Размещено на http://www.allbest.ru/

Основи кінематики і динаміки рідини

1. Основні поняття і визначення

Кінематика і динаміка рідини /гідродинаміка/ суттєво відрізняється від кінематики і динаміки твердого тіла. Якщо окремі частини абсолютно твердого тіла жорстко з'єднані між собою, то в рухомій рідині такі зв'язки відсутні: рідке середовище складається з безлічі частинок, які рухаються одна відносно другої. Тому в основу вивчення законів гідродинаміки покладена так звана струминкова модель, що базується на наступних поняттях. турбулентний кінематика геометричний

Траєкторія - лінія, вздовж якої рухається деяка частинка рідини.

Лінія течії -це крива, що проходить через такі частинки, швидкості яких в даний час напрямлені по дотичним до цієї лінії (рис 1).

Рис.1

Трубкою течії називають трубчасту поверхню, яка утворена лініями течії, що проходять через всі точки нескінченно малого замкнутого контуру. (рис.2).



Рис.2

Частина рідини, що рухається всередині трубки течії, називається елементарною струминкою.

Властивості елементарної струминки при усталеному русі рідини.

1. Так як лінії течії при усталеному русі не змінюють своєї форми з часом, то, і струминка буде незмінною в часі.

2. Оскільки бокова поверхня струминки утворена лініями течії, то проникання рідини через цю поверхню неможливо.

3. Внаслідок малості площини поперечного перерізу елементарної струминки швидкість u і тиск р для всіх точок даного перерізу можна вважати однаковими.

Потоком рідини називають сукупність елементарних струминок.

Русло потоку - поверхня, яка обмежує потік по всій його довжині.

Потоки, що мають вільну поверхню, називають безнапірними потоки, які обмежені з усіх боків твердими стінками, називають напірними.

Живим перерізом (або перерізом) потоку називається в загальному випадку поверхня в межах потоку, перпендикулярна до всіх елементарних струминок.

Довжина лінії , по якій рідина в живому перерізі стикається з твердими стінками русла, називається змоченим периметром і позначається ч.

Відношення площі живого перерізу щ до довжини змоченого периметра називають гідравлічним радіусом RГ (рис.3):

	(1)

Витратою називають кількість рідини, що протікає через даний живий переріз за одиницю часу. Цю кількість вимірюють в одиницях об'єму - чи в одиницях маси - масова витрата . Зв'язок між ними дає співвідношення

	(2)

Для елементарної струминки з рівномірним розподілом швидкостей u по живому перерізу об'ємна витрата

	(3)

Рис.3

Об'ємна витрата потоку дорівнює сумі об'ємних витрат елементарних струминок, з яких складається потік

	(4)

В інженерних розрахунках користуються поняттям середньої швидкості по живому перерізу х:

	(5)

Під середньою швидкістю розуміється уявна, однакова для всіх точок живого перерізу потоку швидкість, при якій через цей переріз проходить таж витрата, що і при дійсних швидкостях в різних точках даного перерізу.

Тоді для потоку



	(6)

2. Рівняння нерозривності для усталеного руху рідини

Умова руху рідини без утворення розривів (порожнин) характеризується рівнянням нерозривності (суцільності), яке виражає закон збереження маси.

Для елементарної струминки на основі її властивостей кількість рідини, що проходить в одиницю часу по всій довжині струминки, однакова. Тобто, для двох довільних перерізів 1і 2 струминки (рис 2).

,

або

	(7)

Рівняння (7) називають рівнянням нерозривності для елементарної струминки.

Для потоку рідини при відсутності відводів чи припливів рівняння нерозривності є умовою сталості витрати:

,

чи

.	(8)

Останнє рівняння можна записати у вигляді

,	(9)



звідкіля виходить, що середні швидкості руху рідини в перерізах обернено пропорційні площам цих перерізів.

