Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Магистерская диссертация

Тема: Управление инвестиционным портфелем в условиях рыночных спадов

Свиридов Чеслав Олегович

Москва 2020

Введение

Одним из центральных понятий в сфере управления инвестициями является диверсификация. Впервые интуитивно понятный термин диверсификации был формализован Гарри Марковицем в 1952 году [24]. В рамках своей диссертации в Чикагском университете он создал математическую модель, позволяющую получить веса финансовых инструментов в портфеле, который считается оптимальным с точки зрения соотношения риск/доходность. Математическая модель, сформированная Марковицем, базируется на статистическом понятии корреляции, то есть линейной зависимости между финансовыми активами. Задача состоит в том, чтобы, оценив как коррелируют между собой финансовые инструменты, входящие в инвестиционный портфель, решить оптимизационную задачу и найти портфель с наибольшей доходностью при заданном риске. Идея заключается в том, что, когда цена одних инструментов падает, цена других может расти, компенсируя тем самым убытки портфеля. Таким образом, найдя активы со слабой или отрицательной корреляцией, инвестор может значительно снизить риск своего портфеля, не теряя при этом в доходности. Стоит заметить, что диверсификация в правой стороне распределения (в случае роста активов) не так интересна инвестору, более того, она нежелательна. Диверсификация должна работать при падениях рынка, защищая портфель инвестора от больших убытков.

Тем не менее, эффективность диверсификации инвестиционного портфеля во время последних кризисов подверглась большим сомнениям. Этот принцип, казалось, потерпел крах, поскольку практически все классы активов, кроме высококачественного суверенного долга, двигались в одном направлении - вниз.

В течении нескольких последних десятилетий проводились изыскания в области асимметрии корреляций. Исследователи обращают внимание на тот факт, что оценивание ковариационной матрицы на полной выборке для решения задачи оптимизации инвестиционного портфеля таит в себе скрытые опасности для инвестора. Условные корреляции, как показывают исследования, отличаются от корреляций полной выборки.

Авторы исследований отмечают важность учета условных корреляций при формировании инвестиционного портфеля. Как упоминалось выше, одним из входящих параметров модели Марковица является ковариационная матрица и, поэтому ее оценка играет важнейшую роль в задачи оптимизации инвестиционного портфеля. Корреляции склонны усиливаться при падениях и, следовательно, инвестор, не учитывающий данного эффекта и, считающий, что его портфель хорошо диверсифицирован, может сильно заблуждаться.

Данная диссертационная работа преследует следующие цели: 1) создание модели для количественного выявления эффекта усиления корреляций между активами во время падения рынка, 2) применение модели для выявления асимметрии корреляций на данных российского рынка, 3) протестировать статистическую гипотезу о равенстве характеристик диверсифицированности рынка в правом и левом хвостах распределения.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Построена модель для количественного выявления асимметрии корреляций в хвостах распределений доходностей;

2. Разработанная модель применена на акциях компаний, входящих в состав индекса голубых фишек Московской биржи MOEXBC.

3. Отвергнута гипотеза о равенстве характеристик диверсифицированности рынка в правом и левом хвостах распределения.

В настоящем введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, и перечислены основные результаты. Также, охарактеризована новизна и практическая ценность развитых методов, раскрыто содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена обзору основных исследований в области асимметрии корреляций в хвостах распределений. Представлен краткий экскурс и полученные результаты.

Во второй главе описывается идея создания новой конструкции для выявления эффекта усиления корреляций при росте и падении рынка. Также приведено словесное и техническое описание разработанной модели.

В третьей главе предоставлено эмпирическое исследование на примере российского рынка акций, а в частности индекса голубых фишек MOEXBC. Применена разработанная модель, сформулирована и протестирована статистическая гипотеза, сделаны выводы.

В двух приложениях описаны техника расчета условных корреляций, приведенная в статье Page S., Panariello R.A., «When Diversification Fails» (2018) и экспоненциально взвешенный подход для оценки корреляции.

1. Краткий обзор исследований на тему асимметрии корреляций

1.1 Работает ли диверсификация при падениях рынка?

Диверсификация, одно из ключевых понятий в управлении инвестициями, оказалась под угрозой после финансового кризиса 2007-2009 годов, когда цены практически всех классических «длинных» активов, кроме высококачественного суверенного долга, двигались в одном направлении - вниз. Инвесторы обратили внимание на тот факт, что корреляции между активами склонны усиливаться при падениях, и, следовательно, диверсификация перестает работать тогда, когда она нужна больше всего.

Действительно ли это так? В этой главе мы рассмотрим основные статьи на данную тему, результаты, полученные авторами в этих статьях, а также проведем собственное исследование на российском рынке, используя одну из техник, представленных в работе «When Diversification Fails» авторов S. Page и R. A. Panariello [26].

