Методика расчета гидравлических сопротивлений вязкой жидкости в трубопроводах

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Виды гидравлических сопротивлений

Вязкость жидкости является основной причиной возникновения сопротивления движению и тем самым вызывает потерю части механической энергии, являющейся потерянной энергией.

Гидравлическими сопротивлениями можно называть силы вязкостного трения, возникающие в реальной жидкости при ее движении. Сопротивления обусловливаются вязкостными силами трения и способностью самой жидкости сопротивляться изменению и восстановлению формы потока. В случае Движения идеальной жидкости силы трения отсутствуют, поэтому гидравлические сопротивления равны нулю.

Имеются два вида сопротивлений: сопротивления по длине и сопротивления местные.

Сопротивления, возникающие по длине потока жидкости, - сопротивления по длине. Для преодоления сил гидравлического трения, вектор которых направлен в обратную сторону движения потока жидкости, необходимо затратить механическую энергию. Потери механической энергии обусловлены работой сил трения. Работа сил трения по длине потока характеризуется касательными напряжениями, которые на участке длиной распределяются равномерно или достаточно равномерно. Потери напора (удельной механической энергии) по длине потока, затрачиваемые на преодоление сопротивления трения при равномерном или плавно изменяющемся неравномерном движении, называют потерями напора по длине и обозначают через .

Местными сопротивлениями называются участки потока жидкости, в которых происходит достаточно резкая деформация и средняя скорость изменяется по значению и направлению. Например, деформация связана с изменением сечения потока конечных размеров, переменой направления движения жидкости в трубопроводе. В результате деформации на местном участке имеет место достаточно резко изменяющееся неравномерное движение жидкости с вихреобразованием. Если длина участка сопротивления является весьма малой по сравнению с длиной потока, то потери напора по длине .

Потери напора, возникающие на отдельных коротких участках потока и связанные с его деформацией, называются местными потерями, обозначаются через .

Полные гидравлические потери напора при движении жидкости в трубопроводе с участками, где происходит деформация потока, можно выразить как:

, (1)

где - потери напора по длине; - сумма местных потерь напора.

Величина механической энергии на преодоление сопротивления движению потока жидкости, связанная с работой сил трения, безвозвратно теряется потоком, переходя в тепло, которое рассеивается со временем.

На потерю напора влияет характер движения потока жидкости. Например, характер течения воды в равнинной и горной реках существенно различается, а траектории движения частиц жидкости в них кардинально различны.

2. Режимы движения вязкой жидкости

Характер (вид) движения жидкости изучался в 1840-1880 гг. в Германии Г. Хагеном и в России Д. Менделеевым. Состояние движения потока может иметь струйчатый или беспорядочный характер. Когда струйчатость нарушается, частички жидкости движутся по весьма сложным траекториям. При струйчатом течении траектория движения частички жидкости ориентирована параллельно стенкам потока конечных размеров.

Весьма обширные и обстоятельные исследования по течению жидкости в трубе были проведены в 1883 г. английским ученым О. Рейнольдсом. Лабораторная установка (рис. 1), на которой проводились эксперименты, состояла из бака 1, стеклянной горизонтальной трубы 2 диаметром , частично находящейся в баке. В начале трубы имелся мундштук 3 (патрубок) с плавным переходом с большого входного отверстия на отверстие трубы. На конце трубы за пределами бака находился кран 4, с помощью которого можно было регулировать расход воды и среднюю скорость в стеклянной трубе .

Рис. 1. Схема стенда Рейнольдса: 1 - бак; 2 - стеклянная труба; 3 - мундштук; 4 - кран; 5 - резервуар с раствором; 6 - трубочка; 7 - краник

Над баком был установлен небольшой резервуар 5, заполняемый раствором анилиновой краски. К резервуару была присоединена тонкая трубочка 6, конец которой входил в мундштук по оси трубы. Для регулирования пуска раствора краски через трубочку в стеклянную трубу имелся краник 7. Раствор анилиновой краски имел практически одинаковую плотность с водой, находящейся в баке.

