Дослідження статистичного розподілу залишкових відхилень при різних підходах до цифрового моделювання рельєфу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Стаття

на тему: Дослідження статистичного розподілу залишкових відхилень при різних підходах до цифрового моделювання рельєфу

Виконав:

Р.В. Шульц

Об'єктом досліджень є рельєф земної поверхні, а предметом досліджень - методи та параметри цифрового моделювання. Метою роботи є дослідження різних методів математичного моделювання ЦМР за залишковими відхиленнями на контрольних точках. За аналізом залишкових відхилень пропонується встановлювати ступінь адекватності побудованої моделі реальним даним

Ключові слова: статистичний аналіз, дисперсія ассимметрії, ексцес, крігінг, радіальна базисна функція, рельєф

Keywords: statistical analysis, variance skewness, kurtosis, kriging, radial basis function, relief

Вступ

На сьогоднішній день існує безліч підходів до моделювання рельєфу місцевості. При цьому немає різниці яким чином отримані вихідні дані для моделювання. Це можуть бути результати геодезичних вимірювань, фотограмметричних вимірювань або картографічні дані. Особливо слід відмітити метод повітряного та наземного лазерного сканування, як найбільш прогресивний метод збору даних про рельєф місцевості. В будь-якому випадку при моделюванні використовують результати вимірювань, які теоретично підкоряються нормальному розподілу, оскільки вони отримані за результатами в загальному випадку геодезичних вимірювань. В такому випадку при побудові цифрової моделі рельєфу (ЦМР) за результатами вимірювань, залишкові відхилення в контрольних точках між виміряною висотою та висотою створеної ЦМР також повинні підкорятися нормальному розподілу та не спотворювати реальну картину рельєфу.

Аналіз літературних даних та постановка проблеми

Аналізуючи літературні джерела перш за все відмітимо фундаментальні роботи, що стосуються теорії похибок вимірювань та застосування нормального розподілу в геодезії. Ця предметна область є достатньо відомою і в ній отримано цілий ряд важливих теоретичних і практичних результатів. Так в роботах [1-4] розглянуто умови виникнення нормального закону розподілу або закону Гауса теорії ймовірностей та параметри нормального закону. Загальновідомо, що нормальний закон розподілу є найбільш розповсюдженим у природі законом розподілу ймовірностей випадкових величин; закон пов'язаний з багатьма іншими законами розподілу випадкових величин. Центральна гранична теорема стверджує, що нормальний розподіл виникає тоді, коли дана випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, вклад кожної з яких окремо у загальну суму є незначним. В подальшому в роботі ми скористаємося основними властивостями та параметрами нормального розподілу.

Головним питанням представленої роботи є дослідження як характеристики нормального розподілу проявляються при цифровому моделюванні рельєфу. В [5, 6] виконано аналіз питань цифрового моделювання рельєфу. Інтерактивні методи проектування інженерних споруд, аналіз просторових даних, управління територіями та природними ресурсами вимагають подання інформації про місцевість у цифровій формі. Отже, сучасні методи комп'ютерного опрацювання інформації базуються на створенні ЦМР, які слугують основою для географічних інформаційних систем (ГІС) і є пріоритетними для цілої низки наукових та виробничих завдань. Відомі в цій галузі вчені визначають ЦМР як цифрове і математичне представлення рельєфу місцевості на основі дискретної сукупності вихідних точок, які дозволяють із заданою точністю відтворити реальну поверхню та її структуру, тобто ЦМР являє набір точок та інтерполяційний алгоритм для визначення висот між фіксованими точкам. На підставі виконаного у [5, 6] аналізу можна стверджувати, що основні методи моделювання умовно поділено на такі відмінні групи: перша передбачає для моделювання рельєфу використання аналітичних функцій, зокрема методи базовані на застосуванні степеневих і ортогональних поліномів; сплайнів; радіальних базисних функцій; тріангуляції; скінченних елементів; R - функцій; рядів Фур'є; до другої групи відносяться статистичні методи, такі як, середнього вагового; вагових функцій; випадкових функцій; колокації; Крайгінга.

Аналіз основних чинників цифрового моделювання рельєфу, виконаний за напрямками: методи отримання вихідної інформації; технічні засоби отримання вихідної інформації; способи завдання вихідної інформації; теоретичні основи та експериментальні дослідження математичних функцій та інші методи математичного моделювання рельєфу; технологічні особливості створення ЦМР, виділення структурних елементів; створення цифрових моделей рельєфу за допомогою сплайн-функцій; сфери застосування; дослідження точності побудови цифрових моделей рельєфу на основі карто метричних даних, подано у [7-9].

У [10] розглянуто перспективу використання сучасних геодезичних технологій у вирішенні задач вертикального планування на прикладі програмного комплексу CREDO і Geonics.

