Анализ нелинейных законов фильтрации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

При очень малых перепадах течение жидкостей в пластах, как отмечалось ранее, не подчиняется закону Дарси и поведение жидкости аномально. Данная аномальность связана с физико-химическим взаимодействием фильтрующихся жидкостей с материалом пористой среды, а сами жидкости при этом получили название неньютоновские.

Кроме этого, наличие нелинейной связи тензора скоростей деформации с тензором напряжения может проявляться и в ряде других случаев. Так повышенное содержание в нефтях высокомолекулярных компонентов (смол, асфальтенов, парафина) приводит к проявлению неньютоновских свойств флюидов при их фильтрации, т.е. появлению предельного напряжения сдвига.

Развитие методов воздействия на природные залежи с целью увеличения нефте- и газоконденсатоотдачи приводит к значительному расширению ассортимента веществ, закачиваемых в продуктивные пласты. Многие из этих веществ (высокомолекулярные соединения, полимеры) не обладают свойствами ньютоновских жидкостей. Поэтому рассмотрение особенностей фильтрации неньютоновских систем приобретает самостоятельное значение.

Для простоты будем рассматривать нелинейные законы фильтрации, описывающие только безинерционные движения при условии, что фильтрующиеся жидкости обладают неньютоновскими свойствами.



1. Основы фильтрации неньютоновских жидкостей

1.1 Реологические модели фильтрующихся жидкостей и нелинейные законы фильтрации

Течение ньютоновской жидкости описывается законом Ньютона:

,

где µ -динамический коэффициент, ф- касательное напряжение;

du/dy - градиент скорости в направлении перпендикулярном направлению течения х. Зависимость между t и du/dy является в этом случае прямой линией, проходящей через начало координат (рис. 1.1, кривая 2).

Жидкости, не подчиняющиеся закону трения (1.1), называются аномальными или неньютоновскими. Неньютоновские жидкости можно разбить на три класса.

1. Стационарно реологические жидкости - касательное напряжение зависит только от градиента скорости:

.

Рис. 1.1. Зависимость касательного напряжения ф от градиента скорости:

жидкость: 1 - дилатантная; 2 - неньютоновская; 3 - псевдопластичная; 4 - вязкопластичная

В соответствии с (1.5) скорость фильтрации u отлична от нуля только в тех областях, где |gradp|>g (рис. 1.2, кривая 1). Модель фильтрации с предельным градиентом следует рассматривать как некоторую идеализацию реальных течений аномальных нефтей в пластовых условиях, для которых реологическая кривая имеет вид кривой 2 на рис. 1.2. Для сравнения на рис. 1.2 показан закон Дарси (кривая 3).

В основе проявления неньютоновских свойств пластовых систем лежат различные физические механизмы, но все неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т. е. с малой проницаемостью. Это определяет особенности неньютоновской фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями наибольшего проявления неньютоновских эффектов.

Так в пластах со слоистой неоднородностью предельные градиенты различны для разных пропластков - чем больше проницаемость, тем меньше предельный градиент g, и наоборот. В связи с этим, пропластки будут последовательно включаться в работу по мере превышения градиента давления предельного градиента сдвига.

Наряду с рассмотренным законом фильтрации, описывающим течение вязкопластичной жидкости в пористой среде, рассматривают степенной закон фильтрации:

,

где С -- экспериментальная константа; n>0.

Степенной закон, соответствующий псевдопластичному флюиду (1.4), хорошо описывает движение растворов полимеров в пористой среде и используется при расчете “полимерного” заводнения пластов с целью повышения их нефтеотдачи.

1.2 Одномерные задачи фильтрации вязкопластичной жидкости

Движение аномальных нефтей в пластах по закону приводит к существенным особенностям разработки этих пластов, не встречающимся в случае фильтрации по закону Дарси.

Установившееся течение вязкопластичной жидкости. Рассмотрим плоскорадиальный приток к скважине при условии выполнения соотношения:

(u>0);

, (u=0).

