Метрика как расстояние между i-й и j-й ранжировками определяется единственным образом формулой [12]

если выполнены следующие 6 аксиом [12]:

1. причем равенство достигается, если ранжировки и тождественны;

2.

3.

причем равенство достигается, если ранжировка «лежит между» ранжировками и . Понятие «лежит между» означает, что суждение о некоторой паре объектов в ранжировке совпадает с суждением об этой паре либо в , либо в или же в в а в

4.

где получается из некоторой перестановкой объектов, а из той же самой перестановкой. Эта аксиома утверждает независимость расстояния от перенумерации объектов.

5. Если две ранжировки , одинаковы всюду, за исключением n-элементного множества элементов, являющегося одновременно сегментом обеих ранжировок, то можно вычислить, как если бы рассматривалась ранжировка только этих n-объектов. Сегментом ранжировки называется множество, дополнение которого непусто и все элементы этого дополнения находятся либо впереди, либо позади каждою элемента сегмента. Смысл этой аксиомы состоит в том, что если две ранжировки полностью согласуются в начале и конце сегмента, а отличие состоит в упорядочении средних n-объектов, то естественно принять, что расстояние между ранжировками должно равняться расстоянию, соответствующему ранжировкам средних n-объектов.

6. Минимальное расстояние равно единице.

Пространство ранжировок при двух объектах можно изобразить в виде трех точек, лежащих на одной прямой. Расстояния между точками равны При трех объектах пространство всех возможных ранжировок состоит из 13 точек.

Используя введенную метрику, определим обобщенную ранжировку как такую точку, которая наилучшим образом согласуется с точками, представляющими собой ранжировки экспертов. Понятие наилучшего согласования на практике чаще всего определяют как медиану и среднюю ранжировку.

Медиана есть такая точка в пространстве ранжировок, сумма расстояний от которой до всех точек - ранжировок экспертов является минимальной. В соответствии с определением медиана вычисляется из условия

Средняя ранжировка есть такая точка, сумма квадратов расстояний от которой до всех точек - ранжировок экспертов является минимальной. Средняя ранжировка определяется из условия

Пространство ранжировок конечно и дискретно, поэтому медиана и средняя ранжировка могут быть только какими-либо точками этого пространства. В общем случае медиана и средняя ранжировка могут не совпадать ни с одной из ранжировок экспертов.

Если учитывается компетентность экспертов, то медиана и средняя ранжировка определяются из условий [12]:

где - коэффициенты компетентности экспертов.

Если ранжировка объектов производится по нескольким показателям, то определение медианы вначале производится для каждого эксперта по всем показателям, а затем вычисляется медиана по множеству экспертов [12]:

 (j=1, 2, …, m);

где - коэффициенты весов показателей.

Основным недостатком определения обобщенной ранжировки в виде медианы или средней ранжировки является трудоемкость расчетов. Естественный способ отыскания или в виде перебора всех точек пространства ранжировок неприемлем вследствие очень быстрого роста равномерности пространства при увеличении количества объектов и, следовательно, роста трудоемкости вычислений. Можно свести задачу отыскания или к специфической задаче целочисленного программирования. Однако это не очень эффективно уменьшает вычислительные трудности.

Расхождение обобщенных ранжировок при различных критериях возникает при малом числе экспертов и несогласованности их оценок. Если мнения экспертов близки, то обобщенные ранжировки, построенные по критериям медианы и среднего значения, будут совпадать.

Сложность вычисления медианы или средней ранжировки привела к необходимости применения более простых способов построения обобщенной ранжировки.

К числу таких способов относится способ сумм рангов.

Этот способ заключается в ранжировании объектов по величинам сумм рангов, полученных каждым объектом от всех экспертов. Для матрицы ранжировок составляются суммы [12]

 (i=1, 2, …, n).

Далее объекты упорядочиваются по цепочке неравенств

Для учета компетентности экспертов достаточно умножить каждую i-ю ранжировку на коэффициент компетентности j-го эксперта В этом случае вычисление суммы рангов для i-го объекта производится по следующей формуле [12]:

(i=1, 2, …, n).

Обобщенная ранжировка с учетом компетентности экспертов строится на основе упорядочения сумм рангов для всех объектов.