Стоит отметить, что изыскания в направлении условных корреляций проводятся достаточно давно. Такие исследователи, как Ball и Kothari (1989) [7], Schwert (1989) [28], Conrad, Gultekin и Kaul (1991)[12], Karolyiи Stulz (1996) [20], Cho и Engle (2000) [10], Bekaert иWu (2000)[8],Ang и Bekaert (2000) [2], Bae, Karolyi и Stulz (2000)[6], Cizeau, Potters и Bouchaud(2001) [26],изучали корреляции между доходностями акций и обнаружили значительную асимметрию. В перечисленных работах указывается, что диверсификация не дает ожидаемых результатов при больших движениях рынка.

Авторы Longin и Solnik (2001) [22], проводившие не первое исследование в данной области, выявили, что при падениях рынка корреляции склонны усиливаться в левом хвосте распределения. Для расчета условных корреляций, исследователи использовали следующий метод: значения доходностей отсекались по определенному порогу, и далее корреляции рассчитывались на основе «новой» сформировавшейся выборки. Корреляции оценивались в предположении нормально распределенных доходностей активов. Основная гипотеза состояла в том, что, отсекая все большие значения доходностей, корреляции должны были бы стремиться к нулю. Однако, исследователи обнаружили, что данная гипотеза подтвердилась лишь для правой стороны распределения.

Рис. 1. Профиль корреляций между американскими и французскими акциями. По оси абсцисс - доходности акций, по оси ординат - значение корреляций

На рисунке 1 мы видим, что толстая линия (эмпирическая линия корреляций)значительно отличается от пунктирной («нормальной») линии в левом хвосте распределения: при падениях рынка на значительную величину, корреляции стремятся к единице.

Ang A. иChen J.(2001) расширили исследование предыдущих авторов и в статье «Asymmetric Correlations of Equity Portfolios» разработали новую статистику для измерения, сравнения и тестирования асимметрии в условных корреляциях. В отличие предыдущих работ, в которых ковариационная асимметрия рассматривается в контексте класса ассиметричных моделей GARCH, метод Ang A. и Chen позволяет оценить степень корреляционной асимметрии в данных относительно любой конкретной модели. В своей статье, помимо прочих результатов они обнаружили отличие эмпирических условных корреляций от корреляций, подразумеваемых нормальным распределением, на 11.6%, что явным образом указывает на асимметрию.

Год спустя, R. Campbell, K. Koedijk и P. Kofman в работе «Increased Correlations in Bear Markets» (2002) отметили недостатки подхода вышеупомянутых F. Longin и B. Solnik, в частности смещенность полученных ими оценок корреляций. Как указывается в статье, оценки ковариационных матриц, полученные путем отсечения определенного порога значений доходности, будут подвержены систематическому завышению или занижению. Авторы предложили другой метод, который учитывал эти недостатки, а также мог использоваться при решении задачи оптимизации портфеля и в задачах риск-менеджмента. В своей работе они накладывают условие на корреляцию в соответствии с моделью Value-at-Risk (VAR). Преимуществом такого подхода состоит в том, что оценки корреляций обусловлены доходностями, падающими ниже определенного наихудшего квантиля, а не определенного порогового значения.

Используя новую технику, исследователи также нашли значительное усиление корреляций между доходностями акций разных стран при падениях рынка. Они отметили важность учета хвостов распределения при оценке ковариационных матриц. В 2003 году эти же люди, при участии S. Forbes, опубликовали статью под названием «Diversification Meltdown or the Impact of Fat Tailson Conditional Correlation». В этой работе авторы проводили похожее исследование, однако при допущении о том, что доходности акций подчиняются не нормальному, а t-распределению Стьюдента. Как результат, они не подтверждают выводы, полученные в своей предыдущей публикации.

С приходом финансового кризиса 2007-2009 годов проблема диверсификации портфеля вновь обострилась: инвесторы усомнились в «непогрешимости» модели Марковица и вопрос условных корреляций стал актуальным как никогда раньше.

В 2009 году Chua, Kritzman и Page в публикации «The Myth of Diversification» снова отмечают важность учета корреляций в хвостах распределения, указывая на тот факт, что ковариации, оцененные на «полной» выборке, вводят инвесторов в заблуждение.

Рис. 2. Профиль корреляций между американскими и неамериканскими акциями за период с января 1979 по февраль 2008

Авторы проводят эмпирическое исследование и находят значительную асимметрию в условных корреляциях между доходностями активов. На рисунке 2 указан профиль корреляций между акциями американских и не американских компаний: видно, что он далеко не соответствует профилю, подразумеваемому нормальным распределением.

Также в своей статье они представляют «full-scale optimization» - новый метод оптимизации инвестиционного портфеля, доходность которого, в их исследовании, выше доходности портфеля, сформированного при помощи конструкции Марковица, при том что активы, входящие в портфель показывают более слабые корреляции при падениях и более сильные при росте. Авторы добиваются этого путем ослабления допущений модели Маковица о нормальности распределения и квадратичности функции полезности инвестора.

