Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Центр досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки імені Г.М. Доброва

УДК 519.224(091)(477)

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук

Становлення і розвиток асимптотичної теорії нелінійних коливань (нелінійної механіки) в Україні (30-60 рр. ХХ ст.)

07.00.07 - історія науки і техніки

Кілочицька Тетяна Валентинівна

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано у відділі історії науки і техніки Центру досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки ім. Г.М. Доброва НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Храмов Юрій Олексійович, Центр досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки ім. Г.М. Доброва НАН України, завідувач відділу історії науки і техніки

Офіційні опоненти:

доктор історичних наук, професор Савчук Варфоломій Степанович, Дніпропетровський національний університет МОН України, професор кафедри квантової макрофізики

доктор педагогічних наук, доцент Бевз Валентина Григорьевна, Національний педагогічний університет імені М.П. Драгоманова, професор кафедри математики і теорії та методики навчання математики

Захист відбудеться “15” жовтня 2008 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.189.02 в Центрі досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки ім. Г.М.Доброва НАН України за адресою: 01601, м.Київ, вул. Грушевського, 4, к. 615.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Центру досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки ім. Г.М. Доброва НАН України (01601, м.Київ, вул. Грушевського, 4).

Автореферат розісланий “11” вересня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат історичних наук В.Г.Гармасар

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми дослідження визначається пріоритетом українських вчених у створенні нової гілки теорії нелінійних коливань - асимптотичної теорії нелінійних коливань, або нелінійної механіки. Нелінійна механіка (так її назвали М.М.Крилов та М.М.Боголюбов) є міждисциплінарною теорією, історична реконструкція її виникнення і розвитку, в світовому контексті, здійснюється вперше.

Дослідження в галузі нелінійних коливань розпочалися в Західній Європі та Росії в ХІХ ст. Основоположниками методів, за допомогою яких можна розглядати нелінійні коливання, є французький математик, механік і фізик А.Пуанкаре та вітчизняний математик і механік О.М.Ляпунов, який тоді працював в Харківському університеті. В 20-30-х рр. XX ст. російська теоретична школа Л.І.Мандельштама (вихідця з України) вперше використала ці методи для вивчення тільки чисто періодичних режимів нелінійних коливань, побудувавши їх теорію. Паралельно М.М.Криловим та М.М.Боголюбовим у 30-х рр. ХХ ст. у Києві розроблявся асимптотичний напрямок цієї теорії - нелінійна механіка. В подальшому вона дістала значний розвиток у працях учня М.М.Боголюбова - Ю.О.Митропольського, який побудував строгу теорію нестаціонарних режимів нелінійних коливальних процесів.

В дисертації показано розвиток української гілки теорії нелінійних коливань та історія становлення і розвитку наукової школи з нелінійної механіки, керівником якої в 50-ті рр. ХХ ст. став Ю.О.Митропольський.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційного дослідження є складовою планів науково-дослідних робіт Центру досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки ім.Г.М.Доброва НАН України з історії науки і техніки, зокрема теми “Фундаментальні ідеї і теорії сучасного природознавства: історико-культурний і світоглядний контекст” (номер державної реєстрації 0104U006358).

Мета дисертаційного дослідження - здійснити історико-науковий аналіз становлення і розвитку асимптотичної теорії нелінійних коливань, що є пріоритетом українських вчених.

Для досягнення поставленої мети вирішується комплекс таких дослідницьких завдань:

– вивчити стан досліджень з теорії нелінійних коливань, проаналізувати джерельну базу;

– дослідити процес становлення нової галузі математичної фізики - нелінійної механіки, показати історичну послідовність розвитку ідей і методів вчення про коливання (лінійні і нелінійні), давши коротку його історію (світовий контекст) та розробивши періодизацію;

– показати формування Ю.О.Митропольського як наукового лідера, дослідити процес створення ним наукової школи та його внесок і його школи в світову науку.

Хронологічні межі дослідження охоплюють період 30-60 рр. ХХ ст., тобто від зародження нелінійної механіки в Україні до остаточного сформування школи Ю.О.Митропольського в Києві.

Об'єктом дослідження є становлення і розвиток асимптотичної теорії нелінійних коливань (нелінійної механіки), в тому числі наукова, науково-організаційна і педагогічна діяльність М.М.Крилова, М.М.Боголюбова та Ю.О.Митропольського.

Предметом дослідження є праці українських вчених з нелінійної механіки зазначеного періоду.

Методи дослідження. Відповідно до поставлених завдань, всебічність та об'єктивність даного дослідження забезпечувалась використанням принципів історизму, науковості, логічного аналізу, методів узагальнення, класифікації, систематизації тощо. Важливим є положення про єдність наукової діяльності вченого із загальними процесами в науці. Історико-науковий метод використано для оцінки наукових результатів українських вчених з нелінійної механіки. Порівняльний аналіз праць українських і зарубіжних вчених дає можливість показати фундаментальний та пріоритетний характер наукових результатів шкіл М.М.Боголюбова і Ю.О.Митропольського.

Наукова новизна дослідження полягає в тому, що в ньому вперше:

– розроблено актуальну історико-наукову тему, яка не була раніше предметом досліджень; здійснено критичний огляд літератури з теми, аналіз джерельної бази;

– створено коротку історію вчення про лінійні та нелінійні коливання - свого роду передісторію нелінійної механіки, дано її періодизацію (від Г.Галілея до створення загальної теорії нелінійних коливань);

– здійснено історико-науковий аналіз розвитку ідей і методів нелінійної механіки в Україні в контексті світової науки, розкрито діяльність М.М.Крилова і М.М.Боголюбова в цій галузі;

– розкрито зародження теоретичної школи М.М.Боголюбова в Києві;

– проведено аналіз наукової, педагогічної та організаційної діяльності академіка Ю.О.Митропольського, дано характеристику його як наукового лідера;

– проведено ідентифікацію неформального наукового колективу, очолюваного Ю.О.Митропольським, з науковою школою, розкрито її персональний склад, внесок в науку.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що теоретичні висновки, узагальнення, конкретний фактичний матеріал можуть використовуватися при розробці питань з історії науки і техніки, у спеціальних та загальних курсах з історії математики, фізики, історії науки і техніки, для підготовки узагальнених праць з історії математики, фізики, природознавства, для популяризації здобутків української науки.

