Нахождение оптимальных решений некоторых задач организации бизнеса по продаже планшетных персональных компьютеров

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине:

«Теория принятия решений»

на тему: «Нахождение оптимальных решений некоторых задач организации бизнеса по продаже планшетных ПК»

Оглавление

Введение

1. Анализ проблемы

2. Постановка задачи

3. Ход выполнения работы

3.1 Выбор планшетного ПК при помощи инструмента MALТ

3.2 Размещение объекта коллективного пользования

3.3 Распределение затрат на общественный проект

3.4 Принятие решений в условиях неопределенности

3.5 Матричные игры

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Вероятно, многие начинающие бизнесмены задаются вопросом, с чего начать строить свое дело или бизнес. В какие инструменты экономики вложить свои финансы. К одним из таких инструментов, среди многих, можно отнести ведение бизнеса.

Итак, как организовать свой бизнес и удачно вложить свой капитал.

Наверно многие начинающие путь в тернии Бизнеса, ищут вопрос с чего начать? Я отвечу на этот вопрос просто. Любой бизнес начинается с удачно составленного бизнес - плана, в котором просчитаны все аспекты будущего предприятия.

Проще и удобнее сразу строить бизнес как систему. Несложно заложить фундамент системы бизнеса в самом начале, когда бизнес еще маленький. Чтобы серьезно переделывать бизнес, который уже разросся, потребуется на порядок больше сил и средств.

И поэтому в самом начале (при построении бизнес - плана) необходимо оптимально решить множество разнообразных задач, которые можно классифицировать и решить оптимальным способом для получения максимального результата полезности.



1. Анализ проблемы

Задача курсовой работы заключается в написании четырех задач организации бизнеса:

1. выбор по определённым критериям, с точки зрения покупателя, планшетного ПК из ассортимента магазина;

2. размещение объекта коллективного пользования на кольцевой дороге в случае двух пользователей при наличии препятствия на дороге;

3. нахождение оптимального распределения затрат на общественный проект; матричный бизнес коллективный проект

4. принятие решений в условиях неопределенности, когда из множества G допустимых решений Xi требуется выбрать оптимальное решение.

Для решения поставленной задачи будет использоваться инструментальная экспертная система программного комплекса MALT - система поддержки принятия решений в условиях определенности по количественным и качественным критериям.

Так же для решения задач в случае неопределенности, основным пакетом будет является MATLAB. Это набор прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете. Данный продукт позволяет решать задачи линейного программирования, к которым сводятся задачи с неопределенностью.



2. Постановка задачи

Задача 1. По определённым критериям необходимо выбрать, с точки зрения покупателя, планшетный ПК из ассортимента магазина.

Задача 2.1. Требуется найти оптимальное положение объекта коллективного пользования, которым будут пользоваться жители городов A и B. Маршрут, по которому можно достичь объекта, составляет кольцо, на котором имеется участок, где объект невозможно разместить по техническим причинам. Для удобства описания, на кольце введем периодическую систему координат, такую, что город A имеет координату '0', город B имеет координату 'B', объект Z имеет координату 'n', полная протяженность (период) равен N, координаты границ запрещенных участков дороги обозначены через B, g2.

Задача 2.2. Требуется найти оптимальное положение объекта коллективного пользования, которым будут пользоваться жители городов A и Bi . Маршрут, по которому можно достичь объекта, составляет кольцо. Для удобства описания, на кольце введем периодическую систему координат, такую, что город A(1) имеет координату '0', город A(i) имеет координату ' A(i)', объект Z задается координатой 'n', полная протяженность (период) равен N.

Задача 3.1. Нижеследующую задачу можно рассматривать как приложение лексиминного порядка. Требуется найти оптимальное распределение затрат (х1,..., хn) между n агентами, намеревающимися финансировать проект, стоимость реализации которого составляет c , а потребления результата реализации агентами составят величины (b1,..., bn ).

Задача 3.2. Два агента получили в качестве общего подарка `lb' фунтов печенья и `lw' литров вина и должны поделить этот подарок между собой. Предпочтения обоих агентов являются линейными (кривые безразличия суть параллельные прямые линии). Но предельные коэффициенты замещения различаются: агент 1 один фунт печенья ценит как `uc1', один литр вина как `uw1', а агент 2 - соответственно как `uc2' и `uw2'.

