Равноточные измерения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория математической обработки геодезических измерений»

Тюмень 2018

1. Равноточные измерения. Обработка ряда равноточных измерений одной и той же величины

Равноточными называют измерения, какой-либо величины, выполненных одинаковыми по точности средствами измерений в одних и тех же условиях.

Равноточные измерения характеризуются одинаковой для всех результатов измерений средней квадратической ошибкой [1].

Если для определения некоторой величины X выполнен ряд равноточных измерений и получены результаты , то за окончательное значение принимают величину, вычисляемую как среднее арифметическое из всех результатов по формуле 1.1:

(1)

При числе измерений n, стремящемся к бесконечности, среднее арифметическое L стремиться к истинному значению X измеряемой величины.

Средняя квадратическая погрешность каждого отдельного измерения определяется по формуле 2:

(2)

где - уклонение от среднего арифметического.

Среднюю квадратическую погрешность арифметической середины определяется по формуле 3:

 (3)

Кроме оценки точности выполненных измерений, формула 1.3 может быть использована для расчета числа измерений, необходимого для достижения заданной точности М. Записывая формулу 1.3 относительно n, получим формулу 4:

(4)

Данную формулу используют для расчета числа измерений [3].

Математическая обработка ряда многократных независимых равноточных измерений одной величины:

Пусть выполнен ряд многократных, независимых равноточных измерений одной величины, истинное значение Х которой неизвестно. В результате измерений получены значения xi , свободные от систематических ошибок (это означает, что M(x)=X).

Под математической обработкой ряда равноточных измерений, которая выполняется с использованием для оценивания основных параметров метода максимального правдоподобия понимают:

1.Определение наиболее надёжного значения измеряемой величины (наилучшей оценки неизвестного истинного значения Х) -- простой арифметической средины осуществляется по формуле 5:

(5)

где -- наименьшее значение из ряда .

2. Oпределение средней квадратической ошибки отдельного результата измерений по формуле Бесселя 1.6 (оценка неизвестного параметра ) :

 (6)

где -- уклонения от арифметической средины, которые обладают свойствами:

a) б) .

3.Oпределение средней квадратической ошибки простой арифме- тической средины по формуле 1.7:

(7)

4. Построение доверительного интервала, с заданной вероятностью в накрывающего неизвестное истинное значение X осуществляется по форм. 8:

(8)

Таким образом выполняется математическая обработка ряда многократных независимых равноточных измерений одной величины [4].

В процессе геодезических работ или при исследованиях новых приборов и методов измерений часто одну и ту же величину измеряют многократно. Возникает необходимость получить окончательное значение из ряда измерений, а также оценку точности измерений и окончательный результат. При этом возникает также проблема отбраковки некачественно выполненных измерений. Рассмотрим последовательность обработки рядов равноточных измерений.

В результате обработки можно найти:

наиболее надежное (среднее арифметическое) значение измеряемой величины ;

среднюю квадратическую погрешность одного измерения m;

среднюю погрешность одного измерения ;

вероятную (срединную) погрешность одного измерения r;

фактические и теоретические соотношения и ;

погрешность средней квадратической погрешности одного измерения ;

среднюю квадратическую погрешность наиболее надежного значения .

Обработку выполним в следующей последовательности.

1. В качестве предварительного значения («ложного нуля») принимаем значение, расположенное примерно между максимальным и минимальным измерениями, получаем разности по формуле 1.9:

(9)

где - результаты измерений.

2. Наиболее надежное из всех измерений значение вычисляем по формуле простой арифметической середины 10:

(10)

3. Записываем отклонения отдельных измерений от наиболее надежного (среднего арифметического), т. е. . Для контроля получаем сумму [], которая должна равняться нулю. Незначительное отклонение от нуля объясняется ошибками округления при записи . Здесь же получаем сумму абсолютных значений отклонений .

4. Записываем произведения и . Контроль сходится в пределах точности вычисления и получения этих сумм.

5. Записываем абсолютные значения в порядке их возрастания.

6. Находим погрешности одного измерения. Средняя квадратическая погрешность находим по формуле 11:

(11)

Среднюю погрешность определяем по формуле 12:

(12)

Вероятную (срединную) погрешность выбираем из середины упорядоченного ряда как среднее и и находим по формуле 13:

(13)

7. Получаем фактические соотношения вида и .

8. Определяем погрешность полученной средней квадратической погрешности по формуле 14:

(14)

9. Находим среднюю квадратическую погрешность определения окончательного (среднего арифметического) значения по формуле 15:

(15)

Таким образом выполняется обработка рядов равноточных измерений в геодезии [2].

2. Задания по математической обработке геодезических измерений

2.1 Критерии оценки точности измерений

Дано: Линия, истинное значение длины которой равно 125,43 м, измерена 6 раз. Результаты измерений следующие: 125,56; 125,49; 125,39; 125,38; 125,44; 125,35 м.

Найти: Среднюю, вероятную и среднюю квадратическую погрешности одного измерения.

1. Составим расчетную таблицу:

Таблица 1

Номер измерения	Измеренное значение,
1	125,56	21	-8.29	-174.09	68.72
2	125,49	14	-8.36	-117.04	69.89
3	125,39	4	-8.46	-33.84	71.57
4	125,38	3	-8.47	-25.41	71.74
5	125,44	9	-8.41	-75.69	70.73
6	125,35	0	-8.5	0	72.25
	125.35 =133.85	= 51	= -50.49 = 50.49	= -426.07	= 424.9

1.В качестве предварительного значения («ложного нуля») принимаем значение, расположенное примерно между максимальным и минимальным измерениями, получаем разности по формуле :

= 125,56 - 125.35 = 21;

= 125,49 - 125.35 = 14;

= 125,39 - 125.35 = 4;

= 125,38 - 125.35 = 3;

= 125,44 - 125.35 = 9;

= 125,35 - 125,35 = 0.