Апробація результатів дослідження. Основні положення дисертації обговорювалися на наукових семінарах відділу історії науки і техніки ЦДПІН ім. Г.М.Доброва НАН України та 10 конференціях і симпозіумах, зокрема на Сьомій щорічній конференції з наукознавства та історії науки (Добровські читання), 14 березня 2007 р. (ЦДПІН НАНУ); Дванадцятій конференції молодих істориків освіти, науки і техніки, 20 квітня 2007 р. (ЦДПІН НАНУ); П'ятій молодіжній науково-практичній конференції “Історія розвитку науки, техніки та освіти”, 15 травня 2007 р. (НТУ “КПІ”); Міжнародному симпозіумі “Інтеграція науки і освіти - ключовий фактор побудови суспільства, заснованого на знаннях”, 25-27 жовтня 2007 р. (м. Київ, НАНУ, МОНУ, ЦДПІН); Восьмій щорічній конференції з наукознавства та історії науки (Добровські читання) (ЦДПІН НАНУ, 12 березня 2008 р.); ХІІІ конференції молодих істориків освіти, науки і техніки (Київ, 23 травня 2008, Центр досліджень з історії науки і техніки ім. О.П.Бородина).

Публікації. Основні положення дисертації викладено в 9 публікаціях, з яких 5 - у фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України, 4 - в матеріалах конференцій та симпозіумів з історії науки і техніки.

Структура дисертації зумовлена характером, змістом, метою і завданнями дослідження. Вона складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел. Зміст роботи викладено на 206 сторінках. Обсяг основного тексту - 175 сторінок, список використаних джерел - 297 найменувань.

Основний зміст

У вступі розкривається актуальність теми, показано зв'язок її з тематикою Центру, визначено мету, завдання, об'єкт та предмет дослідження, хронологічні межі та методи дослідження, розкриваються наукова новизна та практичне значення роботи, апробація дослідження та структура дисертації.

У розділі І «Історіографія проблеми та джерельна база дослідження» проаналізовано стан наукової розробки теми дисертації, джерела для дисертаційного дослідження. Належна увага приділялася ученим, які досліджували коливання, узагальнюючим працям з історії фізики, математики та історії науки. Так, дослідження нелінійних коливань різними вченими містяться у вступі до статей Л.І. Мандельштама, М.Д. Папалексі, О.О.Андронова. Історії досліджень з теорії коливань в СРСР присвячено статті Г.С.Гореліка, С.М.Ритова, М.В.Бутеніна, І.І.Маркуша Новые исследования нелинейных колебаний / [Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Андронов А.А. и др.] //Полное собрание трудов. - М.: АН СССР. - 1950, т. 3. - С.89-177; Папалекси Н.Д. Леонид Исаевич Мандельштам. Краткий очерк жизни и научной деятельности / Н.Д. Папалекси // Академик Л.И.Мандельштам. К 100-летию со дня рождения. - М.: Наука, 1979. - С.5-52; Рытов С.М. Развитие теории нелинейных колебаний в СССР / С.М. Рытов //Радиотехника и электроника. - 1957. - Т.2, № 11. - С.1435-1447.

2 Бойко Е.С. Школа академика А.А.Андронова / Бойко Е.С. - М.: Наука, 1983.- 200 с. В монографії О.С.Бойко «Школа академіка О.О.Андронова» (1983) певна увага приділяється генезису теорії нелінійних коливань.

В працях, присвячених історії Академії наук УРСР, коротко окреслено основні наукові здобутки українських вчених М.М.Крилова, М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського та його учнів в галузі нелінійної механіки Історія Національної Академії наук України в суспільно-політичному контексті (1918-1998) / [Кульчицький С., Павленко Ю., Руда С., Храмов Ю.] - К.: Фенікс, 2000. - 528 с.; Історія НАН України (1924-1928). Документи і матеріали. - К.: НБУВ, 1998. - 762 с. Історія НАН України (1929-1933). Документи і матеріали. - К.: Наук. думка, 1998. - 538 с.; Історія НАН України (1934-1937). Документи і матеріали. - К.: Наук. думка, 2003. - 829с.. В.М.Урбанський виклав плани і задачі, поставлені на Кафедрі математичної фізики ВУАН до 1935 р., де працювали М.М.Крилов і М.М.Боголюбов Урбанский В.М. Из истории кафедры математической физики АН УССР / В.М. Урбанский // Очерки по истории математики и физике на Украине (сборник научных трудов) - К.: Наукова думка, 1978. - С.31-43..

Опрацьовано також окремі видання АН СРСР, ВУАН та АН УРСР, в яких теж містяться відомості з теорії нелінійних коливань. Деякі матеріали з історії становлення нелінійної механіки подано в дисертації А.С.Литвинко Литвинко А.С. Історико-науковий аналіз формування та розвитку Київської школи математичної та теоретичної фізики М.М.Боголюбова: Дис. …канд. ф.-м. наук: 01.05.05. / Литвинко Алла Степанівна - К., 1997. - 174 с..

В статті академіка НАН України А.М.Самойленка висвітлено з використанням математичного апарату основні результати наукової діяльності М.М.Боголюбова Самойленко А.М. Н.Н.Боголюбов и нелинейная механика / А.М. Самойленко // Успехи математичесх наук. -1994. - Вып. 5. - С. 103-146.. Цьому ж присвячено і статтю самого Ю.О.Митропольського Митропольский Ю.А. Роль Николая Николаевича Боголюбова в развитии теории нелинейных колебаний / Ю.А.Митропольский // Укр. математ. журнал. -1999. - Т. 51, № 8. - С. 1014-1035.. Окремим питанням історії створення нелінійної механіки присвячено статті члена-кореспондента НАН України О.М.Боголюбова Боголюбов А.Н. Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов / А.Н.Боголюбов // Историко-математические исследования. - 1996. - втор. серия, вып. 1 (36), №3.- С.118-127.. Корисними для написання останнього розділу дисертації є праці професора Ю.О.Храмова, присвячені загальним питанням формування і розвитку наукових шкіл Храмов Ю.А. Научные школы в физике / Храмов Ю.А. - К.: Наук. думка, 1987. - 400 с.; Храмов Ю.А. История формирования и развития физических школ на Украине / Храмов Ю.А. - К.: Феникс, 1991. - 216 с..

