Гравітаційна течія аномально-в'язких рідин по конічних поверхнях

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

05.23.16. Гідравліка та інженерна гідрологія

ГРАВІТАЦІЙНА ТЕЧІЯ АНОМАЛЬНО-В'ЯЗКИХ РІДИН ПО КОНІЧНИХ ПОВЕРХНЯХ

Коваленко Віктор Федорович

Київ - 2001

Загальна характеристика роботи

гідродинамічний в'язкий рідина конічний

Актуальність роботи. В технологічних процесах, пов'язаних з інтенсифікацією масо- і теплообміну, в апаратах для випарювання рідини, при очищенні рідин та газів все ширше використовуються течії в тонких рідинних шарах. Використання таких течій у багатьох випадках підвищує ефективність роботи устаткування, його економічність, екологічну чистоту. Практичний досвід показує, що коло проблем, що відносяться до течій рідинних плівок по твердих поверхнях, є надзвичайно широким і містить у собі течії різного типу рідин по вертикальних, похилих, циліндричних і інших типах поверхонь. Формування плівок на таких поверхнях залежить від цілого ряду факторів: виду розподільних пристроїв, умов на границі контакту рідина - тверда поверхня, рідина - газ. Плівкові течії охоплюють великий комплекс реологічних і гідромеханічних проблем, вирішення яких суттєво підвищило б ефективність виробництва і забезпечило б істотний економічний ефект. Цим пояснюється актуальність і великий практичний інтерес до подібного типу проблем, однією з актуальних серед них є проблема течії в'язких і аномально-в'язких рідин по конічних поверхнях, тобто поверхнях із змінною по довжині кривизною, що, у свою чергу, приводить до появи відмінних від плоскої поверхні ефектів у плівці, підвищену дестабілізацію течії і т.п. На жаль, на сьогодні ще повністю не вирішені задачі визначення для даного випадку основних гідродинамічних параметрів в плівці і вплив на них аномалії в'язкості рідини. Відсутні надійні методики розрахунку елементів плівкових апаратів з робочою частиною у вигляді конусу.

Таким чином, робота, що направлена на вирішення цих задач є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана відповідно до науково-дослідних програм кафедри гідравліки і водовідведення Київського національного університету будівництва і архітектури що присвячені питанням очищення рідин та газів, вирішенню гідравлічних проблем тепло- і масообміну, а також робіт по гідродинаміці неньютонівських рідин.

Метою роботи є розробка більш досконалих і надійних методів розрахунку параметрів потоку плівкових течій неньютонівських рідин, властивості яких відповідають степеневому реологічному закону, на конічних поверхнях на основі сформульованих математичних моделей з широким залученням для їх оцінки і апробації експериментальних досліджень.

Задачі дослідження:

- дослідити особливості плівкових течій неньютонівських рідин на конічних поверхнях;

побудувати математичну модель течії рідини на поверхні зі змінним ступенем кривизни і здійснити аналіз можливого підходу до вирішення спільної задачі про течію рідини в розподільному пристрої й уздовж такої поверхні;

провести експериментальне дослідження плівкової течії на конічній поверхні з метою виявлення особливостей у визначенні їх гідродинамічних характеристик;

дослідити реологічні властивості робочих рідин що використовувались при експериментальних дослідженнях і вплив цих властивостей на параметри плівки;

отримати аналітичні залежності для визначення товщини плівки і щільності зрошення на конічній поверхні і визначити вплив на ці характеристики кута конусності, реологічних властивостей рідини, умов витікання рідини з розподільного пристрою (наявності чи відсутності ексцентриситету);

на підставі реалізації математичної моделі і експериментальних досліджень створити інженерну методику розрахунку течій аномально в'язких рідин по конічних поверхнях.

Об'єкт дослідження - неньютонівські рідини, що описуються степеневим реологічним законом Освальда де Віля, які стікають по конічних поверхнях з різними кутами конусності та шорсткістю.

Предмет дослідження - гідродинамічні та реологічні характеристики плівкових течій на конічних поверхнях.

