Крупномасштабная математическая модель пространственно-временной динамики ледяного покрова Японского моря

Область допустимых значений параметров модели характеризует динамическую систему с заданным выборкой наблюдений набором ее среднедекадных пространственно-временных состояний. Как правило, границы этой области задаются на основе априорной информации о рассматриваемом объекте. Здесь для указания границ были выполнены представленные в предыдущем разделе этой главы статистические исследования на той части выборки, которая характеризует припай прибрежных районов. На основании указанных расчетов были определены границы диапазонов изменений параметров модели (15): [0.001,0.08]; [0.001,0.009]; [0.001,0.09]; [0.001,0.09]. Для указания диапазонов изменения и в этих работах используется замеченный В.М. Карпецом факт: из наблюдений следует приблизительное совпадение границы морских льдов с изотермами приводного воздуха -8єС в северном и -7єС в южном полушариях. Диапазоны для остальных параметров определялись в интерактивном режиме при поиске решения задачи параметрической идентификации (21). В настоящем случае [1,10],[0.001,0.09], [0.001,0.009] и [1,10].

Сущность основанной на использовании разверток Пеано вычислительной схемы решения задачи (19) состоит в следующем. На отрезке [0,1] действительной оси выбирается последовательность точек , а затем определяются значения функции , где нижний индекс m указывает на номер разбиения координатными гиперплоскостями исходного гиперкуба; ? образ точки действительной оси, который вычисляется с помощью кривых Пеано; ?искомое решение. Тогда решением (21) является такое значение , при котором принимает свое минимальное значение. Для выбора такой последовательности точек следует указать эффективную стратегию их поиска, т. е. алгоритм одномерного поиска экстремума функции . В разработанной для моделирования динамики ЛП и построения прогноза его состояния информационной системе (ИС) «Ледяной покров Японского моря» для этих целей используется хорошо известный и надежный алгоритм метода золотого сечения.

Результаты решения задачи параметрической идентификации (19) с помощью кривых Пеано представлены на рис. 8 (цифрами отмечены порядковые номера последовательности вычисления при поиске решения).

Рис. 8 - Результаты решения задачи параметрической идентификации: а ?график функции , где цифрами отмечены порядковые номера последовательности ее вычисления; б? распределение остатков

Анализ результатов показывает, что при решении (19) генерируется неравномерное адаптивное покрытие области поиска точками вычислений . В окрестности решения имеет место рост плотности точек , что в конечном итоге и приводит к окончанию работы вычислительной схемы поиска минимума . Следуя этой схеме, непосредственному решению соответствует 0,236. Для ее нахождения, т. е. для решения задачи (19), требуется выполнить 20 вычислений. Тогда как при использовании градиентных методов только на одной итерации следует выполнить 25 таких вычислений. Для нахождения доверительных интервалов искомых параметров в точке минимума следует вычислить ?дисперсию ошибки оценки; ? ковариационную матрицу оценок параметров, где ?аппроксимация матрицы Гессе, алгоритм вычисления которой следует методу Гаусса (приращение аргумента при нахождении соответствующих частных производных здесь составляет 10, что в общем соответствует практическим рекомендациям). Оценки элементов для модели (16) определяются приведенными в таблице интервалами.

Размерности ? (м·єС·сут) (для удобства записи они приведены в масштабе площади открытого района акватории ); ? (м··сут); ? (·сут); ?м; (·сутки). При выполнении процедуры оценивания принимается совпадение и , что обусловлено достоверностью статистической гипотезы их совпадения. В первоначальной формулировке (15) и соответствующих расчетах полагалось различие их значений. Однако результаты оценивания указывают на выполнение указанной гипотезы. После ее принятия была вновь выполнена процедура оценивания.

Для оценки статистической состоятельности оценок исходная выборка была разбита на две части, первая из которых характеризует ЛП районов залива Петра Великого (районы с номерами 1?4,8 и 9 на рис. 1), а вторая ?ЛП остальных районов. Допустимость такого разбиения выборки обусловлена независимостью состояний ЛП этих районов. Далее процедура оценки выполнялась на основании каждой из этих выборок. Сопоставление полученных решений показывает их приемлемую для практики близость.