3. Рівняння Бернуллі при усталеному русі ідеальної рідини

Розглянемо усталений рух ідеальної рідини, яка знаходиться під впливом тільки масової сили - сили ваги, - і отримаємо для цього випадку рівняння, що зв'язує між собою тиск в рідині і швидкість її руху.

Візьмемо одну з елементарних струминок потоку ідеальної рідини і виділимо на ній ділянку довільної довжини, обмежену перерізами 1-1 і 2-2 (рис.4). Позначимо через dщ1, p1, u1, z1 і dщ2, p2, u2, z2 відповідно площі живих перерізів, гідродинамічні тиски, швидкості рідини і висоти центрів ваги даних перерізів над площиною порівняння 0-0.

Рис.4

За нескінченно малий проміжок часу dt відсік 1-2 переміститься в положення .

Застосуємо до виділеного відсіку теорему механіки про зміну кінетичної енергії, згідно з якою приріст кінетичної енергії відсіку за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт всіх сил, що діють на відсік за цей же проміжок часу. Оскільки рідина ідеальна, то роботу будуть виконувати сили тиску і сили тяжіння.

Робота сил тиску буде дорівнювати:

.

Робота сил ваги:

.

Приріст кінетичної енергії відсіку 1-2 за час dt дорівнює різниці кінетичних енергій ділянок струминки (ділянка 1-2' не змінює свого положення):

,

(при перетвореннях враховано, що ; )/

Тоді теорема про зміну кінетичної енергії відсіку струминки буде мати вигляд:

.	(10)

Поділимо попереднє рівняння на dQdt і після перегрупування складових його отримаємо



.	(11)

Якщо поділити рівняння (13) на комплекс , то після перегрупування складових будемо мати

.	(12)

Останні два рівняння і є рівнянням Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини в двох різних формах. Так, всі складові в рівнянні (11) мають розмірність тиску, а складові рівняння (12) - лінійну розмірність.

З'ясуємо геометричну і фізичну суть рівняння Бернуллі/

Геометрична інтерпретація рівняння:

z - геометрична висота, або геометричний напір;

- п'єзометрична висота, або п'єзометричний напір;

- швидкісна висота, або швидкісний напір.

Тричлен називають повним, або гідродинамічним напором. Оскільки рівняння Бернуллі записане для довільних перерізів струминки, то H0=const в будь-якому перерізі цієї струминки (рис.5).



Рис.5

З енергетичної точки зору рівняння Бернуллі є законом збереження питомої енергії ідеальної рідини. Дійсно, якщо рівняння (11) записати у вигляді

,

то - питома енергія положення, Дж/кг;

- питома енергія тиску, Дж/кг;

- питома потенціальна енергія рідини, Дж/кг;

- кінетична енергія віднесена до одиниці маси, Дж/кг.

Можна теоретично довести, що для потоку ідеальної рідини з повільно-змінним рухом сума z+p/сg для всіх точок живого перерізу є постійною. Крім того, в даному живому перерізі потоку ідеальної рідини швидкості всіх елементарних струминок однакові. Тому рівняння Бернуллі для потоку ідеальної рідини має такий же вигляд як і для елементарної струминки, тобто дається формулами (11) і (12).

4. Рівняння Бернуллі для елементарної струминки і потоку в'язкої рідини

На відміну від ідеальної рідини при русі в'язкої(реальної) рідини частина енергії, яку вона має, витрачається на подолання сил опору (внутр. тертя, вихроутвор. та ін.). Отже питома енергія в будь-якому наступному в напрямі течії поперечному перерізі буде меншою порівняно з питомою енергією в попередньому перерізі. Тому рівняння Бернуллі для елементарної струминки реальної рідини буде мати вигляд

.	(13)

де - втрати енергії (напору) струминки між обраними перерізами.

Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини отримують інтегруванням рівняння (13) з заміною дійсних швидкостей окремих струминок, що утворюють потік, на середню швидкість х рідини в даному перерізі (рис.6):

.	(14)

Коефіцієнт б, що входить до рівняння Бернуллі, називають коефіцієнтом кінематичної енергії або коефіцієнтом Коріоліса. Він враховує нерівномірність розподілу швидкостей в перерізі потоку і фактично є відношенням дійсної кінетичної енергії потоку в даному живому перерізі до кінетичної енергії, обчисленої за середньою швидкістю потоку. Величина коефіцієнта б в залежності від характеру течії рідини змінюється в межах від 1,04…1,12 до 2. Складова рівняння - це сумарні втрати питомої енергії (напору) потоку між обраними перерізами.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запишемо рівняння Бернуллі (14) в такій формі:

,	(14')

де і - повні гідродинамічні напори потоку в перерізах 1-1 та 2-2 відповідно.

Відношення втрат напору до довжини ділянки потоку, обмеженої перерізами 1-1 і 2-2, називають гідравлічним уклоном, або градієнтом втрат напору:

,	(15)

тут l - довжина ділянки, м. 

5. Гідравлічні опори і втрати енергії (напору) при русі рідини

Втрати питомої енергії при русі в'язкої рідини, або, як часто їх називають, гідравлічні втрати, обумовлені різними гідравлічними опорами, механізми яких настільки складні, що не дають змоги отримати теоретичні залежності для розрахунків втрат напору. Експериментально доведено, що гідравлічні втрати в значній мірі залежать від швидкості руху рідини, тому в гідравліці їх виражають в частках швидкісного напору за формулою:

	(16)

в якій о - безрозмірний коефіцієнт пропорційності (коефіцієнт гідравлічних опорів); він показує частку швидкісного напору, яку складає втрачений напір.

Розрізняють два види гідравлічних опорів: місцеві і лінійні опори. Місцеві опори проявляються на коротких ділянках потоку при зміні напряму течії рідини, зміні форми чи величини поперечного перерізу потоку. Напір, що втрачається на долання місцевих опорів, визначають за формулою Вейсбаха:

	(17)

де оМ - коефіцієнт місцевого опору, який залежить від виду опору і наводиться в довідниках.

Лінійні опори обумовлені силами внутрішнього тертя і виникають по всій довжині потоку рідини, тому вони пропорційні довжині потоку. Втрати напору по довжині (лінійні втрати) визначають за формулою:



,	(18)

де л - коефіцієнт гідравлічного тертя (коефіцієнт Дарсі); l - довжина ділянки потоку, на якій підраховують втрати енергії; RГ - гідравлічний радіус живого перерізу потоку.

Для круглих циліндричних труб діаметр труби d = 4RГ, отже лінійні втрати:

.	(19)

Сумарні втрати енергії (напору) між двома живими перерізами потоку, що входять до рівняння Бернуллі будуть дорівнювати:

,	(20)

де - сума втрат напору по довжині на всіх ділянках русла в межах обраних перерізів; - сума всіх місцевих втрат.

6. Режими руху рідини. Критерій Рейнольдса

Експериментальні дослідження показали, що втрати енергії при русі в'язкої рідини суттєво залежать від режиму руху рідини. На наявність різних за структурою потоків режимів течії звернули увагу ще в першій половині ХІХ сторіччя (Хаген, Дарсі та ін.). В 1880 р. Д.І.Менделеєв вказав на наявність двох різних видів руху рідини, які відрізняються один від одного характером залежності сил тертя від швидкості руху. А в 1883 р. англійський фізик Осборн Рейнольдс обґрунтував теоретично і наочно показав існування двох принципово різних режимів течії рідини : ламінарного (від латинського lamina -шар) і турбулентного (від лат. turbulentus - безладний ).

Ламінарний режим характеризується шаруватою течією рідини без перемішування окремих її шарів і без пульсацій швидкості і тиску. Ламінарний режим може установлюватися в капілярних трубках при малих швидкостях руху води, а також при русі рідин з великою в'язкістю (нафта, масла, гліцерин тощо).

При турбулентному режимі течія рідини супроводжується інтенсивним перемішуванням окремих її частинок і пульсаціями швидкостей і тиску. Цей режим характерний при русі води в системах водопостачання і інших рідин при відносно великих швидкостях руху.