На основі виконаного аналізу літературних даних можна зробити висновок, що надалі залишаються невирішеними питання вибору математичної моделі для опису ЦМР та інтерполяції точок на ЦМР. Проблема якісного і адекватного математичного моделювання є особливо важливою у задачах проектування об'єктів за ЦМР, зокрема, при вертикальному плануванні ділянки місцевості.

Ціль та задачі дослідження.

Об'єктом досліджень є рельєф земної поверхні, а предметом досліджень - методи та параметри цифрового моделювання. Метою роботи є дослідження різних методів математичного моделювання ЦМР за залишковими відхиленнями на контрольних точках. За аналізом залишкових відхилень пропонується встановлювати ступінь адекватності побудованої моделі реальним даним. Для досягнення поставленої мети, в роботі вирішено наступні завдання: за матеріалами повітряного лазерного сканування побудовано ЦМР різними методами моделювання рельєфу; на контрольних точках, що не використані при побудові ЦМР, для цих точок обчислено залишкові відхилення; виконано дослідження методів цифрового моделювання рельєфу та встановлено закони розподілу залишкових відхилень для різних методів моделювання. Встановлені закони дозволяють підібрати оптимальний метод моделювання, виходячи із припущення, що оптимальним в геодезії є нормальний закон.

Опис та результати моделювання рельєфу.

Короткий опис досліджуваних методів моделювання рельєфу

В роботі було досліджено наступні методи моделювання рельєфу:

Inverse Distance to a Power може бути як точним, так і згладжуючим інтерполяційним методом. Цей метод заснований на обчисленні вагових коефіцієнтів, за допомогою яких зважуються значення в точках спостережень при побудові інтерполяційної функції (рис. 1, а), (рис. 5);

Kriging - геостатистичний метод побудови моделі. У даному методі виділяють тренди, наявність яких передбачається в даних. Наприклад, точки високого рівня з'єднують уздовж гребеня, а не ізолюють за допомогою замкнутих горизонталей (рис. 1, б), (рис. 6);

Minimum Curvature широко використовується в науках про землю.

Рис. 1. Тривимірні моделі побудовані методами: а - Inverse Distance to a Power; б - Kriging; в - Minimum Curvature

Поверхня, побудована за допомогою цього методу, аналогічна тонкій пружній плівці, що проходить через всі експериментальні точки даних з мінімальним числом вигинів. Метод мінімальної кривини, однак, не є точним методом. Він генерує найбільш гладку поверхню, яка проходить настільки близько до експериментальних точок, наскільки це можливо, але ці експериментальні точки не обов'язково належать інтерполяційної поверхні (рис. 1, в), (рис. 7);

Modified Shepard's Method використовує зворотну зважену відстань. Метод схожий на Inverse Distance to a Power, він може бути, як інтерполяційним так і апроксимаційним (рис. 2, а), (рис. 8);

Natural Neighbor є досить популярним в деяких областях. Розглянемо набір полігонів Тіссена (подвійної тріангуляції Делоне). Якщо нова точка буде додана до набору даних, ці багатокутники Тіс- сена будуть змінені. Справді, деякі з полігонів будуть зменшуватися в розмірах, у той час як жоден не збільшуватиметься в розмірі. Область, пов'язана з ціллю багатокутника Тіссена, яка була отримана з існуючого багатокутника називається "Займана площа". Алгоритм методу використовує середнє зважене сусідніх спостережень, де ваги пропорційні "займаній площі".

Відмітимо дуже важливу особливість сьогоднішніх методів збору даних про рельєф місцевості. Так метод повітряного лазерного сканування дозволяє отримувати точки з такою щільністю, що функція методів цифрового моделювання рельєфу пов'язана із подальшим згущенням мережі точок практично відпала і основним завданням зараз є вибір математичної моделі методу для інтерполяції відміток точок між виміряними точками (рис. 2, б), (рис. 9).

Nearest Neighbor - метод інтерполяції, при якому в якості проміжного значення вибирається найближче відоме значення функції. Інтерполяція методом найближчого сусіда є найпростішим методом інтерполяції. В 3D графіці реального часу часто використовується одночасно разом з mipmap (рис. 2, в), (рис. 10);

Polynomial Regression (поліноміальної регресії) використовується для виділення великих трендів і структур у даних. Цей метод є апроксимаційним, оскільки згенерована поверхня не проходить через експериментальні точки (рис. З, а\ (рис. 11);

Radial Basis Functions багатьма авторами розглядається як найкращий метод з погляду побудови гладкої поверхні, що проходить через експериментальні точки.

