Размещено на http://www.allbest.ru/

ДВУХМЕРНОЕ СТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ

В практике встречаются двухмерные стационарные температурные поля, например поле средней по глубине температуры водоема, поле температуры в сечении ледяного покрова и т. д.

В стационарном двухмерном температурном поле распределение температуры зависит только от двух координат (x, у). Для такого поля дифференциальное уравнение теплопроводности переходит в уравнение Лапласа и имеет вид

?²t/?x² + ?²t/?y² =0.(2.1)

Аналитическое решение этого уравнения значительно сложнее, чем решение уравнения для одномерного поля. Поэтому в практических задачах для тел, имеющих сложные очертания и сложные граничные условия, аналитическое решение часто не удается получить. В таких случаях решение уравнения (2.1) выполняется приближенными методами, а именно: графическим методом, методом релаксации, электротепловой аналогии и др.

Метод релаксации

Метод релаксации предусматривает замену дифференциалов в уравнении стационарной теплопроводности (2.1) конечными разностями. При такой замене дифференциальное уравнение (2.1) примет вид

?²t/?x² + ?²t/?y² =0,(2.2)

где ?x и ?y -- стороны элементарных площадок, на которые разбито двухмерное тело; t -- температура в узлах сетки. Построим сетку так, что ?x = ?y.

Обращаясь к рис.2.1, найдем вторые производные в конечных разностях по осям x и у в узле 0:

(2.3)

где первые производные

(2.4)

Решая уравнение (2.2) совместно с выражениями (2.3) и (2.4) и учитывая, что ?x = ?y, получаем

(2.5)

t₁ + t₂ + t₃ + t₄ - 4t₀ = 0(2.6)

(2.7)

т. е. температура в узле сетки 0 равна среднему арифметическому значению температуры в соседних узлах. Выражение (2.6) справедливо для любого узла построенной сетки однородного плоского тела.

Рис. 2.1 Схема к расчету методом релаксации [8]

Записав уравнение (2.6) для каждого из узлов тепловой сетки, получим систему, состоящую из числа линейных уравнений, равного числу узлов сетки. Для решения этой системы уравнений применяют различные численные методы, и в частности, метод релаксации. Название метода происходит от латинского relaxatio -- ослабление, означающего постепенный переход системы в равновесное состояние. Например, если температура в каком-либо узле сетки, зависящая от четырех соседних значений температуры, находится в равновесии с ними, то выполняется уравнение (2.6). Если она не находится в равновесии с соседними значениями температуры, то правая часть этого уравнения не будет равна нулю, т.е.

t₁ + t₂ + t₃ + t₄ - 4t₀ = ?t,(2.8)

где ?t -- остаток.

Для сведения к нулю правой части (остатка) каждого из уравнений системы, т.е. для приведения системы в равновесное состояние, и применяется этот метод.

Рассмотрим применение метода релаксаций на примере расчета распределения температуры в поперечном сечении ледяного покрова, канала при отсутствии снега с одной его стороны (рис.2.2). Ледяной покров лежит на воде. Температура поверхности льда под снегом --5°С, на границе --7,5°С, а в зоне отсутствия снега --10°С.

Выполним разбивку сечения толщи покрова на элементарные квадраты со сторонами ?x = ?y. Известно, что чем меньше шаг разбивки поля на квадраты, тем точнее решается задача. В рассмотренном примере в целях наглядности и простоты изложения ограничимся минимальным числом квадратов, приняв крупный шаг разбивки поля на квадраты.

Рис.2.2. Расчет температуры в поперечном сечении ледяного покрова канала методом релаксации [8]

Назначим температуру в узловых точках полученной сетки сообразно смысловым требованиям граничных условий. Выпишем принятые значения температуры льда у каждой узловой точки, т. е. будем иметь --5, --3,75 и --2,5°С. Затем по уравнению (2.8) вычислим в этих точках остаток ?t. Полученный остаток говорит о том, что температура льда в этих точках принята неправильно. Согласно уравнению (2.6), ее необходимо выравнять методом последовательного приближения, начиная с точки, в которой наблюдается максимальный остаток. В рассматриваемом примере максимальный остаток ?t_а = +1,25°С получился в точке а.