Хотелось бы обратить внимание на статью «International Diversification Works (Eventually)» авторов C. Asness, R. Israelov и J.M. Liew, которая вышла в свет в 2011 году. В этой работе они встают в защиту глобальной диверсификации, отмечая, что, тогда как при краткосрочных падениях рынка, диверсификация, действительно, склонна «испаряться», при долгосрочных инвестициях она работает «безотказно». Исследователи указывают на то, что в долгосрочной перспективе, в отличие от краткосрочной, рынки не склонны падать синхронно. Падения рынков в долгосрочном тренде скорее связаны не с паническими настроениями, а с плохими экономическими показателями отдельных стран, а как раз от этого межстрановая диверсификация может защитить инвестора.

A. Ilmanen и J. Kizer в работе «The Death of Diversification Has Been Greatly Exaggerated» (2012), также разделяют точку зрения предыдущих авторов и считают, что портфели инвесторов не были так хорошо диверсифицированы, как думали сами инвесторы. При этом, они отмечают, что факторная диверсификация (примером факторов служат размер компании, оценка компании, активная менеджерская позиция по управлению компанией, и так далее) была намного эффективней диверсификации по видам активов (asset-class diversification), в особенности во время кризиса. При этом такие фундаментальные факторы как рост, инфляция, ликвидность были также интересны для исследования, однако, такие факторы достаточно сложно оценить.



Рис. 3. Значения корреляций для между классами активов (верхнее изображение) и факторами (нижнее изображение)

На рисунке 3 мы видим, что значения корреляций между факторами значительно ниже, чем корреляции между классами активов, а следовательно, факторный портфель будет более диверсифицированным.

Результаты факторного анализа очень интересны в рамках вопроса изучения диверсификации. Но сложность такого анализа заключается в том, что выбор факторов не всегда очевиден, и, более того, факторы сложно категорируются (формализуются) и не поддаются оцифровке, а значит не могут быть использованы инвесторами повсеместно.

Также стоит отметить достаточно большое количество работ с использованием Теории Экстремальных Значений (Extreme Value Theory), теории функций-связок «копул» и моделей стохастической волатильности для моделирования хвостов распределений доходностей отличных от нормальных. В последнее время авторы применяют все более сложные модели, которые учитывают различные «режимы»корреляций, в которых находится рынок (Ang, Bekaert (2002)), а также «скачки» корреляций (Jorion (1988), Das и Uppal (2004) Ait-Sahalia, Cacho-Diaz и Laeven (2015)), приводящие инвестиционные портфели к убыткам.

Так, B. Solnik и T.Watewai, продолжая исследования в данной области, в 2016 году публикуют статью под названием «International Correlation Asymmetries: Frequent-but-Small and Infrequent-but-Large Equity Returns».В этой работе, учтя недостатки всех моделей, включая использованных в собственных статьях, авторы разрабатывают новую модель «с переключениями» для изучения асимметрии в корреляциях на международных рынках акций. Их модель, как указывают авторы, дает лучшее описание изучаемого объекта, нежели любые другие, указанные в предыдущем абзаце.

Рис. 4. Среднее значение условных корреляций между 45 парами стран

На рисунке 4 красными кружками обозначены эмпирические значения. Как видно, модель с двумя режимами и учетом «скачков» корреляций описывает реальные данные достаточно хорошо.



Рис. 5

диверсификация доходность волатильность

Авторы также сконструировали инвестиционный портфель используя разработанную модель и получили результаты, значительно превышающие портфель 1/N. За шесть лет портфель исследователей вырос на 85%, тогда как портфель, состоящий из равных долей акций, лишь на 18%. Разница возникает, в основном, из способности модели «определить» кризис раньше, распознавая «плохой режим» и «рекомендуя» переходить в безрисковые активы. На рисунке 5 хорошо видна эта разница: портфель, сформированный при помощи модели авторов значительно «обходит» другие портфели. Данное исследование наглядно показывает важность учета хвостовых ковариации при создании инвестиционных портфелей.

Остановимся более подробно на одной их последних статей на данную тему. В конце 2018 года появилась статья «When Diversification Fails», в которой исследователи S. Page и R. A. Panariello обнаружили рост корреляций в левых хвостах практически по всем классам активов.



Рис. 6. Профиль корреляций между американскими и неамериканскими акциями за период с января 1970 по июнь 2017.

Здесь, в отличие от, например, работы [18] (методика расчета условных корреляций которой приводилась выше), корреляции считались путем отсечения доходностей лишь по одной из осей. Это дало возможность исследователям выявить эффект диверсификации одного класса активов другим.

На рисунке 6 указан профиль корреляций между американскими и неамериканскими акциями за период с января 1970 по июнь 2017. По оси абсцисс расположены перцентили доходностей. Видно, что диверсификация работает лишь в правой стороне распределения, чего инвесторы хотели бы меньше всего.



Рис. 7. Корреляции левого и правого хвостов между ключевыми активами, июнь 2017 г.

