Анализ точности геодезических засечек

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Государственный университет по землеустройству»

Факультет Городской кадастр

Кафедра геодезии и геоинформатики

Специальность Прикладная геодезия

Курсовая работа

Анализ точности геодезических засечек

Москва 2016



Введение

угловой засечка опорный базис

В геодезии применяются различные способы засечек, в зависимости от исходных данных: измеренных углов или/и расстояний. У разных засечек точность не одинакова, т.к. для получения координат исходного пункта используется разное количество линий и углов. В данной курсовой работе будут рассмотрены следующие виды засечек:

Прямая угловая

Прямая линейная

Обратная угловая

Обратная линейная

Прямая линейно-угловая

Обратная линейно-угловая

Полярная

Прямая угловая засечка предназначена для вычисления координат пункта, когда измерены углы при базисе и линиях, соединяющих опорные точки и определяемый пункт, а станциями наблюдения являются опорные пункты. Существует два способа определения координат пункта этим методом - способ Юнга (рис. 1) и способ Гаусса (рис. 2). Первый применяется в случае, когда между исходными пунктами имеется видимость, второй - когда видимость отсутствует. [1]

Рисунок 1. Схема прямой угловой засечки способом Юнга



Рисунок 2. Схема прямой угловой засечки способом Гаусса

Прямая линейная засечка предназначена для вычисления координат пункта, когда измерены расстояния от опорных точек базиса до определяемого пункта, наблюдения ведутся с опорных пунктов. Схема засечки показана на рисунке 3.

Рисунок 3. Схема прямой линейной засечки

Обратная угловая засечка предназначена для вычисления координат пункта по координатам трёх исходных и двум измеренным углам при определяемом пункте (рис. 4). Для контроля необходимо выполнить измерения на четвёртый исходный пункт. [1]



Рисунок 4. Схема обратной угловой засечки

Обратная линейная засечка предназначена для вычисления координат путем измерения расстояний от опорных точек базиса до определяемого пункта. По сути, это та же самая прямая линейная засечка, только длины линий измеряются не с опорных точек, а с определяемого пункта, то есть разницы между ними практически нет.

Прямая линейно-угловая засечка предназначена для вычисления координат определяемого пункта, когда измерены расстояния от опорных точек базиса до определяемого пункта и хотя бы один угол при базисе (рисунок 5).

Рисунок 5. Схема прямой линейно-угловой засечки



Обратная линейно-угловая засечка предназначена для вычисления координат определяемого пункта, когда измерены расстояния от опорных точек и угол при определяемом пункте.

Рисунок 6. Схема обратной линейно угловой засечки

Полярная засечка (или полярный способ) - один из самых простых видов определения координат пункта. С опорной точки до него измеряется расстояние и направление (рис. 7).

Рисунок 7. Схема полярного способа определения координат (полярной засечки)



1. Принцип оценки точности положения пункта в геодезических засечках

Точность положения пункта определяется его среднеквадратической погрешностью. Эта погрешность складывается из ошибок измерений углов и длин линий (рис. 8). Ошибка измерения длины линии является продольным сдвигом (a), ошибка измерения угла - поперечным (b). Так как сразу в обоих измерениях присутствуют ошибки, то, согласно нормальному распределению, положение пункта может меняться в зависимости от ошибок в области, называемой эллипсом погрешностей.

Рисунок 8. Продольный и поперечный сдвиг. Эллипс погрешностей

Если мы введем систему координат XY, то можем представить продольный и поперечный сдвиги, как сдвиги по осям X и Y. Тогда ошибку можно найти по теореме Пифагора:

.



2. Прямая угловая засечка

2.1 Исходные данные

Таблица 1. Исходные данные для прямой угловой засечки

Исходный пункт	Координаты, м
	X	Y
	+7620,957	+8999,860
O	+9506,489	+10099,607
Q (Для метода Гаусса)	+7563,810	+11684,520
)	+9584,202	+12397,445

=;

=;

=;

=;

Рисунок 9. Cхема прямой угловой засечки

2.2 Вычисление координат определяемого пункта

2.2.1 Формулы Юнга

Формулы Юнга применяются в случае, когда между исходными пунктами имеется прямая видимость и при них измерены углы и . В треугольнике по т. синусов:

, (2.3.1)

где B - длина базисной стороны

Приращение абсциссы, соответствующее расстоянию будет:

.

