Многомерные финансовые рынки и CC-VaR
Многомерный однопериодный рынок как рынок, порожденный базовыми активами, цены которых в конце периода образуют случайный вектор с плотностью вероятности, прогнозируемой инвестором. Знакомство с особенностями формирования цен баттерфляев из цен опционов.
| Рубрика | Финансы, деньги и налоги |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.02.2019 |
| Размер файла | 368,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Многомерные финансовые рынки и CC-VaR
Исследуется многомерный однопериодный рынок - рынок, порожденный несколькими базовыми активами, цены которых в конце периода образуют случайный вектор с плотностью вероятности, прогнозируемой инвестором. На рынке обращаются многомерные опционы - обобщение обычных опционов. Для инвесторов, приверженных континуальному критерию VaR, строится оптимальный портфель опционов на основе базиса из нормированных баттерфляев. Отдельно рассматривается случай двумерного рынка, и приводятся результаты применения модели на иллюстративном примере двумерного рынка опционов с конечным множеством страйков.
Многомерный рынок - это рынок, порожденный несколькими (n > 1) базовыми активами (акциями), цены которых в конце периода образуют случайный вектор с плотностью вероятности, прогнозируемой инвестором. Рынок достаточно разнообразен, так чтобы на нем можно было строить и торговать портфелями, платежные функции которых весьма произвольны (например, просто измеримы).
Как и в одномерном случае, сначала определяется -рынок (см., например, [1,2,4]), а затем рынок -опционов - инструментов, являющихся обобщением обычных опционов. Их платежные функции определяются ценами, вообще говоря, всех n активов и заимствуют черты платежных функций обычных одномерных опционов колл и пут.
1. Многомерный однопериодный рынок - основные определения и обозначения
Пусть X = iNXi, Xi, N = {1,2,…,n}. Заданы две неотрицательные функции p(x) и c(x), x X, порождающие меры P{M} и С{M}, MX, первая из которых - вероятностная мера, являющаяся прогнозом инвестора на конец периода, а вторая - ценовая мера, которую предоставляет рынок.
Вводится инструмент D(x), называемый -инструментом, платежной функцией которого служит -функция относительно x, x X, при этом |D(x)| = c(x), x X, где |I| означает стоимость инструмента I. Эти инструменты играют роль базисных инструментов, на основе которых можно строить иные инструменты. Инструмент G с произвольной измеримой платежной функцией g(x) и его стоимость представляются соответственно в виде.
.
Так, инструмент H[M] - "индикатор M" - для произвольного M X, а также единичный безрисковый актив U = H[X] и их стоимости определяются соответственно формулами
, ,
,
где r имеет смысл безрискового дохода за период. Без ущерба для общности можно принять r = 1.
Предполагается, что инвестор привержен континуальному критерию VaR (CC-VaR), а его рисковые предпочтения описываются непрерывной и монотонно возрастающей функцией (), [0,1] (см. [1,2]). Построение оптимального портфеля инвестора основано на анализе мер C{} и P{} - функции относительного дохода (x) = p(x)/c(x), xX. К ней применяется известная из математической статистики процедура Неймана-Пирсона [3].
2. Многомерный -рынок - общие свойства
Рассматривается -рынок - рынок многомерных опционов, доход по которым определяется совокупностью будущих цен всех базовых активов. Пусть x = (x1, x2, …, xn), s = (s1, s2, …, sn) и = (1, 2, …, n) - векторы соответственно цен базовых активов xi, страйков si, iN, и чисел -1 и +1 в любом порядке, характеризующих тип опциона. Тогда -опцион A(s; ) определяется своей платежной функцией, фактически означающей доход, выплачиваемый по опциону в конце периода, a(x; s; ) = max(0, 1(s1-x1)) max(0, 2(s2-x2)) ... max(0, n(sn-xn)).
