Підтримка прийняття рішень на базі метода аналізу ієрархій (МАІ)

Размещено на http://www.allbest.ru

Розрахунково графічне завдання

Підтримка прийняття рішень на базі метода аналізу ієрархій (МАІ)

Обрати предметну область, в якій ви добре орієнтуєтесь і вам цікава. Вам необхідно прийняти рішення відносно вибору одного із варіантів рішень. (Наприклад, вибір авто чи монітора). Прийняти рішення на інтуїтивному рівні.

Побудувати 3-рівневу ієрархію. 1-рівень: 1 вузол, 2-рівень: не менше 4, 3-рівень: не більше 3.

Побудувати матриці парних порівнянь другого та третього рівнів ієрархії (тобто відносно цілі та критеріїв) використовуючи шкалу відносної важливості. Виконання даного етапу провести досить уважно і прискіпливо, оскільки від вказаних пріоритетів залежить кінцевий результат.

Для кожної із матриць розрахувати значення ij власного вектора або вектора пріоритетів, найбільше власне значення max, індекс узгодженості ІУ (ИС), відношення узгодженості ВУ (ОС) та перевірити їх на прийнятність. У випадку негативного результату повернутися до п.3 та переглянути власні судження.

Провести аналіз результатів етапу обчислення векторів приорітетів для матриць парних порівнянь третього рівня. Обчислити ВУ ієрархії.

Виконати синтез та аналіз глобальних пріоритетів альтернатив.

Провести аналіз вкладів критеріїв в остаточні результати

Підсумковий порівняльний аналіз результатів індивідуального варіанта та розв'язку на інтуїтивному рівні.

Примітки:

1. П.п. 3,4 виконують комплексно тобто послідовно будують матрицю, після чого визначають її прийнятність, потім нову матрицю і т.д.

2. Для підвищення автоматизації розв'язання задачі через громіздкість обчислень усі дії рекомендується проводити за допомогою табличного процесора MS Excel.

матриця порівняння вектор приорітет

Методичні вказівки

1. Нехай існує проблема вибору місця роботи (А, В, С) після закінчення вузу. Нехай на інтуїтивному рівні віддамо перевагу варіанту А.

2. У результаті застосування МАІ була отримана наступна ієрархія (рис. 1.).

 

 Рис. 1. Ієрархія проблеми вибору роботи

 

На рис. 1. прийнято такі позначення вузлів:

Рівень мети:

1. Задоволення роботою.

Рівень критеріїв:

2. Дослідницька робота;

3. Ріст;

4. Доходи;

5. Колеги;

6. Місцезнаходження;

7. Репутація.

 Рівень альтернатив:

8. А;

9. В;

10. С.

Z1 - пріоритет першого рівня, завжди рівний 1, Z2 - Z7 - вектор пріоритетів другого рівня (критеріїв), Z8 - Z10 ---- вектор пріоритетів третього рівня (альтернатив). ij -елементи векторів пріоритетів, тобто величина впливу одного вузла на інший (власні вектори матриць парніх порівнянь).

3, 4. Побудуємо матрицю парних порівнянь для рівня 2, де визначається важливість кожного з критеріїв із застосуванням шкали відносної важливості.

Нехай дані елементи А1, А2,..., An. Матриця попарних порівнянь розміром nЧn будується по наступним правилам :

1) якщо елементи Аi і Ak однаково важливі, заносимо в позиції (Аi, Ak) і (Ak, Аi) матриці число 1;

2) якщо елемент Аi незначно важливіше елемента Ak, заносимо в позицію (Аi, Ak) число 3, а в позицію (Ak, Аi) зворотне йому число 1/3;

3) якщо елемент А= значно важливіше елемента Ak, заносимо в позицію (Аi, Ak) число 5, а в позицію (Ak, А=) зворотне йому число 1/5;

4) якщо елемент Аi явно важливіше елемента Ak, заносимо в позицію (Аi, Ak) число 7, а в позицію (Ak, Аi) зворотне йому число 1/7;

5) якщо елемент Аi по своїй значимості абсолютно перевершує елемент Ak, заносимо в позицію (Аi, Ak) число 9, а в позицію (Ak, Аi) зворотне йому число 1/9. 

