Аналитические методы решения уравнения теплопроводности

Исследование методов конечных интегральных преобразований при решении уравнения теплопроводности. Анализ частного примера нестационарного температурного поля в стенке. Расчет количества теплоты, теряемой единицей поверхности тела в окружающую среду.

Рубрика Геология, гидрология и геодезия
Вид лекция
Язык русский
Дата добавления 27.08.2013
Размер файла 638,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В настоящее время аналитическим путем решено очень большое количество одномерных задач теплопроводности.

А.В.Лыков, например, рассматривает четыре метода решения уравнения теплопроводности в условиях одномерной задачи: метод разделения переменных, метод источников, операционный метод, метод конечных интегральных преобразований.

В дальнейшем остановимся только на первом методе, получившем наибольшее распространение.

Метод разделения переменных при решении уравнения теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности в условиях одномерной задачи и без источников теплоты имеет вид

?t/?ф = a ?2t/?x2.(3.1)

Это уравнение является частным случаем однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для некоторой функции t от двух переменных x и ф:

(3.2)

Легко проверить, что частным решением этого уравнения будет выражение

t = C exp (бx + вф).(3.3)

Действительно:

?t/?x = бС ехр (бx + вф);?t/?ф = вС ехр (бx + вф);

?2t/?x2 = б2С ехр (бx + вф);

?2t/?ф2 = в2С ехр (бx + вф);?2t/(?x ?ф) = бвС ехр (бx + вф).(3.4)

Совместное решение последних семи уравнении дает

a1б2 + b1бв + c1в2 + d1б + l1в + f1 = 0.(3.5)

Последнее уравнение называется уравнением коэффициентов.

Переходя к уравнению (3.1) сопоставляя его с уравнением (3.2), заключаем, что

b1 = c1 = d1 = f1 = 0;a1= - a;l1 = 1.(3.6)

Уравнение коэффициентов (3.5) для частного случая уравнения (3.1) приобретает вид

- б2a + в = 0(3.7)

или

в = б2a.(3.8)

Таким образом, частное решение (3.3) является интегралом дифференциального уравнения (3.1) и с учетом (3.8) приобретет вид

t = C exp (б2aф + бx).(3.9)

В этом уравнении можно задавать любые значения чисел для C, б, a.

Выражение (3.9) может быть представлено в виде произведения

t = C exp (б2aф) exp (бx),(3.10)

где сомножитель exp (б2aф) является функцией только времени ф, а сомножитель exp (бx) -- только расстояния x:

exp (б2aф) = f (ф);exp (бx) = ц (x).(3.11)

С увеличением времени ф температура во всех точках непрерывно растет и может стать выше наперед заданной, что в практических задачах не встречается. Поэтому обычно берут только такие значения б, при которых б2 отрицательно, что возможно при б чисто мнимой величине. Примем

б = ± iq,(3.12)

где q -- произвольное действительное число (ранее значком q обозначали удельный тепловой поток),

В этом случае уравнение (3.10) приобретет следующий вид:

t = C exp (- q2aф) exp (± iqx).(3.13)

Обращаясь к известной формуле Эйлера

exp (± ix) = cos x ± i sin x(3.14)

и, пользуясь ею, преобразуем уравнение (3.13). Получим два решения в комплексном виде:

(3.15)

Суммируем левые и правые части уравнений (3.15), затем отделим действительные от мнимых частей в левой и правой частях суммы и приравняем их соответственно. Тогда получим два решения:

(3.16)

Введем обозначения:

(C1 + C2)/2 = D;(C1 - C2)/2 = C(3.17)

тогда получим два решения, удовлетворяющих дифференциальному уравнению теплопроводности (3.1):

t1 = D exp (- q2aф) cos (qx);t2 = C exp (- q2aф) sin (qx).(3.18)

Известно, что если искомая функция имеет два частных решения, то и сумма этих частных решений будет удовлетворять исходному дифференциальному уравнению (3.1), т. е. решением этого уравнения будет

t = C exp (- q2aф) sin (qx) + D exp (- q2aф) cos (qx),(3.19)

а общее решение, удовлетворяющее этому уравнению, можно записать в следующем виде:

(3.20)

Любые значения qm, qn, Ci, Di в уравнении (3.20) будут удовлетворять уравнению (3.1). Конкретизация в выборе этих значений будет определяться начальными и граничными условиями каждой частной практической задачи, причем значения qm и qn определяются из граничных условий, а Ci, и Di, -- из начальных.

