Обслуговування викликів у стільникових системах зв’язку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

У теорії масового обслуговування переважно досліджуються ситуації, коли загальний ресурс системи, що розподіляється у інтересах багатьох користувачів за випадкового звертання до нього, виявляється меншим, ніж необхідно в даний момент часу. Прикладами таких ситуацій є організація багатостанційного доступу сигналів багатьох рухомих станцій до обмеженого ресурсу базової станції мережі стільникового зв'язку, звернення багатьох користувачів автоматичної телефонної станції до обмеженої кількості зовнішніх ліній зв'язку та ін.

Основними поняттями теорії масового обслуговування є вхідний, що знаходиться на обслуговуванні (у черзі або в обслуговуючому пристрої) та обслужений потоки вимог; ресурси системи (обслуговуючі пристрої); черга для очікування обслуговування; потік відмов (потік вимог, яким з певних причин, наприклад, через відсутність вільних місць в черзі, перевищення часу очікування граничного значення, було надано відмову в обслуговуванні).

Класифікація систем масового обслуговування може бути проведена за такими основними ознаками:

- за характером надходження викликів - регулярний та випадковий потік вимог;

- за кількістю вимог, що надходять в один момент часу - ординарний та неординарний потік вимог;

- за зв'язком між вимогами - потоки з післядією та без неї;

- за характером обслуговування викликів - система масового обслуговування з відмовами та очікуванням;

- за дисципліною обслуговування - з пріоритетом, «перший прийшов - першим отримав обслуговування», з обслуговуванням в оберненому порядку, зі зваженою справедливою організацією черги та ін.;

- за характером зайняття ресурсу - з детермінованим та випадковим часу зайняття;

- за кількістю одиниць ресурсу - одноканальні та багатоканальні системи масового обслуговування;

- за кількістю етапів обслуговування вимог - однофазні та багатофазні системи масового обслуговування;

- за обмеженістю потоку вимог - замкнуті та розімкнуті системи масового обслуговування.

Основними показниками якості системи масового обслуговування є ймовірність обслуговування; ймовірність відмови; ймовірність очікування початку обслуговування; ймовірність простою одиниці ресурсу; ймовірність знаходження в системі на обслуговуванні n вимог; середній час обслуговування; середній час очікування; середня кількість зайнятих одиниць ресурсу.

Існуючі результати щодо використання методів теорії масового обслуговування при визначенні абонентської ємності мобільних стільникових систем зв'язку обмежені випадком стаціонарних (незалежних від часу) параметрів обслуговування. Між тим, для оптимізації функціонування таких систем зв'язку необхідне визначення часової динаміки обслуговування викликів в таких системах. Тому метою даної роботи є визначення та оптимізація абонентської ємності мобільних стільникових систем зв'язку.



1. Теорія трафіку

1.1 Вступ до теорії трафіку

Для систем без відмов (рис. 1.1 а) ймовірність доступності мережі становить 100%. Але з точки зору побудови таких систем та їх вартості, такі системи є неефективними і неоптимальними. Іншими словами, для того, щоб забезпечити 100% доступність всіх абонентів, необхідно мати величезний запас по пропускній здатності, що в існуючих мережах виконати неможливо.

Що ж стосується систем з відмовами, то в таких системах на один канал зв'язку доводиться не один, а декілька абонентів (рис. 1.1 б). Останнє може призвести до появи перевантажень (блокування викликів).

У зв'язку з цим основне завдання інженерного проектування (синтезу) систем полягає в тому, щоб знайти оптимальний вид системи, де одним із критеріїв оптимальності слугує забезпечення пропускної здатності мережі з допустимими значеннями по відмовах встановлення з'єднань (відсоток блокованих викликів).

Рисунок 1.1. - Подання систем без відмов (а) та з відмовами (б)

Інженерний розрахунок пропускної здатності систем стільникового зв'язку повинен спиратися на наступні вхідні дані для проектування:

· Демографічні дані;

· Абонентський розподіл (розподіл абонентського трафіку) на квадратний кілометр;

· Структура номінального стільникового плану;

· Прогнозована кількість каналів трафіку (ТСН-Traffic Channel);

· Прогнозована кількість каналів керування (SDCCH - Stand Along Control з Channel);

· Розрахункове значення сот на мережі;

· Контролерну і комутаторну ємність.

