Исследование проблемы оптимального управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Основы математической теории управления запасами

1.1 Общая характеристика и классификация моделей управления запасами

1.1.1 Основные определения

1.1.2 Типы схем управления запасами

1.2 Стохастическая модель управляемого регенерирующего процесса и ее теоретическое исследование

1.2.1 Стохастические модели

1.2.2 Регенерирующий процесс

1.2.3 Постановка задачи оптимального управления для управляемого регенерирующего процесса

1.2.4 Экстремальная задача для дробно-линейного функционала

1.3 Исследование некоторых конкретных систем управления запасами, описываемых моделями регенерации

1.3.1 Обзор основных характеристик построенной модели

1.3.2 Представлении стационарного стоимостного показателя.

1.3.3 Решение проблемы оптимального управления запасом

1.3.4 Достаточные условия непрерывности основной функции и существование детерминированного оптимального управления

1.3.5 Анализ частного случая задачи

Глава 2. Разработка и анализ стохастической модели управления запасом производственной системы

2.1 Описание функционирования производственной системы, связанной с поставками ресурса

2.2 Разработка математической модели управления поставками

2.2.1 Построение математической модели, описывающей функционирование системы-склада

2.2.2 Описание процесса потребления ресурса

2.2.3 Описание процесса закупки ресурса

2.2.4 Пример возможного поведения процесса

2.3 Общая схема исследования математической модели и постановка задачи оптимального управления

2.4 Получение аналитических представлений для стационарных характеристик модели

Заключение

Список литературы



Введение

стратегия поставка закупка сырье

В современном мире количество торговых операций возрастает в геометрической прогрессии, поэтому появляется потребность в формировании запасов. В связи с этим возникает необходимость в разработке научно обоснованных методик организации хранения запасов и поставок продуктов. Изучение моделей оптимального управления запасами позволяет предприятиям оптимально использовать имеющиеся ресурсы и, следовательно, снижать издержки.

В настоящее время абсолютно все фирмы, торгующие каким-либо продуктом, нуждаются в планировании и оптимальном распределении своих запасов. Неоптимальное использование ресурсов приведет к росту издержек, а также к завышению конечной стоимости производимого продукта.

Таким образом, потребности практики требуют разработки математических моделей и методов оптимального управления запасами и цепями поставок. Настоящее исследование относится к этому направлению прикладной математики.

В данной работе проводится анализ процесса функционирования реальных систем, связанных с закупками и поставками сырья для производства определенного вида изделий на предприятии ОАО «Серпуховский завод «Металлист» и построена модель оптимального управления запасом. В дальнейшем проведено исследование этой модели управления и разработан подход к определению оптимальной стратегии управления поставками.



Глава 1. Основы математической теории управления запасами

1.1 Общая характеристика и классификация моделей управления запасами

1.1.1 Основные определения

Общее описание моделей и проблем теории управления запасами изложено во многих научных изданиях. В данной работе использованы материалы книг [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13].

Сведения о стохастических моделях управления запасами и, в частности, моделях управляемых регенерирующих процессов, изложены в работах Шнуркова П.В. и его соавторов [1], [2], [3], [4], [5], [6].

В логистике оптимальное управления запасами преследует две цели, а точнее занимается поиском ответа на два важнейших для этой области вопроса:

Какое количество продукции заказывать?

В какой момент времени заказывать?

Для ответа на первый вопрос необходимо разобраться с таким определением, как размер заказа. Размер заказа - оптимальная величина некоторого ресурса, которую необходимо заказываться каждый раз, когда происходит истощение запаса. Определив данную величину вопрос с количеством продукции отпадает.

Чтобы получить ответ на второй вопрос необходимо определить тип модели оптимального управления запасами. Система может включать периодический контроль состояния запасенного продукта через фиксированные интервалы времени (например, ежедневно или ежеквартально), момент истощения и формирования заказа на поставку, чаще всего, совпадает с началом нового временного промежутка. В случае, когда система включает непрерывный контроль состояния запасенного продукта, точкой заказа является уровень запаса и в этот момент необходимо сформировать новый заказ на поставку.

Следовательно, решение общей проблемы управления запасами сводится к рассмотрению двух случаев.

В первом случае, в случае периодического контроля состояния запаса требуется формировать заказ на поставку продукции через равные промежутки времени, а именно в моменты истощения запаса.

В случае непрерывного контроля состояния запаса формировать заказ на поставку следует в момент времени, когда запас истощается до определенной отметки, названной точкой заказа.

Общие издержки схемы управления запасами выражаются в виде суммы составляющих:

Издержки приобретения являются ключевым пунктом, в том случае, когда средняя цена единицы товара определяется размером заказа. Такое возможно при предоставлении оптовых скидок, когда при увеличении размера заказа уменьшается цена единицы товара.

Издержки формирования заказа являются расходами, связанными с размещением. То есть, удовлетворяя спрос в течение фиксированного интервала времени методом размещения меньших заказов (т.е. чаще) издержки растут, сравнивая с ситуацией, когда спрос удовлетворяется методом больших заказов (т.е. реже).

Издержки хранения являются расходами, связанные с хранением запаса на складе (например, издержки переработки и амортизация). Уровень таких издержек возрастает с увеличением уровня запаса.

Дефицит - издержки, связанные с отсутствием нужной продукции. Чаще всего такие издержки изменяются из-за отношений потребителя и поставщика.

На рисунке 1 изображена зависимость всех четырех составляющих издержек общей модели оптимального управления запасами от уровня запасенной продукции. Оптимальный уровень запаса соответствует минимальной величине суммы составляющих. Данная модель может включать не все компоненты, так-как в некоторых случаях схема управления значительно усложниться. На практике некоторыми составляющими можно пренебречь как бесконечно малыми величинами.