Методи дослідження - фізичне і математичне моделювання процесів течії аномально-в'язких рідин, що описуються степеневим реологічним законом Освальда де Віля, на конічних поверхнях, використання чисельних і аналітичних методів для обробки експериментальних результатів фізичного моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів:

вперше проведені дослідження стабілізованих і не стабілізованих течій аномально-в'язких рідин на конічних поверхнях;

обґрунтована і побудована загальна математична модель течії рідини на конічній поверхні сумісно з течією в розподільному пристрої;

одержані загальні залежності для визначення щільності зрошення та товщини плівки на конічній поверхні та їх залежність від реологічних властивостей рідини, геометричних параметрів та одержаних автором гідродинамічних критеріїв подібності;

проведено аналіз і оцінка впливу ексцентриситету в розподільному пристрої на основні характеристики плівкової течії на конічній поверхні.

Практичне значення отриманих результатів. Проведені дослідження дозволяють використати їх результати для більш надійного обґрунтування, розрахунку і проектування технологічних і конструктивних параметрів робочих елементів плівкових апаратів з урахуванням реологічних властивостей стікаючої рідини і зміни кривизни поверхні та рекомендації по їх вдосконаленню;

Розроблені в дисертації методи розрахунку і методики впроваджені на відкритому акціонерному товаристві “Фармак” (м. Київ) для підвищення ефективності роботи апаратів для випарювання рідини при виробництві діазоліну. Запропоновані розрахункові рекомендації дозволили без проведення додаткових експериментів визначити необхідні технологічні і конструктивні характеристики плівкових апаратів. Очікуваний економічний ефект складає 57 тис. грн.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У спільних публікаціях автору належать теоретичні обґрунтування застосування плівкових течій на конічних поверхнях, математичне моделювання, проведення експериментів і обробка експериментальних даних, створення методик розрахунку параметрів плівкового потоку на конічній поверхні, розробка пропозицій по методиці очищення рідин від волокнистих включень, упровадження матеріалів досліджень.

Апробація роботи. Основні результати і окремі розділи роботи доповідались: на науково-практичних конференціях КНУБА (Київ - 1997, 1998, 1999, 2000 рр.); на конференціях НТУУ “КПІ” “Гідромеханіка в інженерній практиці” (Черкаси - 1997 р., Київ - 1998, 2000 рр., Суми - 1999р); в Українському транспортному університеті (Київ - 1997, 2000 рр.).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 8 друкованих праць, в тому числі 5 у фахових виданнях.

Обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, загальних висновків; викладена на 122 сторінках машинописного тексту, містить 29 малюнків, 8 таблиць, список використаної літератури з 122 найменувань, 3 сторінки додатків; загальний обсяг роботи 138 сторінок.

Основний зміст роботи

Текст роботи містить у собі всі основні результати дисертаційних досліджень.

У вступі розкривається суть проблеми, пов'язаної з течією аномально в'язких рідин у плівках, що формуються на конічних поверхнях. Обґрунтовується доцільність таких досліджень і актуальність для промисловості.

У першому розділі розглянута область застосування плівкових течій у різних типах тепло- і масообмінної апаратури, установках для очищення газів і рідин. Показано, що в багатьох випадках робочими елементами таких апаратів є конічні поверхні, на яких формується рідинна плівка. Проведено аналіз умов формування плівки і вплив особливостей поверхні на величину таких характеристик потоку як щільність зрошення і товщина плівки . Огляд досліджень, присвячених питанням гідродинаміки рідинних плівок показав, що істотний внесок у вирішення даної проблеми, пов'язаної із течією ньютонівських рідин внесли такі вчені, як Алексеєнко А.В., Накоряков В.Е., Покусаєв Б.М., Шкадов В.Я, Малюсов В.А., Живайкін Л.Я., Воронцов Е.Г., Капіца П.Л., Левич В.Г., Холпанов Л.П., Тананайко Ю.М., Фулфорд Г.Д., Бояджиєв Х., Бешков В. та інші. В основному роботи цих авторів присвячені течії по плоских і циліндричних поверхнях. Найважливіші результати досліджень даних авторів представлені в табл.1. Що стосується неньютонівських рідин то, на жаль, навіть для опису течії на плоских вертикальних і похилих поверхнях досліджень надзвичайно мало. Серед них слід відзначити роботи Шульмана З.П. де зроблена спроба описати течію рідин, що підлягають степеневому закону Освальда де Віля, на плоских вертикальних і похилих поверхнях. Разом з тим, проведений аналіз показав, що серйозні дослідження течії неньютонівських рідин на конічних поверхнях, тобто на поверхнях із кривизною, що змінюється, уздовж утворюючої, практично відсутні, у той час, як саме такі поверхні все частіше зустрічаються в апаратах і технологічних процесах хімічної, переробної, фармацевтичної, харчової та інших видах промисловості. В цих галузях дуже високий відсоток устаткування в якому як робочі рідини використовуються латекси, емульсії, дисперсії, технічні мастила з присадками, рідини з волокнистими включеннями, тобто середовища що проявляють аномалії в'язкості. З огляду на це, проаналізувавши особливості течії потоку на конічних поверхнях, представлений аналіз сил, що визначають умови формування плівки, встановлено основні розходження між течією плівки на конічній і циліндричній поверхнях. З урахуванням вищевикладеного, у роботі була поставлена задача проведення математичного і фізичного моделювання ламінарної ізотермічної течії неньютонівської рідини, що описується степеневим законом Освальда де Віля на конічних поверхнях з різним кутом конусності. Планувалося установити вплив на основні характеристики плівки реологічних констант рідини (індексу течії n і консистентної постійної K), кута конусності і закону зміни кривизни поверхні уздовж потоку, вплив умов виходу потоку з розподільного пристрою на формування плівки і супутніх їм факторів. Результати таких досліджень планувалося покласти в основу методики розрахунку розглянутого типу апаратів і розробки рекомендацій з підвищення ефективності й економічності їхньої роботи.

