Кроме классической теории полезности при принятии решений используют также многокритериальную теорию полезности (MAUT)

Научное направление MAUT (Multi-Attribute Utility Theory) отличают следующие особенности J

1) строится функция полезности, имеющая аксиоматическое обоснование

2) некоторые условия, определяющие форму этой функции, подвергаются проверке в диалоге с ЛПР,

3) решается обычно задача из второй группы, а полученные результаты используются для оценки заданных альтернатив.

Логика решения задачи в MAUT такова:

Составляется перечень критериев; строится функция полезности по каждому из критериев; проверяются условия, определяющие вид общей функции полезности; находится зависимость между оценками альтернатив по критериям и общим качеством альтернативы (многокритериальная функция полезности); оцениваются имеющиеся альтернативы и выбирается наилучшая.

Теория MAUT имеет аксиоматическое обоснование. Это означает, что выдвигаются некоторые условия (аксиомы), которым должна удовлетворять функция полезности ЛПР В случае если условия удовлетворяются, дается математическое доказательство существования функции полезности в том или ином виде. В MAUT эти условия можно разделить на две группы. Первая группа - аксиомы общего характера, идентичные тем, которые использовались в теории полезности

1. Аксиома, утверждающая, что может быть установлено отношение между полезностями любых альтернатив, либо одна из них превосходит другую, либо они равны.

2. Аксиома транзитивности - из превосходства полезности альтернативы, а над полезностью альтернативы В и превосходства полезности В над полезностью С следует превосходство полезности альтернативы над полезностью альтернативы С.

3. Для соотношений между полезностями альтернатив А, В, С, имеющими вид U (A) > ЩВ) > ЩС), можно найти числа а, р, которые меньше I и больше 0, так что: аЩА) + (1 - а) ЩС) = ЩВ), ЩА) (1-р) +рЩВ) >ЩВ) Данная аксиома основана на предположении, что функция полезности непрерывна и можно использовать любые малые части полезности альтернатив.

Вторая группа условий специфична для MAUT. Они называются аксиомами (условиями) независимости, позволяющими утверждать, что некоторые взаимоотношения между оценками альтернатив по критериям не зависят от значений по другим критериям.

Приведем несколько условий независимости.

1 Независимость по разности. Предпочтения между двумя альтернативами, отличающимися лишь оценками по порядковой шкале одного критерия С,, не зависят от одинаковых (фиксированных) оценок по другим критериям С2,., CN На первый взгляд, это условие кажется естественным п очевидным. Но возможны случаи, когда оно не выполняется Например, при выборе автомобиля при незначительно различающейся цене ЛПР предпочитает большую по размеру машину. Однако его предпочтение меняется мл обратное, когда он узнает, что у машины не гидравлическая, а механическая коробка передач, что усложняет управление.

2 Независимость по полезности Критерий С, называется независимым по полезности от критериев С2, С", если порядок предпочтений утерей, в которых меняются лишь уровни критерия С,, не зависит от фиксированных значений по другим критериям. Такие лотереи используются при построении функций полезности по отдельным критериям

3. Независимости по предпочтению являются одним из наиболее | важных и часто используемых условий. Два критерия С, и С, независимы по предпочтению от других критериев С},, Сп, если предпочтения между альтернативами, различающимися лишь оценками по С,, С2, не зависят от фиксированных значений по другим критериям

В качестве примера приведем широко известную теорему Р. Кини I если условия независимости по полезности и независимости по предпочтению выполнены, то функция полезности является аддитивной либо мультипликативной

1 + кЩх) = П [1 + /тЩх)] ПРИ *Ч * 1,

где и, (У, - функции полезности, изменяющиеся от 0 до 1, и; - коэффициенты важности (веса) критериев, причем 0 < и-, < 1, коэффициент к>-\.

Таким образом, многокритериальную функцию полезности можно определить, если известны значения коэффициентов iv,, к, а также однокритериальные функции полезности и, (х)

Пример 9.2 В городе ТУ возникла необходимость в постройке нового аэропорта, экспертным путем были выбраны три основных критерия для оценки вариантов расположения аэропорта: стоимость постройки, расстояние от города; минимальное шумовое воздействие.

Все критерии противоречивы, например, постройка аэропорта на большом расстоянии от города потребует меньших затрат, но время поездки будет больше противоречивы и критерии расстояния от города, и число людей, подвергающихся шумовым воздействиям. Для нахождения компромисса между критериями и выбора оптимального решения можно применить многокритериальную теорию полезности путем построения модели, описывающей предпочтения ЛПР.

Предположим, что после рассмотрения вариантов разброс оценен по критериям, может быть представлен табл. 9.9.

Таблица 1

Разброс оценок вариантов постройки аэропорта.

Зная диапазон изменения оценок по каждому критерию, построим функцию, определяющую полезность для ЛПР каждой оценки из этого диапазона. Максимальное значение этой функции примем равным 1, а минимальное - 0.

На рисунке 1 приведена функция полезности ЛПР для критерия "Стоимость постройки аэропорта".

многокритериальная теория полезность решение

Рис. 1 Функция полезности для критерия С,

Первоначально известны две точки функции полезности: [/ (100 млн дол США) =1, [/ (200 млн дол. США) = 0. Для нахождения промежуточных точек используется метод лотереи В лотерее 1 на рис.9 2 (слева) перед ЛПР ставится следующая задача, определить эквивалент определенности для лотереи, имеющей с равными вероятностями (р = 0,5) минимальную и максимальную стоимости постройки. ЛПР предъявляют ряд значений (например, 120 млн дол. США, 130 млн дол. США и т.д.) и спрашивают: выше или ниже данного значения находится, по его мнению, эквивалент определенности Предположим, что ЛПР остановился на значении 160 млн дол. США. Тогда делается вывод, что и = 0,5 соответствует 160 млн дол. США. Аналогично определяются другие значения функции полезности Так, правая лотерея на рис. 2 позволяет определить точку С/ (130 млн дол. США) = 0,85.

