На практиці перехідні процеси різних за своїми фізичними принципами дії ланок визначаються подібними диференціальними рівняннями динаміки, що дає можливість класифікувати їх за виглядом рівнянь динаміки.

З цієї точки зору до одного типу можна віднести такі елементи, як механічна рухома маса і електричне активно - індуктивне коло.

Рівняння динаміки для механічної маси з моментом інерції J можна записати у вигляді:

Мдин = Мдв - Моп.

Або при Моп = kщ:

.

Групуючи вихідні величини в лівій частині рівняння, а вхідні - правій, отримаємо:

. (*)

Рівняння динаміки активно - індуктивного кола з електричним активним опором R та індуктивністю l матиме вигляд:

Рівняння (*) і (**) мають аналогічний вигляд, тому характер зміни струму і та швидкості щ в перехідних процесах цих елементів буде аналогічними і за класифікацією, прийнятою в ТАК, ці елементи відносять до одного і того ж типу. керування автоматичний частотний лінійний

З лівої частини рівняння елемента, в якій представлені вихідна величина та її похідна, видно, як швидко та точно реагує елемент на вхідну величину, що записується у правій частині рівняння.

Наявність похідних у лівій частині рівняння показує, що елемент поступово реагує на вхідну величину, перехідний процес діє певний час, коли є відхилення вихідної величини від заданого рівня. Похідні можуть бути не тільки в лівій частині рівняння динаміки елемента, а й у правій.

У загальному випадку права частина рівняння динаміки елемента показує, на що реагує даний елемент і з яким коефіцієнтом передачі (підсилення) вхідна величина з'являється на виході елемента.

Залежно від вигляду правої частини рівняння елемент може реагувати:

· на саму вхідну величину;

· тільки на похідну від вхідної величини;

· на інтеграл від вхідної величини;

· на вхідну величину та її похідну, на вхідну величину та інтеграл від неї;

· на вхідну величину, похідну та інтеграл від неї.

Основними динамічними характеристиками елемента є:

часова характеристика хвих = f(t);

перехідна функція h(t) = хвих(t) при хвх = 1, що показує, яким чином елемент реагує на одиничне значення вхідної величини;

функція ваги, що є похідною від перехідної функції:

щ(t) = [h(t)]ґ ;

Крім названих характеристик елементів , важливими характеристиками є Передаточні функції W(р) та різні частотні характеристики елементів.

Відповідно до рівнянь динаміки розрізняють типові динамічні ланки.

Безінерційна (підсилювальна) ланка.

Її називають також ідеальним елементом. Він має як в динаміці, так і статиці однакове рішення:

xвих = kхвх.

Це рівняння показує, що вхідна величина миттєво, без будь-яких відхилень, надходить на вихід елемента з передатним коефіцієнтом k.

Аперіодична ланка першого порядку.

Її іноді називають інерційним, релаксаційним або одноємнісним елементом.

Така ланка має рівняння динаміки

,

або в операторному вигляді:

(Тр + 1) хвих = k хвх.

Розв'язок такого лінійного неоднорідного диференційного рівняння першого порядку має вигляд:

xвих = k хвх (1 - е-t/T).

Відповідна часова характеристика - це експонента 1.

Якщо вхідна величина відсутня (відключення напруги з активно-індуктивного опору), то динамічний процес можна записати у вигляді однорідного рівняння:

(Тр + 1) хвих = 0,

яке називають рівнянням незбуреного руху.

Розв'язок його має вигляд:

xвих = k хвх е- t/T.

Відповідна часова характеристика на графіку 2 у всіх наведених вище рівняння Т є стала часу, яка характеризує інерційні властивості відповідної ланки.

Якщо ланка має рівняння динаміки вигляду:

то її називають нестійкою аперіодичною ланкою. Розв'язок цього рівняння має вигляд:

xвих = k хвх (е- t/T - 1).

Часова характеристика ланки показує, що при

t > ?, хвих > ?.

Аперіодична ланка І порядку.

Задача. Вивести рівняння динаміки генератора постійного струму, де W1 - обмотка збудження генератора з індуктивністю L і активним опором R.