Більшість літератури, яка стосується життя і наукової діяльності Ю.О.Митропольського, підсумована в книзі «Юрій Олексійович Митропольський (до 90-річчя з дня народження)» Мейнарович Е.В. Юрий Алексеевич Митропольский (к 90-летию со дня рождения). - К.: И-т математики, 2005. - 231 с.. В працях з історії вищої школи «Історія математичної освіти в СРСР», «Вища школа Української РСР за 50 років» та «Київські математики-педагоги» зібрано окремі відомості з науково-викладацької діяльності Ю.О. Митропольського в Київському університеті. В оглядових статтях Ю.О.Митропольського викладено основні результати в галузі нелінійної механіки в працях українських вченихМитропольский Ю.А. Основные направления в теории нелинейных колебаний и их развитие // Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям.- 1963. - Т.1.- С.15-22. .

Джерельною базою слугували окремі монографії, статті в періодичних виданнях і збірниках, архівні документи і матеріали. Було опрацьовано журнали: “Український математичний журнал”, “Успехи физических наук”, “Радиотехника и электроника”, “Журнал прикладной физики”, “ЖЭТФ”, “Записки кафедры математической физики АН УССР”, “Вісник НАН України”, “Прикладная математика и механика”; фонди архів Президії НАН України.

У розділі ІІ «Історія вчення про коливання (світовий контекст) (XVII - 30-ті рр. ХХ ст.)» висвітлено нагромадження відомостей про коливання, дано їх періодизацію, показано виникнення і розвиток методів розв'язання нелінійних задач, формування загальної теорії нелінійних коливань школою Л.І.Мандельштама.

У підрозділі 2.1 «Історія формування вчення про лінійні коливання (XVII-XVIII ст.)» показано, що коливання почали досліджувати теоретично І. Ньютон (1687), Б. Тейлор (1715), Ж. Д'Аламбер (1746), Л. Ейлер (1741-1766), експериментально - в XVIIІ ст. Е.Хладні, Ж.Савер. Ж.Лагранж в праці «Аналітична механіка» (1787) звів деякі задачі теорії малих коливань до лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, заклавши основи лінійних коливань. У 1877 р. Дж. Релей систематизував та узагальнив вчення про коливання, чим завершив процес формування теорії лінійних коливань, паралельно з яким відбувалося дослідження і нелінійних процесів.

В підрозділі 2.2 «Історія постановки низки нелінійних задач та їх розв'язання (середина XVIII - початок XX ст.)» показано, що в останній чверті XVIII - наприкінці XIX ст. в астрономії зароджується метод малого параметра, придатний для дослідження періодичних процесів. Вперше нелінійна задача з'являється в «Початках» І.Ньютона (1687). Подальший розвиток методу малого параметра пов'язано з розв'язанням нелінійних диференціальних рівнянь М.В.Остроградським, К.Вейєрштрассом, А. Ліндштедтом, застосуванням методу лінеаризації до розв'язання інженерних задач О.Коші, У.Томсоном, П.Тетом, Е.Роусом, Дж.Максвелом. У 1885 р. А.Пуанкаре розробив геометричний метод якісного описання руху, ввів поняття особливої точки, граничних циклів, індексу, розглянув питання стійкості систем за допомогою диференціальних рівнянь другого порядку. В 1890-1899 рр. він показав, що всі тригонометричні ряди, до яких приводить метод малого параметра, розходяться, назвавши їх асимптотичними, узагальнив метод малого параметра.

В першій чверті ХХ ст. в зв'язку з розвитком і потребами електро- і радіотехніки нелінійні задачі розв'язувались за допомогою різних нестрогих методів: квазілінійних методів (Г.Мьолер, Г.Баркгаузен), методу припасовування (М.Д.Папалексі, 1911), методу Ван-дер-Поля, строгих методів розв'язання нелінійних задач (Е. і А. Картани, 1928). В 1926 р. Б. Ван-дер-Поль вперше графічно дослідив сильно синусоїдальні автоколивання, використовуючи фазову площину, розглянув у граничному випадку розривні коливання.

В підрозділі 2.3 «Задачі про стійкість динамічної системи. Якісні методи А.Пуанкаре, стійкість за А.Пуанкаре. Створення загальної теорії стійкості О.М.Ляпуновим» показано, що одночасно з дослідженнями, які стосуються методу малого параметра, в останній чверті ХIХ ст. при розгляді питань стійкості почав формуватися новий підхід до вивчення розв'язків диференціальних рівнянь. Це так звані якісні методи, пов'язані з іменами А.Пуанкаре та О.М.Ляпунова.

У творах «Про криві, які визначаються диференціальними рівняннями» (1885) і «Нові методи небесної механіки» (1892-1899) А.Пуанкаре створив теорію якісних методів дослідження диференціальних рівнянь. У 1892-1902 рр. О.М.Ляпунов розробив оригінальний строгий математичний апарат, що дозволив з'ясувати питання стійкості руху. Одним з перших застосував 1900 р. якісні методи до дослідження нелінійних диференціальних рівнянь П.Боль, проте доведення його виявились громіздкими.

В підрозділі 2.4 «Формування теорії нелінійних коливань Л.І.Мандельштамом та його школою» встановлено, що в школі Л.І.Мандельштама почалося оформлення наукового напряму, що описує поведінку нелінійних систем різноманітної природи - теорії нелінійних коливань, яка в подальшому, з розширенням сфер застосування, переросла в нову галузь - фізику нелінійних явищ. Так, наприкінці 20-х - початку 30-х рр. ХХ ст. радянські вчені Л.І.Мандельштам, О.О.Андронов, О.О.Вітт перенесли існуючі методи розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь на дослідження коливальних процесів, розробили нові методи розв'язання нелінійних коливальних задач. У 1927 р. О.О.Андронов вказав, що граничні цикли А.Пуанкаре - це автоколивання, та переніс основи математичного апарату А.Пуанкаре і метод точкових відображень в теорію коливань. У 1930 р. О.О.Андронов і О.О.Вітт використали теорію стійкості О.М.Ляпунова при дослідженні стійкості періодичних розв'язків. В 1931 р. Л.І.Мандельштам і М.Д.Папалексі застосували метод малого параметра в праці про резонанс другого роду, а 1934 р. використали метод усереднення в системах з двома і більшою кількістю степенів вільності, строго обґрунтували метод Ван-дер-Поля, показали, що в окремому випадку він є різновидом методу малого параметра.

