Технология и техника добычи нефти

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Модель Баклея-Леверетта

Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для определения насыщенности:

(1)

где п = 0,1/2 -- соответственно для случаев прямолинейно-параллельного и радиального вытеснения.

Без учета силы тяжести (Ап = 0 в (1)) двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении.

Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил, основанные на решении уравнений типа (1) при соответствующих начальном и граничных условиях, известны как задачи (модель) Баклея--Леверетта. Задачи вытеснения такого типа в одномерной постановке изучены достаточно полно.

2. Задача Баклея-Леверетта и ее обобщения

В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением, а также влиянием силы тяжести, процесс вытеснения допускает простое математическое описание.

Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея--Леверетта, описываемой однотипным уравнением для насыщенности у вытесняющей фазы, которое получается из (1) при гравитационном параметре Ап = 0 и имеет вид

(2)

Здесь использовано преобразование

Безразмерные независимые переменные и , можно представить в единой форме для обоих одномерных потоков и обобщить на случай, когда суммарный «удельный» расход q фаз зависит от времени. Имеем

(3)

где L -- характерный линейный размер; = 1,2 -- соответственно для линейного и радиального течений, причем в последнем случае пространственная координата х = r (r -- расстояние от точки пласта до скважины), a L = R_к; q (t) = (t) или q(t) = Q(t)/(2h) соответственно для линейного и радиального вытеснения; (t) -- суммарная скорость фильтрации фаз; Q (t) -- суммарный объемный расход; т и h -- соответственно коэффициент пористости и толщина пласта.

Хотя переменные и имеют смысл безразмерных объемов, будем для простоты называть их соответственно пространственной и временной переменными. Напомним, что функция f(у), входящая в уравнение (2), определяется через относительные фазовые проницаемости k_i(у).

В рассматриваемом случае f(у), называемая функцией Баклея-- Леверетта или функцией распределения потоков фаз, имеет простой физический смысл. При Др = 0 и р'_к (у) = 0 находим для скорости фильтрации вытесняющей фазы соответственно в случае прямолинейно-параллельного и радиального вытеснения

(4)

тогда имеем

Отсюда следует, что f(у), представляющая в силу (4) отношение скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости , равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз.

Функция Баклея--Леверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту. Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции f(у) в направлении увеличения полноты вытеснения.

Типичные графики функции f(у) и ее производной изображены на рис. 1. С ростом насыщенности f(у) монотонно воз растает от 0 до 1.



Рисунок 1 - Типичные графики функции Баклея-Леверетта и ее производной

Рисунок 2 - Графики функции Баклея--Леверетта (а) и ее производной (б) для различных отношений вязкостей

Характерной особенностью графика f(у)является наличие точки перегиба у_п, участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея--Леверетта. Зависимость функций f(у) и от отношения вязкостей фаз показана на рис. 2.

Для описания и расчета процесса вытеснения к уравнению (2) нужно добавить начальное и граничное условия

при

при (5)

Первое из условий (5) означает, что в момент времени ф = 0 (до начала процесса вытеснения) в пласте имеется некоторое известное распределение насыщенности у вытесняющей фазы, определяемое функцией . Согласно второму условию (5), при ф > 0 в пласт через нагнетательную скважину или галерею, расположенную на «линии» = 0, закачивается вытесняющая жидкость, насыщенность которой при = 0 меняется со временем по заданному закону . В ряде случаев можно считать, что

(6)

Это случай кусочно-постоянных начальных данных, имеющий важное значение для практических приложений. Величина начальной водонасыщенности у₀ влияет на процесс заводнения и определяет структуру зоны вытеснения.

3. Построение решения

Для иллюстрации построения решения уравнения (2) при произвольном начальном распределении насыщенности (5) введем систему координат (рис. 3). На плоскости при ф = 0 изобразим начальное распределение насыщенности в пласте .



Рисунок 3 - Схема к построению решения задачи двухфазной фильтрации

Задача состоит в построении функции для последующих моментов времени ф>0, т. е. требуется рассчитать деформацию во времени начального распределения насыщенности в соответствии с уравнением (2).

