де - матриця коефіцієнтів рівнянь поправок, причому всі похідні взято по , але обчислено їх при ; - вагова матриця; - вектор вільних членів рівнянь поправок; - вектор поправок у результати вимірювань ; - вектор поправок до вектора наближених значень невідомих параметрів (тут ); - вектор вирівняних параметрів. Наближені значення параметрів потрібно визначати з такою точністю, щоби можна було знехтувати коефіцієнтами . Але забезпечити цю вимогу для високоточних або великих мереж з різнорідними лінійними та кутовими вимірами досить складно. Саме це й спричинило виникнення напряму досліджень особливостей вирівнювання геодезичних мереж за умов нелінійності .

Основна ідея запропонованого методу полягає в тому, що нелінійна система для визначення невідомих параметрів розглядається як умова мінімуму функціонала:

.(14)

Цей функціонал відповідає методу найменших квадратів, але треба зазначити, що на відміну від квадратичної форми методу найменших квадратів , поправки до виміряних величин не зазнали лінеаризації параметричних рівнянь зв'язку. Для мінімізації функціонала треба обчислити його похідні по та прирівняти їх до 0:

,(15)

де -- довільний вектор. Рівняння (15) запишемо в іншому вигляді:

.(16)

Якщо лінеаризацію не виконувати, то система (16) лишиться системою нелінійних рівнянь. Існує велика кількість методів розв'язання системи нелінійних рівнянь, зокрема: метод ітерацій, метод Ньютона, а також метод диференціювання за параметром Бернштейна - Давиденко. Якщо для збіжності методу ітерацій та методу Ньютона потрібно, щоб початкові значення були близькими до вирівняних значень , то метод диференціювання за параметром не має такого обмеження. Введемо скаляр , причому , і розглянемо рівняння (16) у такому вигляді:

.(17)

Очевидно, що , . Якщо продиференціювати (13) за , то отримаємо:

.(18)

Рівняння (18) вирішується методом скінченних різниць за схемою Ейлера. Нехай , , , , де -- кількість кроків; .

Виходячи з методу скінченних різниць, замінимо похідну наближеним виразом . В результаті з врахуванням (14) отримаємо:

.(19)

Після послідовного розв'язання рівнянь (19) в інтервалі зміни від 0 до 1 отримаємо вектор , який є найближчим розв'язком рівняння (18), тобто розв'язком задачі нелінійності при вирівнюванні геодезичних мереж.

Нелінійне вирівнювання просторових мереж методом скінченних елементів. У просторовій системі координат позначимо: - вектори наближених координат початку та кінця просторової лінії ; - вектори вирівняних координат початку та кінця просторової лінії . Приймемо: ; ; норма - довжина вектора ; - скалярний добуток векторів . Врахуємо, що . Тоді і функціонал (14) набуває вигляду: . З урахуванням відомих співвідношень та вирази (16) та (19) набувають вигляду:

;(20)

,(21)

де . Оскільки вектор є ортогональним до вектора , а -- це проекція вектора на вектор , то з виразу (19) отримаємо елементарну матрицю нормального рівняння та вектор правих частин у локальній системі координат, пов'язаної з виміряною лінією в порядку:

. (22)

Якби була виконана лінеаризація функціонала , то в цій матриці дорівнювало б нулю.

Запропонований підхід значно розширює можливості використання методу скінченних елементів при обробці геодезичних мереж та має ряд переваг над відомими ітераційними методами. По-перше, його реалізація не потребує високої точності наближених значень координат невідомих параметрів, по - друге, він має значно вищу збіжність результатів.

У шостому розділі “Методичні основи програмної реалізації скінченноелементних моделей геодезичних вимірів” розглядаються методичні аспекти розробки та реалізації програмного забезпечення обробки результатів геодезичних вимірювань методом скінченних елементів. Вони ґрунтуються на загальних системотехнічних принципах створення автоматизованих систем за концепцією та стандартами відкритих систем (Open System), реалізація яких забезпечує:

1. уніфікацію форматів даних, інтерфейсів систем, процесів і користувачів;

2. мобільність прикладних систем з мінімальними змінами на широкий діапазон апаратних та операційних платформ;

3. інтероперабільність - сумісну роботу з іншими прикладними системами.