Значения найденных оценок параметров соответствуют качественным представлениям о характере и последовательности этапов циклов эволюции ЛП Японского моря. Так, выполнение неравенств и отвечают следующей ситуации. В результате проникновения коротковолновой радиации в лед его таяние происходит не только с верхней поверхности (при отсутствии разводьев величина стаивания сверху может быть в 5-6 раз выше, чем снизу), но также с боков, снизу и в самой толще ЛП (внутреннее таяние). И поэтому интенсивность таяния ЛП превосходит интенсивность его формирования даже в случае симметрии распределения температуры атмосферы, когда для этапа осеннего формирования и для этапа весеннего разрушения совпадают. Так известно, что при одной и той же температуре воздуха в ясные дни интенсивность таяния ЛП выше, чем в остальные дни. Поскольку скорости ветра на этапе формирования ЛП превышают их значения для этапа таяния, то интенсивность осеннего торошения превышает интенсивность весеннего торошения.

При решении (19) не используется система нормальных уравнений, которая получается приравниванием нулю элементов градиента функционала . Поэтому для оценки «качества» подгонки модели под используемый выборочный материал следует оценить статистическую значимость отличия оценки средней ошибки от нуля (при использовании нормальных уравнений эта величина автоматически равна 0). В настоящем случае =0,00172, а его стандартное среднеквадратичное отклонение =0,11023. Значение соответствующей t-статистики равно 0,01563, что существенно меньше соответствующего табличного значения. Поэтому принимается нулевая гипотеза , что указывает на хорошее качество подгонки модельных и наблюдаемых в экспериментах распределений. Применение такой методики оценивания степени соответствия наблюдаемых и модельных распределений для всей совокупности районов акватории позволяет оценить границы применимости предлагаемых здесь моделей эволюции ЛП. На рис. 9 представлены распределения мер близости между выборочными распределениями {} и их модельными распределениями. В случае рис.9а в качестве меры близости использовалось принятое в практике исследований морского ЛП соотношение

•100 %,

где ?число так называемых оправдавшихся прогнозов суммарной площади покрытия (допустимые погрешности прогнозов для этой величины составляют ±1 балл) в декаде, ?общее число прогнозов, которые можно оценить при наличии фактического материала. В случае рис.9б мерой близости выступает коэффициент корреляции между наблюдаемыми и модельными распределениями. Здесь диапазон изменения меры близости был разбит на 3-и части. Районы моря, где значения меры выше 75 % диапазона ее изменения, маркируются 1; районы, где значения меры от 50 до 75 % ? цифрой 2; цифрой 3 маркируются районы, где значения меры меньше 50 % диапазона ее изменения. Анализ рис.9 указывает на хорошую степень соответствия наблюдаемых и модельных распределений для большинства районов моря. В меньшей степени это относится к помеченным цифрой 3 районам моря, что обусловлено рядом обстоятельств. Так водообмен через проливы оказывает существенное влияние на гидрологический режим южной и восточной частей моря.

Рис. 9 - Карта степени соответствия наблюдаемых и модельных распределений площадей льда (а) и средних толщин (б) в отдельных районах акватории Японского моря

Втекающие через Корейский пролив субтропические воды ветви Куросио в течение всего года отепляют воды южных районов моря и воды, прилегающих к побережью Японских островов вплоть до пролива Лаперуза, в результате чего воды восточной части моря всегда теплее, чем западной. Поэтому в этих районах моря отмечается пониженное соответствие между указанными распределениями.

В работе также выполнен ряд вычислительных экспериментов, которые ориентированы на изучение последствий воздействия на ЛП Японского моря возможных изменений температуры атмосферы. Если сохраняются условия формирования и таяния ЛП ( и ), то при увеличении температуры 2-метрового слоя воздуха на 1єС суммарные потери площади льда составят 607 площадей акватории таких районов, а объемов льда - ЛП на акватории 432 районов толщиной 1 м. В данной ситуации площадь ЛП моря будет составлять 69% ее современного состояния, а объемы льда моря - 64 % этого состояния. При повышении температуры 2-метрового слоя воздуха на 5єС суммарные потери площади льда составят 2381 площадей акватории таких районов, а объемов льда - ЛП на акватории 1486 районов толщиной 1 м. В этой ситуации площадь ЛП моря будет составлять 24% ее современного состояния, а объемы льда - 16 % этого состояния.