Помимо общего решения уравнения теплопроводности (3.20) в котором имеет место произведение двух функций, одна из которых зависит от x, а другая - от ф, существуют еще решения, в которых такое разделение невозможно, например:

(3.21)

(3.22)

Оба решения удовлетворяют уравнению теплопроводности, в чем легко убедиться, продифференцировав их сначала по ф, а затем 2 раза по x и подставив результат в дифференциальное уравнение (3.1).

Частный пример нестационарного температурного поля в стенке

Рассмотрим пример применения полученного выше решения.

Исходные данные.

1. Дана бетонная стенка толщиной 2X = 0,80 м.

2. Температура окружающей стенку среды и = 0°С.

3. В начальный момент времени температура стенки во всех точках F(x)=1°C.

4. Коэффициент теплоотдачи стенки б=12,6Вт/(м2·°С); коэффициент теплопроводности стенки л=0,7Вт/(м·°С); плотность материала стенки с=2000кг/м3; удельная теплоемкость c=1,13·103Дж/(кг·°С); коэффициент температуропроводности a=1,1·10-3м2/ч; относительный коэффициент теплоотдачи б/л = h=18,0 1/м. Требуется определить распределение температуры в стенке через 5 ч после начального момента времени.

Решение. Обращаясь к общему решению (3.20) и имея в виду, что начальное и последующие распределения температуры симметричны относительно оси стенки, заключаем, что ряд синусов в этом общем решении отпадает, и при x = Х оно будет иметь вид

(3.23)

Значения определены из граничных условий (без дополнительных здесь пояснений) и приведены в табл.3.1.

Располагая значениями из табл.3.1, находим искомый ряд значений по формуле

(3.24)

Таблица 3.1 Значения функций, входящих в формулу (3.24)

i

1

2

3

4

5

qniX

sin(qniX)

cos(qniX)

1,38

0,982

0,189

4,18

--0,862

--0,507

7,08

0,713

0,701

10,03

--0,572

--0,820

13,08

0,488

0,874

т. е. Д1 = 1,250; Д2 = -- 0,373; Д3 = 0,188; Д4 = -- 0,109; Д5 = 0,072.

Начальное распределение температуры в рассматриваемой стенке приобретет следующий вид:

(3.25)

Чтобы получить расчетное распределение температуры через 5 ч после начального момента, необходимо определить ряд значений на время через 5 ч. Эти расчеты выполнены в табл.3.2.

Таблица 3.2 Значения функций, входящих в формулу (3.23)

I

1

2

3

4

5

A=(qniX)2 (aф/X2)

0,065

0,601

1,723

3,458

5,881

e-A

0,94

0,55

0,18

0,03

0,00

Di e-A

1,175

--0,203

0,033

--0,003

0,000

Окончательное выражение для распределения температуры в толще стенки через 5 ч после начального момента

(3.26)

На рис.3.1 показано распределение температуры в толще стенки на начальный момент времени и через 5 ч. Наряду с общим решением здесь же изображены и частные, причем римскими цифрами указаны частные кривые, отвечающие последовательным слагаемым рядов (3.25) и (3.26).

Рис.3.1. Распределение температуры в стенке на начальный момент времени (слева) и через 5 ч (справа) [8]

При решении практических задач обычно нет необходимости определять температуру во всех точках стенки. Можно ограничиться расчетом температуры лишь для какой-либо одной точки, например для точки в середине стенки. В этом случае объем вычислительных работ по формуле (3.23) значительно сократится.