Рейнольдс встановив, що критерієм режиму руху рідини є безрозмірна величина, яка являє собою відношення добутку швидкості потоку на характерний лінійний розмір до коефіцієнта кінематичної в'язкості рідини. Цю величину пізніше було названо числом (критерієм) Рейнольдса і позначено через Re. Для потоків рідини в трубах круглого поперечного перерізу число Рейнольдса підраховують за формулою:

,	(21)

де d - геометричний діаметр труби. Значення числа Рейнольдса, яке відповідає переходу від ламінарного режиму течії в турбулентний і навпаки, називають критичним. Для труб круглого перерізу:

,	(22)



тут хкр - середня критична швидкість руху рідини.

Таким чином, якщо

,

то режим руху ламінарний; при - турбулентний.

Для каналів з довільною формою поперечного перерізу критерій Рейнольдса визначають за формулою:

	(23)

в якій - гідравлічний радіус каналу.

7. Визначення втрат енергії при ламінарному режимі течії рідини в трубі круглого поперечного перерізу

Математично можна довести, що епюра швидкостей в поперечному перерізі труби при ламінарній течії рідини є квадратичною параболою, рівняння якої згідно з рис.7 має вигляд:

.	(24)

В цьому рівнянні: р=p1-p2 - втрати тиску між двома даними перерізами труби; l - відстань між двома перерізами; r - радіус труби;
у - відстань від осі потоку (труби), змінюється від 0 до r ; - динамічний коефіцієнт в'язкості. 

Рис.7

Очевидно, що максимальна швидкість потоку буде при у=0, тобто на осі труби; величина її визначається формулою:

.	(25)

де d - діаметр труби.

Середня швидкість рідини виявляється вдвічі меншою за максимальну:

.	(26)

Втрати напору (енергії) на тертя знаходяться за формулою Пуайзеля, яка виходить зі співвідношення (26):

.	(27)



В останньому рівнянні - об'ємна витрата рідини;
н - кінематичний коефіцієнт в'язкості; с - густина рідини.

Якщо гідравлічні втрати виразити не в одиницях тиску, а в лінійній розмірності, то отримаємо такі залежності:

,	(28)

або

.	(29)

Закон Пуайзеля можна привести до вигляду формули Дарсі-Вейсбаха (18). Для цього помножимо і поділимо праву частину рівняння (27) на середню швидкість х. Після деяких перетворень кінцево отримаємо:

Прирівняємо втрати напору по довжині, визначенні за формулами (19) і (29):

.

Звідсіля гідравлічний коефіцієнт тертя при ламінарному режимі

	(30)



В загальному випадку ламінарної течії:

.	(31)

Місцеві опори в трубопроводах при ламінарному режимі течії рідини значно менші порівняно з опором сил гідравлічного тертя; до того ж закономірності їх зміни мало досліджені. Тому місцеві опори враховують як частку лінійних втрат через еквівалентну довжину трубопроводу.

8. Турбулентний режим і визначення втрат енергії потоку в трубах круглого поперечного перерізу

Деякі відомості про структуру турбулентного потоку

Механізм турбулентного потоку значно складніший порівняно з ламінарною течією рідини. При турбулентному режимі частинки рідини безладно перемішуються між собою, а швидкості в будь-якій точці потоку безперервно змінюються за величиною та напрямом.

Для спрощення гідравлічних розрахунків турбулентного потоку вводять поняття осередненої місцевої швидкості, яка, незважаючи на значні коливання миттєвих швидкостей, залишається практично незмінною і паралельною осі потоку. Така заміна робить можливим використання рівняння Бернуллі і для турбулентного потоку рідини.

Експериментальні дослідження показують (Прандтль, Нікурадзе), що турбулентний потік в трубах поділяється на дві, різко відмінні частини. Безпосередньо у стінки труби утворюється дуже тонкий шар рідини з ламінарним режимом руху: так званий ламінарний підшарок. Інша, основна частина потоку - турбулентне ядро, в якому відбуваються інтенсивні пульсації швидкості і перемішування частинок (рис.8).