У другому розділі розглянута математична модель плівкової течії в'язких і аномально-в'язких рідин на конічних поверхнях де течія, в основному, є не стабілізована, тобто на потік, крім сил в'язкого тертя, поверхневих сил, істотно можуть впливати сили інерції від конвективного прискорення. Як вихідні рівняння використовувалися рівняння руху в напруженнях. В основу математичного опису покладена ідея про комплексний розгляд задачі формування плівки на конічній поверхні разом із задачею течії у розподільному пристрої. Така постановка є актуальною у зв'язку з тим, що тип розподільного пристрою (зазор між циліндричними чи конічними поверхнями) істотно впливає на формування плівки. На рис.1 представлена схема течії рідини в розглянутому випадку. Відповідно до даної теми течія розглядається в областях між перетинами , , , , .

В основу опису течії в цих зонах покладений алгоритм граничних інтегральних рівнянь, розроблений С.М. Бєлоносовим і описаний нами у роботі [4]. Цей метод зручний, якщо розглядати плівкову течію на твердій поверхні в нерозривному зв'язку з течією у розподільному пристрої. Так, відповідно до рис.1 область Z - частина меридіонального перетину кругового напівнескінченного циліндра. Границя області D обрана так, щоб на ній швидкості часток в'язкої рідини досить точно визначалися в поздовжньому напрямку відповідною реологічному закону параболою. Форма утворюючої розподільного пристрою задана відповідно рівнянням R=f(z). Напівнескінченна смуга Do обмежена зверху відрізком , праворуч -- відрізком (що лежить на утворюючій твердого конуса) і ліворуч - кривою (ця крива позначена символом ). Рівняння кривої , що визначає вільну поверхню рідинної плівки, запишемо у виді (при ); функція підлягає відшуканню. Передбачається, що на усіх твердих поверхнях приймається умова прилипання рідини: ; на правій границі області повинні виконуватися умови:

(1)

У точках лінії повинні виконуватися кінематична умова і динамічна умова . Середня кривизна розглянутої нами поверхні обертання може бути визначена відповідно до [4] у такий спосіб:

2 (2)

На підставі даної математичної моделі була проаналізована течія у розподільному пристрої типу циліндр-циліндр при наявності і відсутності ексцентриситету й отримані наступні залежності для середньої швидкості потоку, витрати і перепаду тиску, що співпадають з результатами, приведеними в роботах О.М.Яхно і В.С.Кривошеєва. Зокрема вираз для витрати в розподільному пристрої, покладений в основу розрахунку щільності зрошення, має вид:

(3)

де , , - внутрішній радіус, зазор і ексцентриситет в розподільному пристрої відповідно.

Наявність ексцентриситету в розподільному пристрої приводить до нерівномірності розподілу рідини на поверхні конуса. Якщо рівномірність розподілу рідини по периметру оцінювати як , де - витрата рідини з якоїсь частини конуса (у нашому випадку з 1/8 частини периметра) показано, що з точністю до 12% це співвідношення описується рівнянням

(4)

структура якого відповідає рівнянню, запропонованому Е.Г.Воронцовим.