Відзначається, що при створенні баз геопросторових даних взагалі та геодезичних зокрема, необхідно враховувати стандарти та проекти ISO/TC 211 Geographic Information / Geomatics .

Визначено структуру інформаційного змісту банку геодезичних даних, яка включає метричну, синтаксичну, геометричну, семантичну, структурну моделі та службову інформацію (метадані). Запропоновано функціональну модель процесу проектування та розроблено інфологічну схему банку геодезичних даних, яку взято за основу при створені банку даних Державної геодезичної мережі України.

Функціональна структура програмної реалізації обчислювального середовища складається з розширюваної бібліотеки скінченних елементів геодезичних вимірів, побудованої за моно- та поліелементним принципом, та процесора, призначеного для складання, накопичення та розв'язування систем рівнянь.

Запропоновані автором скінченноелементні моделі геодезичних вимірів доведені до практичної реалізації в програмних комплексах, а саме:

1. Топо-ГРАД - програмно-методичний комплекс обробки геодезичних мереж та топографічних великомасштабних знімань;

2. Інвент-ГРАД - програмно-методичний комплекс обробки результатів кадастрових знімань, що виконуються при інвентаризації земель;

3. Гео-ГРАД - програмно-методичний комплекс обробки геодезичних мереж та трансформування координат.

У створених програмних комплексах використовується уніфікований програмний процесор відомого програмно-методичного комплексу “ЛІРА” (НДІАСБ), який реалізує метод скінченних елементів для числового аналізу будівельних конструкцій. При підключенні програмно-методичного комплексу “ЛІРА” геодезичні вимірювання моделюються установленими аналогічними елементами будівельних конструкцій. Така реалізаційна схема забезпечує можливість застосування в наукових та практичних геодезичних задачах розвиненої методичної та програмної інфраструктури методу скінченних елементів будівельних конструкцій.

Програмно-методичні комплекси “Топо-ГРАД” та “Інвент-ГРАД” впровадженні у виробництво в сотнях організаціях та підприємств не тільки в Україні, і в країнах СНД, у тому числі: у всіх підприємствах Укргеодезкартографії, в Земельно-кадастрових центрах Держкомзему України, в проектно-розвідувальних інститутах, у навчальних програмах, методичних матеріалах та підручниках, які використовуються у процесі підготовки фахівців за спеціальностями “Геодезія” та “Землевпорядкування та кадастр”. Програмно-методичний комплекс “Гео-ГРАД” впроваджено в Укргеодезкартографії для обробки Державної геодезичної мережі України.

ВИСНОВКИ

1. Виконано дослідження та аналіз існуючого стану і основних тенденцій розвитку комп'ютерних методів та моделей вирівнювальних обчислень геодезичних вимірів, який характеризується застосуванням автоматизованих систем на всіх стадіях збирання, обробки та розповсюдження геопросторових даних у польових та камеральних умовах, уніфікацією обмінних форматів результатів вимірювань та поширенням комп'ютерної техніки в польових та камеральних умовах, переходом від використання наближених методів вирівнювання геодезичних вимірів до строгих, значним збільшенням розмірності геодезичних задач, оцінкою точності геодезичних мереж та їх елементів з використанням оціночних кореляційних матриць. Відзначається зростання рівня інфраструктури та сфери застосування методу скінченних елементів взагалі і в задачах будівельної механіки зокрема.

2. Вперше досліджено та обґрунтовано теоретичні основи варіаційного підходу застосування методу скінченних елементів геодезичних вимірів. Сформовано понятійно-термінологічний апарат скінченних елементів геодезичних вимірів. Сформульовано основний варіаційний принцип та головну ідею методу скінченних елементів в геодезичних задачах. Розроблено загальну схему вирівнювання геодезичних мереж, інтерполяції та апроксимації значень функцій геодезичних вимірів методом скінченних елементів. Визначено спектр геодезичних задач для використання одно-, дво- та тривимірних скінченноелементних моделей. Обґрунтована методика встановлення аналогії скінченноелементних моделей геодезичних вимірів та елементів будівельної конструкції. Для перевірки достовірності запропонованих скінченних елементів геодезичних вимірів розроблено спеціальну методику, яка включає застосування двох методів: аналітичного, з використанням параметричних рівнянь поправок методу найменших квадратів та практичного розрахунку контрольних прикладів. На відміну від методу найменших квадратів, що традиційно використовується в геодезичних задачах, метод скінченних елементів більш ефективно реалізується в комп'ютерних програмах та має більшу сферу застосувань, що дозволяє йому узагальнювати широкий спектр задач в єдиному обчислювальному середовищі.