Числа 2, 4, 6 і 8 використовуються для полегшення компромісів між оцінками, які дещо відрізняються від основних чисел.

Оскільки на 2 рівні 6 критеріїв то перша матриця буде розміром 6х6. У таблиці пари критеріїв порівняються з погляду їхнього відносного внеску в загальне поняття "задоволення роботою". Задавалося запитання: який із заданої пари критеріїв робить більший внесок у поняття "задоволення роботою" і наскільки? Наприклад, число 5 у третьому рядку й четвертому стовпці показує, що "доходи" набагато важливіше, ніж "суспільство колег", а зворотнє йому значення 1/5 у четвертому рядку і третьому стовпці (таблиця 1).

Таблиця 1. Матриця парних порівнянь другого рівня

КРИТЕРІЇ (Задоволення роботою )	Дослідження	Ріст	Доходи	Колеги	Місце- знаходження	Репутація
		А1	А2	А3	А4	А5	А6
А1	Дослідження	1	1	1	4	1	1/2
А2	Ріст	1	1	2	4	1	1/2
А3	Доходи	1	1/2	1	5	3	1/2
А4	Колеги	1/4	1/4	1/5	1	1/3	1/3
А5	Місцезнаходження	1	1	1/3	3	1	1
А6	Репутація	2	2	2	3	1	1

Якщо в групі немає єдиної думки щодо тієї або іншої переваги, необхідні оцінки одержують обчисленням геометричного (або, що менш точно, арифметичного) середнього оцінок кожного з тих, хто висловлює свою перевагу.

Обчислення власного вектора або вектора пріоритетів для матриці попарних порівнянь другого рівня

Із групи матриць попарних порівнянь формується набір локальних пріоритетів, які виражають відносний вплив безлічі елементів на елемент верхнього рівня. Знаходять відносну силу (величину, цінність, бажаність або ймовірність кожного окремого об'єкта) через «рішення» матриць, кожна з яких володіє зворотньосиметричними властивостями. Для цього потрібно обчислити безліч власних векторів для кожної матриці, а потім нормалізувати результат до одиниці, одержуючи тим самим вектор пріоритетів.

Обчислення оцінки компонент власного вектора можна зробити різними способами:

1. Підсумувати елементи кожного рядка й нормалізувати розподілом кожної суми на суму всіх елементів; сума отриманих результатів буде дорівнює одиниці. Перший елемент результуючого вектора буде пріоритетом першого об'єкта, другий - другого об'єкта й т.д.

2. Підсумувати елементи кожного стовпця й одержати зворотні величини цих сум. Нормалізувати їх так, щоб їхня сума рівнялася одиниці, розділити кожну зворотну величину на суму всіх зворотних величин.

3. Розділити елементи кожного стовпця на суму елементів цього стовпця (тобто нормалізувати стовпець), потім скласти елементи кожного отриманого рядка й поділити цю суму на кількість елементів рядка. Це - процес усереднення по нормалізованим стовпцям.

4. Помножити n елементів кожного рядка й взяти корінь n-го ступеня. Нормалізувати отримані числа.

Точність підвищується від 1 до 2 і далі до 3, однак одночасно ускладнюються обчислення. Якщо матриця узгоджена, то у всіх чотирьох випадках вектори пріоритетів будуть однаковими. У випадку неуззгодженості дуже добре наближення можна одержати тільки за допомогою способу 4.

Виконаємо оцінку елементів власного вектора 4-м способом:

Спочатку обчислюємо геометричне середнє в кожному рядку матриці А по формулі

(1)

Отриманий по формулі (1) стовпець чисел нормалізується розподілом кожного числа bi на суму B всіх чисел стовпця, у результаті одержуємо значення компонентів вектора локальних пріоритетів (2).