Рисунок 1

1.1.2 Типы схем управления запасами

Простейшим примером является общий вид схемы управления запасом. Разнообразие таких схем вытекает из различных способов решения задач, используя разнообразные математические вычисления таких как: дифференциальных схем, интегрального исчисления, алгоритмы математического и динамического программирования и др.

Поскольку тип моделей управления определяется характером спроса, получаем два типа схем: детерминированный (известный) или стохастический (задаваемый некоторым распределением).

Рисунок 2 является схемой, классифицирующей спрос.

Детерминированный спрос бывает статическим и динамическим. Статический спрос - интенсивность потребления не изменяется со временем. Динамический - спрос известен, но изменения происходят в зависимости от времени.

Стохастический спрос бывает стационарным и не стационарным. Стационарный спрос - функция плотности вероятности не изменяется со временем. Не стационарный спрос - функция плотности вероятности изменяется со временем.

Рисунок 2

Характер спроса является определяющим определением, влияющих на схему управления, но также существуют другие факторы, влияющие на данные модели управления запасами.

Запаздывание поставок или сроки выполнения заказов.

Пополнение запаса.

Период времени.

Число пунктов накопления запаса.

Число видов продукции.



1.2 Стохастическая модель управляемого регенерирующего процесса и ее теоретическое исследование

1.2.1 Стохастические модели

Заметим, что стохастическая модель, рассматриваемая в настоящей главе, была предложена и исследована в работах П.В. Шнуркова и Р.В. Мельникова [1], [2].

Стохастические схемы используются в основном в случаях, когда параметры системы носят вероятностный характер. Рассматриваемые модели могут применяться в самых различных случаях. Например, спрос на какой-либо продукт или ресурс.

В стохастической схеме управления запасами интенсивность потребления какого-либо продукта или ресурса задается распределением случайной величины. Учитывая это в данных схемах вводится новый параметр - бездефицитной работы.

Стохастические схемы управления с фиксированной партией поставки.

В данной схеме учитывается изменение интенсивности ресурса. Исследуется как эти изменения влияют на схему и на производственную деятельность. Важной частью исследования является параметр дефицита, а именно отсутствие дефицита ресурсов во время задержек продукции.

Стохастические схемы управления с фиксированным ритмом поставки.

Этот вариант схемы исследует такие возможности как бездефицитная работа и переполнение складского помещения в неизменных временных интервалах между восполнениями. Подразумевается, что продукции должно хватить при росте потребления и издержки компании, связанные с хранением продукции, не должны возрасти, если потребление снизится.

То есть размер заказа определяется таким образом, чтобы ресурсов на складе хватало даже при увеличении интенсивности потребления, но предприятие не несло дополнительных потерь при размещении и хранении излишних объемов сырья. В детерминированных же системах с фиксированным ритмом поставки величина заказываемой партии рассчитывается из предположения, что интенсивность потребления ресурса будет равномерной, без существенных колебаний, что не соответствует реальным условиям деятельности предприятий.

Рисунок 3 иллюстрирует как изменяются модели управления запасами, типов, рассмотренных выше, при разных уровнях интенсивности в зависимости от изменения уровня запаса ко времени.

Рисунок 3

Комбинированные стохастические схемы управления.

Из понятия комбинированной схемы очевидно, что данная схема является комбинацией предыдущих схем управления. Отличительным фактором данной модели является то, что заказ формируется на определённом уровне истощения, то есть при достижении точки заказа, не учитывая время (рисунок 4). Количество заказываемой продукции зависит от размера поставки при отсутствии дефицита. Данная схема также исследует изменения интенсивности потребления. Рассматриваемая схема является наиболее удобной для предприятий, так как заказ формируется в фиксированный момент времени и в фиксированном количестве, наиболее устраивающее предприятие.



Рисунок 4

Важную роль в теории управления запасами играет понятие параметра управления или принимаемого решение. Чаще всего в качестве таких параметров выступают время от момента очередного пополнения до заказа следующей партии продукта и размер заказываемой партии.

1.2.2 Регенерирующий процесс

В первую очередь, дадим описание модели регенерирующего процесса.

Пусть - некоторый случайный процесс, t.

Е - множество состояний процесса . Оно может представлять собой некоторое подмножество множества R, то есть может быть, как дискретным, так и непрерывным.

Рассмотрим фиксированное состояние х?.

Обозначим через случайные моменты времени, в которых процесс возвращается в состояние х?; , n=0,1….

Предположим, что случайный процесс также обладает свойствами:

случайные моменты {} образуют простой процесс восстановления;

зафиксируем условие (это наиболее эффективно) и рассмотрим поведение процесса при t на интервале времени (). Тогда эволюция процесса происходит независимо от прошлого (от поведения до момента );

произвольное конечномерное распределение процесса на интервале [] при фиксированном условии совпадает с конечномерным распределением на предыдущем интервале.

Если выполняются все из указанных выше свойств, то случайный процесс называется регенерирующим процессом, а моменты времени - моментами регенерации.

Дадим определение управляемого регенерирующего процесса.

Пусть - регенерирующий процесс;

- моменты регенерации;

.

- некоторое заданное множество допустимых управлений (решений)

- подмножеств множества .

Пара - измеримое пространство

Обозначим через некоторую вероятностную меру (вероятность), заданную на . Тогда тройка объектов называется вероятностным пространством.

