Адаптивные конечно-элементные аппроксимации в прямых и обратных задачах гравиразведки

Размещено на http://www.allbest.ru/

скейлинг призма задача граница

Статья по теме:

Адаптивные конечно-элементные аппроксимации в прямых и обратных задачах гравиразведки

А.В. Пугин

Эффективность современных компьютерных технологий во многом определяется алгоритмическими постановками, описывающими их методическую основу. Экономичность вычислительных схем играет важную роль при решении задач, требующих значительных временных затрат и производительных ресурсов ЭВМ.

В задачах, связанных с моделированием геологических сред, фактор размерности оказывает прямое воздействие на продуктивность технологии. Ключевым моментом, позволяющим снизить вычислительную нагрузку и повысить скорость решения, является включение в технологический цикл процедур анализа структуры данных.

Основная концепция моделирования геологического пространства заключается в представлении объема , содержащего источники поля (носителя масс), в виде совокупности конечных элементов - парциальных объемов простой геометрической формы. Упаковка

построена из не имеющих общих внутренних точек односвязных носителей таким образом, что справедливо неравенство

или ,

где - требуемая точность описания геометрии пространства.

При использовании цифровых моделей в виде квадратных матриц геометрических параметров (абсолютных отметок или глубин залегания контактных границ) наиболее рациональным элементарным носителем масс является прямоугольная призма. Кусочно-призматическая аппроксимация создает плотную и однородную упаковку, способную детально описать особенности морфологии геологических границ. Гравитационный эффект призмы определяется известным аналитическим выражением, что позволяет находить решение прямой задачи гравиразведки, задавая закон распределения плотности в модели, и принимая ее постоянной в каждой элементарной призме.

Недостатком данного способа является большая вычислительная сложность решения, проистекающая из весьма громоздкого аналитического описания гравитационного эффекта прямоугольного параллелепипеда. Даже с применением упрощенной формулы Ремпеля процесс вычисления модельного поля от конструкции, содержащей порядка 104-105 призм, занимает от нескольких минут до нескольких часов. Не говоря уже об итерационных алгоритмах решения обратных задач, требующих многократного выполнения решения прямой задачи.

Процедуры кратномасштабного анализа данных позволяют создать призматическую конструкцию, адаптирующуюся к особенностям геологических границ. В основе нового подхода к решению прямых задач гравиразведки, предложенного в начале первого десятилетия XXI века в работах А.С. Долгаля [1], лежит применение самоподобных базисов, обладающих иерархической структурой квадродеревьев. Частным случаем такой системы является быстрое вейвлет-преобразование (БВП) с ортонормированными функциями Хаара [4]. В результате разложения в ряд по системе вейвлетов Хаара и последующей процедуры синтеза с отбрасыванием незначительных по амплитуде коэффициентов количество призм значительно сокращалось. Упаковка же теряла однородность - призмы различной амплитуды и с разной величиной основания налагались друг на друга, что затрудняло решение прямой задачи.

В качестве развития данного подхода в работе [2] была предложена, ставшая центральной идея: в силу аддитивного характера гравитационного поля решение можно производить поэтапно при синтезе геологической поверхности, то есть непосредственно на выходе из пространства вейвлет-коэффициентов. Алгоритмическая постановка решения задачи была разработана позднее и изложена в работе [3].

В состав алгоритма входят следующие основные операции:

Применение процедуры БВП с системой вейвлетов Хаара к геологической поверхности, заданной в виде значений глубин или абсолютных отметок на множестве квадратной сети точек.

«Мягкое отбрасывание» незначительных по амплитуде коэффициентов вейвлет-ряда . Термин «мягкое отбрасывание» означает, что величина порогового значения определяется для отдельной ячейки каждого уровня разложения исходя из полной величины погрешности аппроксимации с прослеживанием по всем «предкам» и «потомкам» структуры дерева. Альтернативой является «жесткое отбрасывание» при фиксированном значении независимо от масштаба разложения, в случае которого оценка полной погрешности аппроксимации выполняется апостериори.

Выполнение синтеза поверхности с одновременным решением прямой задачи на каждом уровне восстановления.

В двумерной постановке произошел отказ от процедуры БВП и переход к построению классического ниспадающего квадродерева [4]. Это обусловлено большей гибкостью последнего перед БВП в отношении выбора скейлинга (скейлинг - среднее значение функции в ячейке дерева, создающее грубый образ объекта). В БВП скейлинг функция имеет фиксированный вид ступеньки единичной высоты. В классическом квадродереве в качестве скейлинга может выступать любое среднее из значений в ячейке (среднее арифметическое, медианное и т.д.), что в ряде случаев более удобно. Анализ возможных распределений значений в отдельной ячейке квадродерева показал, что корректный выбор среднего значения позволяет сократить количество аппроксимирующих призм в модели на несколько процентов от их общего числа. Кроме того, в методе квадродерева, в отличие от БВП, отсутствуют операции нормирования и денормирования коэффициентов преобразования, излишние при решении прямой задачи.

Предложенный алгоритм успешно апробирован на серии модельных и практических примеров при решении прямых задач гравиразведки структурного типа, и наглядно продемонстрировал эффективность в плане снижения вычислительных затрат. Целесообразность применения алгоритма при решении задач рудного типа с моделированием изолированных объектов определяется их размерностью, иначе говоря, количеством точек, определяющих геометрию объекта. Ограничений на работу метода в такой постановке нет - для его применения достаточно выполнить условную процедуру разделения ограниченного объема на две подобласти - верхнюю и нижнюю.

Отдельный интерес представляет включение метода в итерационные алгоритмы решения обратных задач. Можно предложить два основных варианта: первый заключается в определении геометрии контактной границы по выделенной составляющей гравитационного поля при заданной постоянной аномальной плотности на контакте. В этом случае создается генерализованная в базисе квадродерева призматическая аппроксимация геологической границы. Второй вариант - нахождение распределения плотности в слое с горизонтальными верхней и нижней границей (обратная задача в постановке, предложенной В.М. Новоселицким). Здесь выполняется адаптивная конечно-элементная аппроксимация распределения плотности в слое, аналогично первому случаю определяющая количество призм в модели. Независимо от выбранного варианта применение описанного выше алгоритма позволит существенно уменьшить вычислительную нагрузку и снизить временные затраты.

Список литературы

1. Долгаль А.С. Использование быстрого вейвлет-преобразования при решении прямой задачи гравиразведки // Доклады академии наук. - 2004. - Т. 399, № 8. - С. 1177-1179.

2. Пугин А.В. Компьютерные технологии интерпретации геопотенциальных полей на основе аналитических аппроксимаций и вейвлет-анализа: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук: 25.00.10: защищена 25.05.07 / Пугин Алексей Витальевич. - Екатеринбург, 2007. - 25 с.

3. Пугин А.В. Адаптивный алгоритм моделирования геологических объектов при решении прямой задачи гравиразведки / А.В. Пугин, Н.В. Веселкова // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 36-й сес. Междунар. семинара им. Д.Г. Успенского. - Казань: Изд-во Казан. ГУ, 2009. ? С. 262-265.

4. Уэлстид С.Т. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии: учеб. пособие / С.Т. Уэлстид. - М.: Триумф, 2003. ? 320 с.

Размещено на Allbest.ru