Определение коэффициента фильтрации в плотине на основе математического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение коэффициента фильтрации в плотине на основе математического моделирования

Бейсембин К.Р.

Тар ГУ им.М.Х. Дулати, Тараз

Зависимость эмпирических коэффициентов фильтрации от напора и расхода плотины определяется как образец одномерной модели. Модель фильтрации по закону Прони, обобщающий закон Дарси имеет вид:

(1)

В случае выбора закона Дюпюи - Форхгеймера сложность заключается в подборе коэффициентов и в соотношении (1), отвечающим конкретным условиям фильтрационного процесса. В случае закона Дарси (при =0) коэффициент , где К-коэффициент фильтрации. Здесь единственным критерием определения коэффициентов и являются теоретические и экспериментальные исследования, в результате которых можно получить приближённую зависимость коэффициентов и от напора и расхода дамбы. В направлении оси ОХ рассматриваем постоянную фильтрацию однородной плотины (рис.1). А также принимаем, что плотина состоит из водонепроницаемого дна.

Смоделирована одномерная стационарная фильтрация в теле однородной фильтрующей дамбы в направлении оси О_X, схема которой приведена на рисунке 1.

Рис. 1. Схема к расчету фильтрации через однородную среду

Длина дамбы в направлении фильтрации (оси х) равна L, а ширина дамбы (в направлении оси у, перпендикулярной плоскости чертежа) равна 1. Предполагается, что дамба имеет горизонтальное непроницаемое основание и вертикальные стенки. Пусть вода и тело дамбы несжимаемы, где Н₀ - глубина воды в верхнем бьефе. H₁ - глубина воды в нижнем бьефе.

Составим математическую модель данной задачи на основе уравнений, считая течение одномерным и стационарным. Тогда областью фильтрации является отрезок [0,L] по оси х с границами х=0 и x=L. Выберем в качестве плоскости сравнение плоскость Оху, тогда глубина воды h(x) в точке х дамбы совпадает с гидростатическим напором Н(х) в (x)[0,L],

Напишем уравнение неразрывности для рассматриваемого процесса:

где - плотность жидкости;

v(x) - скорость фильтрации в точке;

h(x) - глубина водоносного слоя в точке х.

Пользуясь тем, что жидкость несжимаема и интегрируя последнее уравнение имеем:

(2)

В силу определения скорости фильтрации и сделанного выше предположения о единичной ширине дамбы:

фильтрация плотина математическое моделирование

(3)

где Q(x) - расход жидкости в точке х.

Следовательно, в силу (2) и (3) имеем:

и (4)

Подставляя выражение для v(x) из соотношения (1) в закон фильтрации получим:

, . (5)

Соотношение (5) есть искомое дифференциальное уравнение, описывающее фильтрацию в теле дамбы. К этому уравнению нужно добавить начальное условие:

(6)

на левой границе области фильтрации.

Таким образом, если задан расход фильтрующей дамбы Q, то искомый напор Н(х) является решением задач (5) и (6). Иногда вместо расхода задаётся напор на правой границе области фильтрации:

(7)

Тогда задача расчёта рассматриваемого безнапорного фильтрационного напора потока равносильна математической задаче определения Н(х) и Q из соотношения (5)-(7).

При решении этих задач коэффициенты и считаются заданными, при этом они, естественно, зависят от характеристик пористой среды и жидкости.

Решением задачи (5) и (6) или (5)-(7) называется положительная функция Н(х)>0, заданная на отрезке [О, L] (и число Q), удовлетворявшая соотношениями (5) и (6) или (5)-(7). Здесь условие положительности функции Н(х) заложено исходя из физической сути задачи, ибо отрицательные значения напора в теле плотины не имеют физического смысла. Исходя из физической сути явлений можем сказать, что если коэффициенты и определены правильно в соответствии с конкретными условиями рассматриваемой задачи, то на самом деле должно выполняться ещё одно условие:

Вопрос о существовании решения рассмотренных выше задач на всём интервале [0, L] открыт. Известные общие теоремы гарантируют существование и единственность решения в некоторой окрестности точки х=0, пока Н>0. Длина этой окрестности определяется коэффициентом Липшица правой части уравнения (5), что никак не связано с длиной дамбы L. Если длина дамбы достаточно большая, то решения рассматриваемых задач могут не существовать. Поэтому для корректности задачи коэффициенты и должны ещё зависеть от длины L плотины. Для демонстрации сказанного рассмотрим частный случай задачи (5) и (6), когда (модель на основе закона Дарси). Тогда полученная задача решается аналитически, и её решение имеет вид:

(8)

Как видно из этой формулы при положительное решениезадачи (5) и (6) не существует. Парадоксальная на первый взгляд зависимость а от длины плотины L становится понятной, если мы найдём из формулы (8):

(9)

Следовательно, а зависит не от длины L, а от координаты х, что правомерно для неоднородных пористых материалов. А если пористая среда является однородной, то напор Н(х) в теле плотины меняется таким образом, чтобы правая часть уравнения (9) оставалась постоянной величиной. Из уравнения (9) также следует, что если длина дамбы достаточно большая, то существование положительного по всей длине плотины решения зависит от начального напора Н₀ (чем больше L, тем больше должен быть Н₀).

