Методы оптимальных решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Факультет: Финансы и кредит

Кафедра информатики и математики

Контрольная работа

Методы оптимальных решений

УФА 2014

Задание 1. Методы теории массового обслуживания

массовый обслуживание инвестиция

Практическая деятельность человека тесно связана с различного рода системами массового обслуживания. В области экономики - это банковское обслуживание, пользование объектами торговли и услугами сферы обслуживания и многие другие виды экономической деятельности.

Системы массового обслуживания (СМО)-- это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Любая система массового обслуживания может включать в себя следующие элементы:

1. Входной поток требований или заявок на обслуживание. Этот элемент является основным. Изучение входящего потока требований и его описание необходимо при организации любой системы массового обслуживания.

2. Очередь. В тех случаях, когда поступающие в систему массового обслуживания требования не могут быть удовлетворены немедленно, возникает очередь. В такой ситуации интерес может представлять длина этой очереди, порядок, по которому ожидающие требования направляются на обслуживание (как говорят, дисциплина очереди), время ожидания.

В отдельных случаях систем массового обслуживания очереди не допускаются, т.е. требование, заставшее систему занятой, не обслуживается (получает отказ).

3. Обслуживающее устройство. Этот элемент присутствует в любой системе массового обслуживания. От характеристик и параметров, способов организации обслуживающего устройства зависит не только время, необходимое на обслуживание одного требования, но и длина очереди и время ожидания.

4. Выходной поток обслуженных требований. Этот элемент может оказаться очень важным в тех случаях, когда выходящий поток обслуженных требований является входящим для другой системы массового обслуживания.

Рис. 1 Структура системы массового обслуживания

Как правило, число требований на входе системы массового обслуживания за какой-либо промежуток времени и время обслуживания одного требования являются случайными величинами.

Системы массового обслуживания классифицируются по разным признакам.

1. На группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от дисциплины обслуживания требований.

По составу СМО бывают одноканальные (с одним обслуживающим устройством) и многоканальными (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

с неограниченным временем ожидания (с ожиданием),

с отказами;

смешанного типа.

В СМО с неограниченным временем ожидания очередное требование, застав все устройства занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания до тех пор, пока одно из устройств не освободится.

В системах с отказами поступившее требование, застав все устройства занятыми, покидает систему. Классическим примером системы с отказами может служить работа автоматической телефонной станции.

В системах смешанного типа поступившее требование, застав все устройства занятыми, становятся в очередь и ожидают обслуживания в течение ограниченного времени. Не дождавшись обслуживания в установленное время, требование покидает систему.

2. В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.

3. По числу каналов обслуживания СМО делятся на одно- и многоканальные.

4. По количеству этапов обслуживания различают однофазные и многофазные системы.

5. По месту нахождения источника требований СМО делятся на разомкнутые (источник требования вне системы) и замкнутые (источник в самой системе). Примером разомкнутой системы может служить ремонтная мастерская. Здесь неисправная техника - это источник требований, находящийся вне системы, число требований можно считать неограниченным. К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а, следовательно, источником требований на их обслуживание, например, бригадой ремонтников.

Методы и модели исследования СМО можно условно разбить на аналитические и статистические.

Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции от параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО.

Но, к сожалению, аналитические модели исследования операций зачастую не могут успешно применяться при принятии решений. Причина кроется в том, что математические модели, имеющие надежные методы вычисления, являются слишком упрощенными и неадекватны реальным процессам, либо не могут быть реализованы в силу вычислительных трудностей.

В таком случае используется имитационное моделирование, которое состоит в компьютерном моделировании реальной производственной ситуации.

Но на сегодняшний день, для решения задач массового обслуживания, теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения, в которых поток требований является простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность поступления за время t ровно k требований задается формулой

 ,

где л - параметр, интенсивность входящего потока заявок.

Простейший поток обладает тремя основными свойствами:

Ординарность -- когда вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю.

Стационарность -- когда вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени, зависит только от длины этого участка.

Отсутствие последействий -- когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.

Важной характеристикой СМО является время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и, особенно в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания.

Функция распределения для этого закона имеет вид

,

То есть вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой , где м - параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе (интенсивность обслуживания) - величина, обратная среднему времени обслуживания , то есть

.

Теперь стоит привести некоторые аналитические модели исследования т расчета основных характеристик СМО.

Типичная постановка задачи, решаемой с помощью теории массового обслуживания, состоит в следующем: по заданному входящему потоку требований, известной дисциплине обслуживания и известному закону распределения времени обслуживания требования нужно оценить качество и эффективность функционирования СМО и выявить возможность их улучшения. Рассмотрим примеры:

1. Одноканальная СМО с отказами.

Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка -- автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, -- получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей л 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания -- tоб=1,8 часа.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

относительной пропускной способности q;

абсолютной пропускной способности А;

вероятности отказа Ротк;

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение

Определим интенсивность потока обслуживания:

.