Также приводим изображение корреляций между ключевыми активами в 2017 году, взятое из той же статьи. На рисунке 7 видно, что при падениях корреляции между основными классами активов стремятся, если можно так выразиться, к единице. При росте же, мы видим, что портфель ведет себя достаточно диверсифицировано. Так, например, корреляция между акциями и ипотечными облигациями составляет -0.4.

Авторы также отмечают, что одним из немногих классов активов, которые действительно диверсифицировали инвестиционный портфель во время рыночных спадов являются ценные бумаги казначейства США. На рисунке 8 показан профиль корреляций между американскими акциями и казначейскими бумагами.

Профиль, в отличие от профиля изображенного на рисунке 2, достаточно желателен: при падении рынка ковариации между активами уменьшаются и, при этом, усиливаются при росте.

Рис. 8. Профиль корреляций между американскими акциями и ценными бумагами казначейства США за период с января 1970 по июнь 2017.

1.2 Наблюдается ли данный эффект на российском рынке?

Не найдя подобных работ, выполненных с использованием российских данных, было решено провести собственное исследование, используя показатели акций, входящих в индекс голубых фишек московской биржи, за период с 29сентября 2018 года по 6 марта 2020 года.

Всего в выборку попало 365 значений доходности индекса. Методика подсчета условных корреляций была взята из статьи «When diversification fails», о которой упоминалось выше.



Рис. 9. Корреляционные тепловые карты при падениях и росте индекса MOEXBC на более чем 1% (дневные значения доходностей)

В базу для расчета корреляций были взяты только те дни, когда индекс падал либо рос более чем на 1%: это 43 значения падения рынка на и 56 значений роста.

На рисунке 9 достаточно хорошо просматривается разница между двумя изображениями: при падениях индекса корреляции между бумагами значительно увеличивались. Стоит заметить, что один процент скорее не является критическим отклонением. Однако, в силу небольшого количества дневных наблюдений при падениях и росте рынка свыше заданного порога, невозможно отсекать большие значения. Ниже, на рисунке 10, были взяты недельные значения доходностей акций. Отчетливо видно различие между изображениями: при падениях индекса на более чем 2% корреляция бумаг значительно усиливается.

Рис. 10. Корреляционные тепловые карты при падениях и росте индекса MOEXBCна более чем 2% (недельные значения доходностей)

Однако, производя расчеты, используя методику авторов статьи, возник вопрос о корректности таких вычислений. Дело в том, что, отсекая определенное значение доходности, как указано на рисунке 11, и рассчитывая корреляцию в отсеченной области, мы используем «плохое» среднее. Инвестору хотелось бы знать как коррелированы активы еще до отсечения.

Рис. 11. Метод расчета условных корреляций, используемых авторами статьи «When Diversification Fails».

В связи с этим было бы интересно создать новую модель расчета корреляций, которая бы не учитывала средние значения как таковые. Такая модель позволила бы выявить эффект усиления корреляций в хвостах распределения иным, более корректным способом. Во второй главе как раз и будет произведена попытка создать такую модель.

2. Новый метод для выявления эффекта усиления корреляций в хвостах распределения

Для того, чтобы уйти от значений средних при расчете хвостовых зависимостей, необходимо изобрести совершенно новый подход, который бы отличался от известных и повсеместно используемых статистических методов. Однако, при создании такого подхода, хотелось бы не сильно отдаляться от широко используемых техник, в частности от модели оптимизации инвестиционного портфеля, разработанной Г. Марковицем. Последнее связано с желанием создать метод, который бы вписывался в существующие фреймворки решения задачи оптимизации портфеля и мог бы применяться инвесторами на практике.

Для выполнения данного условия, при разработке метода было принято решение использовать в качестве меры синхронности/диверсифицированности изменений цен на рынке угол (и его косинус) между вектором изменения капитализаций бумаг на очередном временном промежутке, например, за торговый день, и вектором, соответствующим долям бумаг в индексе. Дополнительным удобством, облегчающим интерпретацию, является тот факт, что область значений функции косинус совпадает с областью значений коэффициента корреляции Пирсона.

Для аккуратной математической реализации этой конструкции требуется ввести новую систему координат, в которой вектор с координатами, равным долям бумаг в индексе, был бы ортогонален аффинной гиперплоскости, соответствующей текущему (и также любому другому фиксированному) уровню значений индекса. Это сделано введением нового скалярного произведения, отличающегося от стандартного евклидова коэффициентами (весами) при попарных произведениях координат.

В следующем параграфе приведена иллюстрация этой конструкции для случая двух бумаг, когда она может быть представлена на рисунке.

Также стоит отметить, что сложность работы с корреляциями заключается в том, что оценивается очень большое количество параметров. Например, даже при использовании в исследовании индекса голубых фишек Московской биржи MOEXBC, в который входит 15 компаний, для оценки корреляционной матрицы потребуется значений. А, например, для индекса Мос Биржи IMOEX уже . Настоящий же метод позволяет оценивать лишь несколько параметров.