Для проведения выравнивания температуры (ее увеличения в точке а) изменим ее значение, согласно уравнению (2.8), ?t_а/4 = +1,25/4 = + 0,31°С, тогда получим ?t_а = --5,00 + 0,31 = = --4,69°С.

С учетом уточненного значения температуры льда в точке a определяем остаток ?t_б = +0,31°С в точке б. Затем уменьшим температуру в этой точке на ?t_б/4 = +0,31/4 = +0,08°С и получим t_б = --3,75 + 0,08 = --3,67°С. После этого переходим к выравниванию температуры по изложенной схеме в узле в. Если повторный подсчет по уравнению (2.8) по-прежнему выявит остаток ?t, то операции по его уменьшению в каждом узле повторяются и до тех пор, пока он не будет равен нулю, что означает, что температура в точках не меняется. Окончательный результат расчета температуры льда в нашем примере приведен на рис.2.2.

Таким образом, метод релаксации заключается в том, что, задаваясь первоначально произвольным, но более или менее вероятным распределением температуры, затем постепенно выравнивают ее последовательным приближением, пользуясь уравнениями (2.7) и (2.8). Следует заметить, что можно вычислить температуру в узлах сетки, пользуясь только уравнением (2.7), т. е. без вычисления остатка. Однако в этом случае объем вычислительных работ несколько больше, чем в первом варианте.

Метод релаксации может быть применен также для оценки двухмерного температурного поля неоднородного тела, в том числе с источниками теплоты и с произвольным шагом разбивки сетки.

Метод электротепловой аналогии (ЭТА)

двухмерный температурный релаксация теплопроводность

Большое число задач, встречающихся в теплотехнике, которые в настоящее время не могут быть решены теоретически, решаются с успехом экспериментально методом ЭТА. Метод ЭТА относится к физическим (экспериментальным), прост и не требует больших затрат времени и средств на решение поставленной задачи.

Метод электрической аналогии, к которому относится метод ЭТА, применяется в гидравлике, гидродинамике, аэромеханике, гидрологии, теории упругости, механике грунтов, строительной механике, океанологии и других науках. Этот метод теоретически обоснован и впервые внедрен в практику исследования академиком Н.Н.Павловским в 1922 г. при изучении вопроса фильтрации под гидротехническими сооружениями. В настоящее время этот метод широко известен как метод ЭГДА (электрогидродинамическая аналогия). Для решения этим методом различных задач разработаны специальные установки, получившие название электроинтеграторов.

Метод ЭГДА (ЭТА, ЭДА -- электродиффузионной аналогии и т. д.) основан на аналогии математической записи двух разных физических явлений: с одной стороны, теплопроводности, диффузии, фильтрации и других в изучаемой среде, а с другой стороны -- электропроводности в электропроводном материале, а именно:

закона Фурье

(2.9)

закона Фика

(2.10)

закона Дарси

(2.11)

2)закона Ома

(2.12)

где q₁, q₂, q₃, I -- соответственно удельный поток теплоты, диффундирующего вещества, фильтрующей воды, электричества; t, S, H, U -- соответственно температура, концентрация, напор, электрический потенциал, изменяющиеся в направлении нормали n; л, D, k, у -- соответственно коэффициент теплопроводности, диффузии, фильтрации, электропроводности; R_Т = д/л, R_Д = д/D, R_Ф = д/k, R_Э = д/у -- соответственно термическое, диффузионное, фильтрационное, электрическое сопротивление слоя ?n = д.