В результаті прийняття нового, геометричного підходу до коливальних процесів школою Л.І.Мандельштама закладено фундамент загальної теорії коливань на межі фізики і математики, з своїми поняттями, термінологією, математичним апаратом, методами оцінки процесів, які протікають в динамічній системі. Він завершив розпочатий Дж.Релеєм процес виділення вчення про коливання в окрему наукову дисципліну.

В розділі ІІІ «Розробка М.М.Криловим та М.М.Боголюбовим асимптотичної теорії нелінійних коливань (нелінійної механіки)» показано створення М.М.Криловим та М.М.Боголюбовим нової галузі математичної фізики - нелінійної механіки, що мала на меті розробку асимптотичних методів розв'язання нелінійних задач на основі класичних результатів А.Пуанкаре, О.М.Ляпунова, Б.Ван-дер-Поля.

В підрозділі 3.1 «М.М.Крилов і Кафедра математичної фізики ВУАН. Початок наукової діяльності М.М.Боголюбова» розкрито роботу Кафедри математичної фізики ВУАН з моменту її заснування (1922 р.) до початку 30-х рр. ХХ ст., наукову діяльність М.М.Крилова та М.М.Боголюбова в ці роки, з'ясовано передумови створення нелінійної механіки.

В підрозділі 3.2 «Формування асимптотичного напряму в теорії нелінійних коливань (30-ті рр. ХХ ст.)» розглядаються актуальні задачі нової гілки в загальній теорії коливань - нелінійної механіки. Вперше нові асимптотичні методи викладено їх авторами 1932 р. у монографії «Дослідження поздовжньої стійкості аероплану». Цього ж року М.М.Крилов і М.М.Боголюбов надіслали до Паризької академії наук три повідомлення, метою яких було - встановити нові методи, придатні для дослідження як періодичних, так і квазіперіодичних коливань. В доповіді на конференції в Парижі вони виклали основи нового підходу до проблем нелінійних коливань, обґрунтували створення асимптотичної теорії нелінійних коливань, або нелінійної механіки. Результати цих досліджень вмістилися також в першу спільну монографію «Нові методи нелінійної механіки» (1934), поданої до видавництва 1932 р. М.М.Крилов та М.М.Боголюбов вказали, що А.Пуанкаре і О.М.Ляпунов повинні розглядатися як засновники цього нового розділу механіки.

Проте були і супротивники ідей М.М.Крилова і М.М.Боголюбова. Так, А.А.Марков в доповіді «Про теорію стаціонарних коливальних процесів академіка М.М.Крилова та доктора М.М.Боголюбова» на Другому всесоюзному математичному з'їзді (1934) вказав на помилковість з математичної точки зору їх досліджень. Проте М.М.Крилов та М.М.Боголюбов довели, що ці зауваження не мають значення тільки для застосування цього методу в нерезонансному випадку.

У грудні 1934 р. на конференції з динаміки конструкцій при Інституті будівельної механіки ВУАН відзначалося значення праць Кафедри математичної фізики з нелінійної механіки для інженерних розрахунків коливальних систем і віброконструкцій.

В монографії «Про деякі формальні розклади нелінійної механіки» (1934) М.М.Крилов та М.М.Боголюбов з'ясували причини появи секулярних членів в розкладах за степенями малого параметра, для випадку коливальних систем з одним степенем вільності розглянули явища нелінійного резонансу та процеси, які його супроводжують, узагальнили даний метод для обчислення нестаціонарних розв'язків коливальних систем з багатьма степенями вільності. В наступній монографії «Застосування методів нелінійної механіки до теорії стаціонарних коливань» (1934) вони зробили якісний аналіз автоперіодичних коливальних систем другого порядку, встановивши наявність квазіперіодичних розв'язків і описавши їх властивості стійкості. М.М.Крилов і М.М.Боголюбов довели, що рівняння першого наближення можна отримати з точних рівнянь шляхом усереднення головного члена правих частин цих рівнянь за часом, тим самим заклали основи методу інтегральних багатовидів нелінійної механіки, сформулювавши критерії існування інваріантної кривої деякого точкового відображення. Метод інтегральних багатовидів отримав подальший розвиток у монографії «Наближені методи нелінійної механіки в застосуванні до вивчення збурень періодичних рухів і до різноманітних резонансних явищ, що сюди відносяться» (1935). В ній викладено теорію збурень сімей періодичних рухів та ідею одночастотного методу нелінійної механіки.

У 30-ті рр. М.М.Крилов разом з М.М.Боголюбовим розробляв нові методи нелінійної механіки та загальної теорії динамічних систем. Ці дослідження розвивалися у двох напрямках. Перший пов'язаний з застосуванням асимптотичних методів розв'язання нелінійних рівнянь на практиці, другий - з математичним обґрунтуванням цих методів. Останній почав розвиватися в 40-х рр. і був зумовлений розвитком загальної теорії динамічних систем, створення якої розпочалося в 30-х рр.

В монографії М.М.Крилова та М.М.Боголюбова «Нові методи нелінійної механіки» (1934) встановлено зв'язок між методом точкових відображень та іншими методами, які застосовуються в теорії нелінійних коливань. На Першій міжнародній конференції у Москві (1935) М.М.Крилов і М.М.Боголюбов прочитали доповідь, в якій використали важливі результати з теорії міри та функціонального аналізу. Результати цих досліджень викладено в їх праці «Загальна теорія міри в нелінійній механіці» (1937).

Створення асимптотичних методів було завершено в монографії М.М.Крилова та М.М.Боголюбова «Вступ до нелінійної механіки» (1937). В ній дано обґрунтування принципу усереднення, в загальному вигляді сформульовано основні принципи методу еквівалентної лінеаризації, встановлено його зв'язок з методом розкладання за степенями малого параметра за допомогою правила, яке вони назвали принципом гармонічного балансу.

В підрозділі 3.3 «Розвиток асимптотичних методів в працях М.М.Боголюбова (40-60-ті рр. ХХ ст.)» розглядаються праці з нелінійної механіки М.М.Боголюбова. Йому належить створення строгої теорії методу усереднення (1945-1950).

В праці М.М.Боголюбова «Про деякі статистичні методи в математичній фізиці» (1945) викладено алгоритм отримання асимптотичних наближень і їх похибок для вивчення впливу випадкової сили, який ввійшов в історію як метод усереднення Боголюбова. В ній дано обґрунтування цього методу на основі встановлення відповідності між розв'язками точних і усереднених рівнянь, доведено теореми, які утворюють фундамент нелінійної механіки. Встановлено, що для застосування принципу усереднення для доведення методу повільно змінювальних коефіцієнтів Ван-дер-Поля достатньо умови існування середнього значення. В цій монографії містилася також ідея методу інтегральних багатовидів.