В пятой главе выполнено обоснование актуальности построения предметно-ориентированного программного обеспечения для решения поставленных в работе задач. Для его построения выполнен обзор функций информационной системы (ИС), рассматриваются этапы построения ИС «Ледяной покров Японского моря» и алгоритмы решения задачи численного моделирования эволюции морского ЛП. Приводится функциональная структура системы.

Реализованная средствами MATLAB ИС «Ледяной покров Японского моря» ориентирована на выполнение исследований по выявлению статистических закономерностей изменения состояний ЛП Японского моря, построение на основании выявленных зависимостей математической модели его эволюции и прогноз состояний ЛП при заданных распределениях температуры и скорости ветра на стандартных горизонтах слоев воздуха. Программная реализация системы имеет модульную структуру. Для программной реализации алгоритмов использовались языки программирования C++,VB, MATLAB. Для построения такой предметно-ориентированной ИС требуются:

разработка способов количественного представления пространственно-временных состояний исследуемых объектов (модели данных);

создание программного обеспечения (ПО) для выполнения дешифрирования спутниковых снимков состояния ЛП моря;

создание ПО для выполнения анализа выборочных распределений параметров состояния ЛП моря;

создание ПО для численного решения уравнений модели эволюции ЛП моря, выполнения ее параметрической идентификации и оценки адекватности;

создание ПО для представления результатов моделирования эволюции ЛП моря и прогноза его состояний (визуализация, печать и запись результатов в разделы БД);

решение ряда задач для тестирования работоспособности предлагаемых методик и их программных реализаций;

создание ПО для организации многооконного интерфейса работы ИС.

Как правило, модель данных определяет способ их анализа, аппарат и пространственно-временной масштаб для последующего математического моделирования. Действительно, если пространственно-временное распределение некоторой характеристики представлено только временным распределением ее интегральной по площади величины (например, общая площадь льда на акватории моря), то используются методология и аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений. При детальном представлении данных (например, задано пространственно-временное распределение площадей льда) уместным является применение методологии и аппарата уравнений в частных производных. Здесь при построении модели данных учитывались особенности береговой линии моря и детальность представления исходных выборок данных. Поскольку акватория части моря, где за многолетний период наблюдений отмечалось хотя бы разовое присутствие ЛП, представляет собой вытянутую вдоль одного направления область, то для представления значения k-й градации некоторого динамического параметра ЛП X в r-м районе d-й декады y-го года принимается запись , где ? порядковый номер района (см. рис. 1). Напомним, что ?r при r?114 (значение X в открытой части акватории районов), а при 114 <r?166? характеризует значение характеристики льда припая. Полагается, что в прибрежном районе имеются зона открытого моря (ей приписан номер этого района, r?114) и участок припая (его номер >114). В системе хранится одномерный массив элементов, на основании которого определяется соответствие между участком открытой воды прибрежного района и участком расположения припая (понятно, что элемент этого массива отличен от нуля только для прибрежных районов). Для удобства решений уравнений в частных производных каждому поставлены в соответствие: географические координаты центра его района; координаты узла вычислительной сетки; номера 4-х его ближайших на акватории соседних районов n,n,n и n (квартет соседей). Узлы регулярной вычислительной сетки ,,, последовательно отвечают указанным номерам районов.

Форма представления результатов моделирования насчитывает в своем составе: тип и параметры используемых моделей, пространственно-временные распределения толщин льда для отдельных районов акватории открытой воды и припая. Пространственно-временные распределения толщин льда определяются массивом площадей толщины , где t- текущие сутки цикла эволюции ЛП моря, 1?t?220. Здесь мы приняли 10 равномерных градаций толщины 1?l?10 и =0,15 м. Графическое представление результатов может быть записано в файл растрового формата (BMP, GIF, JPG, PCX, PNG, TGA, TIFF) с возможностью выбора масштаба, коррекцией маркеров на отдельных линиях, нанесение текстового наименования осей и формирования поясняющего текста (легенды).