3. На основі варіаційного підходу дістало розвиток та вдосконалено дискретні одновимірні моделі скінченних елементів лінійних та кутових вимірів геодезичних мереж у прямокутних площинних та прямокутних просторових координатах, включаючи прості моноскінченні елементи виміряних віддалей, напрямів дирекційних кутів, астрономічних азимутів та базисних векторів GPS-вимірів. Запропоновано узагальнені поліскінченні елементи геодезичних вимірів як сукупності виміряних віддалі, напряму, дирекційного кута на довільній станції вимірювань; розроблено методику отримання із них простих моноскінченних елементів геодезичних вимірів.

4. Вперше розроблено дискретні одновимірні моделі простих моно- та узагальнених поліскінченних елементів лінійних, кутових, астрономічних та базисних векторів GPS-вимірів в геодезичних координатах на еліпсоїді, що забезпечує можливість вирівнювання Державної геодезичної мережі України.

5. Вперше на снові варіаційного підходу розроблено континуальні дво- та тривимірні скінченноелементні моделі геодезичних полів, включаючи трикутний, чотирикутний та тетраедральний симплекс-елементи.

6. Використання високоточних GPS-вимірів як основного методу побудови геодезичних мереж спричинило у більшості країн формування нових національних референцних геодезичних систем відліку. Однією із складових впровадження нових систем відліку є високоточне визначення параметрів трансформування координат між системами координат. Уперше сформульовано вимоги негомогенності, неперервності та незалежності локального трансформування координат з однієї системи до іншої. Розроблено методику афінного трансформування координат методом скінченних елементів з використанням трикутного скінченного елемента для площинних геополів і тетраедрального скінченного елемента для просторових геополів. Доведено, що у порівнянні з іншими методами це трансформування забезпечує вищу точність, оскільки локалізує спотворення геополів, заданих різними за точністю пунктами геодезичних мереж.

7. Вперше на основі методу скінченних елементів запропоновано формування орографічно-тріангуляційної цифрової моделі рельєфу, яка дозволяє побудувати функцію визначення висоти у довільній точці місцевості в межах області її визначення, коректну за точністю та морфологією рельєфу. Це забезпечує можливість рішення множини задач на основі перетворення одного типу моделі в інший способом побудови орографічно-тріангуляційної моделі. Запропонованим методом скінченних елементів побудовано орографічно-тріангуляційну цифрову модель рельєфу розмірністю близько 13 мільйонів точок для моделювання забезпечення радіочастотної сумісності на території України.

8. Доведено. що для вирівнювання геодезичних мереж методом скінченних елементів характерна чутливість до значень ваг різнорідних вимірів та попередніх значень координат пунктів, що визначаються. Вперше на основі застосування крокового способу диференціювання за параметром у методі скінченних елементів розроблено нелінійне вирівнювання геодезичних мереж, яке на відміну від існуючих методів не потребує високої точності наближених значень координат невідомих параметрів та має значно вищу збіжність результатів;

9. Розроблено методичні основи програмної реалізації методу скінченних елементів геодезичних вимірів. В основі методики лежать системотехнічні принципи створення автоматизованих систем на основі концепції та стандартів відкритих систем (Open System) та стандартів і проектів ISO/TC 211 Geographic Information / Geomatics , які дають змогу реалізувати відкриті специфікації на інтерфейси, процеси та формати даних. Функціональна структура програмної реалізації обчислювального середовища складається з розширюваної бібліотеки скінченних елементів геодезичних вимірів, побудованої за моно- та поліелементним принципом, та процесора, призначеного для складання, накопичення та розв'язування систем рівнянь.

10. На основі запропонованого автором методу скінченних елементів геодезичних вимірів розроблено та доведено до програмного продукту такі комплекси:

11. Топо-ГРАД - програмно-методичний комплекс обробки геодезичних мереж і топографічних великомасштабних знімань;

12. Інвент-ГРАД - програмно-методичний комплекс обробки результатів кадастрових знімань, що виконуються в ході інвентаризації земель;

13. Гео-ГРАД - програмно-методичний комплекс обробки геодезичних мереж та трансформування координат.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Статті у наукових фахових виданнях

1. Беляев В.А., Карпинский Ю.А., Куриляк И.С. Геодезические сети как системы стержневых конечных элементов// Инженерная геодезия. -1989. - Вып. 32.- С.10-14.