Решая (1.9) относительно скорости и переходя к дебиту, получим формулу притока, обобщающую формулу Дюпюи:

, если .

u=0,если dp/drЈg.

Считая давления на забое скважины и на границе пласта постоянными (р(rc)=рc; р(Rк)=рк ), после интегрирования находим:



,

Рис. 1.3 Индикаторные линии при плоскорадиальном течении вязкоплоастичной жидкости:

а - однослойный пласт; b - трёхслойный пласт

Формулы, представляют, соответственно, распределение давления в пласте и дебит скважины. Из формулы видно, что часть разности давлений в виде линейного слагаемого с угловым коэффициентом g теряется на преодоление предельного градиента сдвига. При Q®0, как следует из давление не постоянно (как в случае фильтрации по закону Дарси), а изменяется по линейному закону. При тех же условиях наличие предельного градиента давления в пласте ведет к уменьшению дебита скважины по сравнению с фильтрацией по закону Дарси (формула Дюпюи), а индикаторная линия скважины Q(Dрс) - прямолинейная, но не проходит через начало координат, а отсекает на оси депрессий отрезок, равный gRк (рис.1.3а).

В случае слоистого пласта с гидродинамически изолированными пропластками, т. е. при отсутствии перетоков между слоями с разными проницаемостями, для дебита в каждом пропластке справедлива формула, но своими значениями толщин, проницаемости и начального градиента. Индикаторная линия в этом случае представляется ломаной (рис. 1.3b).

Дифференциальные уравнения для определения давления при упругом режиме работы пласта можно получить, дополняя закон фильтрации с предельным градиентом уравнениями неразрывности и состояния флюида. Описанным в разделе 5 подходе получим следующее уравнение пьезопроводности:

,

где k -- коэффициент пьезопроводности.

Уравнение служит основой для построения нелинейной теории упругого режима вязкоупругой жидкости. Вместе с тем следует иметь в виду, что при решении нестационарных задач на основе модели фильтрации с предельным градиентом в пласте образуется переменная область фильтрации, на границе которой (пока она не достигнет границы пласта) модуль градиента давления должен равняться предельному градиенту g, а давление - начальному пластовому.

Если рассмотреть задачу о пуске скважины с постоянным дебитом при фильтрации вязкопластичной жидкости с предельным градиентом, то получим из решения уравнения следующую зависимость забойного давления от времени:

В данной формуле логарифмический член играет основную роль при малом времени, когда преобладают упругие силы. При больших значениях времени закон движения границы возмущенной области подчиняется степенному закону. Таким образом, при некоторых значениях параметров оказывается, что основное значение имеет степенной член, так что закон падения давления на забое скважины изменяется с логарифмического на степенной. Следовательно, при больших временах вид кривых изменения забойного давления рс(t) при фильтрации с предельным градиентом существенно изменяется по сравнению с фильтрацией упругой жидкости, что позволяет обнаружить в пластовых условиях проявление предельного градиента давления.



2. Приток к несовершенным скважинам

2.1 Виды несовершенств скважин. Приведённый радиус.Добавочное фильтрационное сопротивление

Гидродинамическое несовершенство скважины проявляется в том, что в призабойной зоне пласта с конечной мощностью отсутствует радиальность потока по причине, обусловленной конструкцией забоя или фильтра.

Различают два вида несовершенства скважин - несовершенство по степени вскрытия и несовершенство по характеру вскрытия.

Несовершенная скважина по степени вскрытия - это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а частично (рис.4.18а).

Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта (рис. 4.18b).

На практике чаще всего встречаются скважины несовершенны как по степени, так и по характеру вскрытия пласта.

Дебит G несовершенной скважины чаще всего меньше дебита Gс совершенной, действующей в тех же условиях, что и данная несовершенная скважина. В некоторых случаях (при торпедной или кумулятивной перфорации, когда глубина прострела достаточно велика) может наблюдаться обратная картина. Отношение данных дебитов характеризует степень несовершенства скважины и называется коэффициентом несовершенства. реологический нелинейный фильтрация скважина

Коэффициент несовершенства зависит от :

· от относительного вскрытия пласта

,

где hвс - глубина погружения скважины в пласт , h - толщина пласта;

от числа отверстий, приходящихся на 1м колонны, размеров и формы отверстий;

· от глубины прострела.