"Производные" первого порядка A'(s; б) от б-опционов, их платежные функции a'(x; s; б) и цены, где б - произвольный вектор с компонентами +1 (для компоненты типа колла) и -1 (для компоненты типа пута), определяются соответственно по формулам ((б) = iN б i):
Например, для двумерного рынка платежная функция "производной" первого порядка от б-опциона является характеристической функцией одного из четырех квадрантов в вершиной в точке s, определяемого параметром б, со знаком, равным (б). "Производные" второго порядка A"(s; б) от б-опционов, их платежные функции a"(x; s; б) и цены определяются соответственно по формулам
Эти формулы означают, что платежные функция "производных" второго порядка от б-опциона для всех возможных наборов значений векторного параметра б совпадают между собой и равны n-мерной -функции относительно s. Теоремы паритета для A(s; б) и A'(s; б) и их цен непосредственно следуют из импликации, проверяемой подходящей группировкой слагаемых,
Они имеют соответственно вид
При этом, вообще говоря,
,
и равенство здесь гарантируется лишь в случае взаимно независимого ценообразования для всех базовых активов.
3. Дискретный по страйкам рынок б-опционов
В работе используются два способа дискретизации теоретической континуальной модели. Первый из них осуществляет переход от континуального -рынка к сценарному. При этом для каждого iN применяется равномерное разбиение множеств Xi на сценарии. Полагая Ii = {1, …, ki}, iN, и принимая исключительно для удобства записи, что Xi = [-1,1], выбираем в качестве сценариев подмножества Si,j Xi, такие что Si,j = (si,j-1, si,j], j Ii\{1}, Si,1 = [si,0, si,1], а si,j = 2(j/n) - 1, j Ii{0}.
На этом рынке базисными служат инструменты
, iN.
Здесь множество M является произвольным n-мерным сценарием - прямым произведением компонентных одномерных сценариев. Их количество равно iN ki, а вероятности каждого из них получаются интегрированием n-мерной плотности p(x, y) в пределах соответствующего сценария.
Второй способ дискретизации модели нацелен на ее приложение к многомерному опционному рынку с конечным множеством страйков. Здесь Ii = {1, …, ki} означает уже индексное множество страйков для i-го актива, iN. В этом случае для каждого iN одномерными базисными инструментами служат опционы, страйки которых i,j, jIi, совпадают с центрами введенных выше сценариев. Имеем i,j = (si,j-1-1+si,j)/2 = (2j-1)/ki-1, jIi; полагаем еще для удобства i,0 = -1, i,n+1 = 1 - это крайние точки Xi. Совокупность всех векторных страйков обозначим .
Все страйки естественным образом подразделяются на внутренние и граничные. Для внутренних векторных страйков базисный баттерфляй имеет представление
где E = {-1,+1}, vi = {vij, jN}, vij = {1, j = i; 0, j i}, i, jN.
По своим правилам строятся и базисные баттерфляи для граничных страйков, как нульмерных (вершинных), так и m-мерных, m < n. В совокупности они образуют нормированный базис - дискретный опционный аналог континуального точечного базиса {D(s), s X} для -рынка.
В основе их построения лежат генераторы (платежные функции) одномерных простейших нормированных баттерфляев, как собственно (обычных, или полных) баттерфляев, так и "усеченных", фактически являющихся кредитными спредами и используемых для двух крайних (левой и правой) пар страйков. Платежная функция каждого базисного баттерфляя получается перемножением подходяще подобранных генераторов.
Для опционной компоненты типа колл эти генераторы имеют следующий вид (соответственно для внутренних страйков, крайне левого и крайне правого страйка с расстоянием между ближайшими страйками h):
,
,
.
То же для опционной компоненты типа пут:
,
,
.
Для смешанных баттерфляев, составленных, например, из левого пут-спреда совместно с правым колл-спредом, используется смешанный генератор (применяемый вместе с безрисковым единичным инструментом U):
.
Во всех приведенных представлениях генераторов базисному страйку соответствует точка x = 0.
Мы здесь не приводим для произвольного n представлений базисных баттерфляев для граничных страйков, но делаем это далее для двумерных рынков.
4. Двумерный дискретный -рынок
На двумерном рынке обращаются всего четыре типа -опционов A(s; б), их будем обозначать C(s), S(s), P(s), F(s) соответственно при б = (+1,+1), (-1,+1), (-1,-1), (+1,-1).