Рис.8

Поняття про гідравлічно гладкі і шорсткі труби

Поверхні стінок труб, каналів не бувають абсолютно гладкими, а мають ту чи іншу шорсткість. Висоту виступів шорсткості позначають літерою і називають абсолютною шорсткістю; відношення до радіуса або діаметра труби, тобто , , називають відносною шорсткістю.

З метою спрощення розрахунків користуються поняттям еквівалентної шорсткості , при якій втрати енергії (напору) рідини виходять такими самими, як і при фактичній нерівномірній шорсткості.

В залежності від співвідношення товщини ламінарного підшарка і абсолютної шорсткості розрізняють труби гідравлічно гладкі () і гідравлічно шорсткі (). При говорять про перехід від гідравлічно гладких до гідравлічно шорстких стінок.

Визначення коефіцієнта гідравлічного тертя при турбулентному режимі

Для того, щоб можна було розрахувати за формулою Дарсі-Вейсбаха (19) втрати напору (енергії) по довжині потоку, необхідно знати коефіцієнт гідравлічного тертя , який при турбулентному режимі руху в загальному випадку залежить від числа Рейнольдса, відносної шорсткості і характеру самої шорсткості. На основі аналіза результатів великої кількості експериментальних досліджень (І. Нікурадзе, Кольбрук, Ф. Шевелєв та інші) було виявлено, що в залежності від величини числа Рейнольдса всю зону турбулентного режиму руху можна поділити на три області.

1. Область гідравлічно гладких труб, де Reкp<Reгл<20 В цій зоні і визначається за формулою Блазіуса:

	(32)

2. Перехідна область, або область доквадратичного опору, границі якої визначаються нерівністю 20<Reпер<500. В цій зоні Коефіцієнт гідравлічного тертя підраховують за формулою А. Д. Альтшуля:

.	(33)

Область квадратичного опору (автомодельна область), в якій Reкв>500, а Для визначення найчастіше користуються формулою Б.Л.Шіфрінсона:

.	(34)

При рівномірному русі рідини в області квадратичного опору може бути рекомендована також формула:



,	(35)

в якій С - коефіцієнт Шезі.

Коефіцієнт Шезі, в свою чергу, можна підрахувати за формулою Агроскіна:

,	(36)

де п - коефіцієнт шорсткості русла (довідкова величина); RГ - гідравлічний радіус русла.

Місцеві гідравлічні опори

Місцеві втрати енергії (напору) в трубах і каналах виникають там, де є перешкоди на шляху потоку (вентилі, засувки, клапани, трійники, коліна і т.д.). Конструктивна різноманітність місцевих опорів не дає можливості отримати загальну залежність для визначення втрат напору для них. Тому місцеві втрати прийнято визначати в частках швидкісного напору , причому швидкість х, як правило, береться за місцевим опором. Ю.Вейсбахом (1840р.) була запропонована формула /1/, згідно з якою місцеві втрати напору:

Коефіцієнт місцевого опору залежить від виду опору, визначається експериментально і наводиться в довідниках для квадратичної області турбулентного режиму течії рідини.

Тільки в кількох випадках може бути розрахований теоретично.

Розглянемо два випадки:

1. Раптове розширення русла (рис.9а).

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) б)

Рис.9

На основі теореми імпульсів і рівняння Бернулі можна дістати, що втрати напору при раптовому розширенні русла:

	(37)

де коефіцієнт втрат при раптовому розширенні

	(38)

Якщо щ2>>щ1 (вхід труби в резервуар великих розмірів), то Раптове звуження русла (рис.9 б). Втрати напору підраховують за формулою:

	(39)



В якій коефіцієнт місцевого опору:

Якщо щ1>>щ2 ,(вихід труби з резервуара), то

Размещено на Allbest.ru

...