Вычисление координат спутника в земной системе с учетом возмущений от сжатия Земли. Определение координат дифференциальным методом GPS

Размещено на http://allbest.ru

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Контрольная работа

по предмету «Космическая геодезия»

ТЕМА: «Вычисление координат спутника в земной системе с учетом возмущений от сжатия Земли. Определение координат дифференциальным методом GPS»

Новосибирск 2012г

Задание 1. Вычисление координат спутника в земной системе с учетом возмущений от сжатия Земли

1. Постановка задачи

Необходимо по элементам орбиты, данным на начальную эпоху t₀ , найти элементы оскулирующей орбиты на эпоху t с учетом возмущений от сжатия Земли. По ним предстоит рассчитать прямоугольные координаты x, y, z в небесной (инерциальной) системе, от которых затем перейти к земной системе координат.

Таблица 1

Элементы оскулирующей орбиты

№№	Элементы орбиты на эпоху t0
вар.	a (км)	e	i			M0
49	11142,45	0,00974824	6743'14.1	3317'50.1	12355'41.0	21635'19.0

Элементы орбиты: a- большая полуось, e - эксцентриситет, i - наклонение, - долгота восходящего узла, - аргумент перигея, M₀ - средняя аномалия в эпоху t₀ .

Таблица 2

Дополнительная информация для вычислений

№№	Начальная эпоха t0	Эпоха эфемерид t
вар.	дата d1	время S1	дата d2	время UTC2	время S0	xp	yp
49	1	11h39m22.316s	2	14h44m35.123s	0h 26m 43.504s	0.156	0.121

2. Решение

1. Вычислим момент S₂ , на который необходимо рассчитать эфемериду спутника, по формуле:

,

где всемирное время UTC₂ и звездное время в Гринвичскую полночь S₀ выберем из таблицы.

Коэффициент служит для преобразования единиц среднего солнечного времени в звездное: =0.0027379035.

S0	0h 26m 43.504s
UTC2	14h44m35.135s
UTC2	2m 25.315s
S2	15h 13m 43.942s

2. Рассчитаем период обращения спутника P:

,

Среднее движение получим в размерностях: - радиан/с, /с , /час , а период обращения - в секундах времени, в минутах и долях минуты, а также в часах и долях часа.

Геоцентрическая гравитационная постоянная GM = 398600.5 км³с^-2.

Отсюда

n= 0,000536782 рад./c= 0,030755338 /c= 110,7192185/час.

P = 11705,28493^s = 3,251468036^h=3^h 15^m 05.285^s .

3. Найдем возмущения в долготе восходящего узла орбиты, аргументе перигея и начальном значении средней аномалии за один оборот по формулам:

= 11142,45*(1-0.0829255²) = 11141,93115 км

= 1,08263*10^-3 (6378137*10^-3/ 11141,93115)² = 0,000354814 ,

здесь a_E = 6378137 м - большая полуось земного эллипсоида

- коэффициент второй зональной гармоники C₂₀ =1.0826310^-3 (безразмерный),

=

= 540⁰*0,000354814 *cos 6743'14.1= 0,072637963 /об.,

=

=-270⁰*0,000354814*=0,05449159 /об.

4. Определим число оборотов N, совершенных спутником от эпохи t₀ =(d₁, S₁) до эпохи t =(d₂ , S₂):

.

В формуле моменты по Гринвичскому звездному времени S₁, S₂ и период обращения P должны быть выражены в часах и долях часа. Даты d₁ и d₂, а также момент S₁ выбираются из таблицы.



24 (d2-d1)	24h
_ S2	15h 13m 43.942s		(t - t0)h	27,57267389
S1	11h39m22.316s		Ph	3,251468036
t - t0	27h 34m 21.626s		N	8,480069 об.

Составим систему возмущенных элементов по формулам:

a = a₀ =11142,45 км,

e = e₀ = 0.0974824,

i = i₀ = 6743'14.1,

0	3317'50.1	0	12355'41.0	M0(0)	21635'19.0
N	036'57.5	N	256'46.4	MN	027'43.5
	3354'47.6		12652'27.4	M0	21703'02.5

6. Получим среднюю аномалию M на эпоху t:

.

Значение средней аномалии приведем в интервал: 0M<360.