Для внутренних страйков представление базисных баттерфляев в терминах опционов C имеет вид:
Здесь уже vi = {vij, j = 1,2}, vij = {1, j = i; 0, j i}, i, j = 1,2.
По иному строятся представления вершинных базисных баттерфляев, они являются "усеченными" по обоим измерениям C-баттерфляев. В частности, для s = (1, 1) имеет место
Здесь отметим участие в образовании баттерфляя также и одномерных опционов.
Для вершин s = (k1, 1) и s = (k1, k2) соответственно
Реберные базисные баттерфляи являются "усеченными" по одному измерению баттерфляями. В частности для s = (1, j), j = 2, ..., k2-1, они представляются в виде (здесь также привлекаются одномерные опционы)
Для s = (k1, j), j = 2, ..., k2-1, имеет место представление
Прочие не приводимые здесь варианты базисных баттерфляев получаются из уже полученных по соображениям симметрии. Итак, в двумерном случае всего насчитываются 6 существенно различающихся вариантов базисных баттерфляев (как полных, так и "усеченных"): 1 внутренний, 3 вершинных и 2 реберных. Справедливо равенство
.
Подобные базисы, разумеется, можно построить также и на основе прочих -опционов: S(s), P(s) и F(s). Более того, можно сформировать и смешанный базис с одновременным участием опционов нескольких типов. Так, например, для внутренних страйков s = (i, j), справедливо представление
Все такие возможные представления эквивалентны по платежным функциям, хотя на реальном рынке стоимости соответствующих портфелей могли бы разниться.
5. Иллюстративный пример
Рассмотрим конкретный двумерный рынок опционов, а для простоты и определенности положим X = Y = [-1,+1]. Заданы две неотрицательные функции p(x, y) и c(x, y), x X, y Y, первая из которых - плотность вероятности, являющаяся прогнозом инвестора на конец периода, а вторая - ценовая плотность, которую должен был бы "формировать" сам рынок:
p(x, y) = 13/36 - x2/6 - y2/6;
c(x, y) = 37/120 - (x + 1/2)2/6 - (y - 1/2)2/6.
Дискретизация осуществляется выбором k1 = 6, k2 = 5. Таким образом, по координате x имеем по 6 сценариев и опционных одномерных страйков, а по координате y - по 5. Для обозначения векторного страйка используем обозначение (s, t).
Первая из плотностей порождает дискретное распределение вероятностей на сценариях. Эти вероятности получаются интегрированием плотности в пределах каждого сценария. Упорядочивая вероятности лексикографически, получаем вектор
Вторая плотность используется для нахождения цен базисных баттерфляев. Строго говоря, ценовые характеристики рынка должны доставляться самим рынком. Именно из него необходимо черпать информацию для расчета цен базисных баттерфляев. Конечно, в целях иллюстрации проще было бы сразу задавать эти цены - именно 65 = 30 положительных значений цен базисных баттерфляев, в сумме дающие единицу.
Однако изначально рынок поставляет цены не баттерфляев, а опционов. И для проверки работоспособности модели следовало бы задавать именно последние. Но назначить правдоподобные цены всех участвующих в формировании рынка опционов так, чтобы цены баттерфляев оказались положительными непросто; во всяком случае, это сделать, назначая их наугад, почти никогда не удается. Поэтому предлагается, исходя из плотности c(x, y), находить теоретические цены опционов, и тогда цены баттерфляев должны будут автоматически получаться положительными.
Для формирования цен баттерфляев из цен опционов в примере используются следующие формулы теоретических цен для опционов разных типов, как двумерных, так и одномерных по обоим измерениям.
Для опционов типа колл имеем
,
.
Если строить портфель в терминах опционов иного типа, например F, то формулы видоизменяются очевидным образом:
,
Отметим еще, что в соответствии с определениями типов опционов справедливы, например, равенства WFX(s) = WCX(s), WFY(t) = WPY(t).
