Элементы теории погрешностей (ошибок) геодезических измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Элементы теории погрешностей (ошибок) геодезических измерений

В.Н. Хонякин

1. Общие сведения об измерениях

геодезический измерение погрешность маркшейдерский

Объектом изучения науки Геодезия является планета Земля - ее форма, размеры, внешнее гравитационное поле. Эти характеристики получают из различных измерений, выполняемых на поверхности Земли.

Под измерением физической величины X понимают процесс сравнения этой величины с другой, однородной с ней величиной q, принятой в качестве меры единицы измерения. Например, длину отрезка линии местности сравнивают с единицей линейных измерений метром; горизонтальный угол, образованный отрезками линий на местности, сравнивают с градусом, градом, радианом.

Измерения различают:

прямые;

косвенные;

равноточные;

неравноточные.

Под прямыми измерениями понимают такие, при которых определяемую величину получают путём непосредственного сравнения (сопоставления) её с единицей измерения или её производной. Например, длина отрезка линии измеряется стальной лентой или горизонтальный угол на местности измеряется теодолитом, а на бумаге транспортиром и т.д.

Косвенными называют измерения, определяемая величина в которых является функцией других непосредственно измеренных величин. Так, для определения длины окружности или площади круга, необходимо непосредственно измерить радиус окружности.

Равноточными называют измерения, выполненные приборами одного класса точности, специалистами равной квалификации, по одной и той же технологии, в идентичных внешних условиях. При несоблюдении хотя бы одного из перечисленных условий измерения считаются неравноточными.

Результатом измерения l является число, показывающее, во сколько раз определяемая величина больше или меньше величины, с которой её сравнивали, т.е. величины, принятой за единицу измерения.

Результаты измерений подразделяют на необходимые и добавочные (или избыточные). Так, если одна и та же величина ( длина линии, угол треугольника и т.п.) измерена n раз, то один из результатов измерений является необходимым, а (n - 1) добавочными. Добавочные измерения имеют весьма важное значение: их сходимость является средством контроля и позволяет судить о качестве результатов измерений; они дают возможность получить наиболее надежное значение искомой величины по сравнению с любым отдельно взятым результатом измерения.

2. Погрешности результатов измерений

Результаты многократных измерений одной и той же физической величины (линии, угла, превышения и т.п.), как правило, различаются между собой и не совпадают с точным (истинным) значением измеряемой величины, т.е. содержат неизбежные погрешности, вызываемые различными причинами.

Под погрешностью Дi результата измерения l понимают разность между результатом измерения l физической величины и точным (истинным) значением X этой величины, т.е.

(1)

где i 1, 2, 3,...., n;

n число выполненных измерений.

По своим свойствам, характеру возникновения и влияния на результаты измерений, их функции, погрешности подразделяют на грубые, систематичекие и случайные.

Грубые погрешности (промахи) возникают вследствие невнимательности наблюдателя, неисправности прибора, несоблюдении технологии работ, не учёта влияния изменяющихся внешних условий: температуры, ветра, видимости и т.п. Обнаружить грубые погрешности можно, используя геометрические свойства наблюдаемого объекта (например, сумму внутренних углов плоского многоугольника ), а также выполнением повторных измерений. Так, например, при линейных измерениях, пропуск целого пролета, равного длине мерного прибора, можно обнаружить измерением отрезка линии нитяным дальномером, иногда даже шагами.

К систематическим относят такие погрешности результатов измерений, которые входят в эти результаты по определенному закону.

Так, если известна длина меры при температуре tо, а измерение длины линии местности выполнены при температуре t, то результат измерения длины линии будет содержать систематическую погрешность, пропорциональную разности температур (t - tо ) и длине линии. Влияние систематических погрешностей на результаты измерений исключают или сводят до пренебрегаемо малого значения выбором методики измерений или введением поправок в результаты.

Случайные погрешности результатов измерений характеризуются тем, что при одинаковых условиях измерений они могут меняться по величине и знаку; их нельзя заранее предусмотреть, определить закон воздействия на результат. Статистический анализ, т.е. анализ результатов больших рядов измерений, позволил для случайных погрешностей выявить ряд их свойств.

Первое свойство. Для данных условий измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превосходить известного предела (свойство ограниченности), т.е. | Д | ? Д

Второе свойство. Равные по абсолютной величине положительные и отрицательные случайные погрешности равновозможны, т.е. встречаются одинаково часто (свойство симметрии).

Третье свойство. Малые по абсолютной величине случайные погрешности при измерениях встречаются чаще, чем большие (свойство плотности).