2. Беляев В.А., Карпинский Ю.А., Куриляк И.С. Стержневые аппроксимации фотограмметрических сетей методом конечных элементов. - Сб.: Системы автоматизированного проектирования объектов стр-ва /САПР-ОС/ К.: Будівельник, 1989.- Вып. 6.- С.68-73.

3. Беляев В.А., Карпинский Ю.А., Куриляк И.С. Универсальный математический аппарат для геодезических вычислений// Инженерная геодезия. - 1990. - Вып.33.- С.7-10.

4. Карпинский Ю.А., Гордышев С.И. Горизонтальная съемка застроенных территорий методом блочной тахеометрии// Инженерная геодезия. - 1991. - Вып.34.- С.59-61.

5. Карпинский Ю.А., Проценко А.С. Функциональная структура и принципы построения автоматизированной системы для обработки результатов инженерно-геодезических работ АРМИГ-ПК. - Сб.:/ Системы автоматизированного проектирования объектов стр-ва /САПР-ОС/.- К., Будівельник, 1991.- Вып. 8.- С.56-58.

6. Карпинский Ю.А. Вариационный принцип построения конечных элементов сетей трилатерации// Инженерная геодезия. - 1992. - Вып.35.- С.48-50.

7. Карпінський Ю.О. Сучасний стан і перспективи впровадження інформаційних систем у топографо-геодезичне та картографічне виробництво// Вісник геодезії та картографії. - 1997.- №1(7).- С.89-92.

8. Карпінський Ю.О, Багратуні Г.Л. Основні принципи побудови банку геодезичних даних// Вісник геодезії та картографії. - 1998.- №1(8).- С.58-61.

9. Карпінський Ю.О. Вирівнювання геодезичних мереж тріангуляції методом скінченних елементів// Інженерна геодезія. - 1999. - Вип. 41.- С.65-73.

10. Карпінський Ю.О. Структура процесу проектування цифрових карт місцевості// Вісник геодезії та картографії. - 1999.- №4(15).- С.26-29.

11. Карпінський Ю.О. Скінченний елемент дирекційного кута при вирівнюванні геодезичних мереж в проекції Гаусса- Крюгера// Інженерна геодезія. - 2000. - Вип. 42.- С. 61-65.

12. Карпінський Ю.О. Скінченний елемент астрономічного азимуту в проекції Гаусса - Крюгера// Інженерна геодезія. - 2000. - Вип. 43.- С.76-79.

13. Карпінський Ю.О., Лященко А.А. Сучасна інфраструктура просторових даних для геоінформаційного забезпечення містобудування// Інженерна геодезія. - 2000. - Вип. 44.- С.126-132.

14. Карпінський Ю.О., Лященко А.А. Орографічно-тріангуляційна цифрова модель рельєфу// Вісник геодезії та картографії. - 2000.- №3.- С.28-33.

15. Карпінський Ю.О. Алгебраїчне обґрунтування еквівалентності рівнянь методу скінченних елементів та методу найменших квадратів// Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва. - Львів: Ліга-Прес, 2001. - С.13-17.

16. Карпінський Ю.О., Грачов О.Г. Трансформування растрових моделей цифрових карт і планів// Вісник геодезії та картографії. - 2001.- №1.- С. 22-25.

17. Карпінський Ю.О., Лященко А.А. Формування національної інфраструктури просторових даних - пріоритетний напрям топографо-геодезичної та картографічної діяльності// Вісник геодезії та картографії. - 2001.- №3.- С.65-73.

18. Карпінський Ю.О. Скінченні елементи двовимірних геополів// Інженерна геодезія. - 2001. - Вип. 45.- С.86-90.

19. Карпінський Ю.О., Лященко А.А., Куриляк І.С. Системотехнічні аспекти формування регіональних кадастрів природних ресурсів// Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва - Львів: Ліга-Прес, 2002. - С.277-282.