= 51

2. Наиболее надежное из всех измерений значение вычисляем по формуле простой арифметической середины:

= 125.35 + = 133.85.

3. В столбец 4 записываем отклонения отдельных измерений от наиболее надежного (среднего арифметического), т. е. :

= 125,56 - 133.85 = -8.29;

= 125,49 - 133.85 = -8.36;

= 125,39 - 133.85 = -8.46;

= 125,38 - 133.85 = -8.47;

= 125,44 - 133.85 = -8.41;

= 125,35 - 133.85 = -8.5.

Для контроля получаем сумму = -50.49.

Здесь же получаем сумму абсолютных значений отклонений = 50.49.

4. Записываем произведения = -426.07 и = 424.9.

5. Вычислим среднюю квадратическую погрешность одного измерения:

= = 9.22.

Вычислим среднюю погрешность одного измерения:

= = 8.42.

Вычислим вероятную погрешность одного измерения:

= = 8.5.

Ответ: Средняя квадратическая погрешность равна 9.22, средняя погрешность одного измерения равна 8.42, вероятная погрешность одного измерения равна 8.5.

2.2 Обработка равноточных измерений одной величины

Дано: Значения угла, измеренного 6 приемами.

Найти: Вероятнейшее значение измеренного угла и произвести оценку точности.

1. Составим расчетную таблицу:

Таблица 2

№	L
1	93?26'42*	4	16	0	0
2	93?26'44*	6	36	2	4
3	93?26'40*	2	4	-2	4
4	93?26'49*	11	121	7	49
5	93?26'39*	1	1	-3	9
6	93?26'38*	0	0	-4	16
?	93?26'42*	24	178	0	82

=

;

;

;

;

;

.

,

,

,

,

,

,

,

.

2. Вычислим и проведем контроль величины :

= .

3.Вычислим среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения по формуле Бесселя:

= .

4. Определим надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений:

= = 1.28.

5. Вычислим среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического:

= = = 1.69.

6. Определим надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического:

= = = 0.53.

Ответ: Вероятнейшее значение измеренного угла равно . Оценка точности: средняя квадратическая ошибка среднего арифметического равна 1.69, надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического равна 0.53.

2.3 Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений

Дано: Значение угла при круге право и лево.

Таблица 3

Значение угла при КП	Значение угла при КЛ
162°14'15''	162°14'45''
191°32'50''	191°33'10''
170°44'05''	170°43'40''
184°29'40''	184°29'20''

Найти: Определить среднюю квадратическую ошибку угла по разностям его значений при круге право и круге лево.

1. Составим расчетную таблицу:

Таблица 4

№	Значение угла при КП	Значение угла при КЛ	d,мм
1	162°14'15''	162°14'45''	-30	-29	900
2	191°32'50''	191°33'10''	-20	-19	400
3	170°44'05''	170°43'40''	25	24	625
4	184°29'40''	184°29'20''	20	19	400
?	-	-	-5	-5	2325

Вычислим значение остаточной систематической ошибки и: = = -1.25 -1.

2. Контроль значения

= -4 0.25 = 1;

= -1 -(-1.25) = 0.25.

Критерием допустимости является неравенство:

,

,

.

Так как неравенство выполнено это значит что систематической ошибкой можно пренебречь.

3. Вычислим среднюю квадратическую ошибку одного измерения:

 = = 19,69;

.

4. Определим надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений:

= .

5. Определим надежность средней квадратической ошибки среднего арифметического:

= .

Ответ: средняя квадратическая ошибка одного измерения равна 13.9, надежность средней квадратической ошибки отдельного результата измерений равна 5.67.

2.4 Оценка точности функций измеренных величин

Дано: По плану масштаба 1:2000 измерены две стороны прямоугольного участка. Измерения выполнялись линейкой с миллиметровыми делениями. Стороны равны 12,75 и 23,60 см. СКО совмещения нулевого штриха линейки с одним концом стороны поля равна 0,4 мм, а СКО отсчета по линейке другого конца стороны - 0,7 мм.

Найти: Площадь этого участка и его СКО. Ответ выразить в гектарах.

1.Используем формулу средней квадратической ошибки функции:

= = 26.01 + 279.91 = 298.92 см.

при

мм;

мм;

см;

см;

,

= 17.29 см.

1. Вычислим площадь участка:

см,

см,

,

смІ = 1203,6 га.

Ответ: Средняя квадратическая ошибка функции равна 17.29 см. Площадь участка - 1203.6 га.

квадратический равноточный измерение угол

Список использованных источников

1. Голубев В.В. Теория математической обработки геодезических измерений. Основы теории ошибок: Учебное пособие. // Голубев В.В. - Москва: МИИГАиК, 2005. - 66 с.

2. Гудков В.М. Математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений: Учебник для вузов. // Гудков В.М., Хлебников А.В. - Москва: Недра, 1990.--335 с.

3. Методические указания. Решение геодезических задач по теории погрешностей. - Санкт-Петербург: ПГУПС, 2010. - 29 с.

4. Русяева Е.А. Теория математической обработки геодезических измерений: учебное пособие: часть I. Теория ошибок измерений. // Русяева Е.А. - Mосква: МИИГАиК, 2016. - 56 с.

Размещено на Allbest.ru

...