Вычислим относительную пропускную способность:

q =.

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей.

Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

А=лЧq=1Ч0,356=0,356.

Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

Вероятность отказа:

Ротк=1-q=1-0,356=0,644.

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

Определим номинальную пропускную способность системы:

Аном= (автомобилей в час).

Оказывается, что Аном в раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

2. Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью.

Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N-- 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, имеет интенсивность л=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

Интенсивность потока обслуживаний автомобилей:

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей л и м, т.е.

Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:

P1=r•P0=0,893•0,248=0,221; P2=r2•P0=0,8932•0,248=0,198;

P3=r3•P0=0,8933•0,248=0,177; P4=r4•P0=0,8934•0,248=0,158.

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

Pотк=Р4=r4•P0?0,158.

Относительная пропускная способность поста диагностики:

q=1-Pотк=1-0,158=0,842.

Абсолютная пропускная способность поста диагностики. А=л•q=0,85•0,842=0,716 (автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа.

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

Wq=Ws-1/м=2,473-1/0,952=1,423 часа.

Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Lq=л•(1-PN)•Wq=0,85•(1-0,158)•1,423=1,02.

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Ротк=0,158).

3. Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью.

Вспомнив о ситуации, рассмотренной в предыдущем примере, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т.е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

вероятности состояний системы (поста диагностики);

среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе

(на обслуживании и в очереди);

среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение Параметр потока обслуживания и приведенная интенсивность потока автомобилей с определены в предыдущем примере:

м=0,952; с=0,893.

Вычислим предельные вероятности системы по формулам

P0=1-r=1-0,893=0,107;

P1=(1-r)·r=(1-0,893)·0,893=0,096;

P2=(1-r)·r2=(1-0,893)·0,8932=0,085;

P3=(1-r)·r3=(1-0,893)·0,8933=0,076;

P4=(1-r)·r4=(1-0,893)·0,8934=0,068;

P5=(1-r)·r5=(1-0,893)·0,8935=0,061 и т.д.

Следует отметить, что Р0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10, 7%, так как Р0=0,107.

Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):

ед.

Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

час.

Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

.

Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

час.

Относительная пропускаемая способность системы равна единицы, так как все поступившие заявки рано или поздно будут обслужены:

q=1.

Абсолютная пропускная способность:

A=л•q=0,85•1=0,85.

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятие ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывших автомобилей как в предыдущем примере было равно трем. Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностике автомобиль не имеет возможности присоединить к очереди:

m=л•PN.

В нашем примере при N=3+1=4 и r=0,893,

m=л•P0• r4=0,85•0,248•0,8934=0,134 автомобиля в час.

При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12•0,134=1,6 автомобиля.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуживающих клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) пост диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобиля, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличие всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

4. Многоканальная СМО с отказами

Примером является задание № 4

5. Многоканальная СМО с ожиданием

Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность л=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб=0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

- вероятность состояний системы;

- среднее число заявок в очереди на обслуживание;

- среднее число находящихся в системе заявок;

- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

Определим параметр потока обслуживаний

Приведенная интенсивность потока заявок

с=л/м=2,5/2,0=1,25,

при этом л/м •с=2,5/2•3=0,41<1.

Поскольку л/м•с<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

Вычислим вероятности состояний системы:

Вероятность отсутствия очереди у мастерской

Ротк?Р0+Р1+Р2+Р3?0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.

Среднее число заявок в очереди на обслуживание

Среднее число находящихся в системе заявок

Ls=Lq+=0,111+1,25=1,361.

Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание

суток.

Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)

суток.

Задание 2

Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 тыс. долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси». Анализируются акции «Дикси Е» и «Дикси В». Цены на акции: «Дикси Е» -- 5 долл. за акцию; «Дикси В» -- 3 долл. за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС», прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси Е» -- 1,1 долл.; «Дикси В» -- 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций. Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение:

Экономико-математическая модель задачи:

Переменные: -число акций «Дикси Е»; -число акций «Дикси В». Примем за ед. измерения количество акций 1000 шт.

Целевая функция: f () = 1,1+0,9 max

Ограничения:



,0

Строим ОДР ЗЛП:

:		0	5000
		8333	0
:+ 6000		0	6000
		6000	0
,5000		0	5000
		5000	0

В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений нашей задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными произведениями целевой функции:

 =

Чтобы построить та кой вектор, нужно соединить точку (1,1;0,9) с началом координат. Для удобства, можно построить вектор, пропорциональный вектору. Так на рис. Изображен вектор (2,2;1,8).