Зіставлення існуючих рішень для циліндричних поверхонь відповідними результатами аналізу для конічних поверхонь дозволило представити закон розподілу швидкостей на конічній поверхні у вигляді

(5)

де - функція, що характеризує розподіл швидкостей на плоскій пластині;

-функція, що коригує закон розподілу швидкостей на конічній поверхні відносно плоскої і враховує особливості течії рідини на цій поверхні і фактори, що впливають на формування плівки на ній.

У цьому випадку, використовуючи дану залежність, витрата рідини, що протікає по конічній поверхні матиме вид:

(6)

Перший інтеграл у рівнянні (6) може бути визначений на підставі відомих досліджень, присвячених течії ньютоновских і степеневих неньютонівських рідин. Другий інтеграл доцільно визначати експериментально в зв'язку з тим, що його значення істотно залежить не тільки від кута конусності, але і співвідношення зміни радіуса і товщини плівки і різного ступеня впливу кривизни поверхні по висоті конуса.

Для запису даних співвідношень у критеріальному вигляді на підставі p- теореми були визначені основні критерії, що характеризують розглянутий тип течії. У результаті отримано, що

(7)

причому комплекс може бути представлений як комбінація критеріїв Галілея і Рейнольдса, тобто .

Аналіз отриманого виразу дає можливість вважати, що найважливішими критеріями гідродинамічної подоби при плівковій течії є критерії Рейнольдса, Эйлера, Фруда і критерій .

Таким чином, показано, в якій залежності умови формування рідинної плівки на конічній поверхні зв'язані з особливостями течії рідини в розподільному пристрої. Цим пояснюється зроблена спроба постановки спільної задачі течії в розподільному пристрої і на конічній поверхні. Аналіз рівнянь, що описують даний тип течії, показав, що основними критеріями, що впливають на рух рідинної плівки на конічній поверхні, є наступні комплекси

(8)

Одержання інтегральних характеристик потоку плівки на підставі локальних значень швидкостей і їхній розподіл в потоці можливе, якщо задачу течії на конічній поверхні звести до задачі на циліндричній чи плоскій із уведенням деяких коригувальних функцій. У зв'язку з цим, у розділі зроблена спроба опису такого типу течії на підставі існуючих рішень для плоскої і циліндричної задачі.

У третьому розділі представлене фізичне моделювання розглянутих видів течії. Як робочі рідини використовувалися водяні розчини полівінілового спирту (ПВС) марки 7/2 ДСТ 10779-69, водяні розчини натрієвої солі карбоксиметилцеллюлози (КМЦ) ТУ 6-158-692-72 артикул РД-095-01-372 і вода з волокнистими включеннями. Молекули даної високомолекулярної речовини можуть бути лінійними і розгалуженими, причому довжина молекулярних ланцюгів може бути порівняно велика - перевищувати 1 мкм. Саме лінійна форма макромолекул визначає типові властивості полімеру: каучукоподібна еластичність, здатність утворювати міцні плівки і нитки, набухати, давати при розчиненні в'язкі розчини і т.д.

В'язкість модельних розчинів визначалася на ротаційному віскозиметрі "Реотест-2", погрішність вимірів на який складає (згідно з паспортними даними) не більше 4%. Як показали результати реологічних досліджень, дані розчини добре описуються степеневим законом Освальда де Віля:

(9)

Досліджувалася течія цих розчинів на експериментальному стенді, схема якого представлена на рис.2. Стенд давав можливість робити візуалізацію плівкової течії, визначати щільність зрошення, товщину плівки на поверхні з кутами конусності, що змінюються в межах 32о-44о. Для даних конічних поверхонь характерно те, що в залежності від кута конусності змінювався закон кривизни поверхні (рис.3). Стенд дозволяв змінювати ступінь шорсткості поверхні. Обробка експериментальних даних здійснювалася за допомогою ПЕОМ. Результати експерименту були зведені у відповідні таблиці і на їхній підставі були побудовані основні характеристики. Похибка проведених експериментів не перевищувала 8%.

Четвертий розділ присвячений аналізу отриманих результатів і зіставленню даних результатів з результатами математичного моделювання.