Задача 4. Рассмотрим задачу принятия решений в условиях неопределенности, когда из множества G допустимых решений Xi требуется выбрать оптимальное решение X G , гдеi i n G X 1.. { } . Пусть S j - одно из возможных состояний изучаемой системы из множества S всех возможных ее состояний S S j j m 1.. { } . Тогда каждому S j S соответствует свой результат ij (Xi ,S j ); ( j 1..m) , определяющий выигрыш (потери) при принятии данного решения Xi и реализации данного состояния S j . Такие ij образуют матрицу исходных данных для принятия решения н(G,S) { ij}, i 1..n, j 1..m (1). Если ij определяют выигрыш (доход) или потери (затраты), то и н(G,S) называется матрицей выигрышей или потерь, соответственно.



3. Ход выполнения работы

3.1 Выбор планшетного ПК при помощи инструмента MALT

В качестве критериев выбраны:

Цена;

Камера;

Емкость аккумулятора;

Объем памяти;

Диагональ экрана;

Все критерии, кроме «камера» являются количественными. Критерии изображены на рисунке 1:

Рисунок 1. Таблица критериев.

В качестве альтернатив был выбран ассортимент знаменитого магазина под названием «MediaMarkt».(рисунок 2.):

Рисунок 2. Таблица альтернатив.



Количество недоминируемых альтернатив по Парето 6 из 8 альтернатив

Рисунок 3 Сравнения альтернатив по Парето

В результате были выбраны следующие предпочтения с точки зрения покупателя(рисунок 3):

Рисунок 4 Список предпочтений.

После занесения предпочтений, количество недоминируемых альтернатив равно 5.

Рисунок 5 Сравнения с учетом предпочтений.



3.2 Размещение объекта коллективного пользования

Координата А = 0; B = 237.0934; g2 = 295.0934; N = 340;

A	B	g2	N
0	237.0934	295.0934	340

Для начала надо построить графики полезностей для городов. Характеристикой полезности для каждого города является расстояние искомого объекта n до каждого города A и B. Для показательности и построения полезностей отдельно построим зависимости расстояния от нужного объекта до определенного населенного пункта А или B в зависимости от размещения объекта n в определенной координате. Графики расположены на рисунках 6 и 7.

Рисунок 6. График полезности для города А.

Рисунок 7. График полезности для города В.

Далее руководствуясь эгалитарным принципом, строим зависимость выражающее максимально возможное расстояние до какого-либо города от выбранной координаты (рис 8.)

Рисунок 8. Максимальное расстояние до одного из городов.

Из графика (рис. 8) видно, что эгалитарное решение находится в точке 110. Исходя из заданных условий, мы можем сделать вывод, что при размещении объекта n в заданную точку в этой координате мы не заходим на недопустимую зону. Это можно увидеть при построении множества допустимых полезностей для городов А и B, где полезность - отрицательная величина от расстояния каждого города (рис. 10). Полезность для города А и В примерно составляет -110 единиц.



Рисунок 9. Полезности для городов А и В.

2. Координаты A(i) города соответственно равны 4 14 24 26 46.

A(2)	A(3)	A(4)	A(5)	A(6)
4	14	24	26	46

Рисунок 10. Графики всех функций расстояния.

Для графического решения задачи размещения объекта по эгалитарному признаку необходимо построить график максимумов расстояний для каждого из городов (рис. 11). А для решения по утилитарному признаку нужно смотреть по построению графика суммы расстояний от каждого города в соответствующей координате (рис. 12).

Рисунок 11 Максимумы расстояния для всех городов

Рисунок 12 Сумма расстояний до каждого города.

Для нахождения решения максимальной полезности необходимо найти минимальное расстояние. Соответственно, что по утилитарному, что по эгалитарному критерию размещение объекта в координате 13 дает нам наибольшую полезность.