Имея в виду формулу (2.3.1), а также выражения:

.

Напишем:

=B*cos

Или:

.

Так как:

=,

;

,

То



.

Разделив числитель и знаменатель дроби на произведение *, получим:

. (2.3.2)

Аналогично найдем:

. (2.3.3)

Равенства (2.3.2) и (2.3.3) - формулы Юнга для приращений координат. Точно так же найдем формулы Юнга для приращений координат, соответствующие расстоянию O:

. (2.3.4)

. (2.3.5)

После вычисления приращений координат по формулам (2.3.2)…(2.3.5) дважды получают координаты пункта Р по формулам:

=+==+=.



Расхождение между первыми и вторыми значениями координат может быть только из-за влияния погрешностей округлений (в пределах трех единиц последнего знака).

Перенеся в формулах (2.3.2), (2.3.3) координаты и в правые части равенства и приведя затем каждую из этих частей, получим формулы Юнга для координат:

, (2.3.6)

.

Проведем вычисления:

= 9989.394 (м);

= 8164.268 (м).

2.2.2 Формулы Гаусса

Применяются, если между исходными пунктами нет прямой видимости. В этом случае нужно взять два других базиса, взяв соседние с опорные пункты. Измерим углы .



Рисунок 10. Схема прямой угловой засечки методом Гаусса

Дирекционные углы направлений с исходных на определяемый пункт вычисляют по формулам:

- ,

+ .

Для вывода формул Гаусса напишем известное соотношение:

=.

Отсюда:

= (2.4.1.)

Аналогично получим формулу:

=. (2.4.2.)



Равенства (2.4.1.) и (2.4.2.) представляют собой систему уравнений. Для избавления от вычтем из первого второе и выполним группировку:

() + .

Отсюда:

. (2.4.3.)

Вычтя из обеих частей равенства и приведя правую часть к общему знаменателю, будем иметь выражение:

. (2.4.4.)

Аналогично получим равенство:

. (2.4.5.)

Равенства (2.4.4.), (2.4.5) совместно с равенствами (2.4.1.), (2.4.2) являются формулами Гаусса для приращений координат. После вычисления приращений дважды получают значения координат пункта по формулам:

(2.4.6)

.



Сходимость двух значений» и двух значений у служит признаком правильности произведенных вычислений. Равенство (2.4.3.) представляет собой формулу Гаусса для непосредственного вычисления абсциссы». Значение ординаты вычисляют в этом случае по формулам:

=, (2.4.7)

=,

соответствующим формулам (2.4.1.) и (2.4.2).

Вычислив по формулам (2.4.7.), сравнивают полученные его значения. Расхождение не должно превышать трех единиц последнего знака.

Проведем вычисления:

- ,

+ =104,

=,

=,252 (м).



2.3 Оценка точности

2.3.1 Вывод формулы СКП положения пункта

По теореме синусов:

.

Выразим приращения координат через результаты измерений:

; .

Найдём производные:



Найдём квадраты СКП приращений:

СКП положения пункта, выраженная через длину базиса, имеет вид:

.

Если углы равноточные , то СКП положения пункта будет равно:

или . [1]

2.3.2 Оценка точности заданной засечки

Длина базисной стороны



b=== =2182.813 (м).

СКП решения:

==0,010 (м).



Раздел 3. Линейная засечка. Прямая и обратная

3.1 Исходные данные

Сущность однократной линейной засечки состоит в определении координат пункта по координатам двух исходных и двум измеренным сторонам от исходных до определяемого пункта. В основе решения задачи лежат теорема косинусов, прямая и обратная геодезические задачи.

Рисунок 11. Схема прямой линейной засечки

Таблица 2. Данные для задачи по прямой линейной засечке

Исходный пункт	Координаты, м
	X	Y
	+7620,957	+8999,860
O	+9506,489	+10099,607

;

.

3.2 Вывод формулы вычисления координат определяемого пункта

Для треугольника



Из прямоугольного треугольника

h=.

Знак «+» или «-» выбирают перед радикалом соответственно направлению следования вершин по или против часовой стрелки . Далее напишем формулу:

.