Если начальная температура в рассмотренном выше случае равна не 1 °С, а Тс, то уравнение (3.20) примет вид

(3.27)

Решение уравнения теплопроводности при различных граничных условиях [8]

Не будем приводить последовательный ход решения уравнения теплопроводности при других граничных условиях, которые имеют практическое значение в решении некоторых задач. Ниже ограничимся лишь формулировкой их условий с показом имеющихся готовых решений.

Исходные данные. Стенка имеет толщину 2Х. В начальный момент во всех ее точках, кроме поверхности, температура Тс Температура на поверхности 0°С удерживается в течение всего расчетного периода.

Требуется найти t = f(x, ф).

Решение.

(3.28)

Неподвижное водохранилище покрылось льдом при температуре наибольшей плотности воды (Тс = 4°С). Глубина водохранилища 5м (Х = 5 м). Рассчитать температуру воды в водохранилище через 3 месяца после ледостава. Температуропроводность неподвижной воды a = 4,8·10-4 м2/ч. Тепловой поток у дна, т. е. при x = 0, отсутствует.

В течение расчетного периода (ф=3·30·24=2160ч) температура на поверхности удерживается постоянной и равной нулю, т. е. при x = Х Тп = 0°С. Весь расчет сводим в табл. 3 и 4. Эти таблицы позволяют вычислить значения температуры через 3 месяца после начального момента для глубин у дна, а затем выше через 1 м, т. е. t0(дно) = 4°С; t1 = 4°С; t2 = 3,85°С; t3 = 3,30°С; t4 = 2,96°С; t5(пов) = 0°С.

Таблица 3.3

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Таблица 3.4

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Как видим, в абсолютно неподвижной воде температурные возмущения весьма медленно проникают вглубь. В природных условиях в водоемах под ледяным покровом всегда наблюдаются течения либо гравитационные (проточные), либо конвективные (разноплотностные), либо, наконец, вызванные поступлением грунтовых вод. Все многообразие указанных природных особенностей следует учитывать при практических расчетах, а рекомендации к этим расчетам можно найти в пособиях и в работах К.И.Россинского [37].

Тело ограничено с одной стороны (полуплоскость). В момент времени ф = 0 во всех точках температура тела равна Тс. Для всех моментов времени ф > 0 на поверхности тела поддерживается температура Тп = 0°С.

Требуется найти распределение температуры в толще тела и потерю теплоты через свободную поверхность как функцию времени: t = f (x, ф),

Решение. Температура в любой точке тела и в любой момент времени

(3.29)

где есть интеграл Гаусса. Его значения в зависимости от функции даны в табл.3.5.

Таблица 3.5

Практически решение начинается с определения отношения , в котором х и ф заданы в условии задачи.

Количество теплоты, теряемой единицей поверхности тела в окружающую среду, определяется по закону Фурье. За весь расчетный период с начального момента до расчетного

(3.30)

В начальный момент времени температура почвы от поверхности до значительной глубины была постоянной и равной 6°С. В этот момент температура на поверхности почвы упала до 0°С.

Требуется определить температуру почвы на глубине 0,5 м через 48 ч при значении коэффициента температуропроводности почвы a = 0,001 м2/ч, а также оценить количество теплоты, теряемое поверхностью за это время.

По формуле (3.29) температура почвы на глубине 0,5 м через 48 ч t=6·0,87=5,2°С.

Общее же количество теплоты, потерянной единицей поверхности почвы, при коэффициенте теплопроводности л = 0,35 Вт/(м·°С), удельной теплоемкости c = 0,83·103 Дж/(кг·°С) и плотности с = 1500 кг/м3 определим по формуле (3.30) Q=l,86·106 Дж/м2.