Розроблені асимптотичні методи М.М.Боголюбов поширив 1946 р. на статистичну механіку, якою зацікавився ще в 1939 р., та теорію кінетичних рівнянь. В 1948 р. він розробив одночастотний метод побудови асимптотичних розкладів, який дозволив розглядати коливальну систему з багатьма степенями вільності як коливальну систему з одним степенем вільності. математичний механіка митропольський коливання

На першій математичній школі в м. Каневі 1963 р. М.М.Боголюбов прочитав дві лекції «Про квазіперіодичні розв'язки в задачах нелінійної механіки», де встановив умови існування таких розв'язків і їх властивості аналітичності відносно параметра. Цими лекціями завершується розробка М.М.Боголюбовим нелінійної механіки. На їх основі в працях академіка Ю.О.Митропольського - одного з перших учнів М.М.Боголюбова - та праць його учнів було створено метод прискореної збіжності в задачах нелінійної механіки.

В результаті розвитку М.М.Боголюбовим нелінійної механіки з 40-х рр. у Києві почала створюватися і його наукова школа з математичної фізики, яку представляли Ю.О.Митропольський, В.О.Кононенко, Г.С.Писаренко, І.З.Штокало, С.Ф.Фещенко, А.М.Федорченко та ін.

В розділі IV «Розвиток асимптотичної теорії нелінійних коливань Ю.О.Митропольським і його школою» показано подальший розвиток нелінійної механіки в працях Ю.О.Митропольського та створюваної ним з початку 50-х рр. наукової школи.

В підрозділі 4.1 «Ю.О.Митропольський - вчений, людина, педагог» розкрито його риси як наукового лідера та керівника наукового колективу, наведено численні висловлювання про нього учнів і колег, проаналізовано особистий внесок Ю.О.Митропольського в розвиток нелінійної механіки.

Серед якостей Ю.О.Митропольського доцільно виділити його виключну інтелігентність, порядність, доброзичливість, простоту в спілкуванні і повагу до думки інших фахівців, безмежну відданість своїй справі, відповідальність за використання результатів наукових досліджень, турботу про розпочате дослідження. Висловлення про нього А.А.Мартинюка, А.М.Самойленка, І.О.Луковського, В.М.Гріднева, В.О.Ільїна, М.О.Ізобова, М.П.Еругіна, В.С.Королюка, О.Б.Ликової, Б.Е.Патона, Ф.П.Белянкіна, В.Г.Бар'яхтара, Л.Пайпса (професора Каліфорнійського університету) та ін. підтверджують наведену характеристику, розкриваючи нові якості Ю.О.Митропольського як людини, вченого і педагога. Дослідження Ю.О.Митропольського характеризуються глибиною теоретичного аналізу та їх практичним застосуванням.

В працях Ю.О.Митропольського викладено строгу теорію нестаціонарних коливальних процесів як з однією так і з багатьма степенями вільності. З першої його праці «Власні коливання в нелінійних системах з повільно змінювальними параметрами» (1948) починається його ґрунтовна наукова діяльність над подальшим розвитком асимптотичних методів нелінійної механіки.

В циклі праць 1949-1960 рр. дістав істотного розвитку одночастотний метод. Ю.О.Митропольський систематично застосував асимптотичні методи до дослідження нестаціонарних процесів у системах з розподіленими параметрами. В праці «Дослідження коливань в нелінійних системах з багатьма степенями вільності і повільно змінювальними параметрами» (1949) він узагальнив метод М.М.Боголюбова дослідження одночастотних коливань в нелінійних системах з багатьма степенями вільності. Основою використання одночастотного методу був метод енергетичної інтерпретації, запропонований Ю.О.Митропольським, оскільки рівняння коливань для систем з багатьма параметрами є рівняннями в частинних похідних.

В працях «Дослідження коливань в нелінійних системах з багатьма степенями вільності і повільно змінювальними параметрами» (1949) та «Повільні процеси в нелінійних коливальних системах з багатьма степенями вільності» (1950) на основі узагальнення одночастотного методу запропоновано загальний метод дослідження нестаціонарних коливань в системах з розподіленими параметрами. Ці розробки Ю.О.Митропольського разом з асимптотичними методами М.М.Крилова та М.М.Боголюбова отримали міжнародне визнання як асимптотичні методи Крилова-Боголюбова-Митропольського.

В працях «Повільні процеси в нелінійних коливальних системах з багатьма степенями вільності» (1950) та «Вимушені коливання в нелінійних системах при проходженні через резонанс» (1953) Ю.О.Митропольський розробив асимптотичний алгоритм для коливальних систем з повільно змінювальними параметрами, який дозволив виявити відмінності при проходженні через резонанс в нелінійних коливальних системах. Результати досліджень коливань за допомогою одночастотного методу були також підсумовані в монографіях Ю.О.Митропольського «Нестаціонарні процеси в нелінійних коливальних системах» (1955) і «Проблеми асимптотичної теорії нестаціонарних коливань» (1964).

В 1957-1958 рр. Ю.О.Митропольський розвинув теорію інтегральних багатовидів. Він поширив метод інтегральних багатовидів на нелінійні диференціальні рівняння зі змінними коефіцієнтами. В праці «Про стійкість однопараметричної сім'ї розв'язків системи рівнянь зі змінними коефіцієнтами» (1958) він обґрунтував одночастотний метод для коливальних систем, які описуються нелінійними диференціальними рівняннями з повільно змінювальними параметрами. В праці «Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціальних рівнянь з недиференційованими правими частинами» (1959) доведено теорему, що являє собою обґрунтування за допомогою методу усереднення законності побудови наближених періодичних розв'язків для диференціальних рівнянь, праві частини яких недиференційовані.

Ю.О.Митропольському належить також низка теорем про існування та властивості інтегральних багатовидів для нелінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами у скінченно- та нескінченновимірних випадках (1958-1963). В останньому випадку сформульовано теорему, в якій обґрунтовано застосування одночастотного методу до систем з розподіленими параметрами. В подальших працях Ю.О.Митропольського в цьому напрямку досліджуються інтегральні багатовиди диференціальних рівнянь з повільно змінювальними параметрами, інтегральні багатовиди рівнянь, близьких до рівнянь зі змінними коефіцієнтами в гільбертовому просторі тощо.

