. Початкова сума боргу 10 тис. грн. За 90 днів передбачається погашення у розмірі 11 тис. грн. Визначити доходність операції для кредитора у вигляді простої відсоткової ставки.

13. За даними задачі 12 визначити доходність операції у вигляді простої облікової ставки.

14. Відсоткова складна ставка рівна 35%. Термін позики 4 роки. Початкова сума 1000 грн. Знайти нарощену суму.

15. В умовах задачі 14 термін угоди 3 роки 100 днів. Знайти нарощену суму. Мішаний метод нарахувань. Рік невисокосний.

16. Визначити кількість років збільшення капіталу у 5 разів для складної і простої ставки =25%.

17. Номінальна ставка =36%. Щомісячне нарахування відсотків на протязі 2-х років. Знайти множник нарощення.

18. В умовах задачі 17 нарахування відсотків по півріччям. Знайти множник нарощення.

19. Знайти ефективну ставку за даними прикладу 17.

20. Знайти ефективну ставку за даними прикладу 18.

21. Визначити теперішню величину 1500 грн, які будуть сплачені через 3 роки при ставці дисконтування 25% складних річніх.

22. Маємо зобов'язання сплатити =4000 грн. через 9 місяців і =3500 грн через 5 місяців. Знайти теперішні значення цих сум ,при ставці порівняння 25% простих річних.

23. За даними задачі 22 знайти , при 55% простих річних.

24. За даними задачі 21 дисконтування відбувається щоквартально. Знайти теперішню величину.

25. Знайти суму дисконту при продажу фінансового інструменту на суму 2000 грн з терміном погашення 2 роки. Складна облікова ставка 22% річних.

26. В умовах задачі 25 дисконтування відбувається щоквартально. Знайти дисконт.

27. В умовах задачі 25 знайти ефективну облікову ставку.

28. Початкова сума боргу 10000 грн, термін погашення 3 роки. Кредитор застосував складну облікову ставку 19%. Знайти нарощену суму.

29. В умовах задачі 28 знайти суму дисконту.

30. За який термін у роках сума 1000 грн зросте до 1200 грн, якщо на неї нараховуються складні річні відсотки 30% раз на рік?

31. В умовах задачі 30 нарахування відсотків щоквартальне. Знайти термін зростання.

32. Визначити доходність купівлі фінансового інструменту вартістю 20000 грн, якщо після 2-х років по ньому отримується 22000 грн.

33. При обліку векселя, виписаного на 3 роки, власник бажає отримати 90% його суми. Яка складна облікова ставка його задовольнить?

34. Знайти просту відсоткову ставку, еквівалентну простій обліковій =20% при терміні сплати по векселю 100 днів. База року =365 днів.

35. Операція обліку приносить 25% простих відсотків доходу на рік. Термін позики 96 днів, база року 365 днів. Знайти просту облікову ставку.

36. Позика, відана під 30% складних річних. Знайти еквівалентну просту ставку при терміні 3 роки.

37. Векселі з термінами 05.03.- =1200 грн, 12.05.- =25000 грн замінено одним з продовженням до 01.08. Облікова ставка банку 19%. Визначити суму консолідованого векселю.

38. Платежі = 25000 грн, =45000 грн з термінами 08.03. і 01.09. об'єднані в один терміном сплати 01.06 за ставкою =35% простих річних. Знайти суму консолідованого платежу. База року =365 днів.

39. Платежі 25тис. грн,30тис. грн, 45тис. грн сплачуються через 20, 45, 60 днів після початку року. Їх замінюють платежем 100тис. грн. Знайти термін консолідації у днях.

40. Створюється фонд, внески вносяться протягом 10 років раз наприкінці року по 100тис. грн. На зібрані гроші нараховуються відсотки за ставкою 10% річних. Знайти розмір фонду наприкінці терміну.

41. В умовах задачі 40 нарахування відсотків щоквартальне. Знайти розмір фонду.

42. В банк щороку вносяться 1500 грн. Річна ставка 4%. Визначити суму вкладів через 20 років. Нарахування відсотків раз на рік.

43. Яка сума забезпечить періодичні виплати у розмірі 15000 грн протягом 8-ми років, якщо на ці вклади будуть нараховуватись відсотки за ставкою 12% і виплати проводитимуться наприкінці року?

44. В умовах задачі 43 виплати проводяться щомісячно. Відповісти на питання задачі.

45. Ціна автомобіля $10000. Річна ставка банку 20%. Нарахування щорічне. Яку суму треба вносити щорічно, щоб через 12 років зібрати гроші для придбання автомобіля?

46. В умовах задачі 45 внески робляться щомісячно. Відповісти на питання задачі.

47. Робітник перераховує у банк 100 грн щомісячно. На цю суму щомісячно нараховується 12% річних. Яка сума нагромадиться на рахунку робітника за 4 роки?

48. Продається фінансове зобов'язання сплачувати щорічно в кінці року на протязі 5-ти років по 2500 грн. Яка теперішня вартість цього зобов'язання, якщо діюча ринкова ставка по довгостроковим кредитам - 30% річних?

...