Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет радіоелектроніки

Спосіб опису та побудови симетричних орнаментів за допомогою R-функцій

Ткаченко В.П., к. т. н.,

Челомбітько В.Ф.

Основний зміст дослідження

R-диз'юнкція опорних областей А1 і А2 забезпечується операцією над функціями f₁ і f₂, що дозволяє одержати таку функцію, опорна область якої є об'єднанням областей А1 і А2. R-диз'юнкція позначається

f₃ (x, y) = f₁ (x, y) _R f₂ (x, y) або А3 = А1_R А2.

R-кон'юнкція опорних областей А1 і А2 забезпечується операцією над функціями f₁ і f₂, що дозволяє одержати таку функцію, опорна область якої є перетином областей А1 і А2. R-кон'юнкція позначається

f₄ (x,y) = f₁ (x, y) _R f₂ (x, y) або А4 = А1_R А2.

R-заперечення опорної області А1 - це операція над функцією f1, що дозволяє одержати таку функцію, опорна область якої є доповненням А1 до всієї площини 0ху. R-заперечення позначається

f₅ (x,y) = f₁ (x,y), або А5 = А1

Аналітично це зводиться до зміни знаків у виразі А1: f₁ (x,y) 0. Іншими словами, за бажанням можемо обрати одну з двох опорних областей, що доповнюють одна одну до площини 0ху.

На рис.1 надано ілюстрації зазначених R-операцій. Найпростішими аналітичними реалізаціями цих R-операцій відображені у таких формулах.

R-диз'юнкція: f_1R f₂ = max (f₁,f₂) = 0,5{f₁ + f₂ + |f₁ - f₂|};

R-кон'юнкція: f_1R f₂ = min (f₁,f₂) = 0,5{f₁ + f₂ - |f₁ - f₂|}.

Рис. 1. Ілюстрації до R-диз'юнкції, R-кон'юнкції та R-заперечeння

Визначення опорних областей складних фігур розберемо на прикладах.

Приклад 1. Визначити опорну область кута між прямими k i m, сторони якого перетинають вісь х.

Запишемо рівняння прямих: k: х/4 + у/5 = 1; m: х - у = 1, а потім перепишемо їх як нерівності опорних областей: А1: 1 - х/4 - у/5 0 і А2: х - у - 1 0, та перевіримо підстановкою координат точки 0,0. Обидві нерівності записано вірно, бо у першому випадку результат додатній, а у другому - від`ємний. Тепер над опорними областями А1 та А2 виконаємо операцію R-кон'юнкції, тобто одержати нову опорну область F = A1 _R A2 (рис.2).

Приклад 2. Визначити опорну область фігури, що нагадує форму "півмісяця".

Цю форму утворюють два кола з опорними областями (рис.3), що описуються нерівностями А1: 9 - х² - у² 0 та A2: (x - 3) ² + (y - 3) ² - 9 0, і над якими теж треба виконати операцію R-кон'юнкції F2 = A1 _R A2.

Рис. 2. До визначення опорної області кута між прямими

Рис. 3. До визначення опорної області "півмісяця"

Зменшення кількості опорних областей спрощує логічні формули. Найчастіше це можна зробити за рахунок використання симетрії зображень, тобто раціонально розташовувати системи координат.

Наприклад, дві і навіть чотири опорні області можна описати одним рівнянням, якщо є симетрія відносно:

осі x - А: f (x, |у|) 0. Наприклад, А: 2 - |y| 0 утворює горизонтальну смугу шириною 4 (рис.4);

осі y - A: f (|х|, y) 0. Наприклад, А: 2 - |x| 0 утворює вертикальну смугу шириною 4 (рис.5);

двох осей A: f (|х|, |у|) 0. Наприклад, 1 - |х|/2 - |у|/3 0 утворює ромб із діагоналями 4 і 6 (рис.6).

У деяких випадках для опису окремих елементів зображень необхідно використовувати додаткові опорні області. Найчастіше це роблять, коли описують різні спряження чи частину зображення треба обмежити з якогось боку.

Приклад 3. Для побудови спряження кута, утвореного опорними областями А1 та А2, спочатку за допомогою додаткової області А3 треба сформувати зрізаний кут, а потім до нього приєднати опорну область кола А4 (рис.7). Логічна формула такого зображення буде мати такий вигляд

В = (А1 _R А2 _RА3) _R А4.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Приклад 4. Для зображення на рис.8 горизонтальну смугу спочатку слід обмежити з боку круга, а потім необхідно об`єднати з ним. З урахуванням симетрії це обмеження зроблено з використанням опорних областей А1 і А2. Остаточно одержуємо В = (А1 _R А2) _R А3.

Рис. 7.

Рис. 8.

Для програмної реалізації побудови орнаментів необхідно задати R-операції у вигляді (тут і далі збережено синтаксис мови Maple):

o: = (a,b) - > (a+b+abs (a-b)) /2:

p: = (a,b) - > (a+b-abs (a-b)) /2:

Задамо першу і другу осі симетрії у вигляді

q: = 2: alpha: = Pi/3.:

fosi1: = x*cos (alpha) + y*sin (alpha) - q:

q: = 2: alpha: = Pi - Pi/3.:

fosi2: = x*cos (alpha) + y*sin (alpha) - q:

Модульний примітив (як приклад, що зображено на рис.9) задамо у вигляді

f1: = (x,y) - > 4 - abs (x) - abs (y):

f2: = (x,y) - > - 5 + (x) ^2 + (y) ^2:

F: = (x,y) - > p (f1 (x,y), f2 (x,y));

Для здійснення побудови симетричного модульного примітиву відносно першої осі симетрії слід застосувати формули:

X1: = 2*q*cos (alpha) - y*sin (2*alpha) - x*cos (2*alpha);

Y1: = 2*q*sin (alpha) - x*sin (2*alpha) +y*cos (2*alpha);

F1: = (x,y) - > F (X1, Y1);

На рис. 10 наведено сумісне зображення обраного модульного примітива з побудованим симетричним відносно першої осі зображенням примітива.

Рис. 9. Приклад модульного примітива

Рис. 10. Об'єднання модульного примітива з симетрією від осі № 1

Для здійснення побудови симетричного модульного примітиву відносно другої осі симетрії слід застосувати формули:

X2: = 2*q*cos (alpha) - y*sin (2*alpha) - x*cos (2*alpha);

Y2: = 2*q*sin (alpha) - x*sin (2*alpha) +y*cos (2*alpha);

F2: = (x,y) - > F (X2, Y2);

На рис.11 наведено сумісне зображення даного модульного примітива з побудованим симетричним відносно обох осей зображеннями.

До незаперечних переваг застосування R-функцій є можливість оперувати з опорними областями примітивів. Наприклад, якщо використати послідовність R-функцій у вигляді

FF: = (x,y) - > p (p (F1 (x,y), F2 (x,y)), - F (x,y)),

то одержимо зображення, яке нагадує символ "страхіття" зі стародавніх орнаментів (рис.12).

Рис. 11. Об'єднання модульного примітива з відбиттям від обох осей

Рис. 12. Зображення, яке одержано за допомогою R-функцій

Крім того, за допомогою R-функцій можна будувати графік функції FF (x,y) (рис. 13), а також лінії рівня функції FF (x,y) (рис. 14), що може доповнювати виразні можливості при створенні орнаментів.

Рис. 13. Графік функції FF (x,y)

Рис. 14. Лінії рівня функції FF (x,y)

Висновок. Наведений спосіб практичного застосування R-функцій у середовищі математичного пакету Maple дозволяє складати у неявному вигляді F (x,y) =0 рівняння зображень з елементами симетрії.

Література