Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теория упругости (упругий режим пласта и его характерные особенности)

Динамические эффекты в различных средах в связи со своей теоретической и практической значимостью для различных областей деятельности человека стали на сегодняшний день одним из основных объектов изучения. Их исследование способствует решению многочисленных задач сейсмологии, физики Земли, машиностроения и техники в целом.

В данной работе описаны постановки смешанных задач теории упругости.

В практике разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений в пластах часто возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском или остановкой скважины, с изменением темпов отбора флюида из скважины. Характер этих процессов проявляется в перераспределении пластового давления, в изменениях во времени скоростей фильтрационных потоков, дебитов скважин и т.д. Особенности этих процессов зависят от упругих свойств пластов и насыщающих их жидкостей, т.е. основным видом пластовой энергии в этих процессах является энергия упругой деформации жидкостей (нефти и воды) и материала пласта (горной породы). При этом предполагается, что фильтрационный поток однофазный, т.е. давление в любой точке потока выше давления насыщения.

При снижении пластового давления объем сжатой жидкости увеличивается, а объем порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта. Все это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину. Хотя коэффициенты объемной упругой деформации жидкости и горной породы малы, но зато очень велики бывают объемы пласта и насыщающих их жидкостей, поэтому объемы жидкости, извлекаемой из пласта за счет упругости пласта и жидкости, могут быть весьма значительными.

Характерная особенность проявления упругого режима в процессе разработки нефтяных месторождений - длительность процесса перераспределения пластового давления после начала работы скважины или изменения темпа отбора жидкости из скважины. Это связано с тем, что при фильтрации вязкой жидкости в пласте возникают очень большие силы сопротивления. Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта К, и тем медленнее, чем больше коэффициент вязкости жидкости и коэффициенты объемной упругости жидкости _Ж и пласта (среды) _С.

Теория упругого режима была начата работами Стрижова И.Н., М. Маскета, Р. Шилсюиза, У. Херста. Однако наиболее строго основы теории упругого режима были разработаны в нашей стране В.Н Щелкачевым. Им были впервые учтены влияние объемной упругости пористой среды и впервые решены фундаментальные задачи теории упругого режима для практических целей разработки нефтяных месторождений.

1.1 Задачи теории упругости

Колебания упругой среды (в перемещениях) описываются уравнениями Ляме:

, (1.1)

где л, м - константы Ляме, положительность которых обеспечивает обратимость закона Гука, с - плотность среды.

(x₁, x₂, x₃, t)=(u(x₁, x₂, x₃, t), v(x₁, x₂, x₃, t), w(x₁, x₂, x₃, t))^T

- вектор перемещений.

Рассматриваемая упругая среда может быть пространством, полупространством (в том числе стратифицированным), слоем или пакетом слоев.

Механическое состояние упругого тела, занимающего в начальном состоянии известный объем V с ограничивающей поверхностью S, характеризуется компонентами тензора деформации е_ij и тензора напряжений у_ij. Перемещения в точках тела, под действием заданной системы поверхностных и объемных сил, описываются вектором перемещений и представляют собой непрерывные и однозначные функции координат и времени. Механическое состояние упругого тела характеризуется также вектором напряжений ф, возникающих в упругом теле на некоторой элементарной площадке с нормалью . Вектор ф выражается через компоненты тензора напряжений

.

Вектор напряжений ф можно выразить через перемещения:

=T,

где Т - линейный дифференциальный оператор напряжений. В изотропном случае:

.

В случае установившихся колебаний зависимость всех характеристик задачи от времени t описывается множителем , а уравнения линейной упругости, описывающие установившийся закон колебаний, имеют вид:

, (1.2)

Для постановки задач теории упругости должны быть заданы, индивидуальные для конкретных задач, граничные условия, а в случае динамических задач - еще и начальные условия.

Интегральное представление решения задачи строится на основе интегральных соотношений между напряжениями и перемещениями, существующих для упругих сред. При этом используется формула Бетти в виде:

(1.3)

.

В этом соотношении вектор-функции u, v-произвольные дважды непрерывно дифференцируемые. Область может быть неограниченной с гладкой границей.

Вводится система следующих векторов:

(1.4)

.

Эти векторы формируют матрицу:

(1.5)

В соотношении (1.2) вместо произвольного вектора u вносится решение дифференциального уравнения:

, (1.6)

а вместо вектора v - матрицу V. Тогда соотношение (1.2) порождает не скалярное, а векторное выражение.