При расчете несовершенных скважин нередко используют понятие приведенного радиуса несовершенной скважины

Это - радиус такой совершенной скважины, дебит которой равняется дебиту данной несовершенной скважины при тех же условиях эксплуатации. Таким образом, вначале находятся приведённые радиусы rпр и дальнейший расчет несовершенных скважин ведется, как для совершенных скважин радиуса rпр.

Итак, дебит несовершенной скважины можно определить, если известен коэффициент несовершенства или приведённый радиус rпр , а также известна соответствующая формула дебита совершенной скважины. Влияние несовершенства скважины на приток при существовании закона фильтрации Дарси можно учесть величиной коэффициента С, основываясь на электрической аналогии. Согласно данной аналогии различие в дебитах совершенной Gc и несовершенной G скважин объясняется наличием добавочного фильтрационного сопротивления несовершенной скважины величиной С/2h, т.е. дебит несовершенной скважины можно представить в виде

Учитывая (2.4), получим зависимость между коэффициентом и и величиной С:

Влияние различного вида несовершенства скважины на приток изучалось как теоретически, так и экспериментально. Рассмотрим результаты данных исследований.

2.2 Экспериментальные и теоретические исследования притока жидкости к гидродинамически несовершенной скважине

2.2.1 Течение по закону Дарси

Несовершенная скважина по степени вскрытия изучалась В.И. Щуровым путём электролитического моделирования, который построил опытные диаграммы зависимости С от параметра a=h/D ( h - мощность пласта, D- диаметр скважины) и относительного вскрытия пласта h=hвс/h ( hвс - толщина вскрытия ). Таким же методом исследовалась несовершенная по характеру вскрытия скважина Щуровым и независимо от него И.М. Доуэллом и Маскетом, а также Р.А. Ховардом и М.С. Ватсоном. В результате получены зависимости коэффициента несовершенства от плотности перфорации (числа отверстий на 1 метр) и глубины прострела, которые показали значительную зависимость дебита от плотности перфорации только до значений 16-20 отверстий на 1 метр. Для случая фильтрации газа Е.М. Минским и П.П. Марковым доказана сильная нелинейная зависимость коэффициентов фильтрации от относительного вскрытия пласта.

Для несовершенной по степени вскрытия на основе метода суперпозиции и отображения стоков Маскетом получена зависимость для дебита

где f - функция относительного вскрытия, имеет вид (рис.4.19) и определяется выражением

где Г - затабулированная гамма - функция или интеграл Эйлера второго рода.

Анализ приведённой зависимости показывает значительное превышение фактического дебита над величиной дебита для радиального потока с уменьшением относительного вскрытия пласта.

Если глубина вскрытия не слишком мала, то формула Маскета даёт хорошие результаты, а так как она проще остальных формул, то ею обычно и пользуются для скважин, несовершенных по степени вскрытия, но совершенных по характеру вскрытия.

Если толщина пласта много больше радиуса скважины, то для расчета дебитов несовершенной по степени вскрытия скважины можно пользоваться более простой формулой Н.К. Гиринского

Из зависимости видно, что коэффициент несовершенства по степени вскрытия С можно выразить зависимостью

и он добавляется к фильтрационному сопротивлению совершенной скважины

Если скважины ещё и несовершенны по характеру вскрытия, то коэффициент С увеличивается на величину сопротивления фильтра

где D - диаметр фильтрового отверстия в см; n - число отверстий на 1м перфорированной части.

2.2.2 Течение реального газа по двухчленному закону

В большинстве случаев дебит газовых скважин не следует закону Дарси, так же как в некоторых случаях и для нефтяных и водяных скважин.

Вблизи фильтрационных отверстий при приближении к стенке скважины скорость фильтрации становится настолько большой, что число Рейнольдса превосходит критическое. Квадраты скоростей становятся настолько большими, что ими пренебрегать уже нельзя.