На рисунку 1.2 географічно показано розподіл пропускної здатності мережі по підсистемах мережі стільникового зв'язку.

Рисунок 1.2. - Розподіл пропускної здатності мережі за підсистемами мережі стільникового зв'язку

1.2 Інтенсивність та одиниці виміру трафіку

Інтенсивність трафіку вимірюється в Ерлангах. 1 Ерланг - це використання одного каналу протягом 1 години (3600 сек.). Одиниця Ерланг названа на честь датського математика К. Ерланга, засновника теорії телетрафіку.

Навантаження, створюване одним абонентом, обчислюється за формулою:



(1.1)

Де n - кількість з'єднань за 1 годину (3600 сек.); Т - середній час розмови протягом з'єднання, сек.

Ймовірність блокування викликів (GoS) - це відсоток невдалих спроб встановлення з'єднання, викликаних перевантаженням у мережі, обчислюється за формулою Ерланга та використовується для розрахунку ймовірності блокування викликів при заданій величині навантажень і заданій кількості каналів трафіку. Величина GoS лежить в межах від нуля до одиниці.

З цієї нерівності випливає, що:

* Якщо GoS = 1, то всі дзвінки будуть невдалими (100% перевантажень)

* Якщо GoS = 0, то всі дзвінки відбудуться (0% перевантажень)

Для мереж стільникового зв'язку значення GoS становить близько 0.02.

Пуассонівський розподіл - це статистичний процес, що описує послідовність подій, що відбуваються через певні часові інтервали. Пуассонівський розподіл використовується в теорії черг і знаходить широке застосування в різних областях сфери діяльності людини: оцінка кількості літаків, що прибувають в аеропорт, кількість водіїв, що заправляються на автозаправних станціях або кількість дзвінків, що надходять від абонентів в центр комутації рухомого радіозв'язку. Математичний розподіл, що описує різні ситуації людської діяльності, описується пуассонівським розподілом.

Нехай N - кількість каналів трафіку в соті; A_сота - прогнозована пропускна здатність в соті, тоді ймовірність надходження викликів в момент, коли всі канали зайняті, може бути розрахована за формулою:



або

де Р (N, А_сота) - ймовірність блокування викликів або GoS-формула - називається формулою Ерланга Б.

Таким чином, при заданій імовірності блокування GoS і необхідному навантаженні в секторі можна обчислити необхідну кількість каналів для розмов.

Для простоти розрахунків результати обчислень за формулою Ерланга Б прийнято представляти у вигляді таблиці Ерланга:

Таблиця 1.1. Таблиця Ерланга



На рисунку 1.3 показано графік залежності навантаження у соті від кількості розмовних каналів у даній соті при заданому значенні ймовірності блокування викликів GoS = 2%.

Рисунок 1.3. - Залежність навантаження від кількості каналів

1.3 Характеристики трафіку

Розрахунок пропускної здатності як для телефонних мереж загального користування, так і для мереж стільникового зв'язку ґрунтується на обчисленні навантаження в ГНН (годину найбільшого навантаження). Згідно зі статистикою, зміна значення ГНН для всіх мереж коливається слабо, тому може бути легко передбачуваним. Типовий розподіл стільникового трафіку подано на рисунку 1.4.

Рисунок 1.4. - Розподіл сумарного абонентського трафіку для дводіапазонних сот на протязі доби



З графіків видно, що ГНН для стільникового трафіку змінюється протягом усієї доби. У нічний час навантаження мінімальне, а в ранковий і денний час навантаження сильно зростає. Останнє пов'язано з тим, що в ранковий час відкриваються офіси, магазини і т.д., активізуються абоненти і, як наслідок, зростає навантаження.

Крім часового розподілу навантаження, необхідно враховувати і його просторовий розподіл. Як приклад, нижче наведені просторово-часові розподіли абонентського трафіку для випадку дводіапазонної мережі 900/1800 МГц (рисунки 1.5, 1.6). У наведеному випадку розглядається одна з сот дводіапазонної базової станції, що працює на одну антенну систему, тобто соти діапазону 900 МГц і 1800 МГц мають однакові географічні координати, а також одну й ту саму азимутальну прив'язку випромінювання антен.