3.3 Распределение затрат на общественный проект

Исходные данные:

Потребление агента 1.	Потребление агента 2.	Потребление агента 3.	Потребление агента 4.	Потребление агента 5.	Потребление агента 6.	Цена Реализации
3	5	10	13	17	21	56.4

Решение представлено в следующем скрипте MatLab:

N=6;

b = [3,5,10,13,17,21];

bs=sum(b);

c = 56.4;

disp(['Массив потреблений b(1:N) = ' , num2str(b)]);

disp([' Затраты на проект c = ' , num2str(c)]);

disp([' Сумма потреблений bs = ' , num2str(bs)]);

meff = (sum(b) - c)/N;

disp([' Средняя эффективность проекта = ' , num2str(meff)]);

x = b - meff;

disp([' Вектор индивидуальных затрат x(i) = ' , num2str(x)]);

u = b - x;

disp(['Массив полезностей u(1:N) = ' , num2str(u)]);

Результат работы скрипта:

Массив потреблений b(1:N) = 3 5 10 13 17 21

Затраты на проект c = 56.4

Сумма потреблений bs = 69

Средняя эффективность проекта = 2.1

Вектор индивидуальных затрат x(i) = 0.9 2.9 7.9 10.9 14.9 18.9

Массив полезностей u (1:N) = 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1

Дележ продуктов.

Размер подарка печеньем.	Размер подарка вином.	Полезность печенья для первого.	Полезность вина для первого.	Полезность печенья для второго.	Полезность вина для второго.
40	40	4	60	3	70

Решение представлено в следующем скрипте:

clear all

clc

global lc lw uc1 uw1 uc2 uw2

FF=10; % Размер сетки табуляции значений функций

lc=40; % Размер подарка печеньем

lw=40; % Размер подарка вином

uc1=4; uw1=60; % Параметры функции полезности для 1-го агента

uc2=3; uw2=70; % Параметры функции полезности для 2-го агента

x = linspace(0,lc,FF); % Сетка значений

% вариантов доли печенья 1-го агента

y = linspace(0,lw,FF); % Сетка значений

% вариантов доли вина 1-го агента

[x1,y1] = meshgrid(x,y); % Варианты дележа в формате

% приемлемом для построения 3-d графика

z1 = u1(x1,y1); % Полезности для 1-го агента

z2 = u2(x1,y1); % Полезности для 2-го агента

figure(1),mesh(x1,y1,z1),hold on, title('Useness 1 & 2');

mesh(x1,y1,z2);

figure(2),[C3,h] = contour(x1,y1,z1,5);grid,hold on, title('Useness 1');

text_handle = clabel(C3,h);

set(text_handle,'BackgroundColor',[1 1 .6],'Edgecolor',[.7 .7 .7]);

figure(3),[C4,h] = contour(x1,y1,z2,5),grid,hold on, title('Useness 2');

text_handle = clabel(C4,h);

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

figure(4),[C7,h] = contour(x1,y1,z1-z2, [0 0],'b'),title('Useness1 equals Use-ness2,vs Usness1'),hold on;

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

[C3,h] = contour(x1,y1,z1,5),grid;

text_handle = clabel(C3,h);

set(text_handle,'BackgroundColor',[1 1 .6],'Edgecolor',[.7 .7 .7]);

figure(5),[C7,h] = contour(x1,y1,z1-z2, [0 0],'b'),title('Useness1 equals Use-ness2.vs Useness2'),hold on;

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

[C4,h] = contour(x1,y1,z2,5),grid;

text_handle = clabel(C4,h);

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

figure(6), [C6,h] = contour(x1,y1,z1-z2, [0 0],'b'),title('Useness1 equals Use-ness2'),grid;

set(text_handle,'BackgroundColor',[0.9 0.9 .8],'Edgecolor',[.3 .3 .3]);

[s1,s2] = size(C7);

cmax = C7(1,s2); % Самое большое значение x на изолинии "u1=u2"

u1par=u1(cmax,reduc(cmax))

u2par=u2(cmax,reduc(cmax))

disp([' Доля печенья первого агента равна = ' , num2str(cmax)]);

disp([' Доля вина первого агента равна = ' , num2str(reduc(cmax))]);

disp([' Доля печенья второго агента равна = ' , num2str(lc - cmax)]);

disp([' Доля вина первого агента равна = ' , num2str(reduc(cmax))]);

disp([' Полезность первого агента = ' , num2str(u1par)]);

disp([' Полезность второго агента = ' , num2str(u2par)]);

Функция U1:

function res = u1(x,y)

% Векторнозначная функция полезности 1-го агента

% зависящая от глобальных данных uc1 uw1

% и матриц x,y, соответствуюшие долям 1-го

global uc1 uw1

res=uc1*x + uw1*y;

Функция U2:

function res = u2(x,y)

% Векторнозначная функция полезности 2-го агента

% зависящая от глобальных данных uc2 uw2

% и матриц x,y, уже задействованных в u1

global uc2 uw2 lc lw

res=uc2*(lc-x) + uw2 * (lw-y);