Будем полагать, что управление регенерирующим процессом определяется на каждом периоде регенерации [] в начальный момент и представляет собой реализацию случайного эксперимента на вероятностном пространстве . Обозначим эту реализацию .

В дальнейшем будем полагать, что есть некоторое подмножество множества вещественных чисел R (в частности ). Вероятностная мера задается через функцию распределения. Таким образом, можно считать, что есть случайная величина, принимающая значения во множестве для которой представляет собой функцию распределения:

[5]

является управляющим распределением или распределением, задающим управление в данной модели регенерации.

Таким образом, если для случайного регенерирующего процесса , будут введены и определены все описанные выше понятия, то такой процесс будет назваться управляемым регенерирующим процессом.

Рассматривается некоторый управляемый регенерирующий случайный процесс . Случайные моменты - есть моменты регенерации этого процесса.

Предположим, что с данным процессом связан некоторый аддитивный стоимостной функционал. Зададим его.

Определяется некоторая функция, описывающая полученную прибыль (стоимостная характеристика) на каждом интервале регенерации.

- заданная функция, принимающая значения в R,

.

Причем

- время, прошедшее с момента начала периода регенерации;

- общая длительность периода регенерации;

- параметр управления, (решение, принимаемое на периоде регенерации);

Аддитивный стоимостной функционал обозначен как :

.

- фиксированное значение в момент регенерации.

Значение стоимостного аддитивного функционала в момент времени как . По определению, является случайной величиной, зависящей от исходного процесса . Необходимо определить значение функционала в любой момент времени .

Предполагается, что известно начальное значение . Обычно полагают, что . Будем считать, что задано значение функционала в некоторый момент регенерации : .

Тогда значение в произвольный момент времени на периоде регенерации [] определяется соотношением, которое использовала Пименова Е.Ю. в своей работе [5]:

где

- время, прошедшее с начала периода регенерации,

- случайная длительность периода регенерации,

- управление (решение), принимаемое в момент .

Таким образом, случайная функция может пониматься, как приращение стоимостного аддитивного функционала за время от начального момента периода регенерации до произвольного фиксированного момента времени , .

Как следствие, соотношение (1.1) определяет значение стоимостного аддитивного функционала в любой момент времени .

1.2.3 Постановка задачи оптимального управления для управляемого регенерирующего процесса

Приведем некоторые известные сведения, которые будут использоваться в ходе дальнейшей работы.

Стационарный стоимостной показатель, связанный с регенерирующим процессом, при достаточно общих условиях имеет вид (эргодическая теорема) и описан в работе Пименовой Е.Ю. [5]:

где

- математическое ожидание приращения стоимостного аддитивного функционала на периоде регенерации;

- математическое ожидание длительности периода регенерации. [5]

Предполагается, что задан некоторый управляемый регенерирующий процесс, для которого верны все теоретические данные и утверждения, приведенные ранее. Тогда можно доказать утверждение, что стационарный функционал имеет вид:

где - условное математическое ожидание приращения стоимостного функционала на периоде регенерации при условии, что на данном периоде принято решение ;

- условное математическое ожидание длительности периода регенерации при условии, что на данном периоде принято решение

Формально, задача оптимального управления регенерирующим процессом принимает вид экстремальной задачи:



- множество всех управляющих вероятностных распределений, заданных на пространстве .

В конкретной, рассматриваемой в работе, задаче управления запасом величины будут определяться как:

- множество вероятностных распределений неотрицательных случайных величин.

1.2.4 Экстремальная задача для дробно-линейного функционала

Некоторые теоретические сведения, которые будем использовать в дальнейшем для исследования стоимостного дробно-линейного функционала на поиск экстремума.

Каштановым В.А. была получена следующая теорема: (теорема была опубликована в книге Каштанова В.А. и его соавторов [11])

Теорема 1.1

Пусть ограниченная функция и при , тогда, если существует максимум функционала (1.2) по множеству функций распределения, то он достигается на некоторой вырожденной функции распределения:

Позже Шнурковым П.В. было получено, что для дробно-линейного функционала имеет место следующий результат [12]:



- функция распределения, задающая вероятностную меру на .

- множество всех распределений на ;

- множество вырожденных распределений на ;

Основной функцией функционала I( будем называть

Рассматривается экстремальная задача:

Предполагается, что выполняются следующие условия на функционал (1.6):

1) Функционал определен для всех , то есть

2)

Основной результат для экстремальной задачи (1.7) может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 1.2

Пусть основная функция дробно-линейного функционала (1.6) достигает глобального экстремума в точке . Тогда решение экстремальной задачи (1.7) существует и достигается на вырожденном распределении, сосредоточенном в точке



1.3 Исследование некоторых конкретных систем управления запасами, описываемых моделями регенерации

1.3.1 Обзор основных характеристик построенной модели

В качестве примера математического исследования конкретной модели управления запасом рассмотрим работу Шнуркова П.В. и Пименовой Е.Ю. [5]. В этом параграфе приведены все основные теоретические результаты данной работы. Отметим, что аналогичные исследования проведены в работах [1], [2], [3], [4].

Экономическая система, представляет собой отдельный (изолированный) склад, в котором хранится один вид продукта. Объём запаса данного продукта на складе в момент времени t обозначается через Этот параметр может принимать значения на множестве вещественных чисел (-, где - заданная величина (максимальная вместимость склада). Этот параметр непрерывен.

