Построение рейтинговой системы на основе интегрального критерия эффективности

Размещено на http://allbest.ru

1.Описание задачи

рейтинг критерий телевизор

Интернет-ресурс Яндекс Маркет решил исследовать спрос на ЖК-телевизоры с диагональю 32 дюйма в ценовой категории до 20 000 руб. На данный момент самыми популярными ЖК-тв являются 12 моделей представленных в качестве объектов исследований. В процессе исследования необходимо определить, какой ЖК-телевизор покупатель хотел бы приобрести в первую очередь, во вторую и т. д., если известно, что целевая аудитория - семьи центрального российского региона с достатком на 1 члена семьи 10000-15000 тыс. руб. Следовательно, необходимо учитывать при выборе следующие характеристики: способ установки ТВ в квартире, качество изображения, возможность соединения с другим устройствами, и энергосбережение. Итак, каналом получения информации в данном случае будет служить «глубинное интервью», а именно работа с лицом, принимающим решение (ЛПР) - потенциальным покупателем, в качестве которого может выступать и бакалавр указанного выше направления подготовки. Сводная таблица моделей телевизоров с выделенными характеристиками представлена в табл.1.

Таблица 1. Характеристики ЖК-телевизоров

2. Установления целей построения рейтинговой системы

Цели построения рейтинговой системы: выбрать ЖК-телевизор с диагональю 32 дюйма по минимальной цене до 20 000 руб, с наиболее максимальным набором функций, и с минимальным энергопотреблением.

3. Нормирование значений критериев

В качестве методов нормирования применятся наиболее общеупотребляемый способ приведения критериев к безразмерному виду - линейная трансформация.

Если для некоторого показателя f₁ предпочтительно максимальное значение, то формула перехода от ненормированного значения показателя x₁ к нормируемому имеет вид:

где f₁^min и f₁^max - соответственно минимальное (наихудшее) и максимальное (наилучшее) значение показателя на множестве допустимых альтернатив.

Вот как будут выглядеть вычисления:

x_1/1=(1-0)/(1-0)=1

Если для некоторого показателя f₁ предпочтительно минимальное значение, то формула перехода запишется в виде:

Вот как будут выглядеть вычисления:

X_10/1 = (90-65) / (90-45) = 0,56

Результаты вычислений представлены в таблице 2.

Таблица 2. Матрица нормированных значений ЖК-телевизоров

4. Определение коэффициентов важности критериев

Вычисление коэффициентов важности критериев выполняется на основе метода парных сравнений с последующей обработкой в табличном процессоре Excel.

Попарному сравнению подвергается определенный на этапе 3 список критериев. В результате строится матрица парных сравнений размерностью , где N - число выбранных критериев ранжирования.

Сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим и оцениваются с помощью девятибалльной шкалы (табл. 3).

Таблица 3. Оценки важности критериев

Таким образом получается соответствующая матрица парных сравнений А, где элемент матрицы представляет собой оценку значимости (важности) i-го объекта (критерия) относительно j-го объекта (критерия) в терминах вышеописанной шкалы. Всего ЛПР выносит N(N-1)/2 суждений, поскольку для каждой пары сравнение осуществляется только один раз, где N - количество выбранных критериев.

Для данной матрицы справедливы следующие утверждения:

1. Все элементы матрицы являются положительными величинами, т.е. .

2. Матрица А является обратно симметричной, т.е. .

Расчет шкалирующих констант выполнен упрощенным методом Ногина. В этом случае проверку «согласованности» матрицы парных сравнений проводить не обязательно, поскольку реализация метода базируется на свойстве совместности и обеспечивает полную согласованность мнения ЛПР.

Матрица парных сравнений, выполненная методом Ногина представлена таблицей 4.

Таблица 4. Матрица парных сравнений

Для каждой матрицы парных сравнений рассчитывается собственный вектор весов

по следующему алгоритму:

Данные берутся из матрицы парных сравнений.

Рассчитаем вектор весов первой строки:

= = 3,4

Таким образом, необходимо рассчитать остальные вектора весов.

Затем проводится нормализация данного вектора с целью получения искомого вектора приоритетов по формуле:

.

i = 3,4 / (3,4+0,6+0,4+…..0,5) = 0,23

Таблица 5. Значение коэффициентов важности локальных критериев

Для каждой полученной матрицы парных сравнений А оценивается максимальное собственное значение _max, удовлетворяющее условию и вычисляемое по формуле:

.

_{max = 0,23 * (1+0,5+….0,17) + 0,05 * (5+1+….+0,83) + …….+0,04* (6+1,2+…+1) = 11}

5.Построение интегрированного (обобщенного) критерия эффективности в виде свертки локальных критериев

Интегрированный критерий эффективности представляет собой некоторый функционал, связывающий группу локальных критериев выбора, который позволяет свести многокритериальную задачу к однокритериальной с возможностью применения процедуры ранжирования, как и в задачах с одним критерием.

Для получения интегрированного критерия эффективности используют методы аддитивной и мультипликативной свертки критериев. Все данные берутся из матрицы нормированных критериев и векторов приоритетов.

Аддитивная (линейная) свертка критериев предполагает построение интегрального критерия эффективности в виде взвешенной суммы локальных критериев.

 - интегральный критерий эффективности;

- нормированные значения локальных критериев оптимальности, которые должны быть минимизированы;

- нормированные значения локальных критериев оптимальности, которые должны быть максимизированы.

- весовые коэффициенты, определяющие относительные степени важности отдельных критериев и удовлетворяющие соотношениям:

.

Вычисляем:

1 = (1*0,23 + 1*0,05 + … +1*0,08) - (0,56*0,12 + 0,15*0,04)= 0,77

По аналогии вычисляем остальные критерии эффективности.

Мультипликативная свертка критериев. При данном виде свертки обобщенный критерий эффективности строится в виде взвешенного произведения локальных критериев.

Где

- интегральный критерий эффективности;

- нормированные значения локальных критериев;

- весовые коэффициенты, определяющие относительные степени важности отдельных критериев и удовлетворяющие соотношениям:

.

1 = 1^0.23*1^0.05*…..*0.15^0.04 = 0.87

В итоге получаем:

Таблица 6. Подсчеты аддитивной и мультипликативной свертки

Ранжируя данные по сверткам, получаем:

Таблица 7. Сводная таблица ранжирований

6. Получение и анализ результатов

По полученным данным имеем два совпадения в рангах по обеим сверткам, по остальным объектам данные разнятся. Оценим степень близости ранжирований с помощью коэффициента Спирмена, где d - сумма квадратов разности рангов по формуле:

= 1 - (6*(0^2 + (-1)^2 + …. + (-1)^2 + 1^2)) / 11* (11^2 - 1)) = 0,95

Расчетное значение коэффициента Спирмена равно 0,95 что указывает на наличие сильной связи ранжирований.

Вывод: Наивысший ранг по аддитивной и по мультипликативной свертке имеет модель ЖК-телевизора LG 32LB650V, имеющий следующие показатели:

Поскольку коэффициент корреляции высок, мы признаем данную модель оптимальным выбором.

Действительно, у данного телевизора самый большой набор функций, высокое разрешение и частота обновлений, при среднем энергопотребление и не по самой большой цене.

Размещено на Allbest.ru