Функция reduc:

function res = reduc(x)

% Функция вычисляющая res долю вина 1-го агента по x -

% его доле печенья в ситуации, когда полезности агентов выравнены

% lc=3; % Размер подарка печеньем

% lw=1; % Размер подарка вином

% uc1=1; uw1=1; % Параметры функции полезности для 1-го агента

% uc2=1; uw2=4; % Параметры функции полезности для 2-го агента

global lc lw uc1 uw1 uc2 uw2

res=((uc2*lc + uw2*lw)-x*(uc1+uc2))/(uw1+uw2);

Результат работы скрипта:

Размер подарка печеньем = 40

Размер подарка вином = 40

Доля печенья первого агента равна = 40

Доля вина первого агента равна = 20.3077

Доля печенья второго агента равна = 0

Доля вина первого агента равна = 20.3077

Полезность первого агента = 1378.4615

Полезность второго агента = 1378.4615

Рисунок 13. Полезность обоих агентов как функции доли 2-ого.

Рисунок 14. Линии безразличия 1.

Рисунок 15. Линия безразличия 2.

Рисунок 16. Линия равной полезности против линий безразличия 1.

Рисунок 17. Линия равной полезности против линий безразличия 2.

Рисунок 18. Линия равной полезности.

Проведем контроль полученного решения, проведя повторное исследование методом линейного программирования. В нашем распоряжении имеется па-кет Linear Program Solver (LiPS), предназначенный для решений задач линейного программирования. Для проверки решения сначала сформируем ЗЛП. Функция от четырех переменных f = 4 * x1 + 3 * x2 + 60 * x3 + 70 * x4 выражает общую полезность от раздачи подарка двум агентам, где:

x1 - размер подарка печеньем для первого агента

х2 - размер подарка печеньем для второго агента

х3 - размер подарка вином для первого агента

х4 - размер подарка вином для второго агента

При этом действуют следующие ограничения. Так как полезности дележа для каждого агента должны быть равны, то мы имеем:

-4 * x1 + 3 * x2 - 60 * x3 + 70 * x4 = 0.

Кроме того, дележ продуктов не должен оставлять остатков, поэтому

x1 + x2 = 40,а x3 + x4 = 40, не считая обычных ограничений для размеров подарков чисто физическими значениями - размер подарка для каждого агента не может быть отрицательным или превышать общий размер подаренных продуктов, т.е 0 x1,2 40 x3,4 40

Исходя из заданных условий, вводим в LiPS табличную модель, удовлетворяющей нашей задаче (рис. 17) и получаем решение, которое выдает максимальную величину полезности, как 2756.92 (рис. 19).

Рисунок 19. Табличная модель задачи линейного программирования.

Проверяя полезности для каждого агента, исходя из выданного решения имеем, что размер подарка печенья для первого агента равна 40, для второго 0.

В то время, как размер подарка вином для первого агента составил согласно решению ЗЛП 264/13 ? 20,308 , а для второго 256/13 ? 19,692. Полезность для первого агента составляет 20,308* 60 + 40 * 4 = 1378,48 , а для второго агента 19,692 * 70 = 1378,44, что с учетом погрешностей дает нам решение, подтверждающее правильность работы предыдущего скрипта.

Рисунок 20. Решение задачи линейного программирования.

3.4 Принятие решений в условиях неопределенности

Для решения задачи принятия решений в условиях неопределенности, когда из множества G допустимых решений Xi требуется выбрать оптимальное решение мы будем использовать несколько методов, таких как:

1. Критерий Лапласа

2. Минимаксный критерий

3. Критерий Сэвиджа

4. Критерий Гурвица

Тогда:

По Лапласу лучшее решение - 4

По Минимаксу лучшее решение - 5

По Севиджу лучшее решение - 3

По Гурвицу лучшее решение - 4

Окончательный ответ программы - 4 решение.

3.5 Матричные игры

Примем нашу матрицу потерь из (3.4) за платежную матрицу. Мы имеем двух игроков А и В. Нам необходимо определить для игрока А оптимальную смешанную стратегию в игре с платежной матрицей. Справедлива следующая основная теорема теории матричных игр с нулевой суммой.

Теорема. Каждая конечная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение среди смешанных стратегий.