Четвертое свойство. Среднее арифметическое из случайных погрешностей и их попарных произведений стремиться к нулю при неограниченном возрастании числа измерений (свойство компенсации ), т.е.

где i = 1, 2, 3,...., n ; j = 1, 2, 3,..., n1; k = 2, 3, 4,...., n ;

n число измерений; [ ] Гауссов символ суммы.

3. Задачи теории погрешностей измерений

Как было отмечено выше, в результатах измерений неизбежно содержатся погрешности. Поэтому одной из задач теории погрешностей является изучение видов и свойств погрешностей измерений, причин их возникновения.

Далее, выполнив измерения, всегда стремятся определить точность полученных результатов. Поэтому в теории погрешностей измерений устанавливаются критерии для оценки точности результатов измерений.

Так как результаты измерений вследствие влияния погрешностей разнятся между собой, то возникает задача отыскания наиболее точного по вероятности значения определяемой величины из результатов многократных ее измерений.

Во многих случаях геодезической практики по результатам измерений вычисляют другие интересующие нас величины. Например, измерив сторону треугольника и два его угла, можно по известным формулам вычислить третий угол и две другие стороны. В таких случаях результаты вычислений являются функциями измеренных величин. По указанной причине, перед теорией погрешностей возникает задача по оценке точности функций измеренных величин.

Перечисленные задачи, которые решаются теорией погрешностей измерений, имеют большое значение для правильной организации, проведения геодезических работ и использования их результатов.

Кроме того, теория погрешностей геодезических измерений позволяет обоснованно выбрать необходимые для измерений приборы и инструменты, рассчитать ожидаемую точность измерений и окончательного результата, правильно выбрать метод обработки результатов измерений.

Равноточные измерения

4. Вычисление наиболее точного по вероятности значения результата измерений одной и той же величины

Пусть некоторая величина, истинное (точное) значение которой равно X, измерена равно точно n раз и получены результаты этих измерений: l1, l2, l3,

Составим разности

Д i = l i X, (4)

где i = 1, 2, 3,..., n;

Д i истинные случайные погрешности результатов l i измерений, т.е.

уклонения результатов измерений от истинного (точного) значения измеряемой величины.

Найдем сумму уравнений (4) и разделим ее на число измерений.



Введем обозначения:

Величину

x = [ l ] / n

называют простой арифметической серединой или средним арифметическим из результатов l i равноточных измерений. Выражение

з = [ Д ] / n = x -

X есть истинная случайная погрешность простой арифметической середины, т.е. это уклонение простой арифметической середины от истинного (точного) значения X измеряемой величины.

По четвертому свойству случайных погрешностей

lim ( [ Д ] / n ) = lim з = 0, (8)

n>? n>?

значит

lim ( [ l ] / n ) = lim x = X. (9)

n>? n>?

Таким образом, среднее арифметическое из результатов li равноточных измерений стремится к истинному (точному) значению X измеряемой величины при неограниченном возрастании числа измерений. Величину x называют еще вероятнейшим значением измеряемой величины.

Оценка точности результатов ряда равноточных измерений

5. Средняя квадратическая погрешность результата отдельного измерения. Предельная и относительная погрешности

В качестве критерия при оценке точности результатов геодезических измерений принята предложенная К.Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность, вычисляемая по формуле

(10)

где Д истинная случайная погрешность результата,

n число измерений.

По величине средней квадратической погрешности можно определить предельную погрешность Д пред., возможную для данного ряда измерений. В качестве предельной погрешности в геодезии принимают удвоенную среднюю квадратическую погрешность

Д пред. = 2m. (11)

Если в ряду случайных погрешностей результатов равноточных измерений встречаются такие, которые по абсолютной величине превышают предельную, то такие погрешности считают грубыми. Измерения, в которых обнаружены эти погрешности, выполняют заново.

В ряде случаев для суждения о точности измерений недостаточно знания лишь абсолютного значения средней квадратической погрешности. Например, измерены три отрезка линий местности:

L 1 = 240 м с погрешностью m 1 = ± 0,15 м;

L 2 = 600 м с погрешностью m 2 = ± 0,53 м;

L 3 = 500 м с погрешностью m 3 = ± 0,29 м.

Если сравнивать средние квадратические погрешности, то наиболее точно измерен первый отрезок. Однако, здесь следует учитывать и длину измеряемого отрезка, т.е. отнести погрешность к величине длины самого отрезка.

В подобных случаях вводят понятие относительной погрешности, под которой понимают отношение абсолютной величины средней квадратической погрешности m к значению результата l измеряемой величины, т.е.

(12)

где N = l : m.

Для нашего примера относительные погрешности равны:

Сравнивая дроби, видим, что третье измерение является самым точным.