Пусть -- некоторая линия на плоскости переменных (см. рис.3). Тогда значения насыщенности у вдоль этой линии можно получить по формуле

. . (7)

Производная по «времени» ф от насыщенности вдоль этой линии равна

(8)

где есть тангенс угла наклона рассматриваемой линии к оси ф.

Сравнивая выражение (8) с левой частью уравнения (2), видим, что вдоль линий плоскости , для которых выполняется равенство

(9)

производная равна нулю, т. е.

(10)

вдоль линий определяемых из (9). Это означает, что насыщенность у остается постоянной вдоль этих линий. Итак, если кривая удовлетворяет уравнению (9), то значения насыщенности у на этой кривой не меняются. Если рассматриваемая кривая выходит из начальной точки , то значение у на этой кривой остается равным начальному значению (см. рис. 3). Таким образом, кривые , удовлетворяющие уравнению (9), являются траекториями распространения постоянных значений насыщенности. В рассматриваемом случае эти траектории легко определяются. Действительно, поскольку у = const вдоль каждой кривой , то остается постоянной вдоль этой кривей и величина , Тогда в результате интегрирования уравнения (9) находим

(здесь С -- константа интегрирования), т. е. линии являются прямыми. Если прямые выходят из начальных точек , то при ф = 0, т.е. , и окончательно можно записать

. (11)

Тангенс угла наклона этих прямых к оси ф равен , т.е. зависит от насыщенности в точке .

Прямые линии (11), на которых насыщенность сохраняет постоянное значение, называются характеристиками уравнения (2), а система обыкновенных дифференциальных уравнений (9), (10) -- характеристической системой для уравнения в частных производных (2).

Теперь можно построить решение уравнения (2) при начальном условии (5). Пусть М -- произвольная точка плоскости (см. рис. 3). Тогда имеем:

,

где и ф связаны уравнением (11). Исключая отсюда , находим

(12)

Формула (12) дает неявное выражение насыщенности у через переменные и ф.

Это выражение можно представить в другой форме, если считать, что в равенстве (11) есть начальное распределение насыщенности в неявной форме, т. е. первое равенство (5) разрешенное относительно . Тогда решение (12) можно представить в виде

(13)

Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Баклея--Леверетта является зависимость скорости распространения того или иного значения насыщенности от величины этой насыщенности. Это явление называется дисперсией волн. Действительно, в формуле (9) правая часть зависит от у. Эта зависимость изображена на рис. 1, из которого видно, что при большие насыщенности распространяются с большими скоростями ( возрастает), а при скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться ( убывает).

Из начального распределения , изображенного на рис. 3, видно, что с течением времени ф наклон профиля распределения насыщенности (12) становится круче, поскольку большие значения насыщенности «догоняют» меньшие значения. Поэтому характеристики (11), несущие различные значения насыщенности, могут в некоторый момент ф_* пересечься, и решение (12) становится неоднозначным. Поле характеристик (11) для этого случая и деформация профиля насыщенности с течением времени в плоскости показаны соответственно на рис. 4, 5. Произошло «опрокидывание» волны насыщенности и возник разрыв (скачок) непрерывности функции . Начиная с момента ф_*, когда касательная к кривой становится вертикальной (см. рис. 5), возникает и распространяется скачок насыщенности ( -- положение скачка для последующего момента времени). С момента ф_*, график становится в некоторой своей части неоднозначным, что показано участком кривой 1--2--3--4--5 на рис. 5. В зоне этого участка одному и тому же значению соответствуют три значения насыщенности у: у₁, у₂ и у₃, что физически абсурдно, так как в каждом сечении пласта в каждый момент времени может существовать только одна вполне определенная насыщенность. Такая неоднозначность и устраняется введением скачка насыщенности (на рис. 5 величина скачка определяется отрезком 1--3--5).



Рисунок 4 - Поле характеристик для уравнения Баклея--Леверетта

Рисунок 5 - График распределения насыщенности при вытеснении жидкости:

-- момент образования скачка насыщенности

Подчеркнем, что условием образования разрыва является пересечение характеристик (11). В области, где характеристики не пересекаются, решение непрерывно и определяется формулой (12).