Вектор P={p(i), I = 1:m} вероятностей, определяющий оптимальную сме-шанную стратегию игрока A в игре с платежной матрицей {М(i,j),i=1:m, j = 1:n} может быть найден из соотношения P={p(i), I = 1:m}' = { Х(i), i = 1:m}' / F, где F и X = { Х(i), I = 1:m} - решение следующей задачи ЛП.

F = sum(Х(i), i = 1:m) - > min

A'*X' >= ones(m,1), X >= zeros(m,1).

Предполагается, что все элементы платежной матрицы положительны. В противном случае необходимо преобразовать платежную матрицу к виду, a(i,j)>0 путем добавления к её компонентам константы большей -min(a(i,j)).

Имеется нижеследующая платежная матрица:

Минимакс и максимин выделены особым цветом. Видно, что минимакс больше по значению, чем максимин, поэтому данная игра не имеет седловой точки и максиминно-минимаксные стратегии не оптимальны. Поэтому мы воспользуемся идеей смешанных стратегий, и попытаемся найти смешанные стратегии с заданными вероятностями для игрока А. Эти вероятности должны быть подобраны для максимизации наименьшего выигрыша по столбцам для игрока.

Поскольку все её элементы являются положительными, то применим теорию предыдущего пункта к задаче поиска оптимальной стратегии для игрока А. Будем искать решение следующей задачи: F = sum(X(i), i = 1:6) - > min при ограничениях:

42 * х1 + 47 * х2 + 7 * х3 + 47 * х4 + 33 * х5 + 5 * х6 1

15 * х1 + 28 * х2 + 49 * х3 + 50 * х4 + 9 * х5 + 50 * х6 1

49 * х1 + 25 * х2 + 41 * х3 + 8* х4 + 22 * х5 + 47 * х6 1

41 * х1 + 49 * х2 + 34 * х3 + 2 * х4 + 44 * х5 + 48 * х6 1

35 * х1 + 39 * х2 + 38 * х3 + 21 * х4 + 34 * х5 + 9* х6 1

х1, х2, х3, х4, х5, х60

Для решения данной ЗЛП воспользуемся пакетом LiPS, сформулировав задачу в табличной форме (рис. 21).

Рисунок 21. ЗЛП для нахождения смешанных стратегий игрока А.

Программа выдала нам следующий результат (рис. 22):

F = 0.029433; x5 = 0; x1 = 0,00903669; x2= 0,0066919; x3 = 0,0081452;

x4 = 0,00526493; x6 = 0,000294243

Тогда P = [0,00903669; 0,0066919; 0,0081452; 0,00526493; 0; 0,000294243]. Таким образом мы получили вероятности для максимизации наименьшего выигрыша по столбцам для игрока А.



Рисунок 22. Вероятности для смешанных стратегий игрока А.

Заключение

В результате выполнения курсовой работы был освоен инструментальная экспертная система программного комплекса MALT - системы поддержки принятия решений в условиях определенности по количественным и качественным критериям.

Изучена теория благосостояния: эгалитаризм и утилитаризм.

Реализован метод размещение объекта коллективного пользования на

кольцевой дороге.

Создано программное средство на основе имеющейся теоретической

базе по совместному финансированию объекта и дележу продуктов.

Были освоены методы и алгоритмы решения задач принятия решений

в условиях неопределенности, приобретены навыки и умения разработки

математического обеспечения поддержки принятия решений на основе

реализации стандартных и модифицированных алгоритмов теории

исследования операций.

Список использованной литературы

1. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели: М.: Мир, 1991. - 464 с.

2. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: Учебник. - М.: Логос, 2009. -296 с.

3. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. М. Теория игр и экономическое поведение..: Наука, 2010.

4. Канторович Л. В., Горстко А. Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука, 1972.

5. П. Конюховский. Математические методы исследования операций в экономике. С.-Пб.: Питер, 2009.

6. Косоруков О. А., Мищенко А. В. Исследование операций. Учебник для вузов. М.: Экзамен, 2010.

7. Костюкова О. И. Исследование операций. Минск: БГУИР, 2003. 23

8. Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования операций. М.: Мир, 1977.

9. Крушевский А. В. Теория игр. Киев: «Вища школа», 2007.

10.Дж. Моулдер, С. Элмаграби. Исследование операций. В 2 томах. М.: Мир, 1981.

Размещено на Allbest.ru

...