Следует отметить, что построение обобщенной ранжировки по суммам рангов является корректной процедурой, если ранги назначаются как места объектов в виде натуральных чисел 1, 2, ..., n. Если назначать ранги произвольным образом, как числа в шкале порядка, то сумма рангов, вообще говоря, не сохраняет условие монотонности преобразования и, следовательно, можно получать различные обобщенные ранжировки при различных отображениях объектов на числовую систему. Нумерация мест объектов может быть произведена единственным образом с помощью натуральных чисел. Поэтому при хорошей согласованности экспертов построение обобщенной ранжировки по методу сумм рангов дает результаты, согласующиеся с результатами вычисления медианы.

Еще одним более обоснованным в теоретическом отношении подходом к построению обобщенной ранжировки является переход от матрицы ранжировок к матрице парных сравнений и вычисление собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу этой матрицы. Упорядочение объектов производится по величине компонент собственного вектора.

3.3 Оценка согласованности мнений экспертов

эксперт управление оценка ранжировка

При ранжировании объектов эксперты обычно расходятся во мнениях по решаемой проблеме. В связи с этим возникает необходимость количественной оценки степени согласия экспертов. Получение количественной меры согласованности мнений экспертов позволяет более обоснованно интерпретировать причины в расхождении мнений.

В настоящее время известны две меры согласованности мнений группы экспертов: дисперсионный и энтропийный коэффициенты конкордации.

Дисперсионный коэффициент конкордации. Рассмотрим матрицу результатов ранжировки n объектов группой из m экспертов (j=1, …, m; i=1, …, n), где - ранг, присваиваемый j-м экспертом i-му объекту. Составим суммы рангов по каждому столбцу. В результате получим вектор с компонентами [12]

(i=1, 2, …, n)

Величины рассмотрим как реализации случайной величины и найдем оценку дисперсии. Как известно, оптимальная по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценка дисперсии определяется формулой [12]:

где - оценка математического ожидания, равная



Дисперсионный коэффициент конкордации определяется как отношение оценки дисперсии (5.15) к максимальному значению этой оценки [12]

Коэффициент конкордации изменяется от нуля до единицы, поскольку .

Вычислим максимальное значение оценки дисперсии для случая отсутствия связанных рангов (все объекты различны). Предварительно покажем, что оценка математического ожидания зависит только от числа объектов и количества экспертов. Подставляя в (5.16) значение из (5.14), получаем [12]

Рассмотрим вначале суммированные по i при фиксированном j. Это есть сумма рангов для j-го эксперта. Поскольку эксперт использует для ранжировки натуральные числа от 1 до n, то, как известно, сумма натуральных чисел от 1 до n равна [12]

Подставляя (5.19) в (5.18), получаем [12]



Таким образом, среднее значение зависит только от числа экспертов m и числа объектов n.

Для вычисления максимального значения оценки дисперсии подставим в (5.15) значение из (5.14) и возведем в квадрат двучлен в круглой скобке. В результате получаем [12]

Учитывая, что из (5.18) следует

получаем [12]

Максимальное значение дисперсии достигается при наибольшем значении первого члена в квадратных скобках. Величина этого члена существенно зависит от расположения рангов - натуральных чисел в каждой строке i. Пусть, например, все m экспертов дали одинаковую ранжировку для всех n объектов. Тогда в каждой строке матрицы будут расположены одинаковые числа. Следовательно, суммирование рангов в каждой i-u строке дает m-кратное повторение i-ro числа [12]:



Возводя в квадрат и суммируя по i, получаем значение первого члена в (5.22) [12]:

Теперь предположим, что эксперты дают несовпадающие ранжировки, например, для случая n=m все эксперты присваивают разные ранги одному объекту. Тогда [12]

Сравнивая это выражение с при m=n, убеждаемся, что первый член в квадратных скобках формулы (9) равен второму члену и, следовательно, оценка дисперсии равна нулю.

Таким образом, случай полного совпадения ранжировок экспертов соответствует максимальному значению оценки дисперсии. Подставляя (5.23) в (5.22) и выполняя преобразования, получаем [12]

Введем обозначение [12]



Используя (5.25), запишем оценку дисперсии (5.15) в виде [12]

Подставляя (5.24), (5.25), (5.26) в (5.17) и сокращая на множитель (n--1), запишем окончательное выражение для коэффициента конкордации [12]

Данная формула определяет коэффициент конкордации для случая отсутствия связанных рангов.