З вищенаведених рисунків видно, що абонентське навантаження в сотах змінюється не тільки в часі, але й у просторі. Зокрема, на рисунку 1.6 час 14:00 відповідає часу прильоту літаків в аеропорт.

Зміни трафіку можна розбити на п'ять основних типів:

* Зміна середньої тривалості розмови. Це зміни, пов'язані з різними типами передплати: безлімітний, економний і т.д. Типове значення середнього часу розмови на абонента становить 60 - 180 сек.

* Вартові зміни трафіку. Зміни навантаження в залежності від часу доби.

* Денні, сезонні зміни трафіку. Зміни навантаження в залежності від дня тижня, святкових днів і т.д.

* Довготривалі зміни трафіку. Зміни, пов'язані з ростом абонентської бази. Оціночний період приросту становить 6 міс. - 1 рік.

* Просторові зміни трафіку. Зміни навантаження за рахунок динаміки переміщення абонентів по мережі.



1.4 Ефективність використання каналів

Термін «ефективність використання каналів» використовується для оцінки ефективності використання каналів базових станцій.

Ефективність використання каналів визначається значенням навантаження на каналі трафіку (ТСН):

(1.4)

де Е - ефективність використання каналів; А_сота - трафік; N - кількість каналів трафіку в соті.

З графіків видно, що при значенні GoS = 2%, ефективність використання каналів трафіку зростає при збільшенні каналів трафіку в соті. Якщо в соті менш ніж 15 каналів, то ефективності використання каналів менша за 60%.

Оцінимо ефективність використання каналів для випадку базової станції з OMNI сотою, секторного виконання, в яких є 42 каналу трафіку.

Таблиця 1.2. Навантаження та ефективність використання каналів

Параметр	OMNI сайт	Секторний сайт
Кількість каналів ТСН	42	3 сектори по 14 каналів (42)
GoS, %	2	2
Трафік соти, Ерланг	32.8	8.2
Трафік сайту, Ерланг	32.8	24.6
Ефективність використання, %	78	58.5

З таблиці 1.2 видно, що при одній і тій самій кількості каналів трафіку OMNI сайт має більшу пропускну здатність, ніж секторний сайт, оскільки ефективність використання каналів у OMNI сайту (78%) вище ніж у секторного (58.5%).



2. Процеси масового обслуговування

2.1 Загальна структура

Існує велика кількість процесів, для яких є характерною загальна структура: до сукупності пунктів, що мають назву системи обслуговування, через деякі проміжки часу надходять об'єкти (вхідний потік), над якими виконуються відповідні операції (обслуговування) і які потім залишають систему (вихідний потік), вивільнюючи місця для наступних об'єктів. Проміжки часу, через які надходять об'єкти, та час обслуговування теоретично можуть бути регулярними, але на практиці вони переважно мають випадковий характер. За масового надходження об'єктів до системи обслуговування можуть утворюватись черги.

Процеси масового обслуговування є типовими для зв'язку (телефон, телеграф), транспорту (повітряні, наземні та морські перевезення), культурно-побутових підприємств (театри, магазини, поліклініки), виробничих процесів (ремонт та обслуговування обладнання, складальні лінії) тощо. Проблеми, схожі на задачі масового обслуговування, постійно виникають і в інших областях (еволюція у біології, рух фізичних часток) і т. п. У будь-якому випадку складниками процесу масового обслуговування можуть бути: вхідний потік, черга, система пунктів обслуговування, вихідний потік.

Незалежно від конкретної природи та характеру об'єктів, що надходять до системи обслуговування, їх називають вимогами (або заявками). Вхідний потік вимог розглядається як послідовність подій, що відбуваються через певні проміжки часу (наприклад, виклики на станцію швидкої допомоги, прихід кораблів у порт, вихід з ладу станків тощо). Розподіл вхідного потоку переважно зумовлює характер процесу масового обслуговування.

Структура черг та надходження з них вимог на обслуговування визначаються як властивостями і можливостями, так і встановленими правилами проходження вимог через ці системи. Вимоги можуть виконуватись у порядку надходження (операції на конвеєрі), з пріоритетом (позачергове право на отримання квитків), у випадковому порядку (відбір зразків для статистичного аналізу), у порядку першого чергового надходження за звільненого каналу обслуговування (прийом викликів телефонною станцією). Черги можуть обмежуватися у довжині, тобто за кількістю заявок, що знаходиться в ній, та за часом очікування. Ці обмеження зумовлені або можливостями системи масового обслуговування (обмеженість місць у театрі, об'єму оперативної пам'яті машини), або поведінкою об'єктів обслуговування та відповідними правилами (відмова від обслуговування через неприйнятну довжину черги або часу очікування в ній, через регламентацію порядку обслуговування). Загалом, основною характеристикою черги є час очікування.