В значении абсолютной величины средней квадратической погрешности и в знаменателе относительной погрешности следует удерживать дветри значащие цифры.

6. Вероятнейшие погрешности

Формула (10) К.Ф. Гаусса для средней квадратической погрешности справедлива в том случае, когда результаты l измерений сравниваются с истинным (точным) значением X этой величины. В большинстве случаев практики топографогеодезических и маркшейдерских работ истинное значение X измеряемой величины неизвестно и поэтому используют вероятнейшее значение его x, определяемое по формуле (7). В этом случае среднюю квадратическую погрешность результата отдельного измерения ряда равноточных измерений определяют по вероятнейшим погрешностям.

Пусть l 1, l 2 ,l 3 ,...,l n результаты равноточных измерений одной и той же величины, простая арифметическая середина.

Составим разности

l i x = х i , (13)

где i = 1, 2, 3,..., n ; n число измерений;

х i вероятнейшие погрешности результатов l i измерений т.е. уклонения значений каждого результата l i от простой арифметической середины, от вероятнейшего значения x измеряемой величины.

Сложим уравнения (13) и разделим на их число

Составим разности уравнений (1) и (13)

, (16)

но, истинная случайная погрешность простой арифметической середины, тогда

(17)

Выражение (17) есть уравнение связи истинных и вероятнейших погрешностей результатов равноточных измерений.

Возведем уравнения (17) в квадрат, сложим и разделим на их число

тогда (19)

Второй член правой части уравнения ( 19 ) запишем в виде

но по четвертому свойству случайных погрешностей.

Уравнение ( 19 ) с учетом ( 20 ) примет вид

или (22)

Выражение (23) является формулой Бесселя для средней квадратической погрешности результата отдельного измерения ряда равноточных измерений одной величины.

Практические рекомендации по вычислению простой арифметической середины.

1.Выбирают приближенное значение x' простой арифметической середины, в качестве которого лучше всего взять наименьшее из результатов li измерений,

Вычисляют простую арифметическую середину

Оценка точности функций измеренных величин

В большинстве случаев практики топографогеодезических и маркшейдерских работ искомые величины получают в результате вычислений как функции измеренных величин. Полученные при этом результаты будут содержать погрешности, которые зависят как от погрешностей аргументов (измеренных величин), так и от вида функций.

Возникает задача оценки точности функций измеренных аргументов.

7. Средняя квадратическая погрешность функции общего вида

Дана функция

, (27)

где X1 ,X2 ,X3 ,...,Xk точные ( истинные ) значения измеряемых величин.

Пусть в результате измерений получены приближенные значения l1, l2 l3, l4,....,lk этих величин.

Тогда

(28)

приближенное значение функции U.

Составим разность уравнений (27) и (28)

(29)

которая является истинной случайной погрешностью функции U.

Разности

суть истинные случайные погрешности аргументов li , где i =1,2,…, k.

Тогда

. (31)

Чтобы найти линейную зависимость между погрешностями аргументов и погрешностью функции, продифференцируем функцию (28).

где частные производные функции по каждому

из аргументов. Заменим в выражении (32) дифференциалы истинными случайными погрешностями функции и аргументов

При многократном измерении аргументов, например n раз, получим

Производные функции по соответствующим аргументам в разных измерениях практически остаются постоянными и могут быть вычислены по приближенным значениям аргументов , в качестве которых можно взять т.е. значения аргументов, полученные при первом измерении определяемых величин.

В соответствии с этим можно принять



С учетом (35) выражение (34) примет вид

Возведем уравнения (36) в квадрат, сложим и разделим на их число

На основании (3) и (8) можно записать

Выражение (37) с учетом (38) примет вид

или

Таким образом, средняя квадратическая погрешность функции независимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функции по каждому из аргументов на средние квадратические погрешности соответствующих аргументов.

8. Средняя квадратическая погрешность простой арифметической середины

Формулу (7) для простой арифметической середины перепишем в виде

где li результаты равноточных измерений одной и той же величины;

i = 1, 2, 3,..., n; n число измерений.

Из уравнения (39) имеем

Так как измерения равноточные, т.е. (43)

Следовательно, выражение (42) примет вид

 (44)

откуда

(45)

Средняя квадратическая погрешность простой арифметической середины в раз меньше средней квадратической погрешности результата каждого отдельного измерения.

Сравнивая формулу (44) и второй член правой части уравнения (21), можно сделать вывод, что

т.е. истинная случайная погрешность простой арифметической середины равна средней квадратической погрешности простой арифметической середины.

9. Оценка точности результатов угловых измерений в триангуляции

Известно, что сумма внутренних углов плоского треугольника равна 180°, т.е. (46)

где в 1,0 , в2,0 , в3,0 истинные (точные) значения углов.

