Фрактальный подход при моделировании процессов протекания в капиллярно-пористых средах на примере решения задач обеспечения безопасности жизнедеятельности в чрезвычайных ситуациях и охраны природы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Южно-Российский государственный технический университет

Фрактальный подход при моделировании процессов протекания в капиллярно-пористых средах на примере решения задач обеспечения безопасности жизнедеятельности в чрезвычайных ситуациях и охраны природы

В.В. Янюшкин

Возникновение ряда чрезвычайных ситуаций на промышленных объектах приводит к загрязнению окружающей среды с выбросом радиоактивных, химически опасных и биологически опасных веществ. В результате возникают зоны значительного заражения территории, что приводит к невозможности нахождения там людей и животных. В последнее время добавилась новая и трудная задача охраны вод и почвы от загрязнения отходами производства, удобрениями и прочими продуктами жизнедеятельности человечества. В случае ядовитых выбросов важно оценить какова вероятность распространения и масштабы загрязнения. Для построения и моделирования таких явлений широко используются классические подходы физики и геологии, основанные на использовании теорий фильтрации и протекания. Для большинства таких приложений важна пропускная способность пористой среды, то есть характеристика того, насколько легко может протекать в ней жидкость. Особенность таких потоков состоит в том, что вода (или иная рассматриваемая жидкость) движется в капиллярно-пористой среде.

В 1856 г. Дарси установил, что «объем воды, который протекает через слой песка с данными свойствами, пропорционален давлению и обратно пропорционален толщине слоя песка». Многие экспериментальные данные подтверждают справедливость закона Дарси, который лежит в основе большинства современных исследований по теории фильтрации. Но с увеличением скорости создается дополнительный механизм обмена количеством движения; при этом происходит более быстрое возрастание сопротивления с ростом скорости течения и закон Дарси нарушается. К настоящему времени накоплено много данных об отклонении фильтрации от закона Дарси, вместе с тем все гидрогеологические и почвенно-гидрологические расчеты до последнего времени основывались именно на этом законе. Так еще в 1898 г. Кинг опубликовал результаты экспериментов, которые показывают, что закон Дарси нарушается с уменьшением скорости фильтрации. Продолжающееся использование закона Дарси как основы всех фильтрационных расчетов в гидрологии связано с неясностью физической природы наблюдаемых в экспериментах фильтрационных аномалий и путей построения новой теории фильтрации.

Для объяснения наблюдаемых аномалий нарушения закона Дарси обычно привлекались следующие соображения [1]:

1) Фильтрующаяся жидкость, содержащая поверхностно-активные компоненты и коллоидные частицы, образует устойчивые коллоидные растворы, которые обладают механической прочностью.

2) Механические свойства жидкости постепенно меняются от твердой поверхности к объемной части жидкости: «прочносвязанная» вода -- «связанная» вода -- «рыхлосвязанная» вода; с увеличением градиента напора в общий поток постепенно вовлекаются слои воды, более прочносвязанные с твердой поверхностью, и эффективная динамическая пористость системы увеличивается.

3) Под влиянием поверхности вся вода в порах приобретает свойства неньютоновской жидкости.

4) Возникают сопутствующие напорной фильтрации электрокинетические и осмотические эффекты.

В настоящее время наиболее интересен современный подход, основанный на использовании теории фракталов, при этом такие явления можно свести к образованию кластеров или моделированию роста дендритов. Кластер это скопление близко расположенных, тесно связанных друг с другом частиц любой природы. В последнее время термин кластер распространяется и на системы, состоящие из большого числа связанных макроскопических частиц. Введено также понятие фрактального кластера, под которым понимают структуру, образующуюся в результате ассоциации частиц при условии диффузионного характера их движения. Основной чертой фрактального кластера является то, что средняя плотность частиц в нем падает по мере удаления от образующего центра. Таким образом, использование такого подхода в моделировании позволяет максимально приблизить природу движения и распространения вещества в пористой среде. фрактальный кластер чрезвычайный ситуация

Основы предлагаемых моделей. Разработано множество модельных механизмов формирования фрактальных кластеров. Для решения этих задач используется решеточная модель, подробное описание которой представлено в [2-4]. Задание условий протекания вещества в определенном направлении во многом определяет характер получающейся модели.