Розв'язання. Якщо прийняти, що швидкість обертання якоря генератора стала, то напруга генератора ur може змінюватись лише залежно від напруги на обмотці збудження u1; тоді рівняння динаміки має дати залежність

ur = f(u1) .

для обмотки збудження можна записати

Виходячи з лінійності характеристики генератора, записуємо

ur = С і1 ,

Звідки

, .

Ввівши позначення

, ,

.

В операторній формі запису

(Тrр + 1) ur = kr u1 .

Аперіодичними ланками є різні електротехнічні пристрої з активно-індуктивним опором.

Ланки другого порядку.

До цієї групи відносять ланки, які мають рівняння динаміки вигляду:

Позначивши дістанемо рівняння в операторній формі запису у вигляді:

Розв'язок цього рівняння:0

Ошибка! Закладка не определена. де

с1, с2 - сталі інтегрування;

р1, р2 - корені характеристичного рівняння.

залежно від коренів рівняння можливі два різновиди ланок другого порядку - аперіодичні та коливальні.

Ці ланки мають один і той самий зовнішній вигляд, але різко відрізняються по вигляду часової характеристики.

Аперіодичні ланки другого порядку. До ланок цього виду відносять ланки при дійсних, від'ємних коренях характеристичного рівняння.

Це можливо за умови Т2 > 2T1.

При р1 < 0, p2 < 0 розв'язок ланки матиме вигляд:

Ошибка! Закладка не определена. (при t)

Вона визначається сумою двох експонент, що і зумовлює назву ланки.

Коливальні ланки.

Коливальною ланкою є елемент другого порядку при комплексних коренях характеристичного рівняння з від'ємною дійсною частиною.

В цьому випадку:

р1 = - б + jв

р2 = - б - jв

Розв'язок рівняння динаміки елемента можна записати у вигляді:

хвих = k хвх(с1е (- б + jв)t + с2е(- б - jв)t + 1)

хвих = k хвх [1 + е - б t (с1е jвt + с2е - jвt)]

Замінюючи показникові функції на тригонометричні, після перетворень дістанемо:

хвих = k хвх [1 + е - б t (Acos вt + Bsin вt)]

хвих = k хвх [1 + е - б t D sin(вt + ц)], де

А = c1 + c2 ; B = c1 - c2

Часова характеристика має вигляд:

Тривалість перехідного процесу

tn ? 1Tґ, де Тґ - стала часу апроксимуючої експонети, показаної пунктиром.

Приклад ланки другого порядку.

Вивести рівняння двигуна постійного струму з незалежним збудженням.

Розв'язання. Вихідною величиною у такому випадку буде швидкість щ, яка регулюється зміною напруги u , що подається в якірне коло двигуна. Таким чином потрібно встановити в динаміці залежність щ = f(u). Запишемо рівняння електричної рівноваги для якірного кола двигуна, маючи на увазі, що в рушійному режимі напруга встановлюється за формулою:

,

де Lя, Rя - індуктивність і активний опір кола якоря;

е - ЕРС (електрорушійна сила) двигуна.

Для режиму розгону двигуна можна записати рівняння динаміки у вигляді:

Мдин = Мдв - Мст , де

Мдин - динамічний момент двигуна;

Мдв - рушійний момент двигуна;

Мст - статичний момент двигуна.

Коли статичний момент невеликий, тобто Мст ? 0, то можна записати:

J - момент інерції двигуна;

ci - стала струму.

Підставляючи знайдене значення ія в рівняння електричної рівноваги кола якоря двигуна, після деяких перетворень отримаємо:

Введемо позначення:

При цьому рівняння динаміки двигуна постійного струму в операторній формі матиме вигляд:

,

то двигун при заданому співвідношенні параметрів буде аперіодичною ланкою другого порядку, а інакше - коливальною ланкою.

Інтегруючі (астатичні) ланки.

Ланки такого типу мають рівняння динаміки вигляду:

В операторній формі запису:

Часова характеристика наведена на рисунку.