20. Карпінський Ю.О. Скінчений елемент геодезичного азимуту в геодезичних координатах// Інженерна геодезія. - 2001. - Вип. 47.- С.51-54.

21. Карпінський Ю.О. Загальна схема вирівнювання геодезичних мереж методом скінченних елементів// Вісник геодезії та картографії. - 2002.- №1 (24).- С.20-25.

22. Карпінський Ю.О. Нелінійне вирівнювання геодезичних мереж методом скінченних елементів// Вісник геодезії та картографії. - 2002.- №2 (25).- С.22-25.

23. Карпінський Ю.О. Скінченні елементи виміряних напрямів та ліній в геодезичних координатах на еліпсоїді// Інженерна геодезія. - 2002. - Вип. 48.- С.99-105.

24. Карпінський Ю.О., Лященко А.А., Волчко Є.П. Стандартизація географічної інформації: міжнародний досвід та шляхи розвитку в Україні// Вісник геодезії та картографії. - 2002.- №3 (26).- С.32-38.

25. Карпінський Ю.О. Афінне трансформування координат методом скінченних елементів// Вісник геодезії та картографії. - 2002.- №4 (27).- С.32-38.

Праці у збірниках наукових доповідей симпозіумів та конференцій

26. Карпинский Ю.А. Автоматизированная система для обработки результатов инженерно-геодезических работ АРМИГ-ПК// Современные информационные технологии крупномасштабного картографирования на базе IВМ РС.- М.: ЦНИИГАИК, 1992. - Вып.1.- С.57-61.

27. Карпинский Ю.А. Комплексная обработка материалов результатов топографо-геодезических работ, выполняемых при инвентаризации земель// Проблеми створення державного земельного кадастру та інвентаризації земель в Україні: Тези доп. конф., 11-13 жовт. 1994.- Київ.: - Т-во “Знання” України. - С.29-30.

28. Лященко А.А., Карпинский Ю.А. Банк данных инвентаризируемых участков для рабочего места районного землеустроителя// Проблеми створення державного земельного кадастру та інвентаризації земель в Україні: Тези доп. конф., 11-13 жовт. 1994.- Київ.: - Т-во “Знання” України. - С.32-33.

29. Карпінський Ю.О. Система автоматизованої обробки результатів топографо-геодезичних робіт, що виконуються при інвентаризації земель - Інвент-Град// Впровадження сучасних технологій у містобудування: Матер. наук.-практ. конф., 17-19 жовт. 1995.- Київ.:- Т-во “Знання” України - С.44-46.

30. Карпінський Ю.О., Куриляк І.С., Комашня Є.А., Грициняк С.Г. Автоматизована обробка результатів топографо-геодезичних вимірювань, що виконуються при інвентаризації земель “Інвент-Град”// Тези доп. Третьої Всеукр. конф. з геоінформац. Технологій “Теорія, технологія впровадження ГІС”. ГІС - ФОРУМ. ГІС-Асоціація України. - Київ, 1997.- С.9-10.

31. Лященко А.А., Карпінський Ю.О. Архітектура та інструментарій відкритих ГІС// Тези доп. Третьої Всеукр. конф. з геоінформац. Технологій “Теорія, технологія впровадження ГІС”. ГІС - ФОРУМ. ГІС-Асоціація України. - Київ, 1997.- С.15-17.

32. Карпінський Ю.О., Лященко А.А. Системотехнічні аспекти розвитку регіональних і відомчих ГІС в Україні// Тези доп. Третьої Всеукр. конф. з геоінформац. технологій “Теорія, технологія впровадження ГІС”. ГІС - ФОРУМ. ГІС-Асоціація України. - Київ, 1997.- С.17-19.

33. Бондар А.Л., Карпінський Ю.О., Кучер О.В. Стан та перспективи розвитку державної геодезичної мережі України// Сучасні досягнення геодезії, геодинаміки та геодезичного виробництва. - Львів, 1999.- С.3-6.

34. Карпінський Ю.О., Староверов В.С., Генсецький М.І. Моделі інформаційної бази та етапи проектування// Кадастр, фотограмметрія, геоінформатика - сучасні технології і перспективи розвитку/ Матер. 2-ї Міжнар. наук.-практ. конф., 17-19 жовтня 2000.- Львів, Нац. ун-т “Львівська політехніка”.- С.22-23.