Пусть в1 , в2 , в3 результаты измерения этих углов, т.е. приближенные значения углов.

Тогда, согласно (1), имеем

(47)

?1, ?2, ?3 истинные случайные погрешности результатов измерений.

Перепишем равенство (46) с учетом формул (47)

(48)

Обозначим

(51)

щ называют угловой невязкой в треугольнике, т.е. это истинная случайная погрешность суммы внутренних углов треугольника.

Тогда уравнение (50) можно записать в виде

(52)

Пусть равно точно измерены углы в n треугольниках, для каждого из которых справедливы равенства (51), т.е.

 (54)

где i = 1, 2, 3,...., n номер треугольника.

Возведем уравнения (54) в квадрат, сложим и разделим на их число

(55)

Это формула Ферреро, по которой обычно выполняется оценка точности результатов измерений горизонтальных углов в триангуляции.

10. Оценка точности результатов ряда двойных равноточных измерений

Очень часто в практике геодезических и маркшейдерских работ искомую величину определяют по результатам двукратных равноточных измерений этой величины. Например, горизонтальные углы измеряют двумя полуприёмами, превышение на станции при геометрическом нивелировании определяется по черным и красным сторонам реек, длины отрезков линий местности находят из результатов измерений этих отрезков в прямом и обратном направлениях.

Возникает задача оценки точности этих результатов.

Возведем уравнения (65) в квадрат, сложим и разделим на их число

Формулы (68) и (69) справедливы лишь в том случае, если разности di не содержат систематических погрешностей.

Пусть разности содержат систематическую погрешность и , т.е.

 (70)

Сложим уравнения (70) и разделим на их число

Среднее арифметическое из разностей результатов двойных равноточных измерений отлично от нуля и численно равно систематической погрешности этих результатов.

Вычтем из каждой разности di величину систематической погрешности и, т.е. образуем новые разности

(73)

т.е. среднее арифметическое из разностей результатов двойных равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей, всегда равно нулю. Разности d' , как уклонения di от простой арифметической середины и обладающие свойством можно считать вероятнейшими погрешностями разностей di. Применяя к ним формулу Бесселя для средней квадратической погрешности, запишем

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического из результатов li и l'i будет равна

 (77)

Вычисление значения числителя подкоренного выражения можно проконтролировать по формуле

(78)

Примечание. Оценку точности по разностям результатов двойных равноточных измерений следует выполнять по формулам (68) и (69), если разности удовлетворяют условию

(79)

11. Примеры оценки точности результатов равноточных измерений одной величины и функций независимо измеренных величин

Задача 1. По результатам равноточных измерений горизонтального угла девятью приемами (см. табл. 2) найти наиболее точное по вероятности значение угла, средние квадратические погрешности измерения каждого отдельного угла и простой арифметической середины.

Таблица 2 Оценка точности результатов измерения отдельного горизонтального угла

Номера приемов i	Результаты измерений вi	еi	еi2			Основные формулы, вспомогательные вычисления
1	2	3	4	5	6	7
1	32o 23ґ 44"	+ 4	16	0,6"	0,36	1.в'= вi,min
2	40	0	0	4,6	21,16	2.еi = вi-в'
3	43	+ 3	9	1,6	2,56	3.в=в'+[е]/n= =32o 23ґ44,56"
4	45	+ 5	25	+0,4	0,16
5	46	+ 6	36	+1,4	1,96	4.вокр.= =32o 23ґ 44,6"
6	43	+ 3	9	1,6	2,56
7	48	+ 8	64	+3,4	11,56	5.д=ввокр.=0,04"
8	45	+ 5	25	+0,4	0,16
9	32o 23ґ 47"	+ 7	49	+2,4	5,76	6.
?		42	233	0,4	46,20	7.
вґ в в окр.	32o 23ґ 40" 32o23'44,56" 32o 23ґ 44,6"	[е]2=1681 Окончательный результат : в = 32є 23ґ 44,6" ± 0,80" mв = ± 2,4" M = ± 0,80"	Контроль:

Вычисления выполняют в следующей последовательности.

1. Выбирают приближенное значение в' простой арифметической середины как наименьшее из результатов измерений, т.е.

в' = вi,min.

В нашем примере это значение равно

в' = в2 = 32є 23ґ 40".

2. Вычисляют уклонения еi результатов измерений вi от этого приближенного значения

и сумму этих уклонений



3. В колонке (4) вычисляют квадраты е2 и их сумму [ е2 ].

4. По формуле (4.24) вычисляют простую арифметическую середину в наиболее точное по вероятности значение измеряемого угла.