Указанную аналогию можно так же легко проследить, если перейти от уравнений (2.9) -- (2.12) к уравнениям Лапласа, описывающим двухмерные поля:

а)тепловое

?²t/?x² + ?²t/?y² =0,(2.13)

б)диффузное

?²S/?x² + ?²S/?y² =0,(2.14)

в)фильтрующих вод

?²H/?x² + ?²H/?y² =0,(2.15)

г)электрическое

?²U/?x² + ?²U/?y² =0.(2.16)

Используя представленную аналогию математической записи двух разных физических явлений, на практике по данным электрического поля, полученного в эксперименте на геометрически подобной модели и представляющего собой ортогональную сетку линий тока и эквипотенциалей, находят температурное поле и поток теплоты. Пересчет электрических характеристик в тепловые выполняют с помощью масштаба температуры

m_t = ?t/?U = (t_макс - t_мин)/(U_макс - U_мин)(2.17)

и масштабов теплового потока и термического сопротивления:

m_q = q/I = m_t/m_R,(2.18)

m_R = R_Т/R_Э,(2.19)

где ?t и ?U -- перепад температуры и электрического потенциала в сходственных точках; t_макс и t_мин -- максимальное и минимальное значения температуры.

Рис. 2.3. Электрическая модель толщи многолетием мерзлоты (1) с рекой (3).

Температура воды в реке +4°С, поверхности многолетней мерзлоты --10°С.

U -- значение электрического потенциала в долях единицы

Для получения электрических характеристик используется прибор, собранный по мостовой схеме, для которой справедливо соотношение

r₁/r₂ = R₁/R₂ = (U₁ - U_x)/ (U_x - U₂).(2.20)

В выражении (2.20) R₁ и R₂ -- сопротивления частей электрической модели влево и вправо от эквипотенциальной линии, a U_x -- значение электрического потенциала на эквипотенциальной линии. В качестве электрической модели, заменяющей изучаемое тело, обычно применяют электропроводящую бумагу, а при решении пространственных задач -- электролит.

На рис.2.3 показана схема прибора, на котором решается, например, задача об определении нулевой изотермы под рекой, протекающей в районе многолетней мерзлоты. В схему прибора входит электрическая модель 1, вырезанная из токопроводящей бумаги. По верхнему и нижнему участкам контура этой модели наложены металлические шины 2, 3, 4, на которые подается электрический потенциал, пропорциональный заданной температуре на этих участках. Шины соединены с источником электропитания. В цепь включен также делитель напряжения 5. Он предназначен для задания местонахождения очередной искомой эквипотенциали. Положение же эквипотенциали на модели определяется с помощью иглы 6, включенной в электрическую цепь через гальванометр 7 и подвижной контакт 8. В электрическую цепь должны быть включены также амперметр A и вольтметр V.

Работа на приборе ЭТА заключается в следующем. С помощью подвижного контакта 8 поочередно изменяем сопротивление левой и правой частей делителя напряжения 5 (r₁ и r₂). Одновременно при каждом положении контакта 8 ищем иглой 6 точки на модели, соответствующие нулевым показаниям гальванометра 7. Соединяя полученные точки плавными линиями, получаем эквипотенциали. После этого строим от руки линии тока, соблюдая ортогональность пересечения их с эквипотенциалями и добиваясь сетки, состоящей из криволинейных квадратов.

Выше установлено, что электрические и температурные поля аналогичны. Поэтому полученные линии равных потенциалов можно принять за изотермы.

Для пересчета электрических потенциалов в температуру (или силы тока в тепловой поток) следует воспользоваться масштабами m_t и m_q. Все расчеты удобнее вести в относительных единицах, приняв за единицу разность потенциалов и перепад температуры. В этом случае пересчет полученных в точках модели значений потенциала в температуру следует осуществлять по формуле

t_i = t_мин + (t_макс - t_мин) U_i,(2.21)

где U_i -- значение электрического потенциала в точке в долях единицы.

Рассмотренный метод может быть успешно применен также для расчета температурных полей в слоистых и неоднородных средах как с граничными условиями первого рода, так и с граничными условиями третьего рода. В последнем случае термическое сопротивление на поверхности исследуемого тела учитывается путем добавления к электрической модели дополнительного слоя, равного l = л/б.

Размещено на Allbest.ru