Идентичным образом строятся функции полезности для каждого из критериев.

Рис. 2 Типовые лотереи, используемые при построении функции полезности по одному критерию

Для определения общей функции полезности необходимо проверить условия независимости по полезности и независимости по предпочтению. Проверку первого условия можно совместить с предыдущим этапом построения однокритериальных функций полезности

На рисунке 3 приведена левая лотерея из рис.2 Сначала лицу, принимающему решение, сообщается, что при нахождении эквивалента определенности он должен принять во внимание, что по остальным критериям имеются наилучшие значения (сверху справа на рис 3), Затем перед ЛПР ставится та же задача, но уже при предположении, что по прочим критериям имеются наихудшие значения (снизу справа на рис 3). Если эквивалент определенности в двух случаях одинаков, то делается вывод, что критерий не зависит по полезности от прочих критериев.

Рис.3 Проверка условий независимости по полезности

Отметим, что для полноты проверки условия независимости по полезности следует осуществлять эту проверку для всех лотерей (например, для лотереи 2 на рис.2). Однако часто довольствуются приближенной проверкой - только для первой из лотерей, используемых при построении однокритериальных функций полезности. j

При проверке условия независимости по предпочтению рассматривав ют плоскости, где по осям отложены значения двух критериев Пример такой плоскости для критериев С,, С2 приведен на рис 9 4 Сначала предполагается, что по прочим критериям (в нашем случае - по критерию С3) имеются наилучшие значения (С3 = 5 тыс. человек).

Первоначально ЛПР должен определить свое предпочтение между альтернативами [ (C2) mm; (C,) max] и [ (C2) max, (C,) min]. В нашем случае ЛПР сравнивает площадки для постройки аэропорта с оценками (40 мин., 200 млн дол) и (90 мин, 100 млн дол) - две крайние точки An В на осях при условии, что С3 = 5 тыс. Предположим, что вариант А предпочтительнее. Это означает, что критерий стоимости более важен для ЛПР, чем критерий расстояния.

Рис.4 Проверка условия независимости по предпочтению

Далее определяется такая точка на шкале критерия С,, что варианты \ и К одинаково предпочтительны для ЛПР Иначе говоря, ищется такая стоимость строительства С,', при которой одинаково предпочтительны варианты (90 мин, 100 млн дол) и (40 мин, С,'). Затем точно такой же поиск точки безразличия осуществляется при С3 =50 тыс. Если результаты совпадают, то делается вывод, что пара С,, С2 не зависит по предпочтению от третьего критерия

Для полной проверки условия независимости по предпочтениям следует рассмотреть все пары критериев. Однако при приближенной проверке выбираются один или два наиболее существенных критерия и прочие рассматриваются только в парс с ними.

При проверке и первого, и второго условий критерии, независимость от которых проверялась, имели крайние значения. Строго говоря, следовало бы рассмотреть и промежуточные значения, но обычно такая проверка считается достаточной. Что делать, если какие-то из условий независимости не выполняются? Теория не даст единственного ответа на этот вопрос. Предлагается определить группу независимых критериев, стоимость функции полезности для подгрупп зависимых и независимых критериев и общую функцию полезности "по частям" либо переформулировать задачу Можно сказать, что нарушение условий независимости существенно усложняет задачу Поэтому в дальнейшем обычно предполагается, что условия независимости выполняются.

Определение весовых коэффициентов (коэффициентов важности) критериев.

В MAUT используется понятие весов (коэффициентов важности) критериев. Считается, что ЛПР может найти коэффициенты - числа, которые определяют важность критериев. Отношения между весами критериев останавливаются поиском точек безразличия на плоскостях двух критериев. И отличие от проверки условий независимости по предпочтению, по осям упорядочиваются значения критериев (от худших к лучшим)

На рисунке 9.5 показана плоскость критериев С, и С2 Альтернативы А и А" находятся в отношении безразличия, которое определяется так же, как, и при проверке условия независимости по предпочтению (см. рис.4).

Рис.5 Определение отношения между весами критериев С, и С,

В точке равновесия полезности альтернатив равны, что позволяет записать Ј/ (200 млн дол. США, 40 мин) = С/ (170 млн дол США, 90 мин.).

Отсюда, используя полученные ранее однокритериальные функции полезности, находим 1У2 = 0,4^,. Аналогичным образом определяется соотношение между весами критериев С, и С3.

Пусть = и*, 1/{ 150 млн дол.) = 0,6 и*,, т.е. веса всех критериев выражены через вес наиболее важного из них и критерии упорядочены по важности. Для нахождения численного значения веса критерия С, (и, следовательно, всех критериев) ЛПР предлагается сравнить две стратегии, представленные на рис 9.6, и определить вероятность р, при которой обе стратегии равноценны. Предположим, что такое р найдено. Тогда ЩА) = 11{В), или \У1 = р. Пусть = 0,55. Тогда щ = 0,22; = 0,33.

Рис.6 Определение коэффициента w

После нахождения весов критериев и построения однокритериальных функций полезности задача считается решенной, т.е. общая функция полезности определена. В соответствии с теоретическими результатами остается установить ее вид. В нашем примере сумма коэффициентов важности критериев:

Считая полученное значение достаточно близким к единице, выбирается аддитивная форма представления функции полезности:

U (x) = ±W,U, (x).

Зная оценки альтернатив (вариантов площадок), можно подставить их в эту формулу, определить полезность каждой альтернативы, сравнить полезности и выбрать альтернативу с наибольшей полезностью.

Заключение