Предположим, для удобства наглядного представления, что некий индекс рассчитывается как сумма капитализаций двух компаний. Расположим данные в декартовой системе координат. Значение индекса меняется, вместе с этим меняется и положение точки, которой соответствуют определенные значения координат. Проведя луч из начала координат, проходящий через данную точку, мы зададим некую «нормаль», относительно которой мы можем измерять углы векторов, отложенных от одного значения индекса к другому. При синхронном росте или падении косинусы углов будут лежать ближе к 0є и 180є, тогда как при диверсифицированном росте или падении - ближе к 90є.



Рис. 12. Графическое изображение метода.

Тем самым, мы сможем выдвинуть и проверить статистическую гипотезу о том, что среднее значение косинусов в правой стороне распределения меньше среднего значения косинусов в левом углу распределения и, таким образом, выявить вышеупомянутый эффект, не прибегая к значениям корреляций и средних.

Обратимся к рисунку 12. Допустим, что индекс находится в точке «1». Здесь рыночная капитализация компании «А» составляет 400 у.е., а капитализация компании «Б» 200 у.е. Так, например, откладывая вектор от точки «1» к точке «2», мы видим, что угол между вектором капитализаций и «нормалью» равен 0є. Такое будет происходить в двух случаях - либо при абсолютно пропорциональном росте, либо при абсолютно пропорциональном падении. Здесь, в частности, обе компании выросли на 40%. В остальных случаях углы будут находится в пределах от 0є до 180є градусов. К примеру, в точке «3» капитализация компании «А» упала на 48%, капитализация компании Б выросла на 91%, но значение индекса не изменилось. Это будет соответствовать углу в 90є (в новой, специальным образом введённой системе координат, см. далее), то есть движению вдоль линии постоянства индекса. Точкой «4» обозначено произвольное изменение значения индекса.

Рис. 13. Графическое изображение метода

Однако, на рисунках 12 и 13 видно, что угол б на самом деле больше 90є. Здесь приходится работать с аффинной, или косоугольной, системой координат. Чтобы «исправить кривизну» и привести систему координат к прямоугольной, каждый раз при расчете угла длина вектора и «нормали» будут умножаться на определенный «вес», в данном случае на обратную величину капитализации компании.

Здесь будет формально записана модель, описанная в предыдущем параграфе. Вместо линии постоянства значения индекса, как в примере с двумерным пространством, в общем случае это будет (n?1)-мерная гиперплоскость, относительно которой будет измеряться угол.

Для каждой компании рассчитывается значение, входящее в индекс по следующей формуле:



где- капитализация i-ой Акции, у.е.;

- цена акции, у.е.;

- количество выпущенных акций, которые входят в расчет индекса, шт.;

- коэффициент Free-float, или доля акций компании, находящихся в свободном обращении;

-Restricting coefficient, или весовой коэффициент, ограничивающий долю капитализации i-ой Акции.

Далее находится суммарная стоимость (капитализация) всех Акций на k-ый момент времени. Таким образом будет рассчитываться значение индекса для данного исследования.

где - общее количество Акций;

Определяются координаты вектора «приращения»g. Каждая координата рассчитывается, как разница значений капитализации i-ой компании.

Рассчитываем длину вектора «приращения»g.Здесь, для привода системы координат к прямоугольной, каждая координата умножается на обратную величину капитализации компании.



Далее находится длина «нормали» s.

Выражаем косинус угла между векторами ииз формулы скалярного произведения векторов. При этом, новое скалярное произведение будет взято с «весом».

Эмпирическое исследование с применением разработанной модели

Чтобы понять, действительно ли рынок растет более диверсифицированно, а падает более синхронно, используем гипотезу о равенстве генеральных средних двух распределений. Необходимо понять, значимо или незначимо различаются выборочные средние.

Выдвинем основную и конкурирующую гипотезы:

- -среднее значение косинусов углов при росте равно среднему значению косинусов углов при падении.

· -- среднее значение косинусов углов при росте не равно среднему значению косинусов углов при падении.

Для проведения эмпирического исследования были взяты данные индекса голубых фишек московской биржи MOEXBC с 21 сентября 2018 года по 6 марта 2020 года. Данный временной промежуток был выбран в связи с тем, что состав индекса за этот период был изменен лишь однажды: 20 сентября 2019 года, при очередном пересмотре состава индекса, ВТБ был исключен из состава индекса в пользу НЛМК. Всего в выборку попало 365 значений доходностей индекса. Ниже, в таблице 1 приведен состав индекса на 20 декабря 2019 года.

Таблица 1. Состав индекса MOEXBC на 20 декабря 2019 года

Индекс голубых фишек Московской биржи MOEXBCбыл выбран для исследования по нескольким причинам. Одной из главных причин является определенное постоянство состава индекса. Как упоминалось выше, за полтора года состав индекса был изменен всего один раз, при том, что он пересматривается раз в квартал. Кроме этого, в индекс входит относительно небольшое количество компаний - 15, тогда как, например, в индекс Мос Биржи IMOEXна данный момент входят акции 34 эмитентов. Для данного исследования, большее количество бумаг в индексе принесло бы определённые неудобства с точки зрения расчетов, не влияя при этом на итоговый результат. Можно сказать, что использование данного индекса в исследовании позволило уменьшить количество допущений.