Так как то:

+,

Или

.

При численном решении удобнее использовать формулы:

q'=

= 0.5*(1+;

h'==0.8772842191.



Тогда приращения координат:

;

,

А координаты:

;

. [2]

3.3 Вычисление координат определяемого пункта

Найдем приращения координат:

=9506,489 -7620,957)+

+0.8772842191*(10099,607 - 8999,860) =+2368.304 (м);

=10099,607-8999,860)-

- 0.87728421919506,489 - 7620,957) = -835.540 (м),

И затем вычислим координаты:

7620,957+2368.304 = 9989.261(м);

8999,860-835.540 = 8164.320(м).



3.4 Оценка точности

Вывод формулы заключается в следующем:

- формула СКП линейно-угловой засечки (ее вывод представлен далее в пункте 5.3).

Т.к. у нас линейная засечка, то мы заменяем на :

- получаем формулу СКП линейной засечки (.

= .

3.5 Обратная линейная засечка

Обратная линейная засечка ничем не отличается от прямой линейной засечки, разница лишь в том, что в прямой расстояния до определяемого пункта нужно измерять, стоя на исходных пунктах, а в обратной - стоя на определяемом. Ход решения засечки от этого никак не изменится, поэтому в отдельный раздел она выноситься не будет.



Раздел 4. Обратная угловая засечка

4.1 Исходные данные

Рисунок 12. Схема обратной угловой засечки

Таблица 3. Координаты исходных пунктов для обратной засечки

Исходный пункт	Координаты, м
	X	Y
	+7620,957	+8999,860
O	+9506,489	+10099,607
	+11411,770	+9885,344

53

110.

Для оценки точности нам необходимы длины базисов, расстояния от их точек до опр. пункта и угол между базисами:

;

O;

2232.748 м;

1994.534 м;



4.2 Вывод формул Кнейссля

Для упрощения записей введем обозначения:

, , , ctg

Можно написать

tg tg (,

так как

Для упрощения записей перенесем начало координат в точку , сохранив направление осей координат. В новой системе координат:

(;), O (х'_o; у'_o), (;), (; ).

В последнем равенстве tg и tg выразим через новые координаты, a tg выразим через :

Так как =0 и= 0, то после некоторых преобразований получим соотношение:



или

(.

Раскрыв скобки и заново сгруппировав члены, будем иметь

(a

Аналогично получим:

(b

Обозначив коэффициенты и , а во втором - через , будем иметь систему двух уравнений с двумя неизвестными в виде:

;

.

Вычтем из первого уравнения второе:

( (=0.

Откуда следует, что:

.



Обозначим:

Тогда:

Откуда:

Подставив это выражение для в уравнения I и II, в результате некоторых преобразований получим:

=

Так как , то найдя их, можно вычислить c, а затем получить значения и . Чтобы иметь формулы в старых координатах, следует в выведенных формулах произвести подстановку

O,

Приведем сводку формул Кнейссля:



ctg;

,

= a,

b

c = = ctg;

==

y=x= [1]

4.3 Вычисление координат определяемого пункта

ctg;

10099,6079885,344= 214.263 (м),

11411,770 = -3790, 813 (м),

9885,344= -885,484 (м).

= ),

c = = ctg= 0.8264484758;

==

y= =- 8164.300 (м);

x= =

4.4 Оценка точности

m = - СКП обратной угловой засечки.

m =



Раздел 5. Прямая линейно-угловая засечка

5.1 Исходные данные

Рисунок 13. Схема прямой линейно-угловой засечки

Таблица 4. Координаты исходных пунктов для прямой линейно-угловой засечки

Исходный пункт	Координаты, м
	X	Y
	+7620,957	+8999,860
O	+9506,489	+10099,607

=;

=;

;

.

5.2 Вычисление координат определяемого пункта

Исходные данные позволяют нам вычислить координаты дважды, используя полярную засечку.

Решим обратную геодезическую задачу и найдем дирекционый угол базиса:

;

Затем передадим его на линию :

;

Найдем приращения координат :

1994. 534*cos= +482.870 (м);

= 1994. 534*sin= -1935.201 (м).