Уравнение притока реального газа по двухчленному закону фильтрации к совершенной скважине записывается в виде, аналогично идеальному,

но здесь А и В являются функциями р и Т

Приток к несовершенной скважине учитывается так же как и при фильтрации по закону Дарси, т.е. введением приведённого радиуса скважины в формулу дебита.

При нарушении закона Дарси для скважины несовершенной по степени и характеру вскрытия для расчета притока проще всего использовать следующую схему. Круговой пласт делится на три области. Первая имеет радиус R1(2-3)rc. Здесь из-за больших скоростей вблизи перфорации происходит нарушение закона Дарси и проявляется в основном несовершенство по характеру вскрытия. Вторая область - кольцевая с R1< r< R2 и R2h. Здесь линии тока искривляются из-за несовершенства по степени вскрытия, и фильтрация происходит тоже по двухчленному закону. В третьей области (R2< r< Rк) действует закон Дарси и течение плоскорадиально.

Для третьей области

Во второй области толщина пласта переменна и изменяется по линейному закону от hвс при r=R1 до h при r=R2 (hвс - глубина вскрытия), т.е. h(r)=r, где и определяются из условий h(r)= hвс при r=R1 ; h(r)= h при r=R2. Чтобы получить закон движения в этой области, надо проинтегрировать уравнение (2.11) предварительно подставив вместо постоянной толщины h переменную h(r) и учтя реальные свойства газа



Где

С2 - вычисляется приближенно в области hвс>> R1.

В первой области фильтрация происходит по двухчленному закону и плоско-радиальное течение нарушается из-за перфорационных отверстий. Уравнение притока имеет вид (2.14), но несовершенство учитывается коэффициентами С3 и С4, а R2 заменяется на R1 и R1 -- на rc.

Коэффициент С3 определяется по графикам Щурова, а для С4 предлагается приближенная формула

,

где N- суммарное число отверстий; R0- глубина проникновения перфорационной пули в пласт.

Складывая почленно (2.13), (2.14) и уравнение притока для первой области получим уравнение притока для несовершенной скважины

Где

.

2.3 Интерференция скважин

В случае интерференции скважин несовершенных по степени вскрытия в условиях течения по закону Дарси вначале определяется дебит совершенных скважин радиусами rс по формулам теории интерференции для притока к стокам и источникам на плоскости, а затем фильтрационное сопротивление каждой скважины увеличивается на величину коэффициентов несовершенства Сi (i=1,...,4). Если определены коэффициенты фильтрационных сопротивлений Ан иВн , указанным выше аналитическим оценочным методом или прямым испытанием скважины путем пробных откачек при установившемся режиме, можно использовать метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений для исследования интерференции несовершенных скважин, в том числе при двухчленном законе фильтрации. Для этого двухчленный закон надо представить в виде

где можно рассматривать как нелинейное сопротивление, добавляемое к внутреннему сопротивлению , определяемому конечным расстоянием между скважинами в батарее.

Например, в схеме фильтрационных сопротивлений для условий линейного закона фильтрации, внутренние сопротивления следует заменить суммой , где для каждой скважины. Дальнейший расчет ведется, как и ранее, при помощи законов Ома и Кирхгофа, но система уравнений получается уже не линейной, а содержащей квадратные уравнения, что приводит к усложнению вычислений.

Практическая часть

Целесообразно выделить следующие три вида гидродинамического несовершенства скважин (рис.3.1):

1. по степени вскрытия пласта, когда скважина вскрывает продуктивный пласт не на всю толщину;

2. по характеру вскрытия пласта, когда связь пласта со скважиной осуществляется не через открытую боковую поверхность скважины, а только через перфорационные отверстия в обсадной колонне;

3. по качеству вскрытия пласта, когда проницаемость пористой среды в призабойной зоне снижена по отношению к естественной проницаемости пласта.