Использованием этих формул применительно к представлениям базисных баттерфляев получаются их теоретические цены. Упорядочивая их лексикографически, получаем вектор
c = {0.0292284, 0.0347617, 0.0384951, 0.0400951, 0.0396728, 0.0298765, 0.0354099, 0.0391432, 0.0407432, 0.0403210, 0.0291358, 0.0346691, 0.0384025, 0.0400025, 0.0395802, 0.0269136, 0.0324469, 0.0361802, 0.0377802, 0.0373580, 0.0232099, 0.0287432, 0.0324765, 0.0340765, 0.0336543, 0.0183025, 0.0238358, 0.0275691, 0.0291691, 0.0287469}.
Посредством алгоритма из [1,2], опирающегося на процедуру Неймана-Пирсона, сравнивающую векторы p и c, в предположении () = 2, [0,1], находятся веса базисных баттерфляев в "оптимальном" портфеле (в дискретном случае можно говорить лишь о приближенной оптимальности), лексикографическое упорядочение которых дает вектор
g = {0.00129482, 0.0193656, 0.0538469, 0.0122107, 0.000323704, 0.0856875, 0.252012, 0.1764, 0.109733, 0.00669838, 0.286027, 0.68703, 0.616852, 0.214807, 0.0399342, 0.545191, 0.924415, 0.842709, 0.380471, 0.0701487, 0.458201, 1., 0.758576, 0.32873, 0.0278986, 0.142816, 0.49782, 0.421249, 0.129541, 0.00291333}.
Далее портфель G = ij gij B[i,j] переписывается в терминах опционов C, CX и CY:
актив рынок цена
Тот же портфель в терминах, например, опционов F имеет другое представление:
График платежной функции (доходов) "оптимального" портфеля опционов дается на рисунке.
Рис.1. Доходы "оптимального" портфеля при ?(?)=?2
Литература
актив рынок цена
1.Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов // Экономика и математические методы. 2005. Т. 41, №4. С. 88-98.
2.Агасандян Г.А. Основные теоретические схемы применения континуального критерия VaR. М. ВЦ РАН. 2009. 33 с.
3.КРАМЕР Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 948 с.
4.AGASANDIAN G.A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market / International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computa-tional Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). P. 1859-1864.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Финансовый рынок, его понятие, формирование и сущность. Финансовые рынки, предпосылки и объекты их формирования. Виды финансовых рынков, их общие черты и отличительные особенности. Основные виды рисков на финансовом рынке. Обращение финансовых активов.
реферат [20,2 K], добавлен 02.12.2015Особенности становления и развития финансового рынка в Российской Федерации. Финансовые рынки, как инвестиционные институты и особая сфера денежных потоков. Рынок золота, ценных бумаг, кредитный, валютный, страховой рынок. Рынок межбанковских кредитов.
курсовая работа [608,7 K], добавлен 18.01.2017Финансовые рынки и финансовые институты, их роль в экономике страны. Типы финансовых систем и национальные модели финансовых рынков государства, современные тенденции развития за рубежом. Базовые модели рынка ценных бумаг, показатели капитализации.
лекция [63,2 K], добавлен 28.09.2010Инфраструктура и составные элементы финансового рынка. Финансовые инструменты денежного и депозитного рынков. Сущность кредитного рынка. Валютные операции. Рынок ценных бумаг. Экономическая сущность страхования. Финансовое посредничество и посредники.
курс лекций [1,1 M], добавлен 15.03.2012Мировой финансовый рынок, направления и закономерности его функционирования. Валютный рынок Forex. Дилинговые центры как участники валютного рынка. Анализ рейтинга дилинговых центров Форекс по отзывам пользователей, с соотношением голосов за и против.
курсовая работа [172,0 K], добавлен 21.02.2015Инвестиции и инвестиционная деятельность. Элементы инвестиционного рынка: финансовые инструменты, финансовые институты, финансовые рынки. Инновационная форма инвестиций. Сущность и формы финансового инвестирования. Инвестиции в средства производства.
дипломная работа [44,2 K], добавлен 20.11.2008Экономический смысл понятия "финансовый рынок", его разновидности и функциональные особенности. Классификация финансовых рынков в современном мире, их структура и взаимодействие основных участников, специфические признаки развития в Российской Федерации.