И вычислим координаты :

9506.489+ 482.870 = 9989.359 (м);

10099.607 - 1935.201 = 8164.406 (м).

Вычислим их второй раз, используя угол и сторону .Передадим дирекционный угол линии:

;

Найдем приращения координат :

*cos= +2368.301 (м);



= *sin= -835.547 (м).

И вычислим координаты :

7620,957 2368.301 = 9989.258 (м);

8999,860 835.547 = 8164.313 (м).

5.3 Вывод формулы СКП положения пункта

. (5.3.1)

Найдем производные от

* sin; (5.3.2)

* cos. (5.3.3)

Т.к. и - бесконечно малые величины, равно как и и , то возведем (5.3.2) и (5.3.3) почленно в квадрат и заменим знаки дифференциалов на знаки ошибок:

*; (5.3.4)

*. (5.3.5)

Теперь подставим (5.3.4) и (5.3.5.) в (5.3.1) и после приведения подобных членов получим формулу СКП линейно-угловой засечки:



. [3]

5.4 Оценка точности

5.5 Контроль вычислений

В данном решении необходимо провести контроль вычислений и затем найти конечные, средние значения координат исходного пункта.

Таблица 5. Значения координат исходного пункта, полученного из двух решений в линейно-угловой засечке

	Решение 1	Решение 2
X, м	9989.258	9989.359
Y, м	8164.313	8164.406
СКП, м		0.095

M=);

= 0.137 (м) ? 3*0.137 (м). - Контроль выполняется.

Тогда найдем конечное решение по формулам:



Раздел 6. Сравнение точности геодезических засечек

Контроль вычислений.

Таблица 6. Полученные данные из решения задач

Засечка	Прямая угловая (ф. Юнга)	Прямая угловая (ф. Гаусса)	Прямая линейная	Обратная угловая	Линейно-угловая
i	1	2	3	4	5
X, м	9989.394		9989.261		9989.309
Y, м	8164.268	8164.252	8164.320	8164.300	8164.360
СКП, м	0,010	0,010

Контроль вычислений выполняется между двумя решениями следующим образом:

M=;

? 3M.

В этом случае контроль выполнен.

Будем сравнивать прямую угловую засечку, решенную по формулам Юнга со всеми остальными и дополнительно проведем контроль вычислений в линейно-угловой засечке, т.к. два результата получены одним и тем же способом.

M=);

=0.016 (м) ? 3*0.014 (м). - Контроль выполняется.

M=);

=0. 142(м) ? 3*0.012 (м). - Контроль не выполняется. Исключаем прямую линейную засечку.

M=);

=0.038 (м) ? 3*0.016 (м). - Контроль выполняется.

M=);

=0.125 (м) ? 3*0.134 (м). - Контроль выполняется.

6.2 Оценка точности засечек

Из оставшихся решений найдем среднее:



Вычислим коэффициент корреляции между этими решениями:

, = 0.058.

Найдем СКП положения пункта:

.

+*+

) + =

.

Аналогично,

CКП положения пункта:



.

Тогда координаты :

X

6.3 Анализ полученных результатов

Таблица 7. Анализ точности засечек

	Прямая угловая (ф. Юнга)	Прямая угловая (ф. Гаусса)	Обратная угловая	Линейно-угловая
X, м	9989.394	9989.261		9989.309
Y, м	8164.268	8164.320	8164.300	8164.360
	0.139	0.147	0.142	0.165

Наименьшая погрешность (отклонение от среднего) у прямой угловой засечки, решенной по формулам Юнга. Следовательно, в моей работе это самая точная засечка, за ней идет обратная угловая, за ней - прямая угловая, решенная по формулам Гаусса и за ней, последняя, линейно-угловая. Однако, следует отметить, что точность зависит еще и от точности исходных данных, поэтому возможны и другие варианты точности засечек.



Список использованной литературы

1. Кузнецов А.И. - Методические указания по решению задач по засечкам: https://disk.yandex.ru/client/disk/Методички%20и%20рейтинги/2%20ПГ/Архив%20заданий%20и%20методичек.

2. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Г. - Геодезия. - М.: КолосС 2006 - 598 с.

3. Зайцев А.К. - лекции по геодезии в группе 21ПГ, ГУЗ 2016.

Размещено на Allbest.ru

...