Разработанная модель была применена на выбранных данных. Результат можно наблюдать на рисунке 14: на точечной диаграмме изображена зависимость значений углов от значений доходности индекса. а изображении видно, что модель работает «корректно» - около нулевых доходностей углы составляют примерно 90є.

Отметим, что на изображении «проглядываются» определенные паттерны: правый хвост более «пушистый», тогда как в левом просматривается некое асимптотическое приближение. Интерпретируя точечную диаграмму, можно сказать, что индекс рос более диверсифицировано, тогда как падал более синхронно.

Рис. 14. Зависимость значений углов от значений доходности индекса

Для того, чтобы убедиться в этом выводе, необходимо протестировать статистическую гипотезу, сформированную выше.

Таблица 2. Зависимость средних значений косинусов углов от значений индекса

Порог отсечения значения доходности индекса	Без отсечения	> 1%	>1.5%	> 2%
Количество наблюдений	365	99	35	17
Рост индекса	0.48	0.72	0.75	0.72
Падение индекса	0.48	0.76	0.87	0.89

Перед тем, как перейти к формированию и тестированию гипотезы представим к вниманию таблицу 2, в которой указаны «отсеченные» значения доходностей и соответствующие им значения углов. Несмотря на относительно небольшое количество данных, отчетливо видна зависимость среднего значения косинуса угла от значения доходности.

В качестве критерия для тестирования гипотезы примем случайную величину:

гдеn,m - размеры выборок значений роста и падения соответственно

- выборочная дисперсия

Найдем и - правую границу двусторонней критической области, используя функцию Лапласа Ф(z).

Уровень значимости: 0.01.

Значения средних:

Значения дисперсий:,.

Мы видим, что , а следовательно, нулевая гипотеза не может быть отвергнута.

Учитывая данные из таблицы 1,можно сказать, что на «боковике» средние, действительно, не отличаются, тогда как на сильных движениях рынка, различие, скорее всего будет значимым. Протестируем ту же гипотезу, но при условии, что среднее значение косинуса углов было рассчитано на «отсеченной» на 1.5% значении выборке.

Найдем и - правую границу двусторонней критической области, используя функцию Лапласа Ф(z).

Отсеченное значение доходности: 1.5%.

Уровень значимости: 0.01.

Значения средних:

Значения дисперсий:,.

Дисперсия значений косинусов углов в правом хвосте распределения ожидаемо больше дисперсии в левом хвосте.В то же время среднее значение в левом хвосте значимо больше, чем в правом.

, а следовательно, нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей: средние значения косинусов углов в правом и левом хвосте распределения различаются статистически значимо.

В этой главе была применена разработанная модель для выявления зависимостей в хвостах распределений. Протестировав статистическую гипотезу о равенстве средних, удалось получить интересный результат: тогда как средние значения косинусов углов не различались на полной выборке, средние, оцененные на «отсеченной» выборке, различались статистически значимо.

Исходя из полученных результатов можно заключить, что данный эффект присутствует на российском рынке: акции компаний склонны к более диверсифицированному росту и более синхронному падению. Стоит отметить, что синхронное падение скорее связано с психологией инвестора: как известно, во время падений рынка люди склонны к продаже активов в связи с общей паникой. Как пример можно привести широко известный эффект «Flight-to-Safety», когда инвесторы «уходят» из акций в менее волатильные активы, такие как, например, государственные облигации США. Однако, интересно, что в правой стороне распределения такого эффекта не наблюдается, хотя справедливо было бы думать, что и расти цены активов должны также синхронно. Стоит также отметить, что полученные результаты не конфликтуют с результатами, полученными в работах, приведенных в первой главе.

Заключение

Вопрос диверсификации инвестиционного портфеля всегда стоял остро. Желание инвестора преумножить свой капитал стоит наравне с желанием не понести убытки при падениях рынка. Последнее зависит от степени диверсифицированности портфеля: падение в одном секторе может быть компенсировано ростом в другом.

Одним из самых распространенных способов диверсифицирования инвестиционного портфеля является его оптимизация при помощи модели Марковица. Для формирования портфеля в рамках этой конструкции, инвестору требуется ковариационная матрица - оценка того, как активы коррелируют между собой. Оценка ковариации, как сложной функции от доходностей, не является простой и однозначной задачей. Более того, как было указано в первой главе настоящей диссертации, исследователи ежегодно выявляют эффект усиления корреляций при падениях рынка. Таким образом, инвестору крайне важно понимать, что корреляция не является надежным инструментом при конструировании инвестиционного портфеля и, если допускается падение рынка, то использовать модель Марковица, не делая дополнительных корректировок, крайне нежелательно. Также, инвестору, в своей инвестиционной деятельности, необходимо тем или иным образом учитывать явление усиления корреляций в левом хвосте распределения.