При х > ?, хвих > ? за умови, що на вході ланки існує вхідна величина (хвх ? 0).

Прикладом інтегруючої ланки є гідравлічний серводвигун.

Вхідною величиною елемента хвх є переміщення золотника З, а вихідною х - переміщення поршня П. Рух поршня здійснюється зо допомогою масла Q, яке надходить в верхню або нижню порожнину циліндра. Швидкість переміщення поршня Vв пропорційна кількості масла Q, що надходить у відповідну порожнину циліндра.

Отже, можна записати:

У свою чергу кількість масла в циліндрі пропорційна величині хвх - відхиленню золотника. Тому Q = c2 хвх. Звідси:

Інтегруючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо:

Xвих=

Диференціююча ланка.

В ланках цього типу вихідна величина залежить від швидкості зміни вхідної. При сталому значенні вхідної величини - вихідна буде рівна нулю.

Рівняння динаміки елемента має вигляд:

 , або

xвих = k ? р ? xвх

Прикладом елементів ланок даного типу можуть бути електричні кола L - R, R - C.

Для схеми L - R:

Продиференціювавши ліву і праву частини рівнянн, дістанемо:

Позначивши

після множення лівої і правої частини рівняння на , дістанемо:

Від класичного вигляду це рівняння відрізняється наявністю в лівій частині складової , що є похибкою диференціювання. Наявність похибки показує, що ідеальне диференціювання неможливе.

Складемо рівняння для елемента виду R - C.

де Q - заряд; с - ємність.

В операторній формі можна записати:

,

де T = RC.

Звідси

де - у даному випадку похибка диференціювання.

Ланки із запізненням.

Характерними особливостями таких ланок є те, що величина, яка надходить на вхід, передається на вихід ланки з деяким запізненням ф. У багатьох випадках приймають, що коефіцієнт передачі ланок із запізненням дорівнює одиниці. Прикладом таких елементів можуть бути трубопроводи, траспортери і т.д.

Рівняння ланок із запізненням мають вигляд:

хвих (t) = хвх(t - ф) .

Після перетворень за Лапласом і використання теореми запізнення в операторній формі запису рівняння матиме вигляд:

хвих (p) = хвх(p) е-pф .

Передаточні функції та частотні характеристики.

Теоретичне визначення передаточної функції виходить з відомого перетворення Лапласа, згідно з яким деяка функція часу f(t) - оригінал - може бути перетворена в функцію комплексної величини S, яка є зображенням відповідного оригіналу. Формула прямого перетворення Лапласа:

Використовуючи розроблені методи перетворення, теореми і формули, забезпечимо розв'язання інтегрально-диференційних рівнянь, дотримуючись відповідних дій над зображеннями. Потім на основі зворотнього перетворення Лапласа перейдемо до дійсної функції - оригіналу. Формула зворотного перетворення Лапласа, яке позначається L-1, матиме вигляд:

Передаточні функції при використанні перетворень Лапласа представляють як відношеня зображень вихідної і вхідної величин:

При нульових початкових умовах передатну функцію можна подати на основі запису відповідних величин в операторній формі.

Тому в теорії автоматичного керування передатну функцію часто записують так:

При цьому виходять із рівняння елемента в загальному вигляді:

P(p)хвих = Q(p) хвх , де

P(p), Q(p) - відповідні оператори.

Так, для типового елемента (аперіодичної ланки першого порядку) рівняння має вигляд:

(Tp + 1)хвих = kхвх ;

P(p) = Tp + 1; Q(p) = k.

Для інтегруючого елемента

P(p) = 1;

Передаточні функції в ТАК мають значне поширення і використовуються з метою:

· відображення динамічних властивостей елементів (систем) на основі структурних схем;

· знаходження вихідних виразів для побудови частотних характеристик, на яких базуються різні методи дослідження елементів і систем автоматичного керування;

· застосування математичного апарату, зручного для спрощення структурних схем.

1.2 Передаточні функції і частотні характеристики типових ланок. Приклади побудови. Основні загальні відомості про частотні характеристики