Рассмотрим отдельно случай кусочно-постоянных начальных данных, когда справедливо условие (6), т. е. начальная насыщенность постоянна во всем пласте при ф = 0. Тогда, разрешая это начальное распределение относительно , находим

при

и не определено при 0<у<у₀. В этом случае уравнение (2) имеет особые решения вида которые получаются из (13) при .

(13)

насыщенность фильтрация скачок леверетт

Характеристики (11), соответствующие этому случаю, представляют собой пучок прямых, сходящихся в одной точке (0, 0) плоскости . По аналогии с газовой динамикой решение (13) называют центрированной волной разрежения.

Дальнейшее построение решения уравнения (2) требует дополнительного анализа так называемых разрывных (обобщенных) решений.

4. Условия на скачках насыщенности

Положение скачков (разрывов) насыщенности заранее неизвестно и должно быть найдено в зависимости от времени из решения задачи. Оказывается, что значения насыщенности у^- и у⁺ до и после разрыва соответственно не могут быть произвольными, а связаны друг с другом и скоростью разрыва определенными соотношениями. Несмотря на то что дифференциальное уравнение (2), выражающее баланс массы каждой фазы, в точках образовавшегося разрыва не имеет смысла, сам баланс, естественно, должен выполняться. Обозначим скорость движения разрыва через D, т. е.

,

где -- закон движения скачка насыщенности.

Рассмотрим условия сохранения массы каждой из фаз при прохождении поверхности разрыва через некоторый элемент объема пористой среды (рис. 6), вырезанный в направлении движения фаз, т. е. по нормали к поверхности разрыва. Пусть в некоторый момент времени t разрыв имел координату х_с, а через малый промежуток времени dt переместился в положение х_с + dx_c.

Рисунок 6 - Схема к выводу условий на скачке

Поток первой фазы через сечение со, параллельное плоскости разрыва, за время dt равен

Условие сохранения массы первой фазы в физической системе координат (х, t) примет тогда вид

откуда

 (15)

где dx/dt -- скорость скачка в системе координат (х,t). Уравнение сохранения массы второй фазы также сводится к (15), поскольку суммарная скорость фильтрации сохраняется.

Учитывая, что в соответствии с (4)

(здесь v = 1,2 соответственно для линейного и радиального вытеснения), запишем (15) в виде

Переходя теперь в этом равенстве к переменным по формулам (3), получаем условие на скачке

(16)

Равенство (16) имеет простой геометрический смысл: скорость разрыва D равна тангенсу угла наклона к оси у хорды, соединяющей точки кривой f(у), имеющие абсциссы у⁺ и у^- (см. рис. 1, у^-=у₀), в то время как скорость распространения насыщенности на скачке определяется тангенсом угла наклона касательной Су₀ к этой же кривой.

5. Определение положения скачка и насыщенности на скачке

Выведем дифференциальное уравнение, описывающее изменение насыщенности на скачке в зависимости от «времени» ф. Для насыщенности у_с = у⁺ на скачке (ее называют фронтовой насыщенностью), как и для любого значения у, выполняется соотношение (13):

, (17)

откуда следует, что у_с = у⁺, вообще говоря, изменяется с изменением времени ф, т.е. у_с = у_с (ф).

Дифференцируя (17) по ф, находим

(18)

Приравнивая выражения (16) и (18) для скорости скачка насыщенности D, получаем дифференциальное уравнение для определения у:

(19)

Здесь осталось еще неизвестным значение насыщенности у^- перед разрывом. Оно определяется из условия пересечения характеристик (11) на разрыве: , так что в соответствии с равенством (13) имеем:

(20)

Теперь уравнение (19) можно проинтегрировать и определить насыщенность на скачке у_с (ф), если задать ее начальное значение. Начальные значения у_с и ф _* определяются в той точке _* (см. рис. 5), где впервые возникает скачок (вертикальная касательная к кривой ), т. е. производная d,/dу, вычисленная по формуле (11), впервые обращается в нуль. Определив у_с -- у_с (ф), из равенства (17) находим закон движения скачка насыщенности .