Опыты заключались в том, что, открывая кран на трубе, устанавливались определенные расход и скорость . Одновременно пускался из резервуара 5 раствор краски, который выходил из трубочки 6 в трубу 2.

При достаточно малой скорости в трубе струйка раствора образовывала внутри потока воды устойчивую несмешивающуюся окрашенную тонкую струйку. Данный опыт демонстрировал существование струйчатого характера движения жидкости. Несколько увеличивая среднюю скорость, наблюдалось такое же движение окрашенной струйки.

Движение жидкости, которому соответствует устойчивый струйчатый характер, является ламинарным движением. Название движения произошло от латинского слова lamina - слой. Ламинарный режим соответствует относительно малым скоростям и слоистому движению жидкости. Частички жидкости не перемешиваются друг с другом, и линии тока параллельны оси движения потока.

Ламинарным называется движение жидкости, при котором ее частицы совершают упорядоченное движение и траектории частиц мало отличаются друг от друга, так что жидкость рассматривается как совокупность отдельных слоев, движущихся с разными скоростями, не перемешиваясь друг с другом.

Ламинарное движение может быть как установившимся, так и неустановившимся.

Открывая кран больше, увеличивая тем самым скорость, струйка приобретает некоторый волнистый характер, и местами струйка может иметь разрывы. Следовательно, в этот промежуток времени будет происходить нарушение струйчатого движения воды, чему соответствует некоторая средняя скорость . Скорость получила название нижней критической скорости. При скорости будет иметь место нарушение струйчатого течения, и поток в трубе будет находиться в неустойчивом состоянии. Такой режим движения является неустойчивым.

При дальнейшем увеличении скорости потока в трубе струйка раствора исчезает. Частички этой струйки начинают перемешиваться с потоком воды. Частички раствора движутся в разном произвольном направлении, и при этом не наблюдается определенной закономерности их движения. Они имеют различные перемещения по пути движения. В результате перемешивания частиц вся масса воды, движущейся в трубе, становится несколько окрашенной. Такое движение можно считать беспорядочным. Переход движения потока в такое состояние происходит, когда скорость достигнет некоторой величины . Эта скорость называется верхней критической скоростью.

Движение, при котором наблюдается беспорядочный характер движения частичек жидкости по весьма сложным траекториям, является турбулентным движением, от латинского слова turbulentus - вихревой, беспорядочный.

Турбулентным называется движение жидкости, при котором ее частицы совершают неустановившиеся и неупорядоченные движения по достаточно сложным траекториям, в результате этого происходит интенсивное перемешивание различных слоев жидкости (рис. 2).

Рис. 2. Движение жидкости в трубе: а - ламинарное; б - неустойчивое (неупорядоченное); в - турбулентное

Турбулентное движение является неустановившимся движением.

Турбулентный режим наблюдается при больших скоростях, когда средняя скорость , при этом происходит интенсивное перемешивание частиц в потоке жидкости.

Таким образом, ламинарное движение в трубе имеет место, когда , турбулентное - .

В пределах , движение является неустойчивым ламинарным движением.

Малейшее возмущение потока приводит к переходу неустойчивого ламинарного режима в турбулентный. Возмущение может произойти в результате некоторого сотрясения трубы в виде толчка, наличия в потоке тела, находящегося в состоянии колебания, и т.д.

О. Рейнольдc на основании результатов опытов и использования размерностей физических величин установил, что величина критической скорости прямо пропорциональна динамической вязкости и обратно пропорциональна плотности жидкости и диаметру трубы :

(2)

где - кинематическая вязкость, ; - безразмерный эмпирический коэффициент, соответствующий .

Этот коэффициент получил название число Рейнольдса.

Нижней критической скорости соответствует критическое число , а верхней критической скорости - число .

Число Рейнольдса характеризует режим движения потока в трубе, движущегося со скоростью :

. (3)

Опыты, проведенные Рейнольдсом, подтвердили аналитические рассуждения, что ламинарный режим имеет место при , турбулентный режим, если .

