Математическая основа географических карт

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая основа географических карт

Форма земли немного отличается от шара, поэтому поверхность земли принимают за эллипсоид вращения, малая ось которого совпадает с осью вращения Земли.

Переход от физической поверхности Земли к ее изображению на плоскости заключает в себе:

- проектирование земной поверхности с ее сложным рельефом на поверхность земного эллипсоида, что осуществляется в процессе топографических съемок;

- изображение поверхности эллипсоида на плоскости посредством одной из картографических проекций.

Картографическая проекция - математически определенный способ изображения поверхности эллипсоида (или шара) на плоскости - устанавливает аналитическую зависимость между географическими (или иными) координатами точек земного эллипсоида и прямоугольными (или иными) координатами тех же точек на плоскости. Эта зависимость может быть выражена двумя уравнениями вида

,

позволяющими по географическим координатам , изображаемой точки, вычислить прямоугольные координаты x, y изображения.

Поверхность эллипсоида нельзя развернуть на плоскости подобно поверхности конуса или цилиндра. Поэтому непрерывность и однозначность изображения достигается как бы за счет неравномерного растяжения (или сжатия), т. е. деформации поверхности эллипсоида при совмещении ее с плоскостью. Отсюда следует, что масштаб плоского изображения не может быть постоянным.

Картографические проекции классифицируют по различным признакам, например в зависимости от характера и размера искажений.

Равноугольные проекции сохраняют без искажений углы и формы малых объектов, но в них резко деформируются длины и площади объектов.

Равновеликие проекции не искажают площадей, но в них искажены углы и формы объектов.

Произвольные проекции имеют искажения углов, площадей и длин, но эти искажения распределены по карте, например, так, что минимальные искажения имеются в центральной части и возрастают к краям. Среди произвольных проекций выделяют равнопромежуточные, в которых искажения длин отсутствуют по одному из направлений: вдоль меридиана или вдоль параллели.

Характер искажений, присущий проекции (равноугольная, равновеликая, равнопромежуточная), отмечается в ее названии.

Рисунок 1 - Цилиндрическая и коническая проекции

В картографии распространена классификация проекций по виду вспомогательной геометрической поверхности, которая может быть использована при ее построении. С этой точки зрения выделяют проекции: цилиндрические, когда вспомогательной поверхностью служит боковая поверхность цилиндра, касательного к эллипсоиду или секущего эллипсоид; конические, когда вспомогательной поверхностью является боковая поверхность касательного или секущего конуса; азимутальные, когда вспомогательная поверхность - касательная или секущая плоскость.

Представить себе проекцию можно, посмотрев, как шар разворачивается на плоскость. Ниже изображена цилиндрическая и коническая проекции.

земля проекция топографический карта

Рисунок 2 - Карта Земли в прямоугольной проекции

Рисунок 3 - Карта Земли в конической проекции

Проекция Гаусса-Крюгера. Ее применение для топографических карт

В 1928 г. на III геодезическом совещании для всех геодезических и топографических работ в СССР была принята проекция Гаусса-Крюгера на эллипсоиде Бесселя. В этой проекции начали создавать карты масштаба крупнее 1:500000, а с 1939 г. и для карт 1:500000. В 1946 г. Постановлением Правительства были утверждены размеры референц - эллипсоида Красовского и новые исходные даты, характеризующие систему координат 1942 г. Проекция является практически равноугольной. Сущность проекции следующая: поверхность эллипсоида на плоскости отображается по меридианным зонам, ширина которых равна 6 градусам (для карт масштабов 1:10 000 - 1:500 000) и 3 градусам (для карт масштабов 1:2000 - 1:5000). Меридианы и параллели изображаются кривыми, симметричными относительно осевого меридиана зоны и экватора, однако их кривизна настолько мала, что западная и восточная рамки карты изображаются прямыми линиями. Параллели, совпадающие с северной и южной рамками карт, изображаются прямыми на картах крупных масштабов (1:2000 - 1:5000). Начало прямоугольных координат каждой зоны находится осевого меридиана зоны с экватором.

Рисунок 4 - Проекция Гаусса-Крюгера

В других странах применяют близкую по свойствам проекцию UTM (поперечно - цилиндрическая Меркатора) в шестиградусных зонах. Отличие в том, что на осевом меридиане масштаб 0.9996, а не единица.

Координатные сетки

Непременным элементом всякой географической карты является сеть координатных линий - плоское изображение сети соответствующих линий на земном эллипсоиде. При изготовлении карты сетка служит остовом для построения картографического изображения. При пользовании картой она позволяет: определить координаты точек земного эллипсоида, наносить на карту точки по их координатам, измерять направление линий относительно стран света, вычислять масштабы и искажения в любом месте карты.

К самым распространенным сеткам, а на мелкомасштабных картах единственно употребляемым, принадлежит картографическая сетка - изображение сети географических меридианов и параллелей. Ценность картографической сетки обусловлена глубоким географическим смыслом меридианов и параллелей. Меридианы соответствуют направлению юг - север, параллели направлению восток - запад. Этими направлениями, которые могут быть определены на местности, пользуются для ориентирования при работе с картой в поле. Такое свойство картографической сетки существенно для топографических карт.

Рисунок 5 - Географическая система координат

При всех достоинствах географических сеток они имеют один недостаток. Нанесение на карту точек по их географическим координатам или определение координат точек по карте решаются с относительной простотой только на картах в цилиндрических проекциях, у которых меридианы и параллели образуют две системы взаимно перпендикулярных параллельных линий. В других проекциях с более сложными по виду картографическими сетками для решения указанных задач приходится прибегать к вспомогательным графическим построениям и вычислениям, осложняющим работу и не всегда выполнимым в полевых условиях. Между тем, при использовании топографических карт для точного указания положения пунктов, передачи по карте расстояний, быстрого расчета направлений и расстояний необходимы простые действия, которые могут быть обеспечены сеткой прямоугольных координат. Последняя показывается на топографических картах дополнительно к картографической сетке. С этой целью на земном эллипсоиде выбирают две системы линий, которые в проекции топографической карты изображаются сеткой квадратов.

В поперечно-цилиндрической равноугольной проекции Гаусса осями прямоугольных координат служат изображаемые прямолинейно осевой меридиан зоны и экватор. Линиям сетки квадратов на карте соответствуют на эллипсоиде дуги вертикалов, перпендикулярных осевому меридиану, и дуги от сечения эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости осевого меридиана. Абсциссы x считаются по вертикальным линиям сетки от экватора, ординаты y - по горизонтальным линиям к востоку от осевого меридиана зоны. Чтобы исключить отрицательные ординаты, условно принимают ординату осевого меридиана равной не 0, а 500 км.

На топографических картах линии сетки квадратов вычерчивают через целое число километров, поэтому квадраты принято называть километровыми, а сетку - километровой.

Счет параллелей всегда ведут от экватора, счет меридианов - от начального меридиана.

Размещено на Allbest.ru