5. Находят вероятнейшие погрешности как разности результатов отдельных измерений и округленного значения вокр. т.е.

, их сумму с контролем ,

где

погрешность округления среднего арифметического.

6. В колонке ( 6 ) вычисляют квадраты вероятнейших погрешностей и их сумму

с контролем .

7. По формуле (4.21) Бесселя вычисляют среднюю квадратическую погрешность результата каждого отдельного измерения

.

8. По формуле (4.42 ) находят среднюю квадратическую погрешность простой арифметической середины

.

9. Окончательный результат записывают в виде

.

Задача 2. В каждом треугольнике микротриангуляции (рис. 21) измерено

одинаково точно по три внутренних горизонтальных угла (см. табл. 3). Вычислить среднюю квадратическую погрешность результатов измерений каждого отдельного угла, применив формулу Ферреро

, где

угловые невязки в треугольниках, n - число треугольников.

Таблица 3 Обработка результатов угловых измерений в микротриангуляции

Названия углов	Номера треугольников и значения измеренных углов 1 2 3 4 5
в1	80є 07,7ґ	74є 21,6ґ	36є 39,2ґ	39є 17,4ґ	69є 49,6ґ
в2	50 58,3	64 35,5	71 49,6	96 15,8	36 39,2
в3	48 53,1	41 01,8	71 32,6	44 26,1	73 32,4
У в	179є 59,1ґ	179є 58,9ґ	180є 01,4ґ	179є 59,3ґ	180є 01,2ґ
wв = Ув180є	0,9ґ	1,1ґ	+ 1,4ґ	0,7ґ	+ 1,2ґ
w2	0,81	1,21	1,96	0,49	1,44

 = = ± 0,63ґ.

Задача 3. В теодолитном ходе равно точно измерено 11 горизонтальных углов, каждый со средней квадратической погрешностью . Определить среднюю квадратическую и предельную погрешности суммы этих углов.

Имеем функцию

.

Частные производные ее по каждому из аргументов равны .

Тогда ;

и .

Задача 4. Горизонтальный угол в (см. рис. 22) измерен теодолитом 2Т30 одним полным приемом способом «приемов». Определить среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического из значений результатов измерений угла в полуприемах, если средняя квадратическая погрешность от счетов по лимбу составила . Другими погрешностями пренебречь. Значение угла в полуприемах вычисляют по формулам:

,

где отсчеты по горизонтальному кругу при визировании на

точки С и А при положении вертикального круга слева (КЛ) и справа (КП). Вероятнейшее по результатам , полученным в каждом полуприеме, вычисляют по формуле

На основании формул (4.39) - (4.42) запишем

.

Эту же задачу решим иначе.

Определим среднюю квадратическую погрешность результатов измерений угла, полученных в каждом полуприеме

но

тогда

По формуле (45) вычислим среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического значения угла, полученного из результатов в каждом полуприеме



Задача 5. Вычислить среднюю квадратическую и предельную погрешности

превышения, определенного на станции при геометрическом нивелировании

по двум сторонам нивелирных шашечных реек, если :

цена деления шкалы рейки м = 10 мм,

средняя квадратическая погрешность отсчета по рейке mo = ± 1 мм.

Другими погрешностями пренебречь. Превышение вычисляют по формулам:

; ; ,

где отсчеты по черным сторонам реек, устанавливаемых в задней и передней точках нивелирного хода;

то же, по красным сторонам реек.

Перепишем последнюю формулу в виде

Согласно формул (41) - (44) имеем

Задача 6. Вычислить среднюю квадратическую погрешность результата определения превышения способом тригонометрического нивелирования, если превышение вычислено по формуле

(80)

где ,

d = 153,84 м - горизонтальное проложение линии местности, измеренное с относительной погрешностью 1: 2000 , н = + 3є 13ґ угол наклона линии визирования, измеренный со средней квадратической погрешностью , i = 1,47 м - высота прибора (теодолита), измеренная с погрешностью mi = ± 0,002 м.

1. Вычислим превышение

м.

2. Определим частные производные функции (4.78) по каждому из аргументов :

; ; ; .

3. На основании формулы (4.38) запишем

,

где с = 206265" = 3437,75ґ = 57,2958є радиан.