Спрос на товар является детерминированной величиной. Скорость потребления продукции определяется постоянным параметром Заказ на поставку данного товара происходит через случайное время , то есть играет здесь роль параметра управления. Если же случайная величина принимает некоторое фиксированное значение , то величина является решением (управлением). И тогда функция распределения является управляющим распределением. Поставка продукции на склад, пополняет уровень запаса до уровня . В момент заказа начинается, так называемый, период задержки поставки, то есть время, в течение которого выполняется заказ на пополнение запаса. Период задержки является заданной детерминированной величиной . В этот период потребление продукта продолжается с той же заданной скоростью б>0.

В момент окончания периода задержки поступает заказанная партия продукта и начинается, так называемый, период непосредственного пополнения. В этот период потребление прекращается, а пополнение производится со скоростью л>0.

Нетрудно заметить, что если время до момента заказа равно u, а длительность периода задержки рана , то длительность периода непосредственного пополнения запаса равна величине .

В момент окончания периода непосредственного пополнения запас продукта в системе принимает значение . После этого вновь планируется момент следующего заказа на пополнение. Эволюция системы после пополнения и достижения уровня происходит независимо от прошлого и по тем же самым закономерностям.

Пример возможного поведения процесса :

u- время до момента заказа, реализация случайной величины, имеющей распределение G(u).

- неслучайная длительность задержки поставки(известная величина).

- длительность непосредственного пополнения

ф- лu=x - случайный уровень заказа

б - скорость потребления

л- скорость пополнения

x(t) - случайный процесс. Тогда момент t является объемом запаса в системе, а моменты пополнения запаса в системе до максимального уровня . Зафиксируем момент . Случайное время на периоде от момента до момента следующего пополнения как , .

Тогда выполняются следующие равенства:

- момент следующего заказа,

- момент начала непосредственного пополнения,

- момент следующего пополнения запаса.

Траектория случайного процесса x(t) определяется соотношением:

x(t)= х(, ,

x(t)=, ,

Случайный процесс x(t) является управляемым регенерирующим процессом, моментами регенерации которого являются моменты {}. Случайная величина представляет собой управление на интервале регенерации []. Распределение есть управляющее вероятностное распределение.

Стратегия управления запасом заключается в выборе такой функции распределения , которая при оптимальном процессе x(t) доставляет экстремум некоторому показателю качества I(G).

Стоимостные характеристики, связанные с функционированием рассматриваемой системы. - затраты, связанные с хранением реального запаса, объемом x, x > 0 в единицу времени;

- штрафы (потери), связанные с дефицитом продукта объема x, x<0, в единицу времени, ;

- фиксированная плата за поставку продукта объема .

(x) - цена поставки потребителю единицы продукта в единицу времени при условии, что объем имеющегося запаса равен x > 0;

(x) - цена поставки потребителю единицы продукта в единицу времени при условии, что в системе имеется дефицит объема x, x < 0.

Функции (x), (x) предполагаются заданными. В дальнейшем эти функции будут входить в представление для целевого функционала - показателя качества управления в рассматриваемой модели.

Оптимальная стратегия управления запасом определяется функцией распределения , которая доставляет экстремум выбранному показателю качества управления, т.е. функционалу средней удельной прибыли на преиоде регенерации.

1.3.2 Представлении стационарного стоимостного показателя

В данной модели необходимо доказать основное утверждение о представлении стационарного показателя I в форме дробно-линейного функционала, т.е. найти явно функции A(u), B(u). Сформулируем основное утверждение.

Теорема 2.1

В рассматриваемой стохастической модели регенерации стационарный показатель качества управления представляется в виде дробно-линейного интегрального функционала

Где подынтегральные функции числителя и знаменателя задаются следующими формулами:

При :

При :

При этом во всех вариантах функция B(u) имеет вид:

Стационарный показатель качества управления представляется в виде дробно-линейного функционала.

Необходимо получить явные представления для подынтегральных функций числителя и знаменателя A(u) и B(u).

Формула A(u) представляет собой условное математическое ожидание прибыли, полученной на одном периоде регенерации, определяемое при условии, что в начальный момент периода было принято решении u. В рассматриваемой модели, управление(решение) совпадает с длительностью времени от момента очередного пополнения (начальный момент периода регенерации) до момента заказана пополнение.

Пусть D(u) - условное математическое ожидание дохода, полученного на периоде регенерации, при условии, что принято решение u. И C(u) - условное математическое ожидание затрат.

Существует два варианта соотношения исходных параметров: и .

Таким образом, функция условного математического ожидания дохода на периоде регенерации при условии, что принято решение u задается формулой:

Суммарные затраты имеют вид:

Вычислим каждое слагаемое в правой части (2.7):



При этом

Заметим, что если выполняется условие то за времязапас не будет израсходован, т.е. к моменту начала пополнения остается объем реального запаса.

Тогда затраты, связанные с хранением, задаются формулой (2.8), дефицит не образуется, плата за поставку определяется формулой (2.11).

Отсюда

Если же выполняется условие . То за время запас будет полностью израсходован, образуется дефицит. Штрафы, связанные с дефицитом, определяются формулой (2.10).

Суммарные затраты складываются из трех составляющих: затрат на хранение, определяемы равенством (2.9); штрафов, связанных с дефицитом, определяемых равенством (2.10) и платы за поставку определяемых формулой (2.11).