Рассмотрим так называемый стационарный скачок, по обе стороны которого значения у_с = у⁺ и у^- = у₀ постоянны. Тогда, dу_с /d ф = 0, и из (19) находим

. (21)

Это условие, полученное впервые в работе Баклея и Леверетта, означает, что скорость распространения скачка D равна скорости распространения насыщенности у_с на скачке, т. е. . Равенство (21) имеет простой геометрический смысл. Оно представляет собой уравнение касательной, проведенной из точки (у₀, f (у₀)), к кривой f(у), где у_с -- абсцисса точки касания (см. рис. 1). Это дает простой графический способ определения фронтовой насыщенности по известной функции Баклея--Леверетта f(у), который в некоторых случаях может заменить решение трансцендентного уравнения (21).

Рассмотрим теперь случай постоянной начальной насыщенности, соответствующий условию (16): при ф = 0. В этом случае решение задачи имеет вид (14).

Пусть у₀ расположено левее точки у_п перегиба графика функции f(у) (см. рис. 1), тогда возникает скачок насыщенности. При этих условиях переменные в уравнении (19) разделяются, и его можно проинтегрировать. Полагая у^- = у₀, получим в результате интегрирования условие (21). Таким образом, если при постоянной начальной насыщенности возникает разрыв, то на разрыве в любой момент времени ф выполняется условие (21), т. е. в этом случае скачок является стационарным.

Обобщая изложенное, сформулируем теперь задачу об отыскании решений квазилинейного дифференциального уравнения (2) в общем случае. Требуется найти функцию , удовлетворяющую начальному и граничному условиям (15) или (16), непрерывную и удовлетворяющую уравнению (2) в каждой из областей I и II (рис. 7), заполненных непересекающимися характеристиками, и условию (16) на разрыве , связывающему предельные значения у⁺ и у^- насыщенности и скорости D этого разрыва.

Вообще говоря, к перечисленным условиям необходимо добавить еще одно -- определяющее так называемую устойчивость разрывного решения. Для устойчивости скачка необходимо, чтобы в любой точке кривой пересекались две характеристики уравнения (2). При этом любая характеристика, скорость которой равна скорости скачка D, считается приходящей на скачок. Это условие для класса рассматриваемых задач с кусочно-постоянными данными (16) можно сформулировать следующим образом.

Пусть L -- прямая на плоскости (у, f(у)), соединяющая точки (у^-, f^-) и (у⁺, f⁺). Здесь, как и ранее, у^- -- значение насыщенности «до» разрыва (правосторонний предел по отношению к изменению ), а у⁺ -- значение насыщенности «после» разрыва (левосторонний предел); f^- = f(у^-)и f⁺ = f(у⁺) соответственно (см. рис. 1).



Рисунок 7 - Диаграмма для построения решения обобщенной задачи Баклея -- Леверетта

Рисунок 8 - Кривая распределения водонасыщенности в пласте при выполнении условий (16) и у₀< у_п

Тогда вдоль допустимого разрыва кривая , f(у) на интервале (у^-, у⁺) располагается ниже прямой L, если у^-< у ⁺, и выше прямой L, если у^-> у ⁺.

Основываясь на предыдущих результатах, можно записать решение задачи Баклея--Леверетта для простых кусочно-постоянных условий вида (16).

Пусть у₀ заключена в интервале (0, у_п), где у_п --точка перегиба функции Баклея--Леверетта (см. рис. 1). Это означает, что в начальный момент пласт обводнен слабо (либо насыщен только нефтью, если у₀ = 0). Будем считать, что в пласт закачивается чистая вода и на входе = 0 водонасыщенность у₀ = у^* в любой момент времени:

у = у^* при = 0, ф>0. (22)

При этих условиях на участке 0 < < насыщенность непрерывно убывает от у^* до у_c в соответствии с выражением (14). Чтобы найти значение насыщенности на скачке у_c, нужно провести касательную к кривой f(у) из точки (у₀, / f(у₀)) на рис. 1. Абсцисса точки касания определит значение насыщенности на скачке у_c (см. формулу (21)). Значение координаты скачка насыщенности в момент времени т найдется из формулы (14):

. (23)

Для значений >, т. е. впереди фронта, насыщенность постоянна и равна начальной: у = у₀.