С учетом

;

5. Окончательно

Задача 7. В треугольнике ABC ( рис. 23 ) равно точно измерены три угла и сторона АВ = с. Определить длины сторон a и b , средние квадратические и относительные погрешности этих сторон, если: средние квадратические погрешности результатов измерений углов равны

относительная погрешность результата измерения стороны c составила

Исходные данные, результаты вычислений и оценка точности приведены

Основные формулы:

; ; (81)

, (82)

. (83)

Продифференцируем уравнения (82) и (83)

; (84)

Таблица 4 Решение треугольника

№ вершин	Результаты измерений углов	Поправки	Уравненные углы	Синусы углов	Длины сторон d, м	md, мм
C (г) B (в) A (б)	58є 14,7ґ 52,1 58 53,9	0,2ґ 0,2 0,2	58є 14,5ґ 51,9 58 53,6	0,85028 0,88993 0,85621	156,82 164,13 157,91	78 84 81	1:2000 1:1950 1:1940
? 180є00,7ґ + 0,7ґ	0,7ґ	180є 00,0ґ

(85)

На основании формул (27) - (40) § 4 запишем

(86)

(87)

Подставляя численные значения в уравнения (86) и (87), получим:

Задача 8. Определить средние квадратические погрешности :

результатов отдельных измерений,

средних арифметических значений из результатов двойных равноточных измерений длин сторон теодолитного хода,

относительные погрешности этих сторон.

Исходные данные и математическая обработка результатов измерений представлены в табл. 5.

Таблица 5 Оценка точности результатов двойных равноточных измерений

Номера сторон	Результаты измерений длин сторон хода, м	l среднее , м	d , см	d2 , см	d ' , см	d ' 2, см
	l прямо	l обратно
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	145,65	145,74	145,695	9	81	4,5	20,25	1:4900
2	156,09	156,09	156,090	0	0	4,5	20,25	1:5200
3	205,58	205,62	205,600	4	16	0,5	0,25	1:6900
4	144,67	144,63	144,650	4	16	8,5	72,25	1:4800
5	174,56	174,69	174,625	13	169	8,5	72,25	1:5800
6	125,51	125,26	125,235	5	25	0,5	0,25	1:4200
			27 27 35	307	0,0 185,50 Контроль :

Обработку результатов измерений выполняют в следующей последовательности.

В колонки 2 и 3 таблицы 5 выписывают из полевых журналов результаты l измерений длин сторон.

Вычисляют средние арифметические значения ( l ср. ) из результатов l измерений каждой стороны в прямом и обратном направлениях

и записывают их в колонке 4.

Находят разности

(колонка 5) и их сумму

Проверяют выполнение условия | [ d ] | ? 0,25 [ | d | ] ;

[ | d | ] = 35; 0,25 [ | d | ] = 8,75;

Условие не выполнено, значит оценку точности результатов измерений следует выполнять по формулам (4.73) - (4.75).

5. Вычисляют величину систематической погрешности разностей d

6. В колонке 7 записывают разности свободные от систематической погрешности и.

7. Квадраты разностей , их сумму заносят в колонку 8, контролируя значение суммы по формуле

8. По формулам (4.73) - (4.75) вычисляют средние квадратические по грешности :

разностей результатов двойных равноточных измерений

результатов отдельных измерений

средних арифметических значений из результатов двойных равно

точных измерений

В колонке 9 записывают относительные погрешности результатов измерений, вычисляемые по формуле

Задача 9. В теодолитном ходе равно точно измерено семь горизонтальных углов двумя полуприемами каждый и получены результаты этих измерений вR,i и вL,i , где вR,i - значения углов, полученных в первом полуприеме - при положении вертикального круга теодолита справа (КП);

вL,i - значения углов, полученных во втором полуприеме - при положении вертикального круга теодолита слева (КЛ);

i = 1, 2, 3,…, n номера углов и их число.

Определить средние квадратические погрешности:

mв - результатов измерений углов в полуприемах;

mв,ср. средних арифметических значений углов в приемах - по разностям результатов двойных равноточных измерений углов в полуприемах. Решение представлено в таблице 6. Вычисления выполняют в последовательности, указанной для предыдущей задачи.

Таблица 6 Оценка точности результатов измерения горизонтальных углов

Номера углов	Результаты измерений	di= вR - вL	di2	Основные формулы И вспомогательные вычисления
	I полуприем вR	II полуприем вL
1	2	3	4	5	6
1	179є 56,9ґ	179є 56,2ґ	+ 0,6ґ	0,36	Условие: 1,0ґ = 0,25· 4,0ґ 2. 3.
2	179 58,1	179 58,9	0,8	0,64
3	180 01,2	180 00,4	+ 0,8	0,64
4	180 08,5	180 08,0	+ 0,5	0,25
5	179 46,9	179 47,4	0,5	0,25
6	202 37,8	202 38,0	0,2	0,04
7	179є 43,4ґ	179є 42,8ґ	+ 0,6ґ	0,36
		+ 1,0ґ + 1,0 + 4,0	2,54

Неравноточные измерения

12. Общая арифметическая середина. Веса результатов измерений

Пусть имеется физическая величина (угол, отрезок линии, превышение и т.п.), точное (истинное) значение которой равно X.