Установлено, що товщина плівки на конічній поверхні змінюється уздовж утворюючої при різних значеннях узагальненого числа Рейнольдса відповідно до даних, приведеними на рис.4.

На підставі приведених даних зроблено зіставлення закону зміни середньої товщини плівки для досліджуваної рідини з даними інших авторів, рис.5. Таке зіставлення дозволило одержати залежність для середньої товщини плівки на розглянутій ділянці конічної поверхні у виді

(10)

де - коригуючий коефіцієнт, значення якого представлено у вигляді

(11)

Коефіцієнт a у рівнянні (11) залежить від кута конусності поверхні (наприклад для кута 34о цей показник складає 0.2743).

У табл.3 представлені результати порівняння експериментальних досліджень з даними розрахунку товщини плівки за формулою для плоскої поверхні.

Щільність зрошення визначалася на конічній поверхні в нижній частині конуса за допомогою спеціального пристрою.

На рис.6 представлено графік залежності щільності зрошення від відносної товщини плівки . Приведено співставлення характеру цієї залежності для циліндричної та конічної поверхонь. Крива 1 на рис.6 побудована на підставі залежностей, запропонованих К.Файндом і Г.Д.Фулфордом, що має вид

(12)

і проведене зіставлення експериментальних даних на конічній поверхні в порівнянні з циліндричною. На підставі приведених графіків отримані коригувальні коефіцієнти для щільності зрошення на конічній поверхні. Експериментальні дані дозволили відповісти на ряд питань, зв'язаних із впливом характеристики розподільного пристрою, впливом ексцентриситету в розподільному пристрої на потік у плівці. Так, наприклад, як показано у дослідженнях Е.Г. Воронцова, О.М.Яхно, наявність ексцентриситету на циліндричній поверхні приводить до порушення плівкового потоку і формуванню з плівки джгута з наступним закрученням навколо утворюючої. На конічній поверхні, при тих же значеннях ексцентриситету, також можливе формування джгута, однак його закручення навколо утворюючої не спостерігалося. Як показали експерименти, при наявності ексцентриситету, плівкова течія може бути представлена двома областями: у першій області рідина змочує всю поверхню, а в другій області лише частину поверхні. Положення точки переходу від однієї області до іншої залежить від чисел Рейнольдса, Фруда, . На рис.7 показана залежність розміру області плівкової течії при фіксованому напорі від відносного ексцентриситету. При порівняно невеликих відносних ексцентриситетах, коли середня товщина плівки в області за гідродинамічною початковою ділянкою може бути визначена по формулі, справедливій для циліндричної поверхні

(13)

де залежать від кута конусності (для циліндричної поверхні , для конічної поверхні ).

Крім того, наслідком зміни кривизни уздовж конічної поверхні, є переорієнтація волокнистих включень, що спостерігалася нами, яка полягає в тому, що волокна, які виходять з розподільного пристрою й орієнтовані уздовж потоку, по мірі переміщення уздовж конічної поверхні під дією дотичних до поверхні складових швидкості розвертаються поперек потоку. Цей ефект може бути використаний для очищення невеликих кількостей рідини від волокнистих включень, тому що останні можуть бути легко вилучені після переорієнтації сіткою.

На підставі отриманих результатів, у четвертому розділі приведені рекомендації і методика по гідравлічному розрахунку плівкової течії на конічній поверхні. В основу методики покладене припущення про розрахунок параметрів потоку в кілька етапів, що зв'язано з необхідністю одержання даних про реологічні властивості розглянутих рідин і визначенню реологічних констант.

Загальні висновки

1. Проаналізовані існуючі дослідження по формуванню рідинної плівки в'язких та аномально-в'язких рідин на різних типах поверхонь, у результаті якого встановлена відсутність досліджень, присвячених течії неньютонівських рідин на конічних поверхнях. Показано, що такі течії формуються на поверхнях, характерною особливістю яких є зміна кривизни уздовж утворюючої. Ця властивість може впливати на гідродинамічні особливості течії рідини в плівці.

2. На підставі зробленого аналізу обґрунтована фізична (концептуальна) модель сумісного опису течії рідинної плівки на конічній поверхні і в розподільному пристрої, яка враховує особливості переходу від напірної течії в розподільному пристрої до течії з вільною поверхнею в плівці.