На основании опытов Рейнольдса и многочисленных исследований других ученых для круглых труб критическое число Рейнольдса лежит в пределах . Для практических инженерных расчетов было принято значение . Ламинарный режим устанавливается, когда , т.е. , и числу соответствует критическая скорость . Ламинарный режим на практике наблюдается при движении по трубам вязких жидкостей: минеральных масел, глицериновых смесей, мазута.

Как было установлено опытами, вполне развитое турбулентное движение имеет место при . Это значение можно принять за , при котором средняя скорость будет соответствовать верхней критической скорости (). При будет неустойчивый (неупорядоченный) режим движения, т.е. переходная неустойчивая критическая область течения жидкости.

Число Рейнольдса, являясь безразмерной величиной, одинаково для всех жидкостей и газов, а также диаметров трубопроводов.

Однако для разных жидкостей и газов будут иметь место соответствующие критические скорости. В случае одинаковых диаметров труб и разных жидкостей критические скорости пропорциональны кинематическим вязкостям:

. (4)

Таким образом, при определении режима движения жидкости в трубопроводе необходимо знать его диаметр, вязкость жидкости и среднюю скорость. Вычислив число Рейнольдса, сравнивают его с критическими значениями и .

Экспериментами, проведенными Рейнольдсом, а также многочисленными данными, полученными разными учеными, было установлено, что гидравлические потери напора по длине трубы зависят от средней скорости , т.е. от режима движения. Опытным путем была определена зависимость . Опыты заключались в следующем. На трубе диаметром в сечениях 1-1 и 2-2 размещались пьезометры на участке длиной (рис. 3). Устанавливая в трубе разные расходы, находилась средняя скорость и измерялись показания пьезометров в сечениях , .

Разность показаний пьезометров - потери напора по длине:

. (5)

На основании опытных данных был построен график (рис. 4), на котором нанесены значения критических скоростей и . На графике можно отметить следующие зоны. В зоне а при средней скорости (ламинарный режим) потери напора в трубе прямо пропорциональны скорости :

. (6)

Рис. 3. Определение потерь напора по длине трубы

Рис. 4. Зависимость потерь напора по длине от скорости

В зоне в, где (турбулентный режим движения), потери напора выражаются параболической функцией:

, (7)

где - некоторый размерный коэффициент; - показатель степени.

В зоне в показатель степени с увеличением скорости изменялся от 1,75 до 2.

Между ламинарной и турбулентной зонами находится зона б неустойчивого движения, где . В этой области струйчатое движение нарушается, как и неустойчиво гидравлическое сопротивление.

За интервал времени может наблюдаться как упорядоченное (струйчатое) движение, так и беспорядочное, т.е. в этой области жидкость находится в промежуточном неустойчивом состоянии. В этой зоне не удалось получить функциональную зависимость .

Для турбулентного движения при больших скоростях и числах Рейнольдса показатель степени . Это область квадратичного сопротивления:

. (8)

Коэффициент В учитывает размеры трубы и ее внутреннюю шероховатость поверхности, вид жидкости, ее плотность и вязкость.

При показателе степени в пределах движение жидкости будет происходить в области доквадратичного сопротивления.

¦ Пример 1.

Определить критическую скорость, отвечающую переходу от ламинарного режима движения к турбулентному, для трубопровода диаметром мм при движении в нем воды, минерального масла и воздуха при их температуре 20°.

По таблице П 1.3 приложения находим кинематическую вязкость веществ:

вода - м2/с; минеральное масло - м2/с;

воздух - м2/с

Считаем, что переход от ламинарного режима движения к турбулентному происходит при .

, .

Для воды м/с.

Для масла м/с.

Для воздуха м/с.

3. Основное уравнение установившегося равномерного движения жидкости

Рассмотрим равномерное установившееся движение потока конечных размеров, произвольной формы, наклоненного под углом к горизонту. При равномерном движении средние скорости , живые сечения по длине потока постоянны.