35. Карпінський Ю.О. Використання методу скінченних елементів в сучасних геоінформаційних системах// Кадастр, фотограмметрія, геоінформатика - сучасні технології і перспективи розвитку/ Матер. 2-ї Міжнар. наук.-практ. конф., 17-19 жовтня 2000.- Львів, Нац. ун-т “Львівська політехніка”.- С.39-42.

36. Карпінський Ю.О., Лященко А.А. Сучасний стан та проблеми топографо-геодезичного і картографічного забезпечення ведення земельного кадастру/ Матер. ГІС-ФОРУМУ-2000.- ГІС-Асоціація України. - С.28-33.

37. Карпінський Ю.О., Лященко А.А., Лепетюк Б.Д. Формування національної інфраструктури просторових даних - основа розвитку ГІС в Україні/ Матер. міжнар. наук.-практ. конф. “ГІС-ФОРУМ-2001”.- Київ.: ГІС-Асоціація України.- С.8-18.

38. Карпінський Ю.О., Лященко А.А. Шляхи становлення національної інфраструктури просторових даних та інтеграції України в світовий геоінформаційний простір// Уч. зап. Таврического нац. ун-та. Сер.: География, 2002.- Т. 15 (54).- №1.- С.3-11.

39. Карпінський Ю.О., Лященко А.А., Дьогтяр А.М. Визначення географічного центру України// Вісник геодезії та картографії.- 2002.- №1(24).- С.29-33.

40. Karpinskyy Y., Lyashchenko A., Lepetyuk B., Kulik V. State and Prospects of Development of Geoinformational Mapping in Ukraine/ Geographical Support of the NATO Forces in 21^st Century. - Dobruska, Czech Republic. - NATO & PfP MC&G Workshop 12-13 September 2001. - P. 19.

АНОТАЦІЯ

Карпінський Ю.О. Скінченноелементні моделі геодезичних вимірів.-Рукопис.

Дисертацією є рукопис на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.24.01 - Геодезія. - Київський національний університет будівництва та архітектури, Київ, 2003.

Запропоновано новий підхід до розробки уніфікованих високоточних математичних методів та моделей, який дає змогу на основі єдиного методологічного підходу об'єднати рішення задач вирівнювання геодезичних мереж, інтерполяції та апроксимації значень функцій геодезичних вимірювань. Цей підхід ґрунтується на регулярному застосуванні методу скінченних елементів у варіаційній постановці. Запропоновано одновимірні геодезичні скінченні елементи виміряних величин для забезпечення вирівнювання геодезичних мереж на площині та у просторі, в геодезичних координатах на еліпсоїді. Наведено двовимірні трикутні та тривимірні тетраедральні скінченні елементи. Показано їх використання для рішення задач трансформування координат з однієї системи координат в іншу, в тому числі з СК-42 в WGS-84 та для побудови цифрових моделей рельєфу. На основі застосування крокового способу диференціювання за параметром методу скінченних елементів розроблено нелінійне вирівнювання геодезичних мереж. На основі методу скінченних елементів розроблено та доведено до програмного продукту такі комплекси: Топо-ГРАД, Інвент-ГРАД, та Гео-ГРАД, призначених для обробки геодезичних мереж, топографічних знімань та інвентаризації земель.

Ключові слова: метод скінченних елементів, вирівнювання геодезичних мереж, топографічне знімання, цифрова модель рельєфу, трансформування координат.

АННОТАЦИЯ

Карпинский Ю.А. Конечноэлементные модели геодезических измерений. - Рукопись.

Диссертация является рукописью на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.24.01 - Геодезия. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2003.

Предложен новый подход к разработке унифицированных высокоточных математических методов и моделей, дающий возможность на основе единого методологического подхода объединить решение задач уравнивания геодезических сетей, интерполирования и аппроксимации функций геодезических измерений. Этот подход основывается на регулярном применении метода конечных элементов в вариационной постановке. Определен спектр геодезических задач для использования предложенных одно-, двух- и трехмерных конечноэлементных моделей.

Для проверки достоверности выведенных конечноэлементных моделей предложена специальная методика, которая включает применение трех методов: аналитического, установления аналогии с соответствующими конечными элементами строительных конструкций и практического расчета контрольных примеров.