Эта величина измерена равно точно N раз несколькими сериями и получены результаты , этих измерений, здесь i = 1, 2, 3,…, k номера серий измерений и их число; j =1, 2, 3,…, ni - номера измерений в каждой серии и их число.

Примем, что число измерений ni в каждой серии неодинаково, т.е.

(88)

Обозначим среднюю квадратическую погрешность результатов равноточных измерений через м. В каждой серии можно определить наиболее точное по вероятности значение результата xi , как среднее арифметическое из результатов равноточных измерений:

и их средние квадратические погрешности

Величины xi результаты неравноточных измерений, для которых по условию (88). Возникает задача, как по результатам xi неравноточных измерений найти наиболее точное по вероятности значение измеряемой величины - X0.

Так как результаты равноточных измерений, то на основании (4.7), вероятнейшее значение X0 из этих результатов равно

В свою очередь:

С учетом (93) равенство (92) перепишем в виде

Подставим значения для ni в равенства (94), (97)

Величины (99)

называют весами результатов xi неравноточных измерений.

С учетом (99) выражение (98) примет вид

Величину X0 , вычисляемую по формуле (100) называют общей арифметической серединой , средним весовым , или средневзвешенным значением определяемой величины из результатов неравноточных измерений.

Величина общей арифметической середины не изменится, если все веса изменить в одинаковое число раз. Этим свойством следует пользоваться для упрощения вычислений. На практике общую арифметическую середину чаще всего вычисляют по формуле

(101)

которая получена из следующих рассуждений. В ряду результатов xi неравноточных измерений выберем наименьший по абсолютной величине и примем его в качестве приближенного значения искомой величины, т.е.

Умножив обе части этого равенства на соответствующие веса pi , получим

Найдем сумму уравнений (104) и разделим ее на [ pi ]

13. Средняя квадратическая погрешность единицы веса

На основании формулы (99) можно сделать вывод, что веса результатов измерений - положительные числа, обратно пропорциональные квадратам средних квадратических погрешностей этих результатов.

Пусть в ряду результатов измерений xi существует такой xj , вес которого равен единице, т.е. pj = 1.

Тогда и (106)

Величину называют средней квадратической погрешностью единицы веса или средней квадратической погрешностью результата измерения, вес которого равен единице.

Из выражения (99) видно также, что

(107)

Или

(108)

14. Средняя квадратическая погрешность и вес общей арифметической середины

Пусть x1, x2, x3, … , xn - результаты неравноточных измерений;

p1, p2, p3, … , pn - веса этих результатов.

Тогда

Обозначим где i = 1, 2, 3, … , n. С учетом обозначения формула (110) примет вид

(111)

Согласно с (42) можно записать

(112)

Но тогда

т.е. средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна отношению средней квадратической погрешности единицы веса к корню квадратному из суммы весов результатов измерений.

На основании формул (99) и (114) имеем

Таким образом, вес общей арифметической середины равен сумме весов результатов неравноточных измерений, из которых она определена.

15. Вычисление средней квадратической погрешности единицы веса

Рассмотрим способы вычисления средней квадратической погрешности единицы веса, применяемые в геодезической практике.

Вычисление м при установлении весов по известным средним квадратическим погрешностям m результатов измерений. Веса результатов измерений в этом случае устанавливают по формуле

в которой коэффициент c назначается с таким расчетом, чтобы значения весов pi было близким к единице. Тогда м вычисляют из выражения

(117)

Вычисление м по известным средним квадратическим погрешностям и весам однородных результатов измерений выполняют по формуле

(118)

где i = 1,2,3,… , n; n - число измерений, для которых известны mi и pi.

3. Вычисление м по известным истинным случайным погрешностям Дi функций измеренных величин и их весам pi

 (119)

Истинные случайные погрешности функций результатов измерений называют н е в я з к а м и и обозначают:

a) fв - угловая невязка в замкнутом многоугольнике, вычисляемая по формуле (120)

где n - число внутренних углов многоугольника, вi результаты измерений углов;

щ угловая невязка в треугольнике, которую находят из выражения

(121)

4. Вычисление м по вероятнейшим погрешностям результатов измерений, т.е. по внутренней сходимости результатов

(124)

где i = 1,2,3,…,n - номера и число измерений, pi - веса результатов.