Выделим в потоке участок между сечениями 1-1 и 2-2 длиной (рис. 5).

Рис. 5. К выводу уравнения равномерного движения

Ось С-С, относительно которой будем рассматривать внешние силы, действующие на объем жидкости между выбранными сечениями, проходит по оси потока. При равномерном движении потока скорости в сечениях по длине постоянны, . Написав уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0, получим, что потери напора по длине на участке длиной :

. (9)

Определим все внешние силы, действующие на участок потока между сечениями 1-1 и 2-2.

1. Сила тяжести участка:

, (10)

где - удельный вес жидкости; - площадь живого сечения.

Сила тяжести G приложена в центре тяжести участка и направлена вертикально вниз.

Проекция силы тяжести на ось С-С

, (11)

где - угол наклона оси С-С к горизонту.

Из рис. 5 видно, что разность:

. (12)

Тогда:

. (13)

гидравлический давление вязкостный напор

2. Силы давления.

При равномерном плавно изменяющемся движении гидростатическое давление в разных точках плоского живого сечения постоянно. Силы давления и в сечениях 1-1 и 2-2 нормальны к этим сечениям. Сила направлена в сторону движения потока, сила - в обратную сторону:

; (14)

Где , - давления в центре тяжести живых сечений 1-1 и 2-2.

3. Силы сопротивления движению.

Сила сопротивления - сила трения, возникающая при движении вязкой жидкости. Сила сопротивления , приложенная вдоль боковой поверхности стенок участка, направлена в сторону, противоположную движению потока, и называется силой внешнего трения. Кроме силы внешнего трения, возникающей на стенке, существуют силы внутреннего трения Т. При рассмотрении движения струек жидкости между ними возникают силы трения. Для струйки, движущейся с большой скоростью, сила трения направлена в обратную сторону ее движения, а для другой струйки с меньшей скоростью сила трения будет направлена в сторону движения.

Эти силы парные и равны друг другу. В связи с этим сумму сил внутреннего трения во всех струйках потока жидкости можно считать .

На стенке участка возникают касательные напряжения в результате трения между стенками русла (потока конечных размеров) и жидкостью.

Значение силы сопротивления:

, (15)

где - длина контура живого сечения, соприкасающегося со стенкой потока конечных размеров, - смоченный периметр; - площадь боковой поверхности участка жидкости.

Так как движение жидкости равномерное, то ускорение выделенной массы участка равно нулю. Можно считать что все внешние силы, приложенные к участку потока жидкости между сечениями 1-1 и 2-2, находятся в равновесии.

Сумма проекций всех внешних сил на ось С-С равна нулю, т.е.

. (16)

Подставим в (16) выражения (13), (14) и (15), тогда уравнение равновесия приобретает следующий вид:

. (17)

Разделим выражение (17) на , получим:

. (18)

Или:

. (19)

Подставив полученное выражение (19) в (9), получим зависимость потерь напора:

. (20)

Введем в формулу (20) гидравлический радиус . Тогда уравнение потерь напора по длине (20) примет вид:

(21)

Разделив уравнение (21) на длину участка , будем иметь:

. (22)

Отношение - гидравлический уклон.

Уравнение (22) представим в следующем виде:

. (23)

Полученное уравнение (23) называется основным уравнением установившегося равномерного движения.

Это уравнение можно применить как для ламинарного, так и для турбулентного движения. Потери напора по длине при равномерном движении потока жидкости конечных размеров любой формы:

. (24)

4. Потери напора по длине при равномерном установившемся движении жидкости

При равномерном установившемся движении жидкости в трубе средняя скорость и распределение скоростей по длине остаются неизменными.

Следовательно, при определении потерь напора по длине можно использовать основное уравнение равномерного движения как при ламинарном, так и турбулентном движении в круглой трубе, выразив касательное напряжение на стенке формулой:

.