Для реализации указанных требований был выполнен комплекс исследований по определению структуры системы и составляющих предметных БД. В результате чего были разработаны следующие смысловые блоки ИС.

1. База атрибутивных данных. На данной стадии изучения ЛП Японского моря атрибутивными данными являются: наблюдаемые пространственно-временные распределения и , где временной шаг составляет одну декаду; пространственно-временные распределения толщин льда по площадям с неравномерным шагом изменения толщины и временным шагом одна декада; пространственно-временные распределения температуры на 2-метровом горизонте слоя воздуха (временной шаг составляет одни сутки); пространственно-временные распределения составляющих скорости ветра на 10-метровом горизонте слоя воздуха (временной шаг составляет одни сутки). В этой БД также хранятся сведения: векторное представление контура моря; географические координаты центра каждого района и соответствующие им порядковые номера узлов расчетной сетки (см. рис. 1); тип каждой ячейки (0 - внутренний узел расчетной сетки, 1 - граничный узел берег?море, 2 - граничный узел море ?море) вычислительной сетки; площадь района акватории; для граничных узлов сетки (тип узла равен 1) указаны направляющие косинусы нормали к линии берега. Для каждого выделенного района акватории хранятся номера его 4 ближайших на акватории соседних районов. Здесь же хранятся служебные сведения, сведения о настройках и размещениях файлов системы, протокол ведения интерактивного режима, массивы для справочной информации. В отдельный раздел БД записываются результаты расчетов.

2. Аналитический блок. Блок составляют методики, алгоритмы используемых процедур анализа данных, алгоритмы вычислительных процедур, математические модели термической динамики толщины и термической динамики площади, математических моделей торошения и формирования талой воды на верхней поверхности ЛП, математической модели эволюции пространственно-временных распределений характеристик ЛП моря. Работа системы организована таким образом, что имеется возможность согласованного подключения отдельных вариантов математических моделей. При реализации алгоритмов программ в зависимости от установочных настроек предусмотрена возможность промежуточной печати результатов в табличном, графическом и картографических видах на экран монитора или в раздел БД.

3. Программные средства. Настоящий блок составляют программы для решения рассматриваемых прикладных задач (обработка изображений, анализ данных, решение уравнений модели, математическое моделирование, параметрическая идентификация моделей и т. д.) и реализации функций ГИС-технологий, визуализация результатов анализа данных и математического моделирования, инструментарий для организации и ведения интерактивного режима работы в среде ИС.

4. База картографических данных. Указанная БД предназначена для хранения наборов цифровых топооснов ряда карт. Поскольку используемые и формируемые при работе рассматриваемой ИС тематические карты являются по своей сущности «двухслойным» (контур моря и распределение отдельных характеристик), то введение этой базы на данном этапе изучения ЛП моря обусловлено перспективой дальнейшего развития ИС «Ледяной покров Японского моря».

При построении ПО мы ориентировались на создание именно специализированного программного комплекса, поскольку разработка универсального ПО для решения «всех» задач предметной области нам представляется тупиковой. Действительно, для обеспечения универсальности обычно требуется усложнение структуры ПО и программ. Кроме того, понятно, что абсолютная универсальность недостижима. Разработка ПО выполнялась таким образом, чтобы имелась возможность добавления отдельных программ. Для согласованного вызова различных вариантов одной и той же функции их имена являются входными параметрами вызывающих их соответствующих функций. В программной реализации ИС имеется глобальная переменная VT (Variable Task). Указанная переменная определяет собой структуру, элементы которой являются доступными для отдельных функций системы (в ее программной реализации должен присутствовать оператор global VT). Значения элементов задают установочные параметры работы ИС, тип используемой модели, настройки работы отдельных функций, режим и параметры вычислений и т.д. Далее приводится ряд применяемых в ИС методик работы с этими пакетами и алгоритмы отдельных вычислительных процедур (они отсутствуют в пакетах расширения). Целесообразность их рассмотрения обусловлена принципиальной важностью выполняемых ими функций.