Рассматриваем другой частный случай модели, когда . В этом случае задача (5) и (6) также решается аналитически:

(10)

Таким же образом можно решить и другие задачи, связанные с процессом фильтрации. Допустим, у нас есть экспериментальные значения напоров Н(х) при нескольких значениях х, а также нам известен (экспериментально) расход фильтрующей дамбы Q. Требуется найти коэффициенты и в законе (1), так, чтобы соответствующее решение задачи (5) и (6) наилучшим образом аппроксимировало экспериментальные данные.

Итак, пусть , значения напоров в точках , причём, , требуется найти такую, чтобы:

(11)

где - решение задачи (5) и (6) соответствующее значениям, фиксированным .

Из изложенного следует, что не для всех точек решение задачи (5) и (6) существует. Поэтому определим допустимое множество ДСR², в точках которого решение (5) и (6) существует. Считаем, что , если решение задачи (5) и (6) существует. Множество D называется допустимым множеством.

Итак, задача состоит в нахождении такую, чтобы было .

Для получения разрешимости поставленной задачи сначала исследуем зависимость от и .

Пусть . Тогда для всех .

Для доказательства этого обозначим соответствующие решения через . Тогда по определению решения для любого и

Умножим первое уравнение на второе - на, вычтем первое уравнение из второго и после элементарных преобразований получим:

(12)

где

и в силу начальных условий Н¹ (0)=0.

Тогда решение уравнения (12) дается формулой:

для всех .

Из показанных примеров следует, что если зафиксировать один из параметров или а другой параметр растёт, оставаясь в области D то соответствующее решение задачи (5) и (6) убывает с ростом отрезка [0, L]. Заметим ещё, что как легко видеть из структуры уравнения (5), если , то решение задачи (5) и (6) убывает с ростом х, то есть

Иначе говоря, решение монотонно зависит от и Тогда зафиксировав один из параметров, например, и изменяя другой, то есть , можем найти такое его значение, при котором достигает своего минимума. Затем, зафиксировав другое значение первого параметра, найдём соответствующее значение , доставляющее минимум. Таким образом, в области D существует некая линия , на которой достигает своей; минимума при каждом фиксированном . Далее минимизируя на этих линиях находим искомое значение (, ).

Для этого, учитывая сказанное в предыдущем пункте, займёмся отысканием (хотя бы приближённо) линии .

Умножим уравнения (4) и (5) на Н(х) и на Н²(х)

и проинтегрируем полученные уравнения по х от нуля до х с учётом (6)

(13)

(14)

Заметим, что в силу (3.14) V(x) = Q/H(x), и тогда из уравнений (13) и (14) получим:

(15)

или

(16)

В левой части (9) стоит среднее значение V_ср(x) скорости фильтрации V(x) на интервале [0, х], а в левой части (16) - среднее значение H_ср (x) напора Н(х) на [0, х].

Учитывая, что любое примем гипотезу:

(17)

Подставляя в (15) выражения H_ср V_ср из (16) и (17) имеем:

или после элементарных преобразований приходим к равенству:

(18)

Таким образом, в задачах (5) и (6) и между собой связано уравнением (18). Это уравнение, нужно отметить, приближённое, так как оно получено из гипотезы (17), которая выполняется не всегда точно. Тем не менее, в некоторых частных случаях оно дает точное решение. Теперь, для определения и , отвечающих экспериментальным данным достаточно взять любые две данные x₁, x₂, H(x₁), H(x₂) и подставляя их в уравнение (18) получим два уравнения относительно и . Рекомендуется в качестве одного из данных взять x_n=L u H_n=H(L), то есть точное решение задачи, конечную точку фильтрации. Здесь и появляется сказанная выше зависимость и от L. Тогда формула (18) примет более конкретный вид:

(19)

В случае, когда формула (18) даёт для а формулу (19) или формулу (8) для Н(х), то есть точное решение задачи (5) и (6). В другом частном случае, когда из (18) мы получаем формулу (18) для Н(х), то есть и в этом случае формула (18) является точной.

Литература

1. Арье А.Г. Физические основы фильтрации подземных вод. Москва, «Недра»

2. Гавич И.К. Гидродинамика. Москва, «Недра», 1983 г.

3. Бер Я., Заславский Д., Тирмей С. Физико-метематические основы фильтрации воды. Москва, «Мир», 1971 г.

4. Мироненко В.А. Динамика подземных вод. Москва, «Недра», 1983 г.

5. Полубаринова-Кочина П.Н. Теория движения грунтовых вод. Москва, «Наука», 1977 г.

Размещено на Allbest.ru