В підрозділі 4.2 «Формування наукової школи Ю.О.Митропольського» використовуючи модель наукової школи, проведено ідентифікацію неформального творчого колективу, очолюваного Ю.О.Митропольським, з науковою школою. Під керівництвом Ю.О.Митропольського близько 100 аспірантів захистили кандидатські дисертації, 25 стали докторами наук. Ядро його школи становлять академік НАНУ А.М.Самойленко, який є директором Інституту математики НАНУ, засновником наукової школи з теорії багаточастотних коливань та теорії імпульсних систем; академік НАНУ О.М.Шарковський - завідуючий відділу теорії динамічних систем Інституту математики АН УРСР; член-кореспондент НАН України А.А.Мартинюк - завідувач відділу Інституту механіки НАНУ, доктори наук В.О. Гробов, В.П.Рубаник, П.М.Сеник, В.І.Фодчук, А.Ф.Шестопал, А.А.Березовський, Г.П.Хома, К.Я.Кухта, Д.І.Мартинюк, В.Г.Самойленко, О.Б.Ликова, О.К.Лопатин, Т.Г.Стрижак, а також Ф.У.Носиров, Е.Ф.Файзибаев (Узбекистан), Степанович-Хедрик Катица (Сербія), Нгуєн Донг Ань, Нгуєн Тієн Кхієм (В'єтнам).

Таким чином в Києві з 50-х рр. почала зароджуватись наукова школа Ю.О.Митропольського, яка згодом завоювала великий авторитет як в Україні, так і за її межами. Особливість школи Ю.О.Митропольського - актуальність дослідження, практична цінність, всебічність і глибина теоретичного аналізу розглядуваної проблеми.

В підрозділі 4.3 «Внесок наукової школи Ю.О.Митропольського» висвітлено ідеї і методи наукової спадщини Ю.О.Митропольського, які розвивались та узагальнювались його учнями.

А.М.Самойленко розробив потужні алгоритми побудови наближених розв'язків диференціальних рівнянь для розривних та імпульсних систем. Для останніх вперше було доведено фундаментальні теореми М.М.Боголюбова з обґрунтування методу усереднення на скінченному та нескінченному інтервалі часу, встановлено ознаки існування розривних граничних циклів, доведено теореми існування розв'язків, що відповідають коливальним режимам. У 1965 р. він розвинув чисельно-аналітичний метод дослідження періодичних розв'язків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, який дозволяє знаходити періодичні розв'язки таких систем у вигляді рівномірно збіжної послідовності періодичних функцій. Обґрунтування можливості застосування цих методів для вивчення сильно нелінійних систем із запізненням досліджено учнем Ю.О.Митропольського Д.І.Мартинюком.

О.Б.Ликова досліджувала застосування інтегральних багатовидів до диференціальних рівнянь, близьких до інтегрованих, та для систем з нескінченною кількістю степенів вільності (1968, 1973).

В.І.Фодчук 1968 р. поширив метод побудови інтегральних багатовидів на рівняння із запізненням, 1977 р. дослідив цим методом диференціально-різницеві та диференціально-функціональні рівняння.

Результати досліджень коливань у системах з розподіленими параметрами вперше підсумовано в монографії Ю.О.Митропольського та Б.І.Мосєєнкова «Дослідження коливань у системах з розподіленими параметрами (асимптотичні методи)» (1961).

В праці «Дослідження нелінійних коливань в системах з розподіленими параметрами і запізненням» (1968) досліджуючи системи диференціальних рівнянь в частинних похідних, Ю.О.Митропольський та Д.Г.Кореневський виявили та детально вивчили низку нових властивостей коливальних процесів, які не мають аналогій в коливальних системах без запізнення.

О.М.Шарковський вивчав асимптотичними методами динамічні системи. Г.П.Хома - нестаціонарні коливання в механічних системах з розподіленими параметрами при поширенні хвиль у стратифікаційному середовищі та взаємодії їх у дисперсійному середовищі.

В.П.Рубаник за допомогою обгрунтування методу усереднення побудував наближені розв'язки квазілінійних систем із запізненням при резонансі. В 1962 р. у працях В.П. Рубаника та В.І.Фодчука метод усереднення застосовувався до диференціально-різницевих рівнянь. Праці В.І.Фодчука 1963 р. присвячено дослідженню інтегральних багатовидів, поширенню асимптотичних методів і принципу усереднення на диференціальні рівняння з запізнюючим аргументом.

Д.I.Мартинюк зробив вагомий внесок у розвиток теорiї нелiнiйних коливань систем iз запiзненням, якiсної теорiї рiзницевих рiвнянь. Ю.О.Митропольський, Д.І.Мартинюк, Д.Г.Кореневський, В.І.Фодчук розробили асимптотичні методи для дослідження нелінійних диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється.

Праці Ю.О.Митропольського та його учня В.Г.Коломійця присвячено строгому математичному обґрунтуванню методу усереднення стохастичних диференціальних рівнянь у стандартній формі.

У дослідженнях М.М.Боголюбова, Ю.О.Митропольського і А.М.Самойленка розвинутий метод прискореної збіжності. Ці результати ввійшли в їх монографію «Метод прискореної збіжності в нелінійній механіці» (1969).

Чисельно-аналітичні методи розрахунку періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь електричних кіл викладено в монографії А.М.Самойленка та М.Й.Ронто «Чисельно-аналітичні методи дослідження періодичних розв'язків».

На основі методу доведення і побудови періодичних розв'язків Б.П.Ткачом вивчались особливості коливальних систем з розподіленими параметрами та розв'язки гіперболічних рівнянь у частинних похідних другого порядку з аргументами нейтрального типу, які відхиляються.

Таким чином неформальним колективом учених на чолі з Ю.О.Митропольським, який можна з повним правом вважати науковою школою, зроблено істотний внесок у науку. Цей колектив користується чималим авторитетом серед учених не тільки в Україні, але і в світі. А окремі його представники започаткували свої наукові школи, які продовжують розвивати нелінійну механіку.

Висновки

Проведене дослідження дозволяє сформулювати деякі узагальнюючі висновки, найважливішими з яких є:

1. Вперше систематизовано матеріал з історії вчення про коливання (світовий контекст), розроблено його періодизацію та використано цей контекст як тло, на якому розглядається історія становлення нелінійної механіки.