На рисунке 1 приведен пример результата работы модели при скоплении элементарных частиц и характер их продвижение в некотором изучаемом объекте. Численное моделирование на очень больших решетках показывает, что вероятность образования кластера, протекающего на всю длину решетки, стремится к нулю при размере решетки, стремящейся к бесконечности. Меняя значение порога перколяции, получаются кластеры различных размеров [5]. Это также позволяет моделировать протекание жидкостей с разными значениями текучести и вязкости.

Программно реализуется трехмерная динамическая решеточная модель, в которой можно просмотреть любую вертикальную или горизонтальную проекцию плоскости куба (рис. 2) и проанализировать состояние загрязнения в ней, как показано в таблицах 1-2. На каждой из них показаны наиболее характерные снимки слоев куба, соответствующие состоянию проникновения вещества.

Основная сложность заключается в том, что в реальной пористой среде существует большой разброс пор по размерам и необходимо численно смоделировать процесс протекания, одновременно учитывая поры всех размеров, а также сложно учитывать факторы свойств конкретной жидкости.

Эксперименты с моделью показывают зависимости образования кластеров от порога перколяции и числа этапов существования модели. Число этапов означает применение алгоритмов распространения вещества к уже построенной модели с некоторыми приведенными характеристиками.

Рис. 1 Примеры построения различных перколяционных кластеров

Рис. 2 Схема распространения загрязненных ячеек в трехмерной модели

Таблица 1

Горизонтальные сечения

Таблица 2

Вертикальные сечения

При рассмотрении пористой среды как системы с капиллярами одинакового размера в используемых моделях показано, что фронт вещества, движущейся по капиллярам имеет сложную геометрическую конфигурацию.

Поэтому представляют интерес следующие экспериментальные данные и результаты:

· генерация случайных конфигураций кластеров и процесс их развития во времени;

· построение гистограмм распределения для кластеров в различные моменты времени;

· анализ полученных распределений методом Singular Spectrum Analysis (SSA) с целью выявления закономерностей, а также возможностью оперативного прогнозирования и предсказания дальнейшего роста;

· исследование численных характеристик кластеров: получение зависимости числа узлов кластера от модели развития роста; получение зависимости фрактальной размерности кластеров от времени.

Данные проблемы рассмотрены в работе [6], в которой протекание жидкости через пористое тело рассматривается далее как процесс образования кластера на квадратной решетке. Развития кластера можно описать как начальное порождение структуры с последующим переходом ячеек на нижние уровни и увеличением площади, занимаемой загрязненными узлами. Образование множества отростков связано с случайным характером заполнения структуры решетки и распространением жидкости. Получение в конечном итоге единого стягивающего кластера, соединяющего две противоположные стороны квадрата свидетельствует о возникновении эффекта и преодолении порога перколяции и полного протекания через решетку.

Далее строятся гистограммы распределения значений проникновения элементов кластера по структуре решетки. Особенность этих графиков состоит в том, что они показывают динамику изменения роста кластера во времени.

Для дальнейшего анализа характера роста использовался инструмент SSA, который позволяет раскладывать исходные ряды на тренд, колебания (периодики) и шум без задания модели ряда, а затем прогнозировать интерактивно выбранные компоненты на основе порождаемой ими линейной рекуррентной формулы. Данный метод характеризуется простотой и наглядностью в управлении, соединяя в себе достоинства многих других методов, в частности анализа Фурье и регрессионного анализа. Базовый вариант метода состоит в преобразовании одномерного ряда в многомерный с помощью однопараметрической сдвиговой процедуры, в исследовании полученной многомерной траектории с помощью анализа главных компонентов и в восстановлении ряда по выбранным главным компонентам.

Из гистограмм распределения были выделены три основных этапа роста: образование начальных несвязных отростков, интенсивный рост и получение конечного стягивающего кластера. Эти результаты интерпретируются как начальное проникновение, интенсивное протекание в структуре и полное прохождение жидкости через пористое тело. Для каждого из этапов выбрано наиболее вероятное распеределение, которое преобразовано методом SSA. Итоговые результаты опытов приведены на рис. 3-5.

Рис. 3 Этап образования несвязных отростков

Рис. 4 Этап интенсивного проникновения

Рис. 5 Этап получения конечного стягивающего кластера

Как видно из представленных рисунков были получены определенные законы распределения, характерные для случайных процессов. Таким образом, моделирование роста перколяционных кластеров как динамики прохождения жидкости в пористой среде во времени поддается математическому описанию, а значит, может быть проанализировано и с некоторой степенью вероятности предсказан конечный результат.