Система пунктів обслуговування можу мати різноманітну організацію: з послідовними, паралельними та комбінованими каналами, деякі з яких можуть бути спеціалізованими. В залежності від надходження вимог та утворення черг ця система може змінювати свою організацію. В той же час її властивості впливають на структуру черги та відношення до неї об'єктів обслуговування. Наприклад, за відсутності вільних каналів вхідні вимоги можуть отримувати відмову (системи з відмовами) або ставати у чергу (системи з очікуванням).

Процеси масового обслуговування вивчаються з метою їхньої раціональної організації (забезпечення найбільшої пропускної здатності за якомога менших витрат часу та матеріальних ресурсів) або виявлення закономірностей тих явищ природи, для яких характерні подібні процеси.

2.2 Кількість вимог у заданому інтервалі часу

Вхідний потік зветься найпростішим, якщо ймовірність надходження тої або іншої кількості вимог напротязі інтервалу часу t залежить лише від довжини цього інтервалу і не залежить від його положення на осі часу (стаціонарність), причому вимоги надходять у одиночному порядку (ординарність) та незалежно один від одного (відсутність післядії).

Знайдемо математичне очікування розподілу Пуассона:

(2.1)

Отримана величина визначає середнє значення кількості вимог, що надійшли за час t. Звідси випливає, що параметр представляє собою середню кількість вимог за одиницю часу, у зв'язку з чим його називають інтенсивністю (або густиною) потоку. Середня кількість вимог за час t через стаціонарність найпростішого потоку не залежить від положення часового інтервалу, тому під t можна розуміти час, що пройшов від початку процесу.

Дисперсія, що характеризує розсіювання кількості вимог у інтервалі t, визначається формулою:

(2.2)

При цьому



Враховуючи, що , для дисперсії пуассонівського потоку отримуємо:

Цей вираз такий же, як і для математичного очікування. Дану властивість можна використовувати для вирішення питання про відповідність найпростішому потоку деякого потоку вимог і загалом будь-якої випадкової величини, якщо її статистичні характеристики (математичне очікування та дисперсія) відомі або визначені дослідним шляхом. Суттєва відмінність математичного очікування та дисперсії може слугувати причиною відмови від використання розподілу Пуассона.

2.3 Інтервал між двома послідовними вимогами

Ймовірність того, що інтервал між двома послідовними вимогами перевищить деяку величину , дорівнює ймовірності відсутності вимог у цьому інтервалі, тобто . Відповідно до цього доповнення цієї величини до одиниці надає функцію розподілу інтервалів між появою двох послідовних вимог:

(2.5)

Диференціюючи, знаходимо густину розподілу:

(2.6)

За пуассонівського потоку закон розподілу ймовірностей для інтервалів між двома послідовними подіями є експоненціальним з параметром . Математичне очікування та дисперсія інтервалу , розподіленого за експоненціальним законом, виражається:

(2.7)

Таким чином, середній час між двома послідовними вимогами обернено пропорційний інтенсивності потоку вимог . Цій же величині рівний і середньоквадратичний відхил інтервалу від , який визначається як корінь квадратний з дисперсії:

(2.8)

Важливою властивістю експоненціального закону розподілу є те, що ймовірність появи чергової вимоги після проходження часу не залежить від моменту появи попередньої. Ця особливість властива лише експоненціальному закону і являє собою наслідок незалежності надходження подій у часі, що зветься відсутністю післядії.

2.4 Час обслуговування та час очікування

Продуктивність системи обслуговування залежить від кількості каналів та їх власної продуктивності. Час обслуговування однієї вимоги частіше вважають випадковою величиною, розподіленою за експоненціальним законом. Для цього є багато підстав: простота аналітичних виразів, відсутність післядії, подібність до властивостей багатьох реальних систем та ін. Експоненціальний закон особливо добре описує такі системи, які порівняно швидко обслуговують основну масу вимог, а тривалі строки обслуговування зустрічаються тим рідше, чим більше часу вони займають.