Строим линию уровня 1,1+0,9. меняя значение а, получаем семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

1,1+0,90		0	1
		0	-1,2
1,1+0,94		0	3,64
		4,4	0

Далее будем передвигать линию уровня до ее выхода из ОДР. При максимизации целевой функции движение линии уровня будем осуществлять в направлении градиента. В точке С достигается max целев. функции. Для нахождения координат этой точки решим систему из уравнений двух прямых, дающих в пересечении точку максимума:

Получаем и . При этих значениях max f () = 1,1+0,9

При минимизации целев. Функции движение линии уровня будем осуществлять в противоположном направлении градиента. В точке А достигается min целев. функции. Координаты точки А (0;0).

Ответ: для получения max прибыли (6100) необходимо купить 3500 акций (=3500) «Диски Е» и 2500 акций (=2500) «Дикси В».

Задание 3

Предприятие пищевой промышленности ежемесячно использует около 25000 стеклянных банок объемом 1 литр для производства фруктового сока. Месячная стоимость хранения - 10 коп. за 1 банку. Компания работает в среднем 20 дней в месяц. Затраты на осуществление заказа составляют 300 руб. Время доставки заказа 1 день. Определите оптимальный объем заказа, годовые расходы на хранение запасов, период поставок, точку заказа.

Определите:

а) оптимальный объем заказа;

б) годовые расходы на хранение запасов;

в) период поставок;

г) точку заказа.

Решение.

Примем за единицу времени год, тогда =300000 шт. банок в год, К = 300 руб., S = 1,2 руб/шт. в год. Поскольку стеклянные банки заказываются со склада поставщика, а не производятся самостоятельно, то будем использовать модель Уилсона.

штук.

Получим оптимальный размер заказа штук.

Следующим пунктом будет расчет числа заказов в течении года

Поскольку среднесуточный спрос равен 300000/240=1250, точка восстановления запаса (уровень запасов, при котором делается новый заказ) составит 1250 шт. Т.е. эти 1250 банок будут проданы в течение 1 дня, пока будет доставляться заказ.

Не забудем рассчитать и минимальные издержки заказа и хранения:

Задание 4

В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно ; среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, равно Тср мин. (значения и Тср по вариантам даны ниже в таблице).

Оценить основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%?

4.6	12	10
№ варианта, задачи	Параметр	Параметр Тср=1/м

Решение:

Эту задачу будем решать с помощью средств MS Excel.

1. Оценим основные характеристики работы бухгалтерии как СМО с отказами (рис.1).

Рис. 1 Вычисления по формулам Эрланга

Рис. 2 Используемые формулы в таблице

Вычислим также некоторые основные характеристики данной мастерской как СМО с отказами при п = 2 (рис. 3).

Определим, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

Для этого посчитаем данные для 110 работников. Анализируя полученные значения вероятностей Ротк получаем вывод: если в бухгалтерии будут работать 107 бухгалтеров, то вероятность обслуживания клиентов будет выше 85%, так как вероятность отказа в обслуживании в этом случае Ротк14%.

Задание 5

Статистический анализ показал, что случайная величина Х длительности обслуживания клиента в парикмахерской следует показательному закону распределения с параметром м, а число поступающих в единицу времени клиентов (с.в. У) - закону Пуассона с параметром . Значения параметров и м повариантно даны ниже в таблице.

Получите средствами MS Excel 15 реализаций с.в. Х и 15 реализаций с.в. У.

№ варианта, задачи	Параметр	Параметр м
5.6	2,1	0,8

Решение:

Получим средствами MS Excel 15 реализаций случайной величины Х и 15 реализаций случайной величины Y. Для этого проведем имитационный эксперимент с использованием реализаций случайных величин X и Y.

Создадим таблицу с имеющимися данными, введем туда все имеющиеся параметры, (рис. 1).

Рис. 1

После проведения математических подсчетов с использованием формул MC Excel, получим 15 реализаций случайной величины Х (длительность обслуживания клиента в парикмахерской, мин.) и случайной величины Y (время между приходом в парикмахерскую двух клиентов, мин.). Также не стоит забывать о введении учета времени прихода в парикмахерскую клиентов (мин.).

Список используемой литературы

1. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач / И.В. Орлова. - 2-e изд., испр. и доп. - М.: Вузовский учебник: НИЦ Инфра-М, 2012. - 140 с.

2. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. Пособие/ И.В. Орлова, В.А.Половников.-3-е изд.,перераб. И доп.-М.: Вузовский учебник: Инфра-М, 2012. - 389 с.

3. Федосеев, В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели [Электронный ресурс] : Учеб. пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, И .В. Орлова и др.; Под ред. В. В. Федосеева. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 304 с.

4. Федосеев, В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, Д.М.Дайитбегов и др.; Под ред. В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 391 с

5. Хуснутдинов Р.Ш. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие / Р.Ш. Хуснутдинов. - М.: НИЦ Инфра-М, 2013. - 224 с.

6. http://emm.ostu.ru/lect/lect2_3.html#vopros5

7. http://nashaucheba.ru/v55495

Размещено на Allbest.ru

...