M0	21703'02.5	M0	21703'02.5
n(t-t0)	305249'29.7	360N	305249'29,7
M	2952'32,2	M	2952'31,9

7. Вычислим эксцентрическую аномалию, решив уравнение Кеплера методом приближений:

.

Предполагается, что в этом уравнении E, M, e даны в радианной мере. Если решение производится в градусной мере, то используется формула:

,

где =180/ - число градусов в радиане.

Процесс продолжается до тех пор, пока расхождение между значениями эксцентрической аномалии E⁽ⁱ⁾ и E^(i-1) не станет меньше точности вычислений = 0.1.

Подготовим: = 0,55853301. М= 2952'32,= 29,87556

M	29,87556	29,87556	29,87556	29,87556	29,87556
esinE(i-1)	0,27822	0,28056	0,28058	0,28058	0,28058
E(i)	30,15378	30,15612	30,15614	30,15614	30,15614

8. Перейдем от эксцентрической аномалии E к истинной v:

.

Четверть для v/2 выбирается с учетом того, что v/2 180.

	1.009796221	tan v/2	0,272049335
E/2	15,07807	v/2	15,21895865
tan E/2	0,269410134	v	30,4379173

9. Вычислим значение возмущенного радиус-вектора r спутника:

= = 11048,531 км

с контролем (в пределах не более 10 м):

= 11142,45*(1-0.0974824*cos30,15614) = 11048,531 км

10. Найдем возмущенный аргумент широты спутника:

.

	126° 52' 27.4''
v	30° 26' 16.5''
u	157° 18' 43.9''

11. Вычислим координаты спутника в небесной системе (НСК):

,

контроль:= 11048,531км

12. Преобразуем координаты спутника из небесной системы НСК в общеземную ОЗСК, не учитывая при этом влияние прецессии и нутации:

.

Матрица , в которой S₂ - определенный ранее и выраженный в градусах момент по звездному Гринвичскому времени, нужна для учета суточного вращения Земли. Она представляется выражением:

,

Матрица для учета движения полюса в эпоху t₂ имеет вид:

,

с координатами полюса в радианной мере.

Вначале выразим момент S₂ в градусной мере и координаты полюса в радианах:

S₂₌15^h13^m43,942^s =228,43309 ⁰

x_p =0.156/ = 7,5631^-7 y_p = -0.088/ = 5,8662510^-7

Здесь = 206265.



Данные для построения графиков.

Орбита в пространстве

щ ? 127°; i ? 68;? ? 33; v ? 30,5°; u ? 157

Орбита в плоскости

° Е ? 30^о; щ ? 127°; v ? 30,5°

Задание 2. Определение координат дифференциальным методом GPS

1. Постановка задачи и исходные данные

Проведен сеанс синхронных наблюдений с применением GPS-аппаратуры, работающей по стандартному C/A-коду.

Базовый приемник i был установлен на точке с известными в общеземной системе WGS-84 геодезическими координатами.

Наблюдения базового приемника были обработаны, и получены его координаты абсолютным методом (табл. 5).

Полевой приемник j находился в точке, для которой необходимо определить координаты и в системе WGS-84 и в системе СК-42, а также его нормальную высоту .

Для полевого приемника известны лишь его приближенные координаты .

Базовый и полевой приемники измерили псевдодальности до 5 одних и тех же навигационных спутников (k = 1, 2, ... 5).

Координаты спутников в системе WGS-84 рассчитаны по навигационному сообщению (табл. 3). Здесь же даны псевдодальности , измеренные полевым GPS- приемником и исправленные за влияние тропосферы и ионосферы (j- номер пункта, k - номер спутника).

В табл. 4 даны предварительные координаты полевого приемника и высота квазигеоида.

Необходимые в работе параметры эллипсоидов WGS-84 и СК-42 приводятся в таблице 6, а параметры связи между ними - в табл. 7.

Используя представленную информацию необходимо по технологии дифференциального метода определить прямоугольные и геодезические координаты полевого приемника в системе WGS-84 и а также в системе СК-42 . Кроме того необходимо найти нормальную высоту . Для координат полевого приемника, полученных в системе WGS-84 абсолютным методом, сделать оценку точности.