В этом случае имеем:

Из (2.6), (2.12), (2.13) получаем формулы, определяющие функции прибыли:

A(u)=D(u)-C(u) =>

Функцию B(u) получаем в явном виде:

Таким образом, функции A(u) и B(u) определены аналитически в обоих случаях. Задача оптимального управления аналитически сводится к исследованию на глобальный экстремум функций

A(u) задается формулами (2.2) и (2.3)

A(u) задается формулой (2.4)



1.3.3 Решение проблемы оптимального управления запасом

Для рассмотренного класса управляющих вероятностных распределений G(u), а именно, для множества распределений неотрицательных случайных величин, заданных на множестве допустимых управлений u=[0;?), функционал I(G) определен. Иначе говоря, выполняется условие:

Подынтегральная функция знаменателя B(u) удовлетворяет условию:

Теперь применим теорему о безусловном экстремуме интегрального дробно-линейного функционала в формулировке П.В. Шнуркова.

Предположим, что функция достигает глобального (абсолютного) экстремума на множестве допустимых управлений uU в некоторой точке . Тогда решение исходной экстремальной задачи для дробно-линейного интегрального функционала I(G) существует и достигается на вырожденном вероятностном распределении , сосредоточенном в точке :

Тогда имеет место соотношение:

(2.15)



Где - множество вырожденных распределений вида (2.14) для всех возможных точек

Таким образом, необходимо исследовать на глобальный экстремум основную функцию рассматриваемого дробно-линейного функционала:

1.3.4 Достаточные условия непрерывности основной функции и существование детерминированного оптимального управления

Функция A(u) , определяемая формулой (2.2), является непрерывной в области .

Рассмотрим функцию A(u) при , определяемую формулой (2.3).

Интеграл

является постоянной величиной; интеграл

Функция A(u) , определяемая формулой (2.3), является непрерывной функцией от u в области .

Функция A(u), задаваемая формулой (2.4), является непрерывной при всех .

Основываясь на утверждении леммы, можно доказать следующее утверждение относительно свойств основной функции данного дробно-линейного функционала.

Предположим, что выполнены следующие условия, связанные со стоимостными характеристиками модели:

Функция непрерывна при любых значениях аргумента

Функция непрерывна при любых значениях аргумента

Выполняется условие

Функция непрерывна при любых значениях

Для любого значения выполняется условие:

Тогда основная функция рассматриваемого дробно-линейного функционала (2.1), то есть функция , определяемая соотношениями (2.2)-(2.4), является непрерывной при всех конечных значениях аргумента и существует конечный предел

Вычисляется предел

и доказывается, что существует конечный предел:



Далее доказывается теорема:

Пусть выполнены условия теоремы 2.2. Тогда решение задачи оптимального управления запасом существует и достигается на детерминированном управлении , которое представляет собой точку глобального максимума функции на множестве .

1.3.5 Анализа частного случая задачи

Рассматривается случай, при котором функции дохода и затрат задаются линейными функциями.

Затраты:

- затраты, связанные с хранением товара на складе;

- затраты, связанные с дефицитом товара на складе;

- плата за поставку товара (при фиксированном u).

Доходы в этом случае будут выглядеть как:

, x>0

При чем - заданная величина

- заданная величина

.



Таким образом цена поставки минимальна при большом запасе(близком к максимальному) и максимальна при малом запасе(близком к нулю) . в частности, она может быть постоянной, если , тогда .

Цена поставки в случае дефицита одинакова при любом уровне дефицита; реального запаса нет, спрос будет удовлетворен в будущем при пополнении запаса.

Возможны два случая при и при . Рассмотрим первый из них. Исследуется функция S(u), с помощью формул (2.2) и (2.5):

Целевая функция на интервале [0;]

=

Целевая функция на интервале [

В данном случае функции и будут одинаковыми.

Исследование целевой функции при u=

Резюмируя полученный результат, следует сказать, что для заданной задачи в явном виде были найдены представления целевой функции на каждом из рассматриваемых интервалов. Полученные данные, в дальнейшем, могут быть использованы для исследования модели на экстремум.



Глава 2. Разработка и анализ стохастической модели управления запасом производственной системы

2.1 Общее описание функционирования производственной системы, связанной с поставками ресурса

В классических моделях оптимального управления запасом рассматривается изолированное помещение складского типа с некоторым ресурсом, с которого идет прямое потребление данного вида номенклатуры. В работе рассмотрена модель управления поставками, а именно изучены этапы поступления заказа на предприятие, анализ рынка и выбор нужного поставщика, а также изготовление различных деталей с использованием одного вида номенклатуры.

Исследуемое предприятие, из-за условий кризиса, в нынешней рыночной экономики вынуждено работать по принципу “производства с колес”. Название принципа возникло на предприятии. Как можно догадаться из названия этого принципа, заказ необходимого ресурса происходит после утверждения заказа на производство необходимого изделия.

Рассмотрим более подробно функционирование одного производственного цикла на предприятии ОАО «Серпуховский завод «Металлист».

Изначально на предприятие поступают заказы на производство некоторых изделий. Приоритет заказа определяется временем поступления, то есть изначально выполняется заказ поступивший первым. После полного выполнения заказа на производство очередь переходит к следующему заказу с наивысшим приоритетом. При отсутствии заказов в очереди предприятие вынуждено находится в режиме ожидания следующего заказа. Для удобства назовем заказы на производство требованиями.

После поступления требования на предприятие его необходимо проанализировать. Анализ покажет насколько выгодно выполнять поступившее требование и возможно ли предприятию выполнить его. После анализа требование утверждается и происходит переход к следующей ступени производственного цикла. В случае поступления неэффективного для предприятия требования, то есть выполнение требования приведет к росту издержек или вовсе принесет заводу лишь убытки, возможен сценарий, при котором предприятие может отказать заказчику и отвергнуть поступившее требование. Также предприятие может не удовлетворить поступившее требования поскольку не в состоянии выполнить его. Например, производственные мощности слишком велики или слишком малы для производства объема изделий в поступившем требовании. В таком случае производственный цикл считается завершенным и начинается анализ наиболее приоритетного требования в очереди.