16. Вычисление весов функций независимых аргументов

Имеем функцию

(125)

и веса аргументов

На основании формулы (39) можно написать

Разделим обе части этого равенства на

(127)

17. Порядок математической обработки результатов неравноточных измерений

Задача 10. Пусть, для определения высоты грунтового репера №29 (см.рис. 24) от фундаментальных реперов № 23 ,24 и 43 до определяемого репера проложено три нивелирных хода. Требуется по результатам трех неравноточных значений высоты репера №29 получить наиболее точное значение высоты этого репера. Высоты исходных реперов считать безошибочными. Исходные данные и результаты вычислений приведены в табл. 7 и 8. Таблица 7

Таблица 8 Исходные данные

Номера ходов	Высоты репера № 29 (Hi ), м	Число станций в ходах ( n )
1	403.895	4
2	403.883	7
3	403.890	5

Таблица 9 Обработка результатов неравноточных измерений

№ ходов ( i )	Высоты Репера №29 ( Hi ), м	Число станций ( n )	P	е , мм	Pе мм	Pе2	Х мм	Pх мм	Pх2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1 2 3	403,895 ,883 ,890	4 7 5	2,50 1,43 2,00	+12 0 + 7	+30,0 0,0 +14,0	360,0 0,0 98,0	5 7 0	+12,5 10,0 0,0	62,5 70,1 0,0
Hґ H0 Hок д	403,883 403,8904 403,890 +0,4 мм	? 5,93 +19 +44,0 458,0 2 +2,5 132,6 ; H29 = 403,890 ± 0,033 м

Обработку результатов неравноточных измерений выполняют в следующей последовательности.

В колонке 1 ( табл. 8 ) выписывают из табл. 7 номера нивелирных ходов (см. рис. 24), в колонке 2 - высоты репера №29, полученные при проложении нивелирных ходов 1, 2, 3.

Выбирают приближенное значение Hґ высоты репера №29 как наименьшее из Hi , т.е. Hґ = Hi, min , в нашем случае Hґ = 403,883 м.

В колонку 3 заносят число станций n в каждом нивелирном ходе.

В четвертой колонке записывают веса Pi результатов измерений для каждого хода, вычисляемые по формуле

(129)

где коэффициент, значение которого выбирают таким образом, чтобы величины весов были близкими к единице.

Формула (129) получена из следующих рассуждений. Считая результаты определения превышения h на каждой j - ой станции равноточными, примем в качестве весов (pj) этих результатов число л, т.е.

(130)

где mh - средняя квадратическая погрешность определения превышений на станции.

Веса результатов определения высоты репера №29 в каждом i ом нивелирном ходе равны

(131)

где средние квадратические погрешности определения высоты репера №29 в каждом нивелирном ходе, ni - число станций в каждом ходе.

На основании формул (109) можем записать



Откуда.

5. Уклонения заносят в колонку 5.

6. В колонках 6 и 7 записывают произведения , и их суммы.

7. По формуле (101) вычисляют наиболее точное по вероятности значение высоты репера №29

8. Это значение округляют до 0,001 м. Вычисляют уклонения результатов

определения высоты репера №29 по каждому ходу от округленного значения общей арифметической середины, т.е. которые

записывают в колонке 8.



9. В колонках 9 и 10 получают произведения и , их

суммы с контролем

где погрешность округления общей арифметической середины.

По формулам (124) и (114) вычисляют: среднюю квадратическую погрешность единицы веса

среднюю квадратическую погрешность общей арифметической середины

где N - число нивелирных ходов.

Среднюю квадратическую погрешность определения превышений на каждой станции находят из выражения



12. По формуле mH i = вычисляют средние квадратические погрешности определения высоты репера №29 по каждому нивелирному ходу

Окончательное значение высоты репера №29 записывают в виде

Литература

Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. М., Недра, 1977..

Вировец А.М. Высшая геодезия. М., Недра, 1970.

Геодезические работы в строительстве / Под ред. В.Н. Ганьшина. М., Стройиздат, 1984.

Захаров А.И. Геодезические приборы. М., Недра, 1989.

Инженерная геодезия. Учеб. Для вузов. Е.Б. Клюшин, М.И. Киселев и др. под ред. Д.Ш. Михелева. М.: Высш. Шк., 2001.

Инженерная геодезия: Учебник/Г.А. Федотов. 3е изд., испр. М.: Высш. шк., 2006.463 с.:ил.

Лебедев Н.Н., Новак В.Е., Левчук Г.П. Практикум по курсу прикладной геодезии. М., Недра,1977.

Селиханович В.Г., Козлов В.П., Логинова Г.П. Практикум по геодезии. М., Недра, 1978.

Стороженко А.Ф., Некрасов О.К. Инженерная геодезия. М., Недра, 1993

Размещено на Allbest.ru

...