Таблица 3

Координаты навигационных искусственных спутников Земли и псевдодальности, исправленные за атмосферную рефракцию

№№	Координаты НИСЗ в системе WGS-84	Псевдодальности
вар.	X	Y	Z	Rover-3
9	- 19 421,8402	-7 039,0977	16 367,6351	25 268,877
	-7 952,1985	24 891,7103	1 182,1981	23 323,558
	-17 360,8153	4 990,4330	19 779,1363	23 174,304
	-7 629,0945	-14 030,5649	21 393,9818	25 290,122
	-16 669,3879	20 558,4496	-695,5191	24 943,418

Предварительные координаты полевого приемника

Таблица 4 и высота квазигеоида над эллипсоидом

№№ приемников	Предварительные координаты полевого приемника (км)	Высота квазигеоида (м)
(роверов)
3	617,0	3579,0	5224,0	-35,44

Координаты базовой станции в системе WGS-84, полученные из наблюдений

Таблица 5 абсолютным методом

№№	Координаты базовой станции
вар.
9	459433.55	3644106.47	5197082.11

Истинные координаты базовой станции:

5455'53.888,8248'45.406, 98.794 м.

Таблица 6 Параметры референц-эллипсоидов

N N п.п.	Названия параметров	Размер- ность	Общеземной эллипсоид WGS-84	Эллипсоид Красовского
1	Большая полуось,	м	6378137	6378245
2	Знаменатель сжатия,	б/р.	298.257223563	298.3
3	Квадрат эксцентриситета	б/р.	6.69437999010-3	6.693421510-3

Параметры для перехода от системы WGS-84 к СК-42

Таблица 7

Параметры переноса (м)	Масштаб	Углы вращения
TX	TY	TZ	m	X	Y	Z
-22.52	126.59	78.84	0.8910-6	0.165	0.089	0.627

2. Решение

1. Определение координат полевого приемника в системе WGS-84 решением засечки по псевдодальностям (абсолютный метод)

Выпишем исходные данные для своего варианта.

Таблица 8 Координаты спутников и пункта и измеренные псевдодальности

	X	Y	Z
1	- 19 421,8402	-7 039,0977	16 367,6351	25 268,877
2	-7 952,1985	24 891,7103	1 182,1981	23 323,558
3	-17 360,8153	4 990,4330	19 779,1363	23 174,304
4	-7 629,0945	-14 030,5649	21 393,9818	25 290,122
5	-16 669,3879	20 558,4496	-695,5191	24 943,418
ровер	617,0	3579,0	5224,0

Составим систему уравнений поправок в измеренные псевдодальности в виде:

.

Здесь - вектор поправок в предварительные координаты пункта наблюдений , - направляющие косинусы топоцентрических направлений на спутник, определяемые по формулам:

,

- вклад сдвига шкалы часов приемника в псевдодальность. Полученные коэффициенты и свободные члены заносим в табл. 9;

Таблица 9 Коэффициенты и свободные члены уравнений наблюдений

№№ спут.	Дальность (км)				J	l (км)	v (м)
1	25268,156	0,79305	0,42022	-0,44101	1	0,721	0,55
2	23323,785	0,36740	-0,91378	0,17329	1	-0,227	0,45
3	23174,252	0,77577	-0,06091	-0,62807	1	0,052	-0,18
4	25289,586	0,32607	0,69632	-0,63939	1	0,536	-0,29
5	24104,389	-0,66595	-0,70441	0,24558	1	-0,250	-0,54

Введем обозначения:

,

тогда систему уравнений можно записать в матричном виде:

.

Поскольку полученная система уравнений поправок является переопределенной (5 уравнений при 4-х неизвестных), то решение производится по МНК по условием .

Для этого составляется система нормальных уравнений :

, где

Составляем систему нормальных уравнений.

[aa]= 1,91554	[ab]= 0,64643	[ac]= -1,14534	[ad]= 1,59634	[al]=558,04786
	[bb]= 1.99634	[bc]= -0,92362	[bd]= -0,56256	[bl]= 590,13995
		[cc]= 1,08812	[cd]= -1,2896	[cl]= -205,31606
			[dd]= 5	[dl]= -804,111

Формально решение системы в матричном виде записывается следующим образом:

,

где - обратная по отношению к матрица. Получим:

Находим координаты пункта:

и сдвиг шкалы часов приемника:

,

где с = 299792.458 км/с - скорость распространения электромагнитной волны.