Для круглой трубы диаметром гидравлический радиус (, площадь живого сечения , смоченный периметр ). Так как гидравлический уклон , то касательные напряжения на внутренней поверхности трубы при движении вязкой жидкости будут равны:

(25)

Опытами было установлено, что сила сопротивления при обтекании твердого тела вязкой жидкостью при установившемся движении зависит от определенных параметров и эти сопротивления можно представить в виде следующей функциональной зависимости:

, (26)

где V - скорость набегающего потока жидкости; - плотность жидкости; - кинематическая вязкость; - характерный линейный размер тела; - наибольшее сечение тела, которое перпендикулярно вектору скорости набегающего потока.

На основании анализов опытов и использования теории размерностей сила сопротивления может быть представлена следующей формулой:

, (27)

где b - некоторый безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления; - площадь тела.

Полагаем, что касательные напряжения, возникающие на поверхности тела, равны:

. (28)

Тогда:

. (29)

Воспользуемся полученной зависимостью для нахождения выражения по определению потерь напора по длине круглой трубы. Считаем, что касательные напряжения на поверхности трубы можно выразить зависимостью (29), V - средняя скорость в трубе.

Напишем равенство, используя формулы (25) и (29):

. (30)

Потери напора по длине определим из равенства:

. (31)

Умножив и разделив на 2 выражение (31), получим:

. (32)

Обозначим , - безразмерный коэффициент, который получил название коэффициента гидравлического трения.

Окончательная форма потерь напора по длине имеет следующий вид:

. (33)

Формулу (33) принято называть формулой Вейсбаха-Дарси.

Учитывая уравнение равномерного движения в виде (24), коэффициент гидравлического трения можно выразить в виде:

, (34)

где - динамическое давление.

Коэффициент пропорционален отношению касательных напряжений на стенке трубы к динамическому давлению, создаваемому потоком жидкости. В общем случае коэффициент гидравлического трения зависит от режима движения (ламинарного или турбулентного). На касательные напряжения на стенке трубы влияет шероховатость ее поверхности.

В случае безнапорного движения жидкости в различных руслах (каналы, канализационные и дренажные трубы) формула Вейсбаха-Дарси (33) не может быть применена. Для безнапорного установившегося равномерного турбулентного движения жидкости гидравлические потери по длине потока вычисляются по формуле Шези.

Для вывода формулы Шези используем зависимости (23) и (29) для. Напишем равенство:

. (35)

Средняя скорость в русле из (35):

. (36)

Или, учитывая, что :

(37)

В полученной зависимости обозначаем . Коэффициент С получил название коэффициента Шези.

Средняя скорость при равномерном движении жидкости в русле:

. (38)

Расход в русле площадью живого сечения составляет:

. (39)

Зависимости (38) и (39) называют формулами Шези.

Формулы Шези могут служить для определения средней скорости в случае установившегося равномерного движения жидкости не только в безнапорных руслах, но и в трубах.

Следует учитывать, что формула применима только в случае квадратичной области сопротивления. Значения коэффициента С определяются по эмпирическим формулам, полученным в результате опытов с открытыми руслами и трубами.

Для удобства использования формул Шези вводят следующие обозначения:

- модуль скорости, м/с;

- модуль расхода, м/с. (40)

С учетом выражений модулей скорости и расхода формулы Шези принимают вид:

;

. (41)

Гидравлические потери напора по длине трубы получим из формулы Шези, где :

; (42)

. (43)

Удобно формулу потерь напора по длине для квадратичной области сопротивлений выразить через расход:

; (44)

. (45)

Параметр А получил название «удельное сопротивление».

Формула (44) называется трубопроводной формулой.

Трубопроводную формулу можно получить, применив формулу Вейсбаха-Дарси (33), выразив скорость через расход:

, (46)

.

Используя зависимости (44), (45) и (46), можно определить связь коэффициента Шези С и коэффициента гидравлического трения , приняв полное наполнение жидкостью трубы:

,

; ,

Откуда:

. (47)

Размещено на Allbest.ru

...