После утверждения требования необходимо произвести все необходимые расчёты и определить, какие изделия необходимо изготовить и какой ресурс необходим для полного выполнения требования. Такой анализ позволит получить точные цифры необходимого объема ресурса для полного обеспечения требования и необходимое время полного выполнения требования. Время выполнения требования делится на два интервала. Первый интервал включает в себя период анализа требования до утверждения, анализа требования после утверждения, анализа рынка и период задержки поставки. Рассматриваемый временной интервал имеет вероятностный характер. Второй интервал зависит от производственной мощности предприятия и является фиксированной величиной, поскольку производственные мощности не изменяются за небольшие интервалы времени. Увеличение производственной мощности происходит в случае приобретения новых технологий и современной техники, но такие изменения не могут происходить во время выполнения требования. Поломкой техники можно пренебречь, поскольку вся техника своевременно обслуживается в силу недопустимости остановки производства.

После получения всех необходимых сведений об объеме необходимого ресурса начинается анализ рынка экспертами, работающими на предприятии. Анализ рынка включает в себя поиск поставщиков, которые готовы поставить необходимый ресурс по выгодной для предприятия цене. Обычно рассматриваются два типа поставщиков: заводы-изготовители и частные компании. В большинстве случаев заводы-изготовители поставляют ресурс по цене, которая ниже средней рыночной стоимости единицы ресурса, но минимальные нормы поставки ресурса, как правило, являются слишком большими для требований, на обеспечение которых требуется небольшое количество ресурса. Поэтому, в большинстве случаев, когда минимальные нормы поставки слишком велики для обеспечения небольших требований, приходится обращаться к частным компаниям, которые готовы поставить необходимое количество ресурса или у которых минимальные нормы поставки ниже, чем на заводах-изготовителях. Недостатком частных компаний является завышенная цена на ресурс. Как правило, цена за единицу ресурса выше средней рыночной стоимости ресурса, но практика показывает, что выгоднее заказать меньший объем по завышенной цене для того, чтобы обеспечить небольшое требование, чем заказывать ресурс с большим излишком, который может не использоваться долгий период времени. Такая ситуация особенно невыгодна, когда у ресурса небольшой срок хранения и использования.

После анализа рынка происходит закупка сырья у выбранного поставщика и начинается период задержки поставки. В этот период завод ожидает заказанный ресурс. Завершение данного периода означает поставку ресурса на склад предприятия.

Далее, по заранее подготовленному плану производства, начинается изготовление изделия. Как правило, план подразумевает ежемесячное потребление ресурса со склада для изготовления изделий. То есть каждый месяц со склада происходит потребление фиксированного объёма ресурса для производства заданного объема изделий. На данном этапе производство ограничено производственными мощностями предприятия. Производство деталей продолжается до полного выполнения требования. Ситуация, при которой производство деталей остановится из-за нехватки сырья невозможно, поскольку каждое требование изначально полностью обеспечено ресурсом. В большинстве случаев требования обеспечены ресурсом с избытком. После полного и успешного выполнения требования завершается производственный цикл по выполнению утвержденного требования и процесс начинает свою эволюцию заново.

На основе приведенного выше описания функционирования реальной производственной системы будет построена математическая модель и проведен ее анализ.

2.2 Разработка математической модели управления запасами и поставками

2.2.1 Построение математической модели, описывающей функционирование системы-склада

Исследуется заводской изолированный склад, на котором хранятся различные виды ресурсов. В рамках данной работы рассмотрен тот же склад, но с одним видом ресурса, предназначенного для производства некоторого заданного вида продукции.

Поставка на склад происходит через различные временные интервалы, имеющие стохастический характер. Потребление происходит по заданному закону, который определяется производственными мощностями предприятия.

Перейдем к построению математической модели, описывающей функционирование системы-склада.

Заказы от потребителя производимой продукции назовем требованиями. Требование содержит количество необходимых изделий (целое, положительное, случайное число).

Предположим, что в систему могут поступать требования различных типов, причем для выполнения требования - го типа необходимо условных единиц ресурса, - заданные целые числа,.

Единицу объема ресурса обозначим через . Таким образом, для выполнения требования типа необходим ресурса в объеме . Других видов требований в данной модели не предполагается.

Каждое требование - го типа поступает в систему с вероятностью . Требования поступают в систему через случайные независимые одинаково распределенные интервалы времени Однако предполагается, что выполнение следующего требования начинается после завершения работ по выполнению предыдущего.

В момент поступления требования начинается так называемый период задержки. В течении этого периода производится анализ рынка, определяется поставщик ресурса. Процедура выбора поставщика и объема заказа будет описана ниже. Затем в течении определенного времени выбранный поставщик выполняет заказ и осуществляет поставку. В момент поставки завершается период задержки и начинается выполнение исходного требования, то есть производство определенного изделия.

Обозначим через моменты последовательного поступления требований. Назовем время от момента до полного выполнения данного требования -ым производственным циклом.

Пусть - случайная длительность задержки на -м цикле. Обозначим через время, необходимое для анализа рынка, - время поставки заказанного ресурса определенным поставщиком. Распределение случайного времени зависит от вида требования, то есть , если в момент поступило требование вида . Распределение случайного времени поставки зависит от выбранного поставщика и объема заказанного ресурса.

Таким образом, + - общая длительность задержки.

Обозначим также: - момент начала производственного процесса на -м цикле.