2. Розкрито формування загальної теорії нелінійних коливань в школі Л.І.Мандельштама - вихідця з України. Наприкінці 20-х - початку 30-х рр. ХХ ст. радянські вчені Л.І.Мандельштам, О.О.Андронов, О.А.Вітт перенесли існуючі методи розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь на дослідження коливальних процесів та розробили нові методи.

3. Докладно досліджено розробку М.М.Криловим та М.М.Боголюбовим асимптотичної теорії нелінійних коливань, або нелінійної механіки, в 30-ті рр. ХХ ст., розкрито передумови її створення на Кафедрі математичної фізики ВУАН. Доведено, що цей напрям є новою гілкою теорії нелінійних коливань. Вперше було розроблено також нові асимптотичні методи.

4. Показано подальший розвиток нелінійної механіки в працях М.М.Боголюбова (40-і рр.). Зокрема, ним розроблено новий математичний апарат для дослідження консервативних коливальних систем з малим параметром, доведено низку теорем для таких систем, які дозволяють строго вивчити питання існування і стійкості квазіперіодичних розв'язків. М.М.Боголюбову належить побудова строгої теорії методу усереднення (1945-1950) та методу інтегральних багатовидів. У 1948 р. він запропонував ідею одночастотного методу для дослідження нелінійних коливальних систем з багатьма степенями вільності, в 1963 р. започаткував створення нового напрямку в теорії диференціальних рівнянь - методу прискореної збіжності. В 40 рр. ХХ ст. з'явились перші учні М.М.Боголюбова, почала створюватись його наукова школа в галузі математичної фізики. Фундаментальні результати М.М.Боголюбова з нелінійної механіки отримали подальший розвиток в працях його учнів: Ю.О.Митропольського, В.О.Кононенка, Г.С.Писаренка, Й.З.Штокала, С.Ф.Фещенка, А.М.Федорченка та ін., які склали ядро його теоретичної школи в цій галузі в Україні.

5. Розкрито риси Ю.О.Митропольського як наукового лідера, розглянуто його внесок в теорію нелінійних коливань. Він побудував строгу теорію нестаціонарних коливальних процесів в системах з однією і з багатьма степенями вільності, строго обґрунтував і розвинув запропонований М.М.Боголюбовим одночастотний метод для систем з багатьма степенями вільності (1949-1960), метод прискореної збіжності, метод усереднення, метод інтегральних багатовидів (1957-1963), поширив асимптотичні методи на нелінійні системи з повільно змінювальними параметрами та на нелінійні системи з розподіленими та випадковими параметрами.

6. Вперше проведено ідентифікацію неформального творчого колективу на чолі з Ю.О.Митропольським з науковою школою, яка почала формуватися в 50-х рр. ХХ ст., виділено характерні її риси, внесок школи в теорію нелінійних коливань. Показано, що деякі учні Ю.О.Митропольського стали засновниками нових наукових напрямків і дочірніх шкіл.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Кілочицька Т.В. Обґрунтування методів нелінійної механіки / Т.В.Кілочицька // Історія української науки на межі тисячоліть. - 2007. - Вип. 32. - С. 114-125;

2. Храмов Ю. Ю.О.Митропольський та його наукова школа (до 90-річчя від дня народження вченого) / Юрій Храмов, Тетяна Кілочицька // Наука та наукознавство. - 2007. - № 2. - С.101-115;

3. Кілочицька Т.В. Становлення нелінійної механіки в Україні (30-ті рр. ХХ ст.) / Т.В.Кілочицька // Наука та наукознавство. - 2007. - № 3. - С. 102-107;

4. Кілочицька Т.В. Ю.О.Митропольський - вчений та вихователь молоді / Т.В.Кілочицька // Наука та наукознавство. - 2008. - № 1. - С.77-85;

5. Кілочицька Т.В. Формування загальної теорії нелінійних коливань школою Л.І.Мандельштама / Т.В.Кілочицька // Наука і наукознавство. -2008 . - №. 2. - С. 131-140;

6. Кілочицька Т.В. Зародження і розвиток методу малого параметра розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь в останній чверті XVIIІ ст. - кінці ХХ ст. / Т.В.Кілочицька // Историко-правовые и социально-экономические аспекты развития общества: VI межвузовская научно-практическая конф., 18 апреля 2007 г.: тезисы докл. - Чернигов, 2007. - С.85;

7. Кілочицька Т.В. Зародження і розвиток методів розв'язання нелінійних задач (остання чверть XVII- 20 роки XX століть) / Т.В.Кілочицька //Дванадцята конференція молодих істориків освіти, науки і техніки та спеціалістів, 20 травня 2007.- К., 2007. - С. 124-130;

8. Кілочицька Т.В. Коротка історія вчення про лінійні коливання / Т.В.Кілочицька // Матеріали VII Добровської конференції з наукознавства та історії науки. -2007. - С.226-231;

9. Кілочицька Т.В. Київська наукова школа Ю.О.Митропольського /Т.В.Кілочицька // Историко-правовые и социально-экономические аспекты развития общества: VI межвузовская научно-практическая конф., 18 апреля 2008 г.: тезисы докл. - Чернигов, 2008. - С.36-37.

Анотація

Кілочицька Т.В. становлення і розвиток асимптотичної теорії нелінійних коливань (нелінійної механіки) в Україні (30 - 60 рр. ХХ ст.). - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук за спеціальністю 07.00.07 - історія науки і техніки. - Центр досліджень науково-технічного потенціалу та історії науки імені Г.М.Доброва НАН України, Київ, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню становлення і розвитку асимптотичної теорії нелінійних коливань (нелінійної механіки) в Україні (30 - 60 рр. ХХ ст.). Досліджено коротку історію вчення про коливання в світовому контексті, розроблено періодизацію її розвитку; розкрито формування загальної теорії нелінійних коливань в школі Л.І.Мандельштама - вихідця з України; висвітлено передумови створення українськими вченими М.М.Криловим та М.М.Боголюбовим нової гілки теорії нелінійних коливань - асимптотичної теорії нелінійних коливань, або нелінійної механіки в 30-ті рр. ХХ ст. та докладно розкрито процес її розробки; висвітлено результати М.М.Боголюбова з подальшого розвитку нелінійної механіки, внесок учня М.М.Боголюбова академіка НАН України Ю.О.Митропольського в науку, його характерні риси наукового лідера; досліджено процес формування його школи в галузі нелінійної механіки в 50-х рр. ХХ ст., виділено її основні риси, внесок школи в теорію нелінійних коливань та науку взагалі.