(2)

Так як числа bi нормалізуються розподілом кожного числа на суму всіх чисел, очевидно

(3)

Обчислення по формулах (1), (2) з точністю до четвертого знака дали наступні результати, представлені в таблиці 2.

Таблиця 2.Значення компонент вектора локальних пріоритетів (власного вектора)

xi	x1 (21)	x2 (31)	x3 (41)	x4 (51)	x5 (61)	x6 (61)
Значення	0,17	0,19	0,19	0,05	0,15	0,25

Проведемо перевірку за формулою (3):

Очевидно, похибка обчислень компонент вектора локальних пріоритетів для матриці попарних порівнянь другого рівня дорівнює нулю. Якщо ж умова (3) не виконується, необхідно оцінити похибку обчислень за наступною формулою:

(4)

Отримані значення компонентів i x вектора локальних пріоритетів критеріїв дають можливість ранжировать критерії відповідно до переваг ОПР (у якості особи, що приймає рішення, у цьому випадку виступає підгрупа стулентів) за спаданням отриманих ваг. Для розглянутого приклада в таблиці 3 критерії розподілені відповідно до «зайнятих місць». Для ОПР самим вагомим є критерій «Репутаціяі», що «виграє» у 2-х найближчих «переслідувачів» - критерії «Ріст» та „Доходи” (0,25 -0,19 )х100 %=6 %.

Таблиця 3 - Чисельні оцінки переваг критеріїв ОПР

Критерій	Місце	Вага
А6	Репутація	1	0,25
А3	Доходи	2	0,19
А2	Ріст	2	0,19
А1	Дослідження	4	0,17
А4	Місцезнаходження	5	0,15
А5	Колеги	6	0,05

Значення критерію, що одержав найнижчу оцінку («Колеги»), на думку ОПР, не є нехтуваним, тому що його вага становить 5% від сумарної ваги всіх критеріїв. У противному випадку критерії із значно малими вагами варто виключити з розгляду й повторити етапи 2 та 3. Критерії «Місцезнаходження» та „Дослідження” зайняли відповідно 4 та 5 місця. Критерії «Ріст» та „Доходи” отримали однакові значення ваг і „розділили” 2-ге місце.

Перевірка матриці парних порівнянь на узгодженість

Теорема. Додатна зворотньосиметрична матриця є узгодженою тоді і тільки тоді, коли порядок матриці і її найбільше власне значеня співпадають:

max = n

Якщо елементи додатної зворотньосиметричної погодженої матриці А змінити незначно («поворухнути»), те максимальне власне значення max також зміниться незначно. Якщо max?n, завжди max>n.

Для отримання max необхідно виконати наступні дії. Помноживши матрицю порівнянь на отриману оцінку власного вектора, одержимо новий вектор. Розділивши перший компонент цього вектора на перший компонент власного вектора, другий компонент нового вектора на другий компонент власного вектора і т.д., визначимо ще один вектор. Розділивши суму компонентів цього вектора на число компонентів, знайдемо наближення до числа лmax (що називається називаному максимальним або головним власним значенням), використовуваному для оцінки узгодженості, що відбиває пропорційність переваг. Чим ближче лmax до n (кількості об'єктів або видів дії в матриці), тим більш узгоджений результат.

Як ступінь відхилення позитивної зворотно-симетричної матриці А від узгодженої матриці приймається наступне відношення:

(5)

яке називається індексом узгодженості (ІУ) матриці А і є показником близькості цієї матриці до узгодженої. Тепер необхідно зрівняти значення індексу узгодженості з значенням випадкової погодженості (величина, що вийшла б при випадковому виборі кількісних суджень зі шкали 1/9; 1/8; 1/7, … , 1/2,1 ,2 ,…, 9 при утворенні зворотньосиметричної матриці). У таблиці 4 представлені значення випадкових погодженостей для матриць різних розмірностей.