Метод радіальних базисних функцій є точним інтерполятором. Це означає, що інтерполяційна функція в точках спостережень збігається в точності з заданими значеннями. Однак, маючи певні припущення про точність вихідних даних можна ввести згладжуючий фактор для того, щоб отримати більш гладку поверхню. Радіальні базисні функції аналогічні варіаграмамам, використовуваним в методі Кріге. Ці функції визначають оптимальну модель ваг, за допомогою яких зважуються значення функції в точках спостережень при побудові інтерполяційної функції (рис. 3, б), (рис. 12);

Triangulation with Linear Interpolation використовує оптимальну тріангуляцію Делоне. Алгоритм створює трикутники, малюючи лінії між точками даних. Вихідні точки з'єднані таким чином, що ніякі трикутники не перетинаються з іншими трикутниками. Цей метод інтерполяції точний.

Кожен трикутник визначає площину на вузлах сітки, що лежать всередині трикутника, нахил і висота трикутника визначаються трьома вихідними точками даних, що визначають трикутник. Метод працює найкраще, коли дані рівномірно розподілені по площі решітки (рис. 3, в), (рис. 13);

Local Polynomial визначає значення вузлів сітки за допомогою зважених найменших квадратів за даними в межах еліпса вузла сітки (рис. 4, а), (рис. 14);

Moving Average привласнює значення вузлам сітки шляхом усереднення даних в межах еліпса вузла сітки. Метод може включати структурні лінії даних і не рекомендується для створення карт з малих і середніх наборів даних (рис. 4, б), (рис. 15);

Опис ділянки моделювання рельєфу

Для дослідження методів моделювання рельєфу було використано фрагмент ЦМР, що утворена даними повітряного лазерного сканування. Розмір ділянки складає у 0,15434x0,14628 км. Крок сітки лазерного сканування складає 0.367 м. Очікувана точність визначення висотної складової заходиться в межах 15-20 см.

Результати моделювання рельєфу різними методами

Використовуючи розглянуті вище методи та вихідні дані повітряного лазерного сканування.

Рис. 2. Тривимірні моделі побудовані методами: а - Modified Shepard's Method; б - Natural Neighbor; в - Nearest

Рис. 3. Тривимірні моделі побудовані методами: а - Polynomial Regression; б - Radial Basis Functions; в - Triangulation with Linear Interpolation

Рис. 4. Тривимірні моделі побудовані методами: а - Moving Average; б - Local Polynomial

Рис.5 . Метод «Modified shepards method»

Графіки залишкових відхилень для різних методів моделювання

Безпосередньо виконати аналіз за отриманими моделями поверхонь неможливо. Тому, як було запропоновано раніше були утворені різниці та отримано залишкові відхилення, які наведено на графіках нижче.

Отримані залишкові відхилення вимагають поглибленого статистичного аналізу.

Рис. 9. Метод «Natural neighbor»

Рис. 10. Метод «Nearest neighbor»

Рис. 12. Метод «Radial basic function»

Рис. 13. Метод «Tnangulation with linear interpolation»

Рис. 14. Метод «Local polynomial»

Статистичний аналіз залишкових відхилень

Для виконання статистичного аналізу обчислимо основні статистичні характеристики для кожного методу побудови ЦМР. Результати розрахунків представлені в табл. 1.

Для дослідження нормальності спершу використаємо найпростіший критерій асиметрії і ексцесу. Приймемо ексцес E_k та асиметрію S_k.

Розрахуємо дисперсію ассимметрії

Гіпотеза про нормальність розподілу залишкових відхилень приймається при дотриманні наступних умов

Таблиця 1 Основні статистичні характеристики

Таблиця 2 Дослідження нормальності розподілу

Обговорення результатів статистичного дослідження залишкових відхилень.

Згідно з проведеними дослідженнями відхилення у жодному з методів не відповідають нормальному розподілу. Причин такої ситуації може бути декілька: цифрове моделювання рельєф

- у результатах вимірювань присутня значна систематична похибка, що призводить до зміщень у законі розподілу;

- характер обраної ділянки рельєфу не може бути описаний розглянутими математичними залежностями.

Висновки

З огляду на отримані результати у подальших дослідженнях необхідно до початку моделювання рельєфу виконати наступні дослідження:

- перевірити вихідні дані на наявність грубих і систематичних похибок, причому джерелом похибок можуть як засоби вимірювань так і помилки у виборі системи координат і висот;

- дослідити характер рельєфу місцевості за виміряними відмітками, з метою визначення спектральних характеристик рельєфу, що дозволить більш аргументовано встановити метод моделювання ЦМР.

Література

1. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей [Текст] / Е. С. Вентцель. - М.: Наука, 1964. - 576 с.

2. Зазуляк, П. М. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань [Текст]: навч. пос. / П. М. Зазуляк, В. Г. Гавриш, Е. М. Євсєєва, М. Д. Йосипчук. - Львів: Видавництво «Растр - 7», 2007. - 408 с.