2.2.2 Описание процесса потребления ресурса

Процесс потребления ресурса происходит следующим образом. В момент поступления требования становится известен минимально необходимый для его выполнения объем ресурса. Непосредственное выполнение работ по данному требованию начинается в момент поступления заказанного ресурса На интервале времени [ ) работы по данному требованию не проводятся. Если в момент на складе присутствовал некоторый запас соответствующего ресурса, то он не расходуется.

Потребление запаса начинается в момент поступления ресурса . Потребление данного ресурса со склада происходит с постоянной скоростью .

Потребление продолжается до полного выполнения работ по данному требованию. Если требование имеет тип , то время его выполнения будет являться детерминированной величиной . Оставшийся ресурс хранится на складе и может быть использован в дальнейшем. Таким образом, -й производственный цикл, связанный с выполнением -го требования, завершается в момент .

2.2.3 Описание процесса закупки ресурса

Организация закупки ресурса происходит следующим образом.

Предположим, что всего на рынке имеется поставщиков данного вида ресурса. Каждый из них характеризуется набором параметров: он может поставить единиц продукта по цене за единицу ;

Если остаток запаса ресурса от выполнения предшествующих требований составляет величину , то можно закупить продукт у поставщиков, которые предлагают объемы . Таким образом определяются возможные решения - пара, где - номер поставщика , - категория заказа , то есть объем закупаемого ресурса у этого поставщика. (Можно выбрать у одного и того же поставщика больший объем по меньшей цене).

Введем дополнительные обозначения:

В дальнейшем будем предполагать, что выполнено следующее условие:

(3.1)

Последнее условие означает, что максимально возможный объем ресурса, необходимого для выполнения поступающего требования, не превосходит максимально возможного объема поставки ресурса, предлагаемого на рынке. Таким образом, предполагается, что при любом возможном требовании существуем поставщик, способный предоставить необходимый объем ресурса для производства требуемого числа изделий.

Обозначим также через максимально допустимый объем ресурса, который может храниться в данной производственной системе (максимальная вместимость склада). Тогда в соответствии с принятыми условиями функционирования системы должно выполняться дополнительное ограничение:



для любого значения остаточного объема запаса и любых значений .

Таким образом, на периоде (производственном цикле), [ ) , на котором остаточный объем запаса был равен , множество допустимых решений зависит от начального (остаточного) объема запаса , объема поступившего требования и представляет собой совокупность пар целых чисел, определяемых следующим образом:

.

При выполнении условия (3.1) множество допустимых решений не пусто: .

Поскольку по предположению на -м цикле будет израсходовано единиц ресурса, остаток этого ресурса на момент окончания данного цикла составит при условиях, что , объем поступившего требования равен , а параметр управления , то есть закупается ресурс в объеме .

Заметим, что значение остаточного ресурса в момент окончания -го цикла при условии, что фиксировано, зависит от объема требования и принимаемого решения , то есть не зависит от значений , а также от объемов поступавших требований на предыдущих циклах.

Будем предполагать, что все возможные значения параметров кратны величине , то есть выполняются равенства:

,

где - целые положительные числа.

При выполнении этого условия можно записать соотношение для изменения остаточного объема ресурса:

Тогда любое изменение объема ресурса кратно величине , и все возможные значения остаточных объемов запаса ресурса так же будут кратны этой величине.

2.2.4 Пример возможного поведения процесса

На рисунке 5 изображен пример возможного поведения процесса на одном производственном цикле.

- начальный момент времени; и { } - моменты поступления требований.

- начальный объём запаса ресурса.

- объем ресурса после пополнения при условии, что (вид требования) ,

- начальный объем ресурса.

- решение (управление) на данном цикле.

Время выполнения поступившего требования в данном случая равно

Остаточный объем ресурса в момент окончания цикла при указанных условиях.

2.3 Общая схема исследования математической модели и постановка задачи оптимального управления

Определение случайного процесса, описывающего функционирование рассматриваемой системы.

Обозначим - объем поступившего требования в момент , - остаточный объем ресурса в момент . Рассмотрим двумерную случайную последовательность , При введенных выше предположениях о характере модели данная последовательность образует двумерную цепь Маркова.

Если зафиксировать состояние цепи в момент , то есть событие (), то управление (решение) на -м производственном цикле определяется парой чисел и зависит от состояния .

Показатель качества управления и проблема выбора оптимальных решений.

Определим показатель качества управления в данной модели как математическое ожидание прибыли, полученной на некотором производственном цикле. Обозначим через условное математическое ожидание прибыли, полученной на одном производственном цикле при условиях, что состояние системы фиксировано , а управление задается парой .

Зафиксируем детерминированную стратегию управления, то есть сопоставим каждому состоянию пару чисел, определяющих управление и обозначим такую пару чисел через если . Фактически стратегия управления представляет собой функцию , заданную на множестве возможных состояний и принимающих значения во множестве допустимых управлений . Совокупность всех стратегий управления обозначим через .

Для каждой фиксированной стратегии управления можно выписать переходные характеристики двумерной цепи Маркова {} и уравнения для стационарных вероятностей этой цепи. Обозначим через стационарное распределение управляемой цепи Маркова . Данное стационарное распределение определяется вероятностями перехода цепи Маркова и зависит от принятой стратегии управления. Тогда можно выписать представление для стационарного показателя средней прибыли, полученной на одном производственном цикле:

(4.1)

Суммирование в правой части формулы (4.1) производится по множеству состояний марковской цепи.

Величина есть математическое ожидание прибыли на одном производственном цикле (в стационарном режиме) при фиксированной стратегии управления .