Нехай час обслуговування t задано експоненціальним законом з ймовірністю розподілу (t > 0). Середній час обслуговування виражається математичним очікуванням, яке рівне . Таким чином, параметр µ представляє собою величину, обернену середньому часу обслуговування (його ще можна назвати інтенсивністю обслуговування). Дисперсія часу обслуговування рівна . Функція розподілу

(2.9)

являє собою ймовірність того, що обслуговування закінчиться за час t, тобто ймовірність звільнення за цей час каналу обслуговування. Відповідно до цього ймовірність того, що за час t канал не звільниться, рівна . Якщо в системі зайнято k каналів, то ймовірність того, що жоден з них не звільниться за час t, дорівнює .

Час очікування вимоги у черзі (якщо вона існує) зазвичай також задається експоненціальним законом з густиною розподілу , де параметр - величина, обернена до середнього часу очікування. Функція розподілу являє собою ймовірність того, що час очікування не перевищить t.

2.5 Системи масового обслуговування з очікуванням

Необхідно скласти систему рівнянь Колмогорова для системи масового обслуговування з очікуванням. Для цього передусім визначимо густини ймовірностей переходів та складемо граф цієї системи.

Ймовірності переходу P_i,i+1 зі стану і в «старший» стан і+1 залежать лише від потоку вимог (кожна нова вимога або надходить до каналу обслуговування, або ж стає в чергу). Оскільки ймовірність того, що за час надійде одна вимога, визначається формулою (2.3.1), то P_{i, i+1}(Дt) = . Звідси знаходимо л_{i, i+1}=л, відповідно всім дугам графа, напрямленим від вершини s_i до вершини s_i+1, приписуємо вагу, рівну інтенсивності потоку вимог л.

Перехід до «молодшого» стану зумовлений виключно вивільненням каналів обслуговування. Виходячи з функції розподілу часу обслуговування (2.9), аналогічно можна знайти, що за наявності лише одного каналу густина ймовірності переходу у «молодший» стан дорівнює інтенсивності обслуговування µ. Якщо зайнято і каналів, то інтенсивність обслуговування збільшується в і разів та, відповідно, P_{i, i+1}(Дt) = іµ, причому і?m, де m - кількість каналів обслуговування.

За утворення черги кожний стан характеризується зайнятістю усіх каналів обслуговування (і = m), тому інтенсивність вивільнення каналів стає постійною і рівною mµ. Як тільки канал вивільняється, його негайно займає вимога з черги, і система переходить у «молодший» стан. За таких умов даний перехід може також бути викликаний виходом з черги однієї вимоги, якщо час очікування перевищує допустимий. Розподіл часу очікування визначається інтенсивністю v виходу з черги за наявності в ній лише однієї вимоги. Для довжини черги r інтенсивність, з якою вимоги відмовляються від обслуговування та полишають чергу, дорівнює rv. Таким чином, густина ймовірності переходу зі стану s_m+r до стану s_m+r-1 (r>1) дорівнює сумі інтенсивностей вивільнення каналів та відмов від обслуговування:

(2.10)

Після того, як граф повністю розмічений, можна записати систему диференціальних рівнянь:



Якщо система у початковий момент часу знаходилась у стані s_і, то початковими умовами будуть співвідношення p_і = 1; p_j = 0 (j=1,2,…, m+r,…; j ? 1). Отримана система має нескінченну кількість рівнянь. Ця кількість стає скінченною, якщо накладаються умови на довжину черги, тобто на r. Але навіть і без таких обмежень на практиці використовують ту обставину, що зі збільшенням r ймовірності р_m+r стають дуже малими. Тому останні рівняння, починаючи з деякого r, можуть бути відкинуті. Рішення системи рівнянь процесу масового обслуговування разом з нормованою умовою надає ймовірності p_і(t) станів s_і, які повністю визначають протікання цього процесу в часі.