Выражение имеет вид:

(1.7)

Матрицу справа обозначим как В, тогда векторы - формируемые строками этой матрицы. Можно записать:

(1.8)

Вычисляются векторы . В результате вычислений будут получены формулы:

(1.9)

здесь для m=1, 2, 3 берется соответственно по порядку n=2, p=3; n=1, p=3; n=1, p=2;

.

Внося в эти соотношения вместо u значения векторов , получаем:

(1.10)

Вектор напряжений, действующих на границе S, будем обозначать

(1.11)

где T_k - проекции вектора напряжений на направления осей x_k соответственно.

Вычисляя вектор Tu на границе S с учетом (1.9) и соотношения:

получаем выражение для вектора Tu:

Tu=T₀ (1.12)

Внося соотношения (1.9), (1.10), (1.12), в (1.2) для каждого вектора, и вектора решения уравнения (1.2) приходим к соотношению:

, (1.13)

где I-единичная матрица третьего порядка.

Если разрешить соотношения (1.13) относительно тройного интеграла в левой части, то получим преобразование Фурье искомого решения краевой задачи для дифференциального уравнения (1.6). Оно будет зависеть как от значения вектора перемещений на границе области, так и от вектора напряжений. Так как в любой области на границе S может быть задан согласно постановке задачи теории упругости лишь один из этих векторов, то между компонентами вектора перемещений и напряжений на границе должны существовать определенные зависимости.

1.2 Вывод интегральных уравнений для полупространства

Для вывода интегральных уравнений для полупространства с выпуклой границей рассмотрим следующую матрицу:

. (1.14)

Ее определитель D после вычислений принимает вид:

(1.15)

Вычисляем обратную к (1.14) матрицу:

(1.16)

В дальнейшем элементы матрицы (1.16) будут обозначаться c_km.

Таким образом, имеем:

(1.17)

.

Теперь подействуем слева на соотношение (1.13) матрицей (1.16), после вычисления найдем:

(1.18)

p=1,2,3. Для вывода интегральных уравнений, связывающих на границе перемещения u_m и напряжения T_k нужно изучить аналитические свойства функции .

Учитывая геометрию тела, заключаем, что она должна быть аналитически продолжаемой по параметру ₃ в верхнюю полуплоскость. Это вытекает из свойства области, описываемой неравенством .

Для выяснения условия, обеспечивающего аналитическую продолжимость решения, изучим распределение особенностей в представлении функции U_p. Все особенности этих функций описываются уравнением:

(1.19)

Находим корни этого уравнения:

(1.20)

.

Таким образом, особенности функций описываются корневыми множествами функций трех комплексных переменных вида:

(1.21)

Эти корневые множества представляются аналитическими подмногообразиями в C³ комплексной размерности, равной двум. Разрешая уравнение относительно ₃, получаем представление корневых множеств вида:

Здесь у радикала выбраны такие ветви, что

при (1.22)

В этом случае при

имеем

(1.23)

Поскольку область содержит положительную полуось, то функции U_p не должны иметь особенностей по параметру ₃ в верхней полуплоскости, т.е. должны быть аналитически продолжимыми в область . Следовательно, правая часть в выражении (1.18) должна быть ограниченной при и .

Для построения вытекающих из этого условия соотношений положим в (1.18):

(1.24)

Тогда для ограниченности U_p достаточно потребовать обращения в нуль при и выражений (1.18), в которых вместо взято .

Выполнив эти подстановки, приходим к выражениям вида:

(1.25)

(1.26)

Здесь l_k - функция параметров. Соотношения (1.25), (1.26) являются своеобразной формой записи интегральных уравнений, связывающих заданные на границе S тела напряжения T_k и перемещения u_m.

Так, если рассматривается краевая задача теории упругости I рода, т.е. при заданных на границе S напряжениях, то правые части соотношений (1.25), (1.26) - известные выражения. И из уравнений необходимо найти перемещения u_m, стоящие в левых частях.

Если же рассматривается краевая задача теории упругости II рода, т.е. при заданных на границе S. перемещениях, то, наоборот, левые части соотношений (1.25), (1.26) известны, а определению подлежат стоящие в правых частях функции Т_k.

