1. Форма преобразования Лапласа

Данная форма предназначена для исследования динамических свойств системы в области комплексного переменного .

Переход от классической формы модели к форме преобразования Лапласа осуществляется путем применения к дифференциальному уравнению движения преобразования Лапласа c учётом свойств линейности и дифференцирования.

.

Применяя преобразование Лапласа к классической форме модели при нулевых начальных условиях, получим:

Передаточной функцией объекта (системы) W(S) называется отношение преобразованного по Лапласу выходного сигнала к преобразованному по Лапласу входному сигналу при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция, представляющая собой дробно-рациональную функцию, является исчерпывающим математическим описанием объекта или системы в области комплексного переменного S.

2. Преобразование структурной схемы

· уравнение движения:

· преобразования Лапласа:

· уравнение движения в форме Лапласа:

· передаточная функция:

;

2. Колебательное звено:

;

3. Апериодическое звено:

;

4. Инерционное звено:

ФЧХ элемента ц(щ) называется зависимость разности фаз выходного и входного гармонических сигналов от частоты.

Преобразуем формулу для каждого динамического звена в соединении:

1. Форсирующее звено второго порядка:

;

2. Колебательное звено:

;

3. Апериодическое звено:

;

4. Инерционное звено:

Таким образом, при построении КЧХ последовательного соединения звеньев амплитуды передаточных функций отдельных звеньев перемножаются, а фазы складываются.

W(S)_общ. =

6. ЛАЧХ и ЛФЧХ соединения

Для получения логарифмических характеристик необходимо прологарифмировать КЧХ соединения:

· 20lgW(j•щ) = 20lgA(щ) + j•ц(щ);

· L(щ) = 20lgA₁(щ) + 20lgA₂(щ) + … + 20lgA_n(щ);

· ц(щ) = ц₁(щ) + ц₂(щ) + … + ц_n(щ).

C целью сокращения вычислений построение ЛАЧХ осуществляется следующим образом:

1) находятся частоты сопряжения каждого звена щ_i = 1 / T_i :

· щ₁ = 1/T₁ =1,18;

· щ₂ = 1/T₂ =0,86;

· щ₄ = 1/T₄ =6,67;

· щ₃*=k₃k₅=0,24.

2) полученные значения частот откладываются в логарифмическом масштабе по оси абсцисс (через точки, соответствующие этим частотам, проводятся вертикальные прямые):

· lg(щ₁) =0,07;

· lg(щ₂) =-0,066;

· lg(щ₄) =0,82;

· lg(щ₃*) =-0,62;

3) при наличии интегрирующих или идеальных дифференцирующих звеньев построение ЛАЧХ начинается именно с этих звеньев;

4) откладывается отрезок 20•lg(k_общ) до точки, соответствующей логарифмической частоте

щ₃* = lg(щ₃*) = -0,62;

5) через полученную точку проводится прямая с наклоном -20дБ/дек, соответствующая наличию апериодического звена, из отрицательной области логарифмических частот до вертикали большей частоты сопряжения (lg(щ₂) =-0,066);

6) далее через точку пересечения прямой и вертикали меньшей частоты проводится прямая с наклоном -60дБ/дек, соответствующая наличию колебательного звена, в диапазоне между соседними вертикалями частот сопряжения (lg(щ₂) = -0,07 и lg(щ₁) = 0,7);

7) аналогичная операция осуществляется для ещё двух звеньев.

График ЛАЧХ соединения приведён в приложении.

Для оценочных расчетов используют приближенное построение ЛФЧХ. Оно основывается на том сдвиге фаз, который вносит в систему каждое из элементарных динамических звеньев системы.

График ЛФЧХ соединения приведён в приложении.