Таблиця 4 Випадкова погодженість (ВП)

Якщо розділити ІУ на число, що відповідає випадкової погодженості матриці того ж порядку, виходить відношення узгодженості (ВУ):

(6)

Величина відношення узгодженості повинна бути порядку 10 % або менше, щоб бути прийнятною. Якщо значення ВУ виходить із цих меж, то експертам потрібно досліджувати завдання й переглянути судження.

Оцінимо відношення узгодженості для матриці попарних порівнянь другого рівня (Таблиця 1). Для цього спочатку визначаємо лmax. Матрицю порівнянь (табл. 1.) множимо на власний вектор (табл. 2). Отримуємо вектор

1,032193
1,253521
1,279343
0,305388
0,947686
1,678739

Поділивши поелементно цей вектор на власний вектор (табл. 1.) отримуємо наступний вектор:



6,125531
6,627394
6,837061
6,090155
6,312755
6,584191

Визначаємо сума елементів цього вектора:

6,125531+6,627394+6,837061+6,090155+6,312755+6,584191 = 38,57

Ділимо цю суму на кількість критеріїв і отримаємо максимальне власне число матриці

лmax = 38,57/6 = 6,43.

Індекс узгодженості:

ІУ = (6,43 - 6) / (6-1) = 0,086

Відношення узгодженості (ВП береться з табл. 4., для n=6 ВП = 1,24)

ВУ = (0,086 / 1,24) * 100% = 6,93%.

Як бачимо показники узгодженості матриці парних порівнянь другого рівня знаходяться на прийнятному рівні.

Наступним етапом є побудова матриць попарних порівнянь третього рівня.

Для кожного критерію проводяться попарні порівняння альтернатив і відповідно до формул (1) - (6) реалізуються етап синтезу локальних пріоритетів zj (j -- номер альтернативи, j = 1, 2, ..., m, у нашому випрадку m = 6) і дослідження матриці на узгодженість аналогічно тому, як це представлено для матриці парних порівнянь другого рівня. У таблиці 5 проведені парні порівняння альтернатив за критерієм А1 «Дослідження».

Таблиця 5 - Матриця попарних порівнянь третього рівня за критерієм «А1. Дослідження»

А1 Дослідження	А	В	С
А	1	1/3	1/2
В	3	1	1/7
С	2	1/3	1

За виразами (1), (2) визначаємо порівняльний пріоритет альтернатив за першим критерієм (табл. 6)

Таблиця 6. Значення власного вектора матриці парних порівнянь відносно критерія „Дослідження”

zj	z1	z2	z3
Значеня	0,16	0,59	0,25

Перевірка за виразом (3)

0,16+0,59+0,25 = 1.

лmax = 3,05; ІУ = 0,025; ВУ = 0,04. Отже, матриця узгоджена.

Будемо вважати, що значення компонентів вектора означають, що по критерію „Дослідження” альтернатива В зайняла перше місце (0,59), альтернатива С -- друге (0,25), альтернатива А - третє (0,16).

Для усіх шести матриць парних порівнянь третього рівня наведемо результати розрахунків в таблиці 7.

Таблиця 7. Матриці парних порівнянь третього рівня

А1 Дослідження	А	В	С	Власний вектор		А2 Ріст	A	B	C	Власний вектор
А	1	1/3	1/2	?82=0,16		A	1	1	1	?83=0,33
В	3	1	1/7	?92=0,59		B	1	1	1	?93=0,33
С	2	1/3	1	?102=0,25		C	1	1	1	?103=0,33
лmax = 3,05; ИС = 0,025; ОС = 0,04		лmax = 3,0; ИС = 0; ОС = 0

 

А3 Доходи	А	В	С	Власний вектор		А4 Колеги	A	B	C	Власний вектор
А	1	5	1	?84=0,45		A	1	9	7	?85=0,77
В	1/5	1	1/5	?94=0,09		B	1/9	1	1/5	?95=0,05
С	1	5	1	?104=0,46		C	1/7	5	1	?105=0,17
лmax = 3,0; ИС = 0; ОС = 0		лmax = 3,21; ИС = 0,105; ОС = 0,18