Оптимальная стратегия управления определяется как решение экстремальной задачи:

(4.2)

Заметим, что показатель можно выписать в явном виде. При некоторых дополнительных предположениях на характер модели можно получить, что множество состояний системы будет конечным. Множество возможных стратегий управления также будет конечным. Таким образом, задача оптимального управления будет иметь единственное решение, которое может быть определено численным методом.

2.4 Получение аналитических представлений для стационарных характеристик модели

Получим соотношения, необходимые для определения стационарного распределения цепи Маркова . Предварительно запишем выражения для переходных вероятностей этой цепи.

В соответствии с принятыми ранее предположениями все возможные значения случайных величин кратны . Но тогда без ограничения общности можно считать, что указанные случайные величины принимают значения из конечных множеств целых чисел:

Заметим, что множество , в котором принимают значения остаточные объемы ресурса ограничено в силу условия ограниченности объема склада : Полагая, что величина кратна : - заданное целое положительное число, получаем, что величину можно задавать целым положительным числом , принимающим значения в конечном множестве .

Таким образом, если выполняются условия:

то объем поступившего требования равен , а остаточный объем ресурса равен , где .

Зафиксируем состояние и некоторое решение . Заметим, что объемы поступающих требований не зависят от состояния системы и принимаемых решений. В то же время, величина остаточного объема полностью определяется значениями и управлением . Тогда имеем следующее соотношение для вероятности перехода управляемой марковской цепи :

(4.3)

где величина представляет собой индикатор условия и определяется равенством :

(4.4)

Из соотношений (4.3), (4.4) можно получить уравнения для стационарных вероятностей управляемой марковской цепи .

Обозначим, как и ранее, через функцию, определяющую стратегию управления, то есть такую, которая сопоставляет каждому возможному состоянию некоторое решение: .

Обозначим через значения этой функции, соответствующие значениям аргументов .

Тогда имеет с учетом (4.3):

(4.5)

(4.6)

Система уравнений (4.5), (4.6) состоит из системы линейных однородных уравнений (4.5) и линейно независимого от нее условия нормировки (4.6). Данную систему необходимо решить для любой заданной функции управления , определяемой набором своих значений:

Решение этой системы будет представлять собой вектор стационарного распределения управляемой цепи Маркова , соответствующий функции управления .

Перейдём к нахождению представления для стационарного показателя качества управления в рассматриваемой марковской модели. Общий подход к нахождению этого показателя описан в 3 настоящей главы.

Введем стоимостный характеристики модели.

Пусть:

- доход ( плата за выполнение требования типа , то есть оплата за выполнение соответствующего заказа; ;

- затраты, связанные с хранением единиц ресурса в единицу времени;

- затраты, связанные с выполнением требования - го типа ( непосредственные затраты на производство), ;

- накладные расходы в единицу времени, то есть расходы на обеспечение работоспособности системы в период времени, когда система не занята выполнением очередного заказа;

- затраты в единицу времени, связанные с анализом рынка и планированием работ по выполнению очередного требования - го типа; ;

- рыночная цена единицы ресурса у поставщика с номером при заказе вида , то есть приобретение у него ресурса в объеме ,

.

Все указанные стоимостные характеристики предполагаются известными.

При данных предположениях можно выписать явное представления для условных математических ожиданий прибыли на одном производственном цикле при условиях, что состояние процесса фиксировано и задана стратегия управления или принятия решения в каждом состоянии.

Обозначим через:

- условное математическое ожидание величины прибыли, связанной с одним производственным циклом, определяемое при условии, что состояние системы в начале цикла равно , а принятая стратегия управления в данном состоянии определяет решения , то есть закупку ресурса у поставщика с номером и вид закупки .

Тогда для величины можно получить следующее аналитическое представление:

,

. (4.7)

Для стационарного показателя качества управления при заданной фиксированной стратегии управления имеет место следующее представление, получаемое по свойству математического ожидания.

где стационарные вероятности марковской цепи определяются из системы уравнений (4.5), (4.6), а условные математические ожидания прибыли - при помощи соотношений (4.7).



Заключение

В результате проведенного исследования построена математическая модель управления запасом и поставками ресурса, описывающая функционирование реальной производственной системы. Такая модель представляет собой двумерную управляемую цепь Маркова.

Разработан общий подход к решению задачи оптимального управления запасом и поставками в предложенной модели. Данный подход позволит вычислить оптимальную стратегию принятия решений, то есть определить номер поставщика и объем поставки для каждого возможного состояния системы.

В дальнейшем исследование разработанной математической модели может быть продолжено. При этом могут быть учтены дополнительные особенности функционирования реальной системы организации поставок необходимых ресурсов. При наличии соответствующих данных могут быть оценены необходимые исходные характеристики реальной системы и проведен расчет численных значений оптимальных параметров управления поставками.



Список литературы

1. Шнурков П.В., Мельников Р.В. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в модели регенерации // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. - Т. 13. - №. 3. - С. 434-452.

2. Шнурков П.В., Мельников Р.В. Исследование проблемы управления запасом непрерывного продукта при детерминированной задержке поставки // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 10. - С. 93-113.

3. Мельников Р.В. Исследование проблем управления запасом непрерывного продукта в стохастической модели регенерации. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук - МГИЭМ, Москва, 2010 г. - 137 с.

4. Ржевцева А.И. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в модели регенерации со случайной длительностью задержки поставки - МИЭМ НИУ ВШЭ, Москва, 2014г.

5. Пименова Е.Ю. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в схеме регенерации с детерминированной задержкой поставки и периодом реального пополнения - МИЭМ НИУ ВШЭ, Москва, 2015г.

...