1. Форсирующее звено второго порядка:

2. Колебательное звено:

3. Апериодическое звено:

4. Инерционное звено:

9. Модель соединения по его передаточной функции W(S), соответствующая векторно-матричному представлению соединения

Наряду с формами представления моделей в виде дифференциальных уравнений в плоскости действительного переменного и передаточных функций в области комплексного переменного существуют формы представления моделей систем в виде структурных схем системы. Такие модели строятся на основе функциональных схем системы, которые позволяют установить связи между отдельными элементами, направление прохождения сигналов по каналу управления и использовать уже имеющиеся модели в виде передаточных функций для отдельных элементов структуры. Такие модели более удобны для анализа динамики систем, поскольку содержат как математическое описание, так и отражают структуру системы.

Общий вид структурной модели:

Этой структурной модели соответствует модель пространства состояния, состоящая из двух векторно-матричных уравнений первого порядка:

= A•X(t) + B•U(t) - уравнение состояния;

y(t) = C^T•X(t) + D•U(t) - уравнение выхода.

где матрицы A, B, C и D - матрицы состояния, управления, измерения и переходов, выраженные через коэффициенты передаточной функции W(S).

· Таким образом, передаточная функция соединения имеет следующий вид:

W(S)_общ. = W₁(S)•W₂(S)•W₃(S)•W₄(S) =

=

· Коэффициенты передаточной функции:

b₂=; b₃= ; b₄= ;

a₀= ; a₁= ; a₂= ;

a₃= ; a₄=

· Осуществляется подстановка значений и замена S на p:

y(t) = •U(t) (1)

Вводится вспомогательная переменная

z(t) = . (2)

Тогда y(t) = z(t)• () , где

z(t) = (4,954)•U(t) + (8,925)•p^-1z+ (17,929)•p^-2z +(9,727)•p^-3z+(1,182) •p^-4z

представляет собой решение уравнения относительно старшей производной.

Уравнения 1 и 2 описывают динамические свойства системы в области действительного переменного t. Следовательно, при известном входном воздействии системы U(t) можно найти промежуточную переменную z(t) из уравнения 2, и, подставив её значение в уравнение 1, можно найти выходную переменную y(t) системы.

Учитывая b₀ = 0, b₁ = 0 структурная модель данного соединения имеет следующий вид:

10. Матрицы состояния, управления, измерения и переходов(A, B, C, D) и уравнение состояния и выхода

Переход к математической модели в форме пространства состояния осуществляется путём введения n (n = 4) переменных состояния системы. В качестве переменных состояния берутся сигналы на выходах интеграторов x₁, x₂, x₃, x₄, причем индексы этих переменных нумеруются, начиная с выхода последнего интегратора.

· Уравнения движения системы, записанные через переменные состояния:

· Исходя из сравнения системы 1 с уравнениями состояния и выхода, матрицы состояния, управления, измерения и переходов (A, B, C и D) будут иметь следующий вид:

Ш матрица состояния ;

Ш матрица управления ; ;

Ш матрица измерения;

Ш матрица переходов;

· Для передаточной функции

;

Ш матрицы состояния, управления, измерения и переходов:

;

; ;

;

Ш уравнение состояния:

;

Ш уравнение выхода:

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведения курсовой работы по математическим основам теории управления были получены практические навыки по анализу систем автоматического управления. Проведена работа по расчету параметров систем автоматического управления в различных формах их математических моделей, таких как алгебраическая, векторно-матричная, показательная и форма преобразования Лапласа. При проведении работы мы выяснили, что для описания динамических систем удобно пользоваться передаточной функцией данной системы, с помощью которой система легко описывается как во временной, так и в частотной областях. Были проведены расчеты комплексных, амплитудных и фазовых частотных характеристик, как элементарных динамических звеньев, так и системы в целом, найдены ЛАЧХ и ЛФЧХ системы. При анализе различных форм представления САУ мы выяснили, что наиболее удобными из них являются форма преобразования Лапласа и векторно-матричная форма представления СУ, так как они отличаются своей простотой и наглядностью представления.

Итогом проведения курсовой работы является умение анализировать поведение систем автоматического управления в различных их областях. Данные навыки необходимы для дальнейшего изучения курса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