2.5 Стаціонарний режим

У теорії масового обслуговування цікавляться не стільки тим, як протікає процес в часі, скільки граничним стаціонарним режимом, який, за умови існування, настає за t > . Стаціонарний режим описується системою алгебраїчних рівнянь, яку отримують з системи диференціальних рівнянь шляхом прирівнювання до нуля всіх похідних за часом:

Хоча і в стаціонарному режимі система змінює свої стані випадковим чином, їхні ймовірності вже не залежать від часу. Кожна з них, являючись постійною величиною, характеризує відносний час перебування системи у даному стані. Приєднавши до системи алгебраїчних рівнянь нормуючу умову , можна визначити значення ймовірностей в сталому режимі та отримати ряд загальних характеристик процесу (без нормуючої умови ці значення можна було б отримати лише з точністю до постійного множника). З першого рівняння визначаємо , де звуть зведеною густиною потоку вимог (середнє число вимог, що надходять за середній час обслуговування однієї вимоги). Визначаючи з кожного наступного рівняння нову невідому та підставляючи значення невідомих, виражених з попередніх рівнянь, отримуємо:

(2.13)

За i>m тим самим методом можна знайти:

де можна за аналогією назвати зведеною густиною потоку виходів з черги (без обслуговування). Згідно з нормуючою умовою маємо:



Середня довжина черги r_ср визначається як математичне очікування кількості вимог, що знаходяться в черзі:

Оскільки деякі вимоги, не дочекавшись обслуговування, покидають чергу з інтенсивністю v, то всього будуть полишати чергу vr_ср вимог за одиницю часу, і з л вхідних вимог за цей же час обслуговування буде надано вимогам. Звідси визначаються важливі характеристики системи - відносна пропускна здатність q та середня кількість зайнятих каналів k_cp:

(2.18)

Величина q характеризується ймовірністю того, що вимозі, яка надійшла до системи, буде надано обслуговування (за відсутності черги та q = 1, тобто всі вимоги обслуговуються). Величину k_cp можна також визначити як математичне очікування кількості зайнятих каналів:

де використано нормуючу умову та ту обставину, що в станах s_m+r усі m каналів зайняті. Цей вираз більш зручний, оскільки немає потреби сумувати нескінченний ряд (за визначення r_ср). Тому його можна використати для розрахунку r_ср та q:



З виразу (2.20) можна зробити висновок, що відносну пропускну здатність системи можна розглядати як співвідношення середньої кількості зайнятих каналів до зведеної густини потоку вимог.

2.6 Окремі випадки

З попередніх теоретичних відомостей можна отримати важливі окремі випадки, що дозволить ширше розкрити питання систем масового обслуговування.

Система з відмовами приймає вимоги на обслуговування лише за наявності вільних каналів. Вимога, що надійшла у момент часу, коли усі m каналів зайняті, негайно отримує відмову, залишає систему і не приймає участь в подальшому процесі обслуговування. Це означає відсутність черги (r = 0), і система характеризується скінченною кількістю рівнянь, які відповідають станам s₀, s₁, …, s_m. Співвідношення для такої системи можна отримати, якщо спрямувати до нуля середній час очікування, тобто v > ? (в > ?):

Ці вирази можна перетворити до виду, зручного для обчислень за великих і, якщо використовувати наближену формулу:



Вирази (2.22) звуть формулами Ерланга, який вперше дослідив систему з відмовами стосовно телефонного зв'язку. Припускаючи k = m (усі канали зайняті), отримуємо ймовірність відмови:

Оскільки усі вимоги, що не отримали відмови, обслуговуються, то ймовірність того, що вимозі, яка надійшла в систему, буде надано обслуговування, тобто відносна пропускна здатність буде дорівнювати:

(2.24)

Середню кількість зайнятих каналів можна визначити як добуток членів k_cp=0*p₀+1*p₁+ … +m*p_m. Але простіше виразити цю величину як відношення абсолютної продуктивності системи (середньої кількості вимог, що обслуговує система за одиницю часу) до інтенсивності обслуговування µ (середньої кількості вимог, що обслуговує канал за одиницю часу):

(2.25)

Система з обмеженою довжиною черги характеризується тим, що вимога, яка надійшла до системи, стає в чергу лише за умови, що кількість вимог в ній (довжина черги) не перевищує заданого значення r = v. При цьому недопустима довжина черги є єдиною причиною, яка змушує вимогу залишити її, а час очікування не береться до уваги, тобто може вважатися нескінченним v > ?. Відповідно, в такому випадку система рівнянь буде скінченною, оскільки рівняння для r > v втрачають сенс. Співвідношення для даної системи отримуємо після обмеження суми до r за верхньою межею v та прийняття v > ? (в > ?):

Ймовірність того, що вимога покине систему без отримання обслуговування, рівна ймовірності , що характеризує наявність у черзі v заявок, а відносна пропускна здатність системи виражається q = 1 - .