 

А5 Місце-знаходження	А	В	С	Власний вектор		А6 Репутація	A	B	C	Власний вектор
А	1	1/2	1	?86=0,25		A	1	6	4	?87=0,69
В	2	1	2	?96=0,50		B	1/6	1	1/3	?97=0,09
С	1	1/2	1	?106=0,25		C	1/4	3	1	?107=0,22
лmax = 3,0; ИС = 0; ОС = 0		лmax = 3,05; ИС = 0,025; ОС = 0,04

Аналіз результатів етапу обчислення векторів приорітетів для матриць парних порівнянь третього рівня. Обчислення ВУ ієрархії

З урахуванням отриманих результатів для матриць попарних порівнянь третього рівня представимо в таблиці 8 сумарна кількість перших, других і так далі місць, зайнятих кожною альтернативою при обчисленні значень компонент векторів локальних пріоритетів.

Таблиця 8 - Сумарна кількість місць, зайнятих кожною з альтернатив

Місце Альтернатива	1	2	3
А	3	2	1
В	3	-	3
С	2	4	-

Аналіз кількості місць, зайнятих кожної з альтернатив, свідчить про деяку перевагу місця роботи А (три перших місця, два других та одне третє) над місцем С (два перших місця, чотири других), далі випливає місце роботи В.

Щоб оцінити погодженість всієї ієрархії, треба скористатися наступною формулою:

(7)

де xi - значення i-ой компонента вектора локальних пріоритетів другого рівня, обчислене відповідно до (2); ІУi - значення i-го індексу погодженості матриць попарних порівнянь третього рівня; ВП(m) - значення випадкової погодженості для m = 3.

Згідно (7) отримаємо:

ВУієрархії

= (0,17*0,025+0,19*0+0,19*0+0,05*0,105+0,15*0+0,25*0,025)*100% / 0,58 =

=(0,043+0+0+0,053+0+0,063)*100% / 0,58 = 2,72%

Значення відносної узгодженості всієї ієрархії, менше 10%, є задовільним. В противному випадку необхідно знайти причини неузгодженості й запропонувати ОПР заходи щодо усунення неузгодженості. Аналіз проміжних результатів у чисельнику дробу (7) при обчисленні значення ВУієрархії показує, що найбільший внесок у непогодженість всієї ієрархії вносить шоста матриця парних порівнянь (критерій А6 «Репутація»), потім - четверта та перша матриці з відповідними вагами 0,0063>0.0053>0.0043, друга, третя й п'ята матриці є ідеально погодженими (у чисельнику дробу проміжних результатів відповідні внески мають нульове значення).

Синтез та аналіз глобальних пріоритетів альтернатив місць працевлаштування

У таблиці 9 для наочності представлені вихідні дані для розрахунку значень компонент вектора глобальних пріоритетів, отримані на попередніх етапах МАІ.

Таблиця 9 Вихідні дані для розрахунку глобальних пріоритетів

	х1 (0,17)	х2 (0,19)	х3 (0,19)	х4 (0,05)	х5 (0,15)	х6 (0,25)
ziA	0,16	0,33	0,45	0,77	0,25	0,69
ziB	0,59	0,33	0,09	0,05	0,5	0,09
ziC	0,25	0,33	0,46	0,17	0,25	0,22

Для виявлення складових або глобальних пріоритетів місць працевлаштування у таблиці 9 локальні пріоритети альтернатив розташовуються стосовно кожного критерію; кожний стовпець векторів альтернатив множиться на пріоритет відповідного критерію і результати підсумовуються уздовж кожного рядка:

(8)

З метою одержання даних для подальшого проведення аналізу рекомендується, в обов'язковому порядку, при обчисленнях по формулі (8) представляти проміжні результати обчислень.