интегральный теплопроводность теплота тело

Рис.3.2 Распределение температуры по глубине толщи [8]

Вследствие некоторого внешнего воздействия температура поверхности тела, ограниченного с одной стороны (полуплоскость), претерпевает периодические колебания около нуля. Будем считать, что эти колебания гармонические, т. е. температура поверхности меняется по косинусоиде:

(3.31)

где -- продолжительность колебания (период), T0 -- температура поверхности,

T0 макс -- ее максимальное отклонение,.

Требуется определить температурное поле как функцию времени.

Решение.

(3.32)

Амплитуда колебаний температуры меняется с x по следующему закону (рис.3.2):

(3.33)

Пример к задаче № 3. Изменение температуры на поверхности сухой песчаной почвы в течение года характеризуется косинусоидальным ходом. Средняя годовая температура при этом равна 6°С при максимальных отклонениях от средней летом и зимой, достигающих 24 °С.

Требуется определить температуру грунта на глубине 1 м в момент, когда температура на поверхности равна 30°С (условно 1/VII).

Выражение косинусоиды (3.31) применительно к данному случаю (температуре поверхности) при T0 макс = 240С примет вид

Т0 = 24 cos (2рф/8760) + 6.

Ввиду того, что поверхность грунта имеет среднюю годовую температуру 6°С, а не нуль, как в уравнении (3.32), расчетное уравнение примет следующий вид:

(3.34)

Приняв для грунта коэффициент температуропроводности a = 0,001 м2/ч и имея в виду, что по условию задачи необходимо определить температуру на конец расчетного периода (через 8760 ч от начального момента), найдем

Расчетное выражение (3.34) приобретет следующий вид: t = 24e-0,6·0,825 + 6 = 16,9 °С.

На той же глубине 1м максимальная амплитуда годового колебания температуры, согласно выражению (3.33), составит

T1 макс = 24e-0,6 = 13,2 °С,

а максимальная температура на глубине 1 м

t1 макс = Tx макс + 6 = 13,2 + 6 =19, 2 °С.

В заключение отметим, что рассмотренные задачи и подходы могут быть использованы при решении вопросов, связанных с выпуском теплой воды в водоем, а также при химическом методе определения расхода воды и в других случаях.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Сущность дифференциальных уравнений движения сжимаемой и несжимаемой жидкости в пористой среде. Анализ уравнения Лапласа. Характеристика плоских задач теории фильтрации и способы их решения. Особенности теории фильтрации нефти и газа в природных пластах.

    курсовая работа [466,6 K], добавлен 12.05.2010

  • Осесимметричный приток газа к скважине. Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения. Решение задачи о притоке газа к скважине методом последовательной смены стационарных состояний. Расчет по линеаризованной формуле.

    курсовая работа [108,5 K], добавлен 31.01.2011

  • Основные характеристики водоносного горизонта. Главные составляющие математической модели подземных вод. Уравнения, описывающие их движение. Закон Дарси. Расчет гидравлической проводимости. Область применения пакета программного обеспечения MODFLOW.

    презентация [136,2 K], добавлен 16.10.2014

  • Точное решение осесимметричного притока газа к скважине. Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение. Метод усреднения: понятие, особенности. Расчет депрессии на пласт по точной и приближенным формулам. Относительная погрешность расчетов.

    курсовая работа [99,3 K], добавлен 02.03.2015

  • Вывод уравнения для аналитического описания эпюры температуры воды. Изучение неоднородности температуры воды по глубине рек. Анализ распределения температуры воды по ширине рек. Оценка эффективности использования уравнения теплового баланса реки.

    дипломная работа [4,1 M], добавлен 22.12.2010

  • Уравнения состояния флюидов и пористой среды. Математическое описание неразрывности фильтрационного потока. Соотношение между плотностью и давлением. Уравнение состояния идеального газа и его трансформация в зависимости от значения пластового давления.

    презентация [262,8 K], добавлен 27.11.2013

  • Геология топливно-энергетических ресурсов - нефти, природного газа, угля, горючих сланцев, урановых руд. Современные проблемы освоения месторождений. Геофизические исследования при подземной разработке; воздействие на окружающую геологическую среду.