Начиная с конца 80-х годов прошлого столетия с определенной частотой появляются новые публикации, в которых авторы оптимизируют методы, используемые в предыдущих статьях, или создают новые техники, постоянно улучшая и усложняя модели для оценки и учета эффекта усиления корреляций при формировании инвестиционного портфеля. Наличие таких работ говорит об актуальности данного вопроса.

В попытке уйти от корреляции, и связанных с этой мерой сложностей, и, при этом сохранив связь с широко используемыми техниками оптимизации портфеля, а, в частности, моделью Марковица, в рамках данной диссертации был разработан новый метод количественного выявления эффекта усиления корреляций в хвостах распределения. В качестве меры синхронности диверсифицированности изменений цен на рынке был взят косинус угла между вектором изменения капитализаций бумаг на очередном временном промежутке и вектором, соответствующим долям бумаг в индексе. Данный метод является абсолютно оригинальным. Основным его преимуществом перед другими является то, что он не требует выбора гиперпараметров, таких как размер скользящего окна для оценки корреляций и др. Введённый показатель наблюдается «здесь и сейчас».Стоит отметить, что модель свободна от систематических ошибок, которые возникают при оценке ковариаций. Также одним из немаловажных фактов, является то, что область значений функции косинус совпадает с областью значений коэффициента корреляции Пирсона. При дальнейшей разработке созданной модели это может являться связью между новым методом и существующими моделями, где так или иначе фигурирует понятие корреляции.

Разработанная модель была применена на данных российского рынка акций. Для исследования были использованы значения доходностей акций компаний, входящих в состав индекса голубых фишек Московской биржи MOEXBC. Результаты, полученные в рамках исследования, согласуются с результатами большинства работ, приведенных в первой главе: рынки склонны расти более диверсифицированно и падать более синхронно.

К сожалению, расширить данную модель и разработать приложение, которое связывало бы ее с конструкцией Марковица пока не удалось. В виду большого объема работ, разработка такого приложения выходит за рамки настоящего исследования. Стоит заметить, такое приложение, было бы очень полезно инвестору и позволило бы лучше защитить портфель инвертора от потерь при падениях рынка.

Отмечая важность учета выявленного эффекта, хотелось бы обратить внимание инвестора на то, что оценка ковариационной матрицы на полной выборке может вводить в заблуждение. Корреляции должны оцениваться более тонко, учитывая их возможное усиление во время «турбулентности» на рынках. Более того, необходимо брать во внимание и тот факт, что корреляции не являются статичными. Например, отрицательные сегодня корреляции между акциями и казначейскими бумагами, завтра вполне могут стать положительными в связи с шоками процентных ставок или инфляции.

Также стоит отметить, что на рынке доступно достаточно большое количество инструментов и стратегий для хеджирования, способных помочь инвестору защитить свой инвестиционный портфель во время падений рынка гораздо лучше, чем традиционная диверсификация.

Литература

1. Ait-Sahalia, Cacho-DiazY., J., Laeven R. J., 2015, «Modeling financial contagion using mutually exciting jump processes», Journal of Financial Economics 117, 585-606.

2. Ang, A., Bekaert, G., 2000, «International asset allocation with time-varying correlations», Review of Financial studies 15, 1137-1187.

3. Ang, A., Chen, J., 2002, Asymmetric correlations of equity portfolios, Journal of Financial Economics 63,443-494.

4. AngA., Chen J.,Xing, Y., 2002,«Downside Correlation and Expected Stock Returns», Working Paper, Colombia University.

5. Asness C.S., IsraelovR., Liew J.M., 2011, «International Diversification Works (Eventually)», Financial Analysts Journal, Vol. 67, No. 3, 24-38.

6. Bae K.H., Karolyi G.A., Stulz, R.M., 2001, «A new approach to measuring financial contagion», Unpublishedworking paper, National Bureau of Economic Research, Cambridge, MA.

7. Ball R., Kothari S.P., 1989, «Nonstationary expected returns: implications for tests of market efficiency and serial correlation in returns», Journal of Financial Economics 25, 51-74.

8. Bekaert, G., Wu G., 2000, «Asymmetric volatility and risk in equity markets», Review of Financial Studies 13, 1-42.

9. Black F., Litterman R., 1991, «Asset allocation: combining investor views with market equilibrium», The Journal of Fixed Income, Vol. 1, No. 2, 7-1

10. Cho Y.H., Engle R.F., 2000, «Time-varying betas and asymmetric effects of news: empirical analysis of blue-chip stocks», working paper, National Bureau of Economic Research, Cambridge, MA.

11. Chua D.B., Kritzman M., Page S., 2009, «The Myth of Diversification», The Journal of Portfolio Management, Vol. 36, No. 1, 26-35.