Рис. 3.1. Схематичное изображение гидродинамически совершенной и гидродинамически несовершенных скважин:

а) совершенная скважина;

б) несовершенная скважина по степени вскрытия пласта;

в) несовершенная скважина по характеру вскрытия пласта;

г) несовершенная скважина по качеству вскрытия пласта

(kу - проницаемость призабойной зоны пласта,

k - проницаемость удаленной зоны пласта)

Формула притока в реальную скважину (фактический приток), пробуренную на нефтяной пласт и имеющую все перечисленные виды гидродинамического несовершенства, может быть записана в следующем виде:

,

где с1 - безразмерный коэффициент, учитывающий дополнительные фильтрационные сопротивления из-за несовершенства скважины по степени вскрытия продуктивного пласта;

с2 - безразмерный коэффициент, учитывающий дополнительные фильтрационные сопротивления из-за несовершенства скважины по характеру вскрытия продуктивного пласта (перфорация);

sб - безразмерный коэффициент, учитывающий дополнительные фильтрационные сопротивления из-за несовершенства скважины по качеству вскрытия продуктивного пласта бурением (скин-эффект из-за ухудшения проницаемости породы при первичном вскрытии пласта бурением);

sц - безразмерный коэффициент, учитывающий дополнительные фильтрационные сопротивления из-за несовершенства скважины по качеству цементирования (скин-эффект из-за ухудшения проницаемости породы при цементировании обсадной колонны);

sп - безразмерный коэффициент, учитывающий дополнительные фильтрационные сопротивления из-за несовершенства скважины по качеству вскрытия продуктивного пласта перфорацией (скин-эффект из-за ухудшения проницаемости породы при перфорации скважины).

Основные и дополнительные фильтрационные сопротивления в зоне дренирования соответственно равны



Расчет притока жидкости или газа к системе взаимодействующих несовершенных скважин

Для расчетов притока жидкости или газа к системе взаимодействующих несовершенных скважин имеет важное значение понятие приведенного радиуса. Приведенным радиусом называется радиус такой фиктивной совершенной скважины, величина притока в которую при прочих одинаковых условиях равна величине притока в реальную гидродинамически несовершенную скважину. На основании данного определения формулу можно записать в виде:

Из последнего равенства легко получается выражение для приведенного радиуса:

Подстановка в формулы притока приведенного радиуса вместо действительного радиуса скважины обеспечивает замену одной реальной или системы реальных скважин их гидродинамическими эквивалентами - совершенными скважинами с фиктивными (приведенными) радиусами. Такой прием значительно упрощает гидродинамические расчеты, поскольку вместо сложных расчетно-аналитических зависимостей, описывающих приток в реальные гидродинамически несовершенные скважины, становится возможным применять простые формулы Дюпюи для гидродинамически совершенных скважин.

Степень гидродинамической связи пласта и скважины характеризуется коэффициентом гидродинамического совершенства, под которым понимают отношение фактического дебита (притока) скважины к дебиту (притоку) этой же скважины, если бы она была гидродинамически совершенной (т.е. если бы скважина, при прочих одинаковых условиях, имела открытый забой полностью вскрытого бурением пласта и естественную проницаемость пористой среды в призабойной зоне). Из этого определения и с учетом формул (3.1), (3.2) и (3.3) следует, что

Коэффициент гидродинамического совершенства является одной из важнейших гидродинамических характеристик скважины, и подлежит обязательному определению для каждой скважины наравне с коэффициентом продуктивности.

Строение пористой среды вокруг скважины и состояние ее забоя в реальном случае может иметь значительно более сложную картину, чем было рассмотрено выше. Соответственно столь сложной будет и гидродинамическая картина притока в реальную гидродинамически несовершенную скважину.



Список литературы

1. К.С.Басниев, И.Н.Кочина, В.М.Максимов «Подземная гидромеханика», Москва «Недра» 1993 г.

2. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. // М. Изд.-во. Нефтяной и горно-топливной лит-ры.- 396с.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. // М. Недра, 1984.- 211с.

Размещено на Allbest.ru

...