(9)

Значення компонентів векторів локальних пріоритетів матриць попарних порівнянь другого й третього рівнів можна розглядати як прості розподіли ймовірностей вибору відповідно критеріїв і альтернатив, тому що вони представлені невід'ємними дійсними числами і підлягають умові (3). У такому випадку обчислення за формулою (8) можна розглядати як пряме лінійне перетворення простих розподілів випадкових величин x і z, у результаті якого виходить простий розподіл ймовірностей VA, VВ, VС , отже, повинне виконуватися властивість:

(10)

Перевіримо властивість (10)

.

У даному випадку похибка в 0,01% є прийнятною.

Результати обчислень по формулі (8) можна трактувати як значення функції корисності для кожної з альтернатив. Тепер можна ранжувати альтернативи за спаданням значень функції корисності: на першому місці стоїть альтернатива А, що значно «виграє» в альтернативи С

(0,44-0,29) 100%=15%.

Альтернатива С незначно «виграє» в альтернативи В

(0,29-0,28) 100%=1%.

Таким чином, підтвердилися зроблені на основі таблиці 8 припущення про «виграші» альтернатив А і С, але не підтвердилися прогнози із приводу альтернатив В.

Отже, «виграш» альтернативи, що зайняла перше місце, А у порівнянні з альтернативами, що зайняли друге та третє місця становить 15% та 16% відповідно. Тому можна зробити висновок про істотні переваги першого місця працевлаштування. Проте, становить інтерес проаналізувати, з використанням кількісних оцінок, за рахунок яких критеріїв кожний з методів одержав свої значення функції корисності.

Аналіз вкладів критеріїв в остаточні результати

Для обчислення qі («внеску» i-го критерію в значення функції корисності Vj ) скористаємося значеннями проміжних результатів у формулі (9) і підставимо їх у формулу

(11)

В альтернативі А значення функції корисності VA = 0,44 утворилося з урахуванням (11) з наступних «внесків» критеріїв:

q1A = (0,0272/0,44) *100% = 61,8 %

q2A = (0,0627/0,44) *100% = 14.3 %

q3A = (0,0855/0,44) *100% = 19,43 %

q4A = (0,0385/0,44) *100% = 8,75 %

q5A = (0,0375/0,44) *100% = 8,5 %

q6A = (0,1725/0,44) *100% = 3,91 %

Таким чином, в оцінку місця працевлаштування A внесли приблизно однаковий внесок три критерії ??«Місцезнаходження», «Репутація» і «Колеги». У таблиці 10 представлені «внески» критеріїв у значення функції корисності . V.

Таблиця 10 «Внески» критеріїв у значення функції корисності

	А1	А2	А3	А4	А5	А6
qiA	61.8	14.3	19.43	8.75	8.5	3.91
qiB	35,8	22,4	6,1	0,9	26,9	8
qiC	14,6	21,4	30,1	2,6	12,7	18,9

З таблиці 10 випливає:

- місце працевлаштування А основний «внесок» (61,8%) одержав за рахунок критерію «Дослідження»;

- місце працевлаштування В найбільший «внесок» (35,8%) також одержав за рахунок критерію „Дослідження”. Критерії „Ріст” та „Колеги” також внесли значні «внески»;

- місце працевлаштування С основний внесок (30,1) отримав за рахунок критерію „Дохід”; значний внесок зробили також критерії „Ріст” та „Репутація”.

Підсумковий порівняльний аналіз результатів індивідуального варіанта й рішення на інтуїтивному рівні

Варто помітити, що, на диво студентів, не завжди інтуїтивний вибір альтернативи збігається з результатами індивідуального рішення з використанням МАІ. У випадку розбіжності вибору оптимальних альтернатив необхідно пояснити виниклі протиріччя на основі аналізу кількісних оцінок внесків критеріїв при використанні МАІ і якісних переваг на інтуїтивному рівні. Якщо ж у якості оптимальних обрані ті самі альтернативи, необхідно з'ясувати, чи відповідають кількісні оцінки якісним перевагам.

Размещено на Allbest.ru

...