2.7 Критерій ч²

Нехай о(щ) = (о₁(щ), о₂(щ), …, о_n(щ)) є реалізація вибірки з розподілу F. Розподіл F невідомий. Щодо невідомого нам істинного розподілу F висувається гіпотеза:

Н₀: F = G, (2.27)

де G - розподіл з даного класу розподілів (із заданими властивостями), зокрема G може бути повністю визначеним. Інакше гіпотезу Н₀ можна сформулювати так: о = (о₁, о₂, …, о_n) є вибірка з розподілу G з даними властивостями. Необхідно за реалізацією даної вибірки зробити висновок щодо гіпотези Н₀ - відхиляти її чи не відхиляти. Для цього використовують критерій ч².

Нехай о = (о₁, о₂, …, о_n) - вибірка з розподілу F і - верхня межа ч²-розподілу з (r - 1) ступенями вільності.

Якщо гіпотезу Н₀: о = (о₁, о₂, …, о_n) є вибірка з розподілу G, відхиляти при

(2.28)

і не відхиляти в противному разі, то з імовірністю б гіпотеза Н₀ буде відхилятися, коли вона справедлива.

Критерієм ч² можна користуватися, коли n - обсяг вибірки та p_i, i = 1,2,…, r, - ймовірності попадання вибіркових значень до множини Х_і, обчислені за гіпотетичним розподілом, такі, що

np_i ? 10, i = 1, 2, 3, …, r (2.29)

По суті, це обмеження на обсяг вибірки: n повинно бути настільки великим, щоб виконувалися умови (2.29).

Поділ Х - простору вибіркових значень - на непересічні підмножини Х_і:

(2.30)

здійснюють, взагалі кажучи, довільно, але кількість r підмножин намагаються вибрати якомога більшою, при цьому слідкують за виконанням умов (2.29). Якщо при даному поділі для деяких Х_і значення np_i < 10, то такі Х_і слід об'єднати з іншими Х_j так, щоб для «нових» значення або щоб вони містили принаймні по 10 вибіркових значень. Якщо вибіркових значень так мало, що цього зробити не можна, то застосовувати критерій ч² з використанням таблиць ч²-розподілу не рекомендується.

2.8 Критерій Колмогорова-Смирнова

Нехай о = (о₁, о₂, …, о_n) - вибірка з неперервного розподілу F. Щодо невідомого розподілу F висувається гіпотеза: Н₀: F = G, де G - повністю визначений неперервний розподіл. Необхідно за реалізацією даної вибірки зробити висновок щодо гіпотези Н₀ - відхиляти її чи не відхиляти. Для цього треба ввести відхил D(F_n, G) емпіричного розподілу F_n від гіпотетичного G, причому так, що за вірної гіпотези Н₀: F = G відхил D(F_n, F) = D_n був малим у порівнянні з D(F_n, G) та щоб розподіл D_n був відомим. Тоді гіпотезу Н₀: F = G можна відхиляти, якщо D(F_n, G) велике, або ж не відхиляти у іншому разі.

Якщо о₁, о₂, …, о_n - вибірка з неперервного розподілу F, е_б,n - критичне значення для . Якщо гіпотезу Н₀: F = G відхиляти за

е_б,n (2.31)

та не відхиляти у іншому разі, то з ймовірністю не більше б гіпотеза Н₀ буде відхилятися, коли вона є вірною.

Якщо n < 100, по наданим б та n критичні значення е_б,n для подаються у вигляді таблиці. Для n > 100 у якості критичного значення е_б,n можна розглядати , тобто

е_б,n = (2.32)

де - верхня б-границя розподілу Колмогорова.

Критерій Колмогорова-Смирнова можна використовувати лише тоді, коли гіпотетичний розподіл G є неперервним та не залежить від невідомих параметрів.



3. Результати імітаційного моделювання обслуговування викликів у мобільних стільникових системах зв'язку

Стаціонарний режим функціонування системи зв'язку

Спочатку вважатимемо, що в системі масового обслуговування відсутня черга, тобто якщо до системи надходить виклик, і усі канали зайняті, то такий виклик отримає відмову в обслуговуванні.