Опираясь на вариационный подход, выведены одномерные модели линейных и угловых измерений геодезических сетей в прямоугольных координатах на плоскости, в пространстве, а, также в геодезических координатах на эллипсоиде, включая моноконечные элементы измеренных расстояний, направлений, дирекционных углов, геодезических азимутов и GPS-измерений, что обеспечивает уравнивание Государственной геодезической сети. Предложены поликонечные элементы геодезических измерений как совокупности измеренных расстояний, направлений, дирекционных углов и геодезических азимутов и разработана методика вывода моноконечных элементов геодезических измерений.

С учетом этого подхода разработаны континуальные двух- и трехмерные конечноэлементные модели геодезических полей, включая треугольный, четырехугольный и тетраэдральный элементы. Предложено формирование орографично-триангуляционной цифровой модели рельефа, которая позволяет построить функции определения высоты в произвольной точке местности в пределах области ее определения, корректную по точности и морфологии рельефа. Используя метод конечных элементов, построена орографично-триангуляционная цифровая модель рельефа размерностью около 13 миллионов точек для обеспечения анализа радиочастотной совместимости на территории Украины.

Отмечается, что с использованием высокоточных GPS-измерений в большинстве развитых стран формируются новые национальные референцные геодезические системы отсчета. Одним из компонентов внедрения новых систем отсчета является высокоточное определение параметров трансформирования координат. Впервые сформулированы требования негомогенности, непрерывности и независимости локального трансформирования координат из одной системы в другую. Разработана методика аффинного трансформирования координат с использованием треугольного конечного элемента для плоских геополей и тетраедрального конечного элемента для пространственных геополей. Доказывается, что в сравнении с другими методами это трансформирование обеспечивает более высокую точность, поскольку локализует искажение геополей, заданных разными по точности пунктами геодезических сетей.

Впервые с использованием шагового метода дифференцирования по параметру в методе конечных элементов разработана методика нелинейного уравнивания геодезических сетей, которая в отличие от существующих не требует высокой точности неизвестных параметров.

Разработаны методические основы программной реализации метода конечных элементов геодезических измерений. В нее заложены системотехнические принципы создания автоматизированных систем на базе концепции и стандартов открытых систем (Open System). Функциональная структура программной реализации вычислительной среды состоит из расширяемой библиотеки конечных элементов геодезических измерений и процессора, предназначенного для составления и решения систем уравнений большой размерности. На основе предложенных автором конечноэлементных моделей геодезических измерений разработано и доведено до стадии программного продукта семейство комплексов: Топо-ГРАД (для обработки геодезических сетей и крупномасштабных топографических съемок), Инвент-ГРАД (для обработки кадастровых съемок, выполняемых при инвентаризации земель), и Гео-ГРАД (для обработки Государственных геодезических сетей).

Ключевые слова: метод конечных элементов, уравнивание геодезических сетей, топографическая съемка, цифровая модель рельефа, трансформирование координат.

ANNOTATION

Karpinskyy Y.O. The Finite Element Models of the Geodetic Measurements. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by specialty 05.24.01-geodesy. - The Kyiv National University of Construction and Architecture, Kyiv, 2003.

The new approach to development of the unified precision methods and models is offered, suitable on the basis of the uniform methodological approach to unit the decision of problems of adjustment of geodetic networks, interpolation and approximations of values of functions of geodetic measurements.

This approach is based on regular application of The Finite Elements Method. One-dimensional geodetic finite elements of the measured directions, distances, geodetic azimuths and GPS- measurements of adjustment of geodetic networks in Cartesian coordinates on a plane and in space and in geodetic coordinates are offered. Two-dimensional triangular and three-dimensional tetrahedral finite elements are resulted. Their use for the decision of tasks of precision transformation of coordinates from one system in another is shown, switching from СК-42 in WGS-84 and for construction of digital elevation model of terrain.

Application of a step-by-step way of differentiation on parameter of a method of finite elements for development of nonlinear adjustment geodetic networks is offered. On the basis of application of The Finite Elements Method it is developed and finished with software product complexes: The Topo-GRAD, Invent-GRAD and Geo-GRAD are the software of processing of geodetic networks, topographical large-scale surveying and cadastral surveying.

Key words: The Finite Elements Method, adjustment of geodetic networks, topographical surveying, digital elevation model, transformation of coordinates.

Размещено на Allbest.ru