12. Conrad J., Gultekin M., Kaul G., 1991, «Asymmetric predictability of conditional variances», Review of Financial Studies 4, 597-622.

13. DasS., Uppal R., 2004, «Systemic risk and international portfolio choice», Journal of Finance 59, 2809- 2834.

14. Durante F., Enrico F., Roberta P., Hao W., 2015, «A portfolio diversification strategy via tail dependence measures», Research Paper Series No 3.

15. Embrechts P.,Mcneil A., Straumann D., 2002, «Correlation and dependency in risk management: properties and pitfalls», Review of Economics and Statistics, vol. 86, No 1, 176-223.

16. Forbes K., Rigobon R., 2002, «No contagion, only interdependence: measuring stock market co-movements», Journal of Finance 57, 2223-2261.

17. Gibbons M.R., Ross S.A., Shanken J., 1989, «A test of the efficiency of a given portfolio», Econometrica 57, 1121-1152.

18. IlmanenA., Kizer J., 2012, «The Death of Diversification Has Been Greatly Exaggerated», Journal of portfolio management, Vol. 38, No. 3, 15-27.

19. Jorion P., 1988, «On jump processes in the foreign exchange and stock markets», Review of Financial Studies 1, 427-445.

20. Karolyi A., Stulz R.,1996, «Why do markets move together? An investigation of US-Japan stock return comovements», Journal of Finance 51,951-986.

21. Leibowitz M.L., Bova A., 2009, «Diversification Performance and Stress-Betas», The Journal of Portfolio Management, Vol. 35, No. 3, 41-47.

22. Longin F. и Solnik B., 2001, «Extreme Correlation of International Equity Markets», The Journal of Finance, Vol. 56, No. 2, 649-676.

23. Mainik G. and Rьschendorf L., 2010, «On optimal portfolio diversification with respect to extreme risks», Finance and Stochastics, Vol. 14, 593-623.

24. Markowitz H., 1952, «Portfolio Selection», The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1, 77-91.

25. NataleF.P., 2006, «Optimization with tail-dependence and tail risk: a copula-based approach for strategic asset allocation», SSRN Electronic Journal.

26. Page S.,Panariello R.A.,2018, «When Diversification Fails», Financial Analysts Journal, vol. 74, No 3, 19-32.

27. Solnik B., Watewai T., 2016, «International Correlation Asymmetries: Frequent-but-Small and Infrequent-but-Large Equity Returns», PIER Discussion Papers 31., PueyUngphakorn Institute for Economic Research.

28. Schwert W.G., 1989,«Why does stock market volatility change over time? », Journal of Finance 44,1115-1153.

Приложение 1

Методика расчета условных корреляций в статье «When Diversification Fails»

Авторы статьи использовали методику схожую с той, которая была применена F. Longin и B. Solnik в их работе «Extreme Correlation of International Equity Markets». Отличие заключается в том, что последние использовали так называемое «double conditioning», то есть отсекая значения доходностей по обоим осям, они, тем самым, накладывали два условия. S. Page, R.A. Panariello, в отличие от коллег, применили «single conditioning», то есть отсекали определённое значение доходности лишь по одному из активов.

, (1)

гдеx,y - активы или классы активов;

и - порог отсечения значения доходности;

с(и) - функция условной корреляции.

Это дало им возможность выявить эффект диверсификации портфеля разными классами активов. Так, например, если портфель состоит из акций и облигаций, то облигации при падении оставляют портфель не диверсифицированным, тогда как при падении акций, облигации растут в цене, и, соответственно, диверсифицируют портфель.

Приложение 2

Экспоненциально взвешенный подход для оценки корреляции

Данный подход, также использовался авторами статьи «When Diversification Fails» S. Page и R.A. Panariello. Идея заключается в том, чтобы, рассчитывая корреляции между активами, дать больший вес тем наблюдениям, которые уходят «дальше в хвост» распределения. Преимуществом, такой методики по мнению авторов является то, что оценки получаются менее «зашумленные» и, в целом, более устойчивые к выбросам. Ниже приводится техническое описание данного метода.

Определим i-е наблюдение j-й случайной величины как:

Таким образом, имеется N случайных величин (активов), каждая из которых принимает одно из M значений (наблюдении доходностей). Допустим, что наблюдения расположены в возрастающем порядке:

Для перцентиля p определим «экспоненциальную весовую функцию».

Где подбирается из условия:

Новая «взвешенная» ковариация рассчитывается следующим образом:

Где выборочное среднее

Тогда определим взвешенную меру корреляции для левого хвоста как:

.

Тоже может быть сделано и для правого хвоста. При этом значения должны быть расположены в обратном порядке.

На рисунке 15 приведен пример экспоненциальной весовой функции для 10го перцентиля.

Рис. 15. Экспоненциальная весовая функция. Пример с 10-м перцентилем

Значение, соответствующее 10-му перцентилю, получает половину веса минимального наблюдения. На изображении видно, что практически весь вес уходит на значения доходностей в хвосте.

Размещено на Allbest.ru

...