3. Пряха, Б. Г. Про точність геодезичних вимірювань [Текст] / Б. Г. Пряха, Я. В. Білецький // Вісник геодезії та картографї. - 2003. - № 3 (30). - С. 43-49.

4. Колмогоров, А. Н. Основные понятия теории вероятностей [Текст] / А. Н. Колмогоров. - М.: Наука, 1974. - 119 с.

5. Бурштинська, Х. В. Теоретичні та методологічні основи цифрового моделювання рельєфу за фотограмметричними та картографічними даними [Текст]: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.24.02 / Х. В. Бурштинська. - Львів, 2003. - 226 с.

6. Бурштинська, Х. В. Порівняльний аналіз побудови цифрових моделей рельєфу з використанням апрокси- маційних функцій [Текст] / Х. В. Бурштинська // Геодезія, картографія і аерофотознімання. - 2001. - Вип. 61. - С. 137-148.

7. Бурштинська, Х. В. Дослідження точності побудови цифрових моделей рельєфу на основі картографічних даних [Текст] / Х. В. Бурштинська, О. С. Заяць // Вісник геодезії і картографії. - 2002. - № 2. - С. 26-31.

8. Бурштинська, Х. В. Теоретичні основи та експериментальні дослідження математичних функцій для побудови цифрових моделей рельєфу [Текст] / Х. В. Бурштинська, О. С. Заяць // Вісник геодезії і картографії. - 2002. - № 4. - С. 32-37.

9. Бурштинська, Х. В. Застосування сплайн-функцій для побудови цифрових моделей рельєфу [Текст]: конференція / Х. В. Бурштинська, О. С. Заяць. - «Кадастр, фотограмметрія, геоінформатика - сучасні технології і перспективи розвитку». - Краків, 2001. - С. 2.5.-2.11.

10. Островський, А. В. Перспективи використання сучасних геодезичних технологій у вирішенні задач вертикального планування. Вип. 53 [Текст]: наук.-техн. збірник / А. В. Островський. - К.: КНУБА, 2014. - С. 374-382.

References

1. Venttsel, E. S. (1964). Teoriya veroyatnostey [Probability theory]. Moscow: Nauka, 576.

2. Zazulyak, P. M., Gavrish, V. G., Evseeva, E. M., Yo- sipchuk, M. D. (2007). Osnovi matematichnogo opratsyuvann- ya geodezichnih vimiryuvan [Fundamentals of mathematical processing of geodetic measurements]. Lviv: Rastr - 7, 408.

3. Pryaha, B. G., Bhec'kij, Ja. V. (2003). Pro tochnist geodezichnih vimiryuvan [About precision geodetic measurements]. Visnik geodeziyi ta kartografyi, 3 (30), 43-49.

4. Kolmogorov, A. N. (1974). Osnovnyie ponyatiya te- orii veroyatnostey [Basic concepts of probability theory]. Moscow: Nauka, 119.

5. Burshtinska, H. V. (2003). TeoretichnI ta metodo- logichni osnovi tsifrovogo modelyuvannya relefu za fotogram- metrichnimi ta kartografIchnimi danimi [Theoretical and methodological basis of digital terrain modeling for photogrammet- ric and cartographic data]. Lviv, 226.

6. Burshtinska, H. V. (2001). Porivnyalniy analiz pobu- dovi tsifrovih modeley relefu z vikoristannyam aproksima- tsiynih funktsiy [Comparative analysis of digital elevation models using approximating functions]. Geodeziya, kartografi- ya i aerofotoznimannya, 61, 137-148.

7. Burshtinska, H. V., Zayats, O. S. (2002). Doslid- zhennya tochnosti pobudovi tsifrovih modeley relefu na os- novi kartografichnih danih [Study accuracy of digital elevation models based on mapping data]. Visnik geodeziyi ta kar- tografyi, 2, 26-31.

8. Burshtinska, H. V., Zayats, O. S. (2002). Teoretichni os- novi ta eksperimentalni doslidzhennya matematichnih funktsIy dlya pobudovi tsifrovih modeley relefu [The theoretical basis and experimental study of mathematical functions to build digital elevation models]. Visnik geodeziyi ta kartografyi, 4, 32-37.

9. Burshtinska, H. V., Zayats, O. S. (2001). Zastosu- vannya splayn-funktsIy dlya pobudovi tsifrovih modeley relefu [The use of spline functions for building digital elevation models]. «Kadastr, fotogrammetriya, geoinformatika - suchasni tehnologiyi i perspektivi rozvitku». Krakiv, 2.5.-2.11.

10. Ostrovskiy, A. V. (2014). Perspektivi vikoristannya suchasnih geodezichnih tehnologiy u virishenni zadach verti- kalnogo planuvannya Vol. 53 [Prospects of using modern surveying technology in solving problems of vertical planning]. Kyiv: KNUBA, 374-382.

Размещено на Allbest.ru