Ключові слова: асимптотична теорія нелінійних коливань, нелінійна механіка, загальна теорія коливань, метод малого параметра, одночастотний метод, метод прискореної збіжності, метод усереднення, метод інтегральних багатовидів, нелінійні системи.

Аннотация

Килочицкая Т.В. Становление и развитие асимптотической теории нелинейных колебаний (нелинейной механики) в Украине (30 - 60 гг. ХХ в.). - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата исторических наук по специальности 07.00.07 - история науки и техники. - Центр исследований научно-технического потенциала и истории науки имени Г.М.Доброва НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертация посвящена вопросам становления и развития асимптотической теории нелинейных колебаний (нелинейной механики) в Украине (30 - 60 гг. ХХ в.). Состоит из вступления, четырех разделов, выводов, списка использованных источников.

Во вступлении обосновывается актуальность проблемы, определяется объект, предмет, цель и задачи исследования, раскрывается научная новизна и практическое значение полученных результатов.

В первом разделе «Историография проблемы и источниковая база» доказывается степень неразработанности исследуемого вопроса. Историографический обзор показывает, что данная тема диссертации не была предметом исследования.

Во втором разделе «История становления учения о колебаниях (мировой контекст) (XVII-30-е гг. ХХ в.)» кратко описано историю формирования учения о колебаниях (линейных и нелинейных), исследовано развитие методов решения нелинейных задач: малого параметра, линеаризации, квазилинейных методов, метода Ван-дер-Поля, строгих методов, показан вклад А.Пуанкаре и О.М.Ляпунова в развитие методов решения нелинейных задач, формирование теории нелинейных колебаний в школе Л.І.Мандельштама (20 - 30-е гг. ХХ ст.). Предложено вариант периодизационной схемы учения о колебаниях.

В третьем разделе «Разработка Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым асимптотической теории нелинейных колебаний (нелинейной механики)» показано создание ими новой отрасли математической физики - нелинейной механики. Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов разработали новые асимптотические методы решения нелинейных задач на основе классических результатов А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Б.Ван-дер-Поля. Впервые эти методы изложены в 1932 г. в их монографии «Исследование продольной устойчивости аэроплана». Завершение они получили в монографии «Вступление в нелинейную механику» (1937). В ней дано обоснование принципа усреднения, в общем виде сформулированы основные принципы метода эквивалентной линеаризации, установлена его связь с методом разложения по степеням малого параметра с помощью правила, которое они назвали принципом гармоничного баланса.

Дальнейшее развитие нелинейная механика получила в работах уже самого Н.Н.Боголюбова и его учеников. В работе Н.Н.Боголюбова «О некоторых статистических методах в математической физике» (1945) изложен алгоритм получения асимптотических приближений и их погрешностей для изучения влияния случайной силы, который вошел в историю как метод усреднения Н.Н.Боголюбова. Разработанные асимптотические методы Н.Н.Боголюбов распространил в 1946 г. на статистическую механику и теорию кинетических уравнений. Н.Н.Боголюбов в 1948 г. разработал одночастотный метод построения асимптотических разложений. Лекциями на Первой математической школе в г. Каневе 1963 г. завершилась разработка Н.Н.Боголюбовим нелинейной механики. На их основе в работах академика Ю.О.Митропольского - одного из первых учеников Н.Н.Боголюбова - и работ его учеников был создан метод ускоренной сходимости в задачах нелинейной механики.

В результате в Киеве в 40-х гг. была создана школа в области нелинейной механики.

В четвертом разделе «Развитие асимптотической теории нелинейных колебаний Ю.А.Митропольским и его школой» рассмотрен процесс становления Ю.А.Митропольского как ученого, научного лидера и руководителя научной школы, приведены многочисленные высказывания о нем учеников и коллег, проведено персональный состав школы, раскрыт ее вклад в науку.

Ядро ее представляют академик НАНУ А.М.Самойленко, который является директором Института математики НАНУ, основателем собственной научной школы по теории многочастотних колебаний и теории импульсных систем; академик НАНУ А.М.Шарковський - заведующий отделом теории динамических систем Института математики НАН Украины; член-корреспондент НАН Украины А.А.Мартинюк - заведующий отделом Института механики НАН Украины, доктора наук В.А.Гробов, В.П.Рубаник, П.М.Сеник, В.И.Фодчук, А.Ф.Шестопал, А.А.Березовский, Г.П.Фома, К.Я.Кухта, Д.И.Мартинюк, В.Г.Самойленко, О.Б.Лыкова, А.К.Лопатин, Т.Г.Стрижак, а также Ф.У.Носиров, Э.Ф.Файзибаев (Узбекистан), Степанович-Хедрик Катица (Сербия), Нгуен Донг Ань, Нгуен Тиен Кхием (Вьетнам) и др.

В школе получен ряд фундаментальных результатов, обогативших мировую науку, в частности, разработаны мощные алгоритмы построения приближенных решений дифференциальных уравнений для разрывных и импульсных систем.

Ю.А.Митропольский распространил метод интегральных многообразий на нелинейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. В работе «Об устойчивости однопараметрического семейства решений уравнений с переменными коэффициентами» (1958) он обосновал одночастотный метод для колебательных систем, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями с медленно меняющимися параметрами.

В работе «О периодических решениях системы нелинейных дифференциальных уравнений с недифференцированными правыми частями» (1959) доказана теорема, которая представляет собой обоснование с помощью метода усреднения законности построения приближенных периодических решений дифференциальных уравнений, правые части которых недифференцированы.

Ю.А.Митропольскому принадлежит также ряд теорем о существовании и свойствах интегральных многообразий для нелинейных дифференциальных уравнений с изменяющимися коэффициентами в конечно- и бесконечномерных случаях (1958 - 1963). В последнем случае сформулирована теорема, в которой обосновано применение одночастотного метода к системам с распределенными параметрами. В дальнейших работах Ю.А.Митропольского в этом направлении исследуются интегральные многообразия дифференциальных уравнений с медленно меняющимися параметрами, интегральные многообразия уравнений, близких к уравнениям с переменными коэффициентами в гильбертовом пространстве и т.п.

Ключевые слова: асимптотическая теория нелинейных колебаний, нелинейная механика, общая теория колебаний, метод малого параметра, одночастотный метод, метод ускоренной сходимости, метод усреднения, метод интегральных многообразий, нелинейные системы.

...