3. На базі фізичних уявлень про особливості плівкової течії на твердих поверхнях побудована математична модель, яка складається з двох блоків: руху аномально-в'язкої рідини в розподільному пристрої і течії в плівці на конічній поверхні.

4. Проведені експериментальні дослідження плівкових течій на конічних поверхнях, де в якості робочих рідин використовувалися водяні розчини полівінілового спирту. Реологічні властивості розчинів можуть бути описані степеневим законом Освальда де Віля.

5. Експериментальні дослідження впливу реологічних властивостей використовуваних рідин і геометричних особливостей конічних поверхонь показали, що гідродинамічні параметри рідинних плівок суттєво залежать від цих особливостей, причому ця залежність проявляється в тому, що завдяки зміні кривизни поверхні, рух на всій розглянутій ділянці течії плівки є нестабілізованим із змінною величиною .

6. Проведена візуалізація плівкової течії, яка дала можливість пояснити основні особливості формування рідинної плівки на конічній поверхні, вивчити особливості переходу плівкової течії в струминну при наявності ексцентриситету в розподільному пристрої, виявити ефект переорієнтації волокнистих включень вздовж потоку.

7. Отримані розрахункові залежності для визначення щільності зрошення і товщини плівки на конічній поверхні і їхня зміна у відповідності до реологічних властивостей рідини, геометричних параметрів і отриманих автором гідродинамічних критеріїв подібності, зроблена оцінка впливу зміни кривизни конічної поверхні вздовж потоку плівки на її основні характеристики. Проведено аналіз впливу ексцентриситету на розглянуті характеристики.

8. Розроблена інженерна методика розрахунку параметрів плівкового потоку неньютонівських рідин на конічних поверхнях, в основу якої покладені одержані в роботі залежності і відомості про реологічні властивості рідин.

9. Матеріали досліджень упроваджені на відкритому акціонерному товаристві "Фармак" (м. Київ) при проектуванні випарних установок при виробництві діазоліну.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1.Коваленко В.Ф. Анализ существующих методов исследования течения жидкостных пленок на поверхностях с различной степенью шероховатости //Вестник Национального технического университета Украины "Киевский политехнический институт", Машиностроение, вып. 36, том 2, Киев, 1999, с.321-328.

2.Коваленко В.Ф. Особенности формирования жидкостной пленки на конической поверхности//Вестник Национального технического университета Украины "Киевский политехнический институт", Машиностроение, вып. 38, том 2, Киев, 2000, с.198-200.

3.Коваленко В.Ф., Яхно О.М. О некоторых закономерностях течения жидкостных пленок на конических поверхностях//Гидравлика и гидротехника - К. - 1998 - вып. 59 - с.27-32.

4.Белоносов С.М., Яхно О.М., Коваленко В.Ф. О применении теории гидродинамических потенциалов к расчету жидкостной пленки на поверхности конуса с вертикальной осью //Збірник наукових праць НАУ “Механізація сільськогосподарського виробництва”. Том VI. “Теорія і розрахунок сільськогосподарських машин” Київ, 1999, с.185-189.

5.Коваленко В.Ф., Яхно О.М. Применение пленочных течений в системах очистки рабочих жидкостей гидропривода от волокнистых включений // Зб. наук. пр. Кіровоградського державного технічного університету “Техніка в сільськогосподарському виробництві, галузеве машинобудування, автоматизація”. - Вип. 7. - Кіровоград: КДТУ, 2000. - С. 3 - 8.

6.Яхно О.М., Коваленко В.Ф. Влияние сил инерции на течение вязких сред //Збірник наукових праць НАУ “Сучасні проблеми сільськогосподарського машинобудування”, Том 1, Київ, 1997, с.92-96.

7.Коваленко В.Ф., Яхно О.М. Особенности течения жидкостной пленки с волокнистыми включениями по коническим поверхностям //II Українська науково-технічна конференція “Гідроаеромеханіка в інженерній практиці”: Черкаси, 27-30 травня 1997 р. Праці, ЧІТІ, 1998.- с. 123- 129.

8.Коваленко В.Ф. Математичне моделювання плівкових течій в'язких та аномально-в'язких рідин по конічних поверхнях //Тези доповідей 61-ї науково-практичної конференції КНУБА - К. - 2000 - с.32.

Размещено на Allbest.ru