В случае смешанной задачи теории упругости, когда на одном множестве S¹ поверхности S заданы напряжения Т_k, а на другом S² -перемещения и_m, соотношения (1.25), (1.26) представляют собой систему интегральных уравнений, неизвестные которых расположены и в левой, и в правой частях в зависимости от того, по какому множеству осуществляется интегрирование. Важно, что на одном и том же множестве не могут быть одновременно либо только неизвестные и справа и слева, либо только известные функции. теория упругость месторождение полупространство

Допустим, что удалось решить интегральные уравнения (1.25), (1.26) для перечисленных выше краевых задач теории упругости. Тогда известными функциями на всей поверхности S оказываются как перемещения и_m, так и напряжения T_k.. Внесем их в (1.18).

Геометрия задачи (полупространство) позволяет применить преобразование Фурье. Вообще преобразования Фурье при решении краевых задач теории упругости наиболее эффективно в тех случаях, когда упругое тело занимает объем, содержащий бесконечно удаленные точки, и все границы тела параллельны тем координатным осям, по которым берется преобразование. Свойства тела вдоль этих направлений также должны быть постоянными, но могут меняться в перпендикулярных направлениях. Преобразование Фурье не применимо по тем координатам, вдоль которых свойства среды непрерывно меняются.

В результате выражение для u_p(x₁,x₂,x₃) после применения формул обращения Фурье можно представить в виде:

(1.27)

Интеграл по параметру ₃. вычисляется по теории вычетов.

Из соотношения (1.11), (1.12) видно, что решение содержит волны

уходящие от поверхности S на бесконечность.

1.3 Полупространство с плоской границей

Рассмотрим частный случай исследуемой задачи, когда поверхность вырождается в плоскость, совпадающую с координатной плоскостью x₃=0. В этом случае внешняя нормаль к поверхности остается неизменной в любой точке и имеет компоненты

(1.28)

Кроме того, надо принять ₃=0 на S, а также равенства:

(1.29)

Внесем значения указанных параметров в интегральные уравнения (1.11), (1.12). Тогда в подынтегральных выражениях члены

оказываются постоянными, не зависящими от параметров и их можно вынести за знак интегралов. Введем следующие обозначения:

(1.30)

Интегральные уравнения (1.11), (1.12) можно переписать в виде:

(1.31)

.

Эти соотношения полностью совпадают с уравнениями, получающимися при удовлетворении граничных условий в краевой задаче об установившихся колебаниях упругого полупространства. Если на границе задается вектор напряжений Т_о, то для получения перемещений на границе левые части соотношения (1.31) необходимо разрешить относительно компонент вектора U⁰.

В матричном виде систему (1.31) можно представить в форме

(1.32)

2. Постановка задачи для пространства с внутренними плоскими включениями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Упругая изотропная среда содержит систему произвольного количества - N плоских включений, расположенных параллельно на высотах h₁,…,h_N соответственно (h₁ <…< h_N). Включения занимают области ?_l с границами S_l, внешние нормали к границам , l=1,…,N.

Колебания упругой среды описываются уравнениями Ляме (1.1). Вектор перемещения точек среды в данном случае (x₁, x₂, x₃, t).

Дополнительные условия, налагаемые на рассматриваемые характеристики на границах заданных областей, приводят к краевым задачам. Упругая среда может быть пространством, полупространством или слоем. При этом на верхней границе могут быть заданы компоненты вектора перемещений или вектора напряжений .

Для установившихся колебаний:

(x₁, x₂, x₃, t) = (u₁, u₂, u₃)е^-iщt,

уравнение Ляме (1.1) относительно комплексной амплитуды u примет вид:

. (2.2)

Для массива включений, на берегах неоднородностей заданы перемещения:

(2.3)

При этом напряжения среды в области включений терпят разрыв:

(2.4)

В покомпонентной записи уравнение (1.1) имеет вид:

(2.5)

Для упругого пространства, содержащего плоские неоднородности, в качестве граничных условий берутся перемещения берегов включений:

, l = 1,…, N (2.6)

и условия убывания на бесконечности

, (2.7)

дополненные условиями излучения.

В качестве условий излучения выбраны следующие принципы.

1. Принцип Зоммерфельда: в решении удерживаются составляющие, описывающие волны, уходящие от источника в бесконечность, и отбрасываются те, скорость которых направлена к источнику.

2. Принцип предельного поглощения: в качестве решения задачи для идеально упругой среды берется равномерный по всем параметрам предел решения соответствующей задачи для вязкоупругой среды (среды с поглощением) при стремлении вязкости к нулю.

В данной работе исследовалась упругая задача для сред с включениями, напряженно-деформированное состояние которых определялось решением систем уравнений как относительно перемещений, так и относительно напряжений.

Размещено на Allbest.ru

...