контрольная работа [23,9 K], добавлен 26.01.2011Факторы, влияющие на валютный рынок. Связь приемлемой величины кредитной ставки и эффективность работы компании. Дисконтирование денежных потоков, виды ставок. Роль драгметаллов в валютных резервах страны. Определение фьючерсного и опционного контрактов.
контрольная работа [155,0 K], добавлен 17.06.2015Характеристика, участники и инструменты рынка капитала. Биржевые и внебиржевые рынки валют, мировые фондовые биржи. Банковская система Казахстана, принципы ее деятельности. Сущность и виды страхования. Саморегулируемые организации финансового рынка.
шпаргалка [98,4 K], добавлен 13.05.2014Финансовые рынки: денежный, кредитный, валютный, институтов собственности. Факторы, влияющие на финансовый рынок. Понятие капитала и его структура. Закономерности функционирования денежного рынка и рынка капиталов. Свойства рынка ссудных капиталов.
контрольная работа [29,9 K], добавлен 13.03.2010Финансовые институты, направляющие потоки денежных средств от собственников к заемщикам. Денежный рынок и рынок капиталов. Основные факторы, влияющие на размер процентных ставок. Организация и регулирование денежного рынка: субъекты, объекты и структура.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 26.03.2010Концепция идеальных рынков капитала. Гипотеза эффективного рынка и рациональное объяснение его цены. Методология и основные заключения фондовой биржи. Анализ предпосылок для эффективного формирования стоимости российских компаний на международном уровне.
курсовая работа [3,0 M], добавлен 10.10.2011Значение стратегий ценообразования и их классификация. Основной принцип французского розничного оператора "Ашан" при внедрении на рынок. Стратегии товарной и потребительской дифференциации цен. Контрактная стоимость: виды, методы и этапы формирования.
реферат [28,8 K], добавлен 14.06.2016Фондовый рынок как часть финансового рынка служит основой движения капитала. Определение ценной бумаги как документа, удостоверяющего с соблюдением установленной формы и обязательных реквизитов имущественного права. Фондовые рынки и их участники.
курсовая работа [552,0 K], добавлен 02.05.2009Знакомство с основными особенностями развития рынка корпоративных облигаций России. Общая характеристика мер по продвижению выпуска ценных бумаг. Анализ отраслевой структуры первичного рынка корпоративных облигаций. Рассмотрение правил листинга.
дипломная работа [472,0 K], добавлен 27.06.2013Теория оптимального управления для оценки опционов. Связь между риск-нейтральной и физической плотностью вероятности. Функция полезности как функция с ограниченным изменением. Решение задачи оптимального управления как задачи вариационного исчисления.
дипломная работа [412,3 K], добавлен 17.10.2016Рынок ценных бумаг как институт или механизм, сводящий вместе покупателей и продавцов фондовых ценностей, то есть ценных бумаг. Знакомство с особенностями проведения аналитических исследований современных тенденций развития российского рынка ценных бумаг.
курсовая работа [548,4 K], добавлен 13.06.2014Теоретические основы функционирования рынка ценных бумаг Украины. Виды ценных бумаг, участники фондового рынка. Биржевой и организационно оформленный внебиржевой рынки ЦБ. Влияние мирового финансового кризиса на отечественный рынок ценных бумаг.
курсовая работа [35,5 K], добавлен 06.07.2009Характерные черты, теоретические аспекты функционирования кредитного рынка: понятие, сущность, участники. Анализ кредитных отношений между коммерческими банками, которые образуют межбанковский кредитный рынок, проблемы и перспективы его развития в России.
курсовая работа [291,5 K], добавлен 15.01.2010Порядок торговли финансовыми активами. Основа фьючерсов и опционов - принцип отсрочки поставки. Фьючерсный контракт и его особенности. Торговля фьючерсами как один из видов инвестирования. Стратегии использования опционов, хеджирование и спекуляция.
курсовая работа [83,8 K], добавлен 03.03.2009