Перколяционный кластер, генерируемый на случайной квадратной решетке является примером случайного фрактала. Моделирование роста кластеров с определением их фрактальной размерности предусматривает нахождение такого параметра как центр масс на каждом этапе роста. На рис. 6 показан пример изменения координат центра масс.

Рис. 6 Изменение центра масс в процессе роста кластера

Тенденция роста числа узлов кластера, свидетельствует о том, что фактор времени играет важную роль в наполняемости и масштабах распространения загрязнения в пористой структуре. Значительное увеличение площади, занимаемой кластером, показывает высокую интенсивность проникновения рассматриваемой жидкости.

Сложный характер проникновения, а также нерегулярность и изрезанность граничных состояний кластера позволяет отнести подобную структуру к фрактальным поверхностям, для которых размерность никогда не является целочисленным значением. Более того, в приведенных экспериментах показано, что дробная размерность кластера является динамически изменяющимся показателем и может рассматриваться как сложная функциональная зависимость со временем, центром масс кластера и числом заполненных узлов.

Выводы

Из опыта таких исследований видно, что динамика роста может носить характер, зависящий от многих природных факторов, влияние и вклад каждого из которых учесть достаточно трудно. Но такой подход является во многом оправданным, что позволяет говорить о максимальном приближении к реальности моделируемых явлений и как показывают представленные методики, эффективность применения фракталов для построения моделей загрязнения пористых сред достаточно высока и позволяет адекватно анализировать и оценивать степень и масштабы распространения жидкостей. Классические модели динамики развития аварии обычно показывают сплошной фронт областей заражения, что является не всегда точным и правильным. Взаимодействие загрязняющей жидкости с грунтовыми водами наступает раньше, чем следует из классического анализа. Описанное в статье явление перколяции служит примером случайных (стохастических) фракталов, которые применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. В данных экспериментах фрактальные модели четко указывают на существование различных неоднородностей и лидирующих проникновений заражения, что и является попыткой правильно предугадать хаотичное развитие аварии. На основе данного подхода получено, что при пропитке пористых монодисперсных тел фронт загрязнения имеет экстремальные точки и это необходимо учитывать, например, при подходе фронта к грунтовым водам.

Полученные в результате проведения экспериментов данные на основе созданных программных моделей [7] (зарегистрированных автором в ОФАП) показывают, что фрактальная размерность перколяционных кластеров не является постоянной величиной, а зависит от факторов вероятности заполнения решётки и времени. Дальнейшее значение размерности может приниматься как усредненное значение найденных величин или же, как некоторая функция времени. Доказано, что невозможно предсказать значения переменных хаотической системы, какой является процесс протекания жидкости в пористой среде в определенный момент времени, но можно предсказать качественные особенности поведения этой системы. Умение правильно использовать математические модели и применять их результаты позволит в будущем предотвратить многие негативные последствия техногенных аварий в современном обществе.

Литература

1. Бондаренко Н.Ф. Физика движения подземных вод. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1973. 215 с.

2. Янюшкин В.В. Моделирование процессов загрязнения пористых поверхностей жидкостями на основе фрактальных представлений // «Эврика-2006»: сборник конкурсных работ Всероссийского смотра-конкурса научно-технического творчества студентов высших учебных заведений, г.Новочеркасск, 20-26 ноября 2006 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск: ЮРГТУ. 2006. С. 310-312.

3. Янюшкин В.В. Математическая модель процессов загрязнения пористых поверхностей жидкостями на основе теории фракталов // «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике»: материалы VII Международной научно-практической конференции, г.Новочеркасск, 2 февраля 2007 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск: ЮРГТУ. 2007. Ч.2. С. 75-77.

4. Власов Ю. В., Фролов А.В., Янюшкин В.В. Моделирование процессов загрязнения пористых поверхностей жидкостями на основе фрактальных представлений // «Безопасность в техносфере». 2007. №1. С. 33-35.

5. Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы: Учебное пособие. М.: Едиториал УРСС, 2002. 112 с.

6. Власов Ю. В., Фролов А.В., Янюшкин В.В. Исследование динамических процессов загрязнения пористых поверхностей и роста перколяционных кластеров // «Безопасность жизнедеятельности». 2007. №10. С. 34-37.

7. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 6848 «Моделирование процессов загрязнения пористых поверхностей и роста перколяционных кластеров» от 7 сентября 2006 г.

Размещено на Allbest.ru