Залежність ймовірності простою в залежності від кількості каналів обслуговування за інтенсивності надходження викликів б = 22.5. Залежність розрахована за формулою (2.22). На графіку кількість каналів обслуговування змінюється від 1 до 100. Бачимо, що зі збільшенням кількості каналів ймовірність простою прямує до нуля, тобто канали практично весь час будуть зайняті обслуговуванням викликів.

Залежність ймовірності відмови в обслуговуванні від кількості каналів зв'язку за інтенсивності надходження викликів б = 22.5. Залежність розрахована за формулою (2.22). За графіком робимо висновок, що зі збільшенням кількості каналів обслуговування зменшується ймовірність відмови, а починаючи приблизно з 40 каналів, ймовірність відмови взагалі прямує до нуля.

Якщо система обслуговування передбачає наявність черги скінченної довжини, то ситуація змінюється, і разом з тим формули для розрахунку.

Залежність ймовірності обслуговування виклику від кількості каналів за довжин черги 10 та 20, розраховану за формулою (2.26). При цьому синя лінія позначає випадок, коли максимально припустима довжина черги дорівнює 10, а червона - 20. З графіку видно, що за більшої припустимої довжини черги ймовірність обслуговування є більшою, оскільки у такому випадку менше викликів отримують відмову. За досить великої кількості каналів ймовірність обслуговування прямує до одиниці незалежно від припустимої довжини черги.

За формулою (2.26) можна визначити ймовірність простою. На рисунку 3.4 зазначена залежність ймовірності простою каналів від їхньої кількості за довжин черги 10, 20. Кольори мають той самий сенс, що й на минулому рисунку. Слід зазначити, що на графіку лінії практично повністю співпадають, що свідчить про слабку залежність ймовірності простою від довжини черги, принаймні за невеликих значень довжин.

Залежність ймовірності обслуговування від довжини черги за двох значень кількості каналів, 20 та 30. Довжина черги змінюється від 1 до 100. Синій колір означає кількість каналів 20, червоний - 30. Як видно з рисунка, у випадку з 20 каналами ймовірність обслуговування завжди дорівнює одиниці, тобто жоден виклик, що надходить у систему, не отримає відмови. У випадку ж 30 каналів зі збільшенням черги зростає ймовірність отримання відмови.



Перелік посилань

1. ДСанПіН 3.3.2.007-98 «Гігієнічні вимоги до організації роботи з візуальними дисплейними терміналами електронно-обчислювальних машин».

2. ДБН В.2.5-28-2006 «Державні будівельні норми. Інженерне обладнання будинків та споруд. Природне і штучне освітлення».

3. ДСН 3.3.6.042-99 «Санітарні норми мікроклімату виробничих приміщень».

4. ГОСТ 12.1.003-83 «Система стандартов безопасности труда. Шум. Общие требования безопасности»

5. Системы мобильной связи: Учебное пособие для вузов / В.П. Ипатов, В.К. Орлов, И.М. Самойлов, В.Н. Смирнов; под ред. В.П. Ипатова - М.: Горячая линия-Телеком, 2003, 272 с.

6. Якубайтис Э.А. Информационные сети и системы. Справочная книга - М.: Финансы и статистика, 1996.

7. Анин Б.Ю. Защита компьютерной информации. - СпБ.: ВНУ, 2000.

8. Карташевский В.Г., Семенов С.Н., Фирстова Т.В. «Сети подвижной связи». - М.:Эко-Трендз, 2001.

9. Овчинников А.М., Воробьев С.В., Сергеев С.И. «Открытые стандарты цифровой транкинговой радиосвязи». - М.: МЦНТИ, 2000.

10. Пышкин И.М., Дежурный И.И., Талызин В.Н., Чвилев Г.Д. «Системы подвижной радиосвязи»; под ред. И.М. Пышкина. - М: Радио и связь, 1986.

11. Скляр Б. «Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение» издание 2, исправленное: пер. с англ. - М.: издательский дом «Вильямс». 2003, 1104 с.

12. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. «Введение в теорию массового обслуживания» - М.: Наука, 1966,

Размещено на Allbest.ru

...