В заключении приводятся общие итоги работы, рассматриваются перспективы дальнейших исследований морского ЛП и ЛП Японского моря, которые ориентированы на решение актуальных научных проблем и прикладных задач.

Выводы

1. Выявлено статистически значимое совпадение температур на 2-метровом горизонте надледного слоя воздуха в момент первичного появления образований льда на акватории Японского моря и в момент их начального таяния.

2. Выявлен факт того, что состояние припая ЛП Японского моря определяет состояние ЛП в открытой части моря и наоборот.

3. Разработаны и исследованы модели термической динамики характеристик льдин (толщины, площади и массы), где учитываются ограничивающие их рост динамические факторы (снижение с ростом толщины ЛП потока тепла из воды в атмосферу; осолонение подледных вод солями, которое имеет место вследствие миграции солей изо льда в воду и т. д.) и формирование в толще ЛП на стадии ее таяния талых вод.

4. Разработана и исследована кинетическая модель формирования и таяния масс морских льдин, где учитываются дрейф и термическая динамика масс льдин, появление и выбывание льдин, переходы льдин открытого моря во льды припая при формировании ЛП и обратные переходы при его таянии, агрегация льдин и их дробление.

5. Выполнены построение и исследование крупномасштабной модели пространственно-временной динамики масс льда.

6. Разработана и исследована кинетическая модель формирования и таяния площадей и толщин морских льдин, где учитываются дрейф, термическая динамика площадей и толщин льдин, появление и выбывание льдин, переходы льдин открытого моря во льды припая при формировании ЛП и обратные переходы при его таянии, торошение льда, агрегация и дробление льдин.

7. Выполнены построение и исследование крупномасштабной модели формирования и таяния площадей и толщин ЛП Японского моря.

8. Разработана методика параметрической идентификации предлагаемых моделей. Для ее реализации многомерная задача поиска экстремума сведена к последовательности решений одномерных задач их поиска. Результаты применения методики показывают хорошую степень адекватности модели выборочным распределениям. Показана статистическая состоятельность оценок параметров модели.

9. Разработана методика составления прогноза состояния ЛП Японского моря при изменении температурного и ветрового режимов надледного слоя воздуха.

10. Разработана ИС «Ледяной покров Японского моря».

ОСНОВНОЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Четырбоцкий А.Н., Базыкин А.Д., Хибник А.И. Качественное исследование одной из моделей, описывающей динамику системы хищник-жертва с учетом насыщения и конкуренции: Препринт № 19 (106). Владивосток: ДВНЦ АН СССР,1983.31 с.

2. Тузинкевич А.В., Четырбоцкий А.Н. Модель сезонной динамики взаимодействующих видов // Математическое моделирование в популяционной биологии. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1985. С. 84-101

3. Четырбоцкий А.Н. Новый подход к решению задач многомерного шкалирования // Анализ данных и моделирование процессов в природных системах. Владивосток, ТИГ ДВО АН СССР, 1990. С.64-74.

4. Шемендюк Г.П., Бабцев В.А., Четырбоцкий А.Н. Статистическое исследование износов наружной обшивки судов ледового плавания // Морской транспорт. Сер. Техническая эксплуатация флота.1991. № 23 (763). 15с.

5. Четырбоцкий А.Н. Методы и алгоритмы решения задач снижения размерности пространства описания. Владивосток: ДВО АН СССР,1991. 95 с.

6. Четырбоцкий А.Н. Пакет прикладных программ для решения задач снижения размерности пространства описания //Управляющие системы и машины. Киев: Наукова думка.1991. Т.1(111). С. 103 - 106

7. Четырбоцкий А.Н. Идентификация моделей вертикального распределения плотности океанских водных масс // Информатика и моделирование в океанологических исследованиях. Владивосток: Дальнаука. 1999. С. 131-143.

8. Четырбоцкий А.Н. Локальная эволюция толщины ледяного покрова водных поверхностей // Тр .ТОВМИ им. адм. Макарова. 2001. Вып. 29.С. 117-123.