, dt_j= 0,001068693 мкс.

2. Оценка точности определения координат полевого приемника и времени

1. Вычислим поправки v в измеренные псевдодальности с использованием формулы и внесем их в таблицу 9.

По ним найдем среднюю квадратическую ошибку единицы веса:

Средние квадратические ошибки определения координат m_X, m_Y, m_Z и времени m_T можно найти по формулам:

,

m_x = 2,14 м, m_y = 1,48 м, m_z = 0,38 м, m_t = 4,7 нс.

а полная ошибка положения пункта находится по формуле:

.(43)

М = 3,52 м, PDOP =3,71.

3. Вычисление дифференциальных поправок по результатам измерений на базовой станции

Истинные координаты базовой станции в системе WGS-84 известны в форме геодезических координат , а полученные из наблюдений - в форме декартовых координат . Для вычисления дифференциальных поправок преобразуем геодезические координаты базовой станции в прямоугольные:

,

Здесь N - радиус кривизны эллипсоида WGS-84 в первом вертикале:

км.

Дифференциальные поправки найдем так:

.

Для базовой станции имеем:



					Вычисленные (км)		Из наблюдений (км)		(км)
Bi	545553.888	a	6378.137 км	Xi	459.53200	Xi	459.58102	dX	-0,049
Li	824845.406	e2	6.6943810-3	Yi	3644.02134	Yi	3644.03414	dY	-0,0128
Hi	98.794 м	N	6392,4866км	Zi	5197.09545	Zi	5197.18815	dZ	-0,0927

4. Исправление координат полевого приемника

На практике поправки передаются от базовой станции к полевому приемнику либо при пост-обработке, либо по радиоканалу в реальном времени (режим DGPS).

.(47)

Исправляем координаты полевого приемника (км):

	617,518		3579,975		5224,897
Xj	-0,049	Yj	-0,0128	Zj	-0,0927
Xj	617,47	Yj	3579,9872	Zj	5224,804

5. Преобразование координат пункта из системы WGS-84 в систему координат пользователя и переход от прямоугольных координат к геодезическим.

Параметры для перехода от системы WGS-84 к СК-42



Параметры переноса (м)	Масштаб	Углы вращения
TX	TY	TZ	m	X	Y	Z
-22.52	126.59	78.84	0.8910-6	0.165	0.089	0.627

Перевод координат из системы WGS-84 в другую координатную систему, допустим, в систему СК-42, выполняется по формуле:

.(48)

где - вектора переноса, то-есть начала координат системы СК-42 в системе WGS-84, _X, _Y, _Z - малые углы вращения, выраженные в радианной мере, m - малый скаляр, характеризующий отличие от единицы отношения одного и того же элемента длины в разных системах (масштабный коэффициент). Преобразуем координаты приемника, соблюдая размерности угловых и линейных величин:

(км)

При переходе от прямоугольных координат к геодезическим долгота определяется по формуле:

,

а широту можно вычислить итеративным методом:

,

Здесь - номер итерации, которые повторяются, пока (- точность вычислений); r- радиуса параллели пункта:

,

а величина находится по широте из предыдущего приближения. В начальном приближении считаем:

.

Эллипсоидальная высота H определяется по формуле:

.

В СК-42 а=6378,245км е²=6.693421510^-3

r(км)	3632,9697	3632,9697
B(0)	55,188798	55o11'19,67”
B(1)	55,368548	55o22'06,77”
B(2)	55,368940	55o22'08,18”
B(3)	55,368940	55o22'08,18”
B(4)	55,368940	55o22'08,18”

=0,00000005

орбита спутник эфемерида геодезическиий

В	55o22'08,18”
L	80o12'49,98”
H	64,3м

Для перехода от эллипсоидальной высоты H к нормальной H (над квазигеоидом) необходимо учесть высоту квазигеоида над эллипсоидом на месте наблюдения полевым приемником:

Получаем: H = 64,3м-(-35,44м )= 99,74 м.

Точность определения нормальной высоты зависит не только от точности определения эллипсоидальной высоты GPS-приемником, но и от изученности геоида в районе работ.

Размещено на Allbest.ru

...