Итак, решение задачи о вытеснении нефти водой из слабо обводненного пласта при условиях (16) имеет вид

у = у^* при = 0, ф>0;

f'(у) = / ф при 0<?< (24)

у = у₀, при < < 1.

Распределение у() в момент ф, когда фронт не достиг галереи, показано на рис. 8.

Отметим, что в соответствии с рис. 2 с ростом отношения вязкостей кривая f'(у) сдвигается вправо и эффективность вытеснения возрастает. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость нагнетаемой воды, может значительно увеличить значение у_c и, следовательно, нефтеотдачу.

Важным показателем процесса вытеснения служит средняя водонасыщенность в зоне смеси, определяемая как отношение объема воды в пласте после ее закачки, к объему порового пространства в зоне смеси. Для случая у₀ = 0

(25)

Равенство (25) имеет простую геометрическую интерпретацию. Если продолжить касательную к кривой f(у) (см. рис. 1), определяющую фронтовую насыщенность у_c, до пересечения в точке В с прямой f(у) = 1, то абсцисса точки В определит значение .

Рисунок 9 - Кривая распределения водонасыщенности в сильно обводненном пласте (у₀>у_п)

Необходимо отметить, что в действительности математический скачок насыщенности не имеет места. Он появляется в решении вследствие пренебрежения капиллярными силами, за счет которых появляется некоторая «переходная зона» вблизи фронта вытеснения, в которой насыщенность изменяется непрерывно от значения у_c до у₀.

При вытеснении нефти водой из сильно обводненного пласта, когда у₀>у_п (см. рис. 1), условие устойчивости скачка не выполняется и уравнение (2) имеет непрерывное решение (рис. 9) при условиях (16):

у = у^* при = 0, ф>0;

f'(у) = / ф при 0<?; (26)

у = у₀, при < < 1.

6. Расчет коэффициента нефтеотдачи

Одна из важных технологических характеристик процесса вытеснения -- коэффициент безводной газо- или нефтеотдачи з. Он определяется как отношение вытесненного водой объема нефти от нагнетательной галереи (скважины) до фронта к общему объему пор, занятых нефтью до начала вытеснения. Подсчитаем этот коэффициент для случая слабо обводненного пласта, описываемого соотношениями (24). Имеем

. (27)

Переходя в интеграле (27) от переменной к переменной у с помощью (14), как и ранее при вычислении средней насыщенности , и интегрируя по частям, находим



Подставляя полученное выражение для безразмерного объема закачанной воды в (27) и учитывая (21) и (23), окончательно получаем после преобразований

(28)

Коэффициент безводной нефтеотдачи увеличивается с ростом отношения , т. е. при увеличении вязкости вытесняющей фазы или (и) при уменьшении вязкости вытесняемой фазы.

Полученные точные решения (24) и (26) задачи о вытеснении нефти (или газа) водой применяются при оценочных инженерных расчетах основных технологических параметров разработки нефтяных и газовых месторождений с использованием процесса заводнения.

В общем случае неодномерного вытеснения, а также при учете сжимаемости одной из фаз рассмотренная задача уже не сводится к одному уравнению для насыщенности. Необходимо совместно определять давление и насыщенность. Численные решения таких задач могут быть получены лишь на ЭВМ.

Список литературы

1. Басниев В.А., Кочина И.Н. «Подземная гидромеханика». - М.: Недра, 1993.

2. Щуров В.И. «Технология и техника добычи нефти». - М.: Недра, 1983. - 510 стр.

3. И.Т.Мищенко, В.А.Сахаров, В.Г.Грон, Г.И.Богомольский «Сборник задач по технологии и технике добычи нефти» - Учебное пособие для вузов. - М: Недра, 1984. - 272 с.

4. Евдокимова В.А., Кочина И.Н. «Сборник задач по подземной гидравлике». - М.: Недра, 1979.

5. Бузинов С.М., Умрихин И.Д. «Исследование нефтяных и газовых скважин и пластов». - М.: Недра, 1984. - 269 с.

Размещено на Allbest.ru

...