9. Четырбоцкий А.Н. Геохимический процесс минералообразования как динамика системы типа «ресурс-потребитель» // Электронный журнал «Исследовано в России», 114, с. 1257-1264, 2002 г.http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/114.pdf

10. Четырбоцкий А.Н., Плотников В.В. Ледяной покров Японского моря: исходные данные и процедуры восстановления пропущенных значений // Электронный журнал «Исследовано в России»,7, С.88-93 .2003г.http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/007.pdf

11.Четырбоцкий А.Н., Лукиянчук И.В., Руднев В.С. Кинетика островкового роста анодно-искровых покрытий // Журнал физической химии. 2004. Т.78.№ 3. С.536 - 539.

12.Четырбоцкий А.Н. Формирование и разрушение ледяного покрова замерзающих морей // Криосфера Земли. 2005. Т. IX.№ 3. С.45-53.

13.Четырбоцкий А.Н. Прогноз ледового режима на акватории Японского моря (математическая модель)//Информационные технологии.2005.№ 8. С. 9-14.

14.Четырбоцкий А.Н.Параметрическая идентификация математической модели эволюции ледяного покрова Японского моря // Изв.ТИНРО.2005.Т.143. С.149-178.

15.Четырбоцкий А.Н., Плотников В.В. Ледяной покров Японского моря: анализ данных и моделирование. Владивосток: Дальнаука. 2005. 146 с.

16. Четырбоцкий А.Н. Технология построения геоинформационных систем для ледяного покрова замерзающих морей (на примере ГИС «Ледяной покров Японского моря») // Информационные технологии. 2005.№ 11. С.17-23.

17. Четырбоцкий А.Н. Анализ данных состояний многокомпонентных систем (на примере ледяного покрова Японского моря) // Геоинформатика.2005.№ 4. С.53-61

18.Четырбоцкий А.Н. Статистический анализ параметров состояний ледяного покрова Японского моря и математическое моделирование его эволюции // Водные ресурсы. 2006.Т. 33. № 3. С.289-299.

19.Четырбоцкий А.Н. Эволюция толщины припая замерзающих морей // Метеорология и гидрология. 2006. № 3. С.79-87.

20. Четырбоцкий А.Н. Кинетика формирования анодно-искровых покрытий// Математическое моделирование.2006.Т.18.№ 7.С.69-81

21. Четырбоцкий А.Н. Параметрическая идентификация математической модели формирования плазменно-электролитических покрытий // Информационные технологии. 2006.№ 9. С. 60-67

22.Четырбоцкий А.Н. Эволюция распределения толщин ледяного покрова Японского моря//Изв. РАН. ФАО. 2006. Т.42. № 5. С.694-702.

23.Четырбоцкий А.Н. Мониторинг состояний многокомпонентных объектов в геоинформационных системах // Тихоокеанская геология. 2006.№ 5.С. 81-87

24. Четырбоцкий А.Н. Параметрическая идентификация крупномасштабной модели эволюции морского ледяного покрова (на примере ледяного покрова Японского моря) // Информационные технологии. 2006.№ 11. С. 12-20

25. Четырбоцкий А.Н. Модель пространственно-временной динамики ледяного покрова Японского моря // Метеорология и гидрология. 2007. № 1.С.65-74

26. Четырбоцкий А.Н. Распределение толщин льда Японского моря // Криосфера Земли. 2007.Т. Х1. № 1.С.37-44.

27. Четырбоцкий А.Н. Задачи крупномасштабного моделирования эволюции морского ледяного покрова // Метеорология и гидрология. 2007.№ 5.С.46-56

28. Chetyrbotsky A.N. Parametric model for vertical distribution of water mass density // Proc. Pacific/Asia Offshore Mechanics Symp., Pusan, Oct. 31- Nov. 2,1996, p. 33-36.

29. Chetyrbotsky A.N. Estimation of influence of a hotbed effect of conditions Japan sea ice cover//The 20th Proc. Int. Symp. On Okhotsk Sea & Sea Ice. February 20-24. 2005. p. 307-312

Размещено на Allbest.ru