    реферат [31,8 K], добавлен 24.05.2014

  • Гейзеры – периодически фонтанирующие источники горячей воды с паром. Схема образования гейзера. Причины появления гейзеров на поверхности Земли. История открытия, распространение и классификация гейзеров, их влияние на окружающую среду и человека.

    реферат [1,7 M], добавлен 26.03.2012

  • Распределение естественного теплового поля в толще земной коры. Тепловые характеристики. Особенности термометрии при решении задач диагностики. Термодинамические процессы в скважине и в пласте. Квазистационарные тепловые поля. Коэффициент Джоуля Томсона.

    курсовая работа [535,2 K], добавлен 19.01.2009

  • Предмет физики Земли. Геофизические поля. Методы исследований, предназначенные для наблюдений в атмосфере, на земной поверхности, в скважинах и шахтах. Потенциал и напряжённость поля. Магнитная восприимчивость. Скорость распространения упругих волн.

    презентация [4,6 M], добавлен 30.10.2013

  • Типы пород-коллекторов гранулярного, трещинного и смешанного строения. Пористость и проницаемость горной породы, ее тепловые свойства, которые характеризуются удельной теплоёмкостью, коэффициентом температуропроводности и показателем теплопроводности.

    презентация [87,9 K], добавлен 31.05.2015

  • Проявление техногенных воздействий человека на геологическую среду и их структура. Вибрационное или динамическое воздействие на геологическую среду. Основные черты техногенных воздействий. Воздействие вибрационного поля на человеческий организм.

    реферат [27,9 K], добавлен 19.02.2011

  • Расчет промышленных запасов, срока строительства и срока службы шахты. Выбор схемы вскрытия, способа подготовки и системы разработки. Анализ технологии проведения выработок и технологии очистных работ. Определение нагрузки на лаву и расчет их количества.

    контрольная работа [711,7 K], добавлен 11.12.2014

  • Измерение параметров гравитационного поля в воздухе, на земной поверхности, акваториях морей и океанов. Планетарные особенности Земли. Выделение аномальных составляющих гравитационного поля и их геологическая интерпретация. Проведение полевых наблюдений.

    презентация [514,7 K], добавлен 30.10.2013

  • Обоснование порядка отработки шахтного поля. Горно-геологические условия разработки. Производительность, срок службы и режим работы рудника. Расчет передвижных трансформаторных подстанций. Расчет количества воздуха, необходимого для проветривания лавы.

    дипломная работа [362,3 K], добавлен 25.03.2014

  • Горно-геологическая характеристика месторождения и шахтного поля. Основные параметры шахты. Вскрытие и подготовка шахтного поля, параметры оборудования для проведения подготовительных и очистных работ. Технологический комплекс поверхности шахты.

    отчет по практике [44,9 K], добавлен 25.03.2015

  • Определение способа отработки, балансовых запасов месторождения, типа и количества оборудования на основных производственных процессах, параметров буровзрывных работ. Расчет объема горно-капитальных работ. Анализ способа разработки месторождения.

    курсовая работа [291,5 K], добавлен 17.08.2014

  • Составление системы углов уравнения связи, матрицы коэффициентов условных уравнений поправок. Расчет вектора свободных членов, приближенных и измеренных значений параметров. Оценка точности. Принятие истинных значений отметок определенных реперов.

    практическая работа [52,8 K], добавлен 15.02.2015

  • Горно-геологическая характеристика карьерного поля. Генеральный план и технологический комплекс на поверхности. Карьерный водоотлив и вспомогательные работы. Расчет электрических нагрузок и выбор трансформаторной подстанции, сечение проводов и кабелей.

    дипломная работа [2,0 M], добавлен 19.08.2012

  • Анализ геологического строения Старобинского месторождения. Разработка способов селективного извлечения запасов калийных руд при разработке краевых зон рудничного поля. Выбор способов вскрытия и подготовки шахтного поля. Расчет экономического эффекта.

    диссертация [2,6 M], добавлен 23.12.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.