Если в ранжировках имеются связанные ранги, то максимальное значение дисперсии в знаменателе формулы (5.17) становится меньше, чем при отсутствии связанных рангов. Можно показать, что при наличии связанных рангов коэффициент конкордации вычисляется по формуле [12]:

В формуле (5.28) - показатель связанных рангов в j-й ранжировке, - число групп равных рангов в j-й ранжировке, - число равных рангов в k-й группе связанных рангов при ранжировке j-м экспертом. Если совпадающих рангов нет, то =0, =0 и, следовательно, =0. В этом случае формула (5.28) совпадает с формулой (5.27).

Коэффициент конкордации равен 1, если все ранжировки экспертов одинаковы. Коэффициент конкордации равен нулю, если все ранжировки различны, т. е. совершенно нет совпадения.

Коэффициент конкордации, вычисляемый по формуле (5.27) или (5.28), является оценкой истинного значения коэффициента и, следовательно, представляет собой случайную величину. Для определения значимости оценки коэффициента конкордации необходимо знать распределение частот для различных значений числа экспертов m и количества объектов n. Распределение частот для W при и вычислено в [52]. Для больших значений m и n можно использовать известные статистики. При числе объектов n>7 оценка значимости коэффициента конкордации может быть произведена по критерию . Величина Wm(n--1) имеет распределение с v=n -1 степенями свободы.

При наличии связанных рангов распределение с v=n--1 степенями свободы имеет величина [12]:

Энтропийный коэффициент конкордации определяется формулой (коэффициент согласия) [12]:

где Н - энтропия, вычисляемая по формуле



а - максимальное значение энтропии. В формуле для энтропии - оценки вероятностей j-го ранга, присваиваемого i-му объекту. Эти оценки вероятностей вычисляются в виде отношения количества экспертов , приписавших объекту ранг j к общему числу экспертов [12].

Максимальное значение энтропии достигается при равновероятном распределении рангов, т. е. когда . Тогда [12]

Подставляя это соотношение в формулу (5.32), получаем [12]

Коэффициент согласия изменяется от нуля до единицы. При расположение объектов по рангам равновероятно, поскольку в этом случае . Данный случай может быть обусловлен либо невозможностью ранжировки объектов по сформулированной совокупности показателей, либо полной несогласованностью мнений экспертов. При , что достигается при нулевой энтропии (H=0), все эксперты дают одинаковую ранжировку. Действительно, в этом случае для каждого фиксированного объекта все эксперты присваивают ему один и тот же ранг j, следовательно, , a Поэтому и H=0.

Сравнительная оценка дисперсионного и энтропийного коэффициентов конкордации показывает, что эти коэффициенты дают примерно одинаковую оценку согласованности экспертов при близких ранжировках. Однако если, например, вся группа экспертов разделилась в мнениях на две подгруппы, причем ранжировки в этих подгруппах противоположные (прямая и обратная), то дисперсионный коэффициент конкордации будет равен нулю, а энтропийный коэффициент конкордации будет равен 0, 7. Таким образом, энтропийный коэффициент конкордации позволяет зафиксировать факт разделения мнений на две противоположные группы. Объем вычислений для энтропийного коэффициента конкордации несколько больше, чем для дисперсионного коэффициента конкордации.

3.4 Обработка парных сравнений объектов

При решении задачи оценки большого числа объектов (ранжирование, определение относительных весов, балльная оценка) возникают трудности психологического характера, обусловленные восприятием экспертами множества свойств объектов. Эксперты сравнительно легко решают задачу парного сравнения объектов. Возникает вопрос, каким образом получить оценку всей совокупности объектов на основе результатов парного сравнения, не накладывая условия транзитивности? Рассмотрим алгоритм решения этой задачи. Пусть m экспертов производят оценку всех пар объектов, давая числовую оценку [12]



Если при оценке пары экспертов высказались в пользу предпочтения экспертов высказались наоборот и экспертов считают эти объекты равноценными, то оценка математического ожидания случайной величины равна [12]

Общее количество экспертов равно сумме

Определяя отсюда и подставляя его в (5.37), получаем [12]

Очевидно, что Совокупность величин образует матрицу на основе которой можно построить ранжировку всех объектов и определить коэффициенты относительной важности объектов.

Введем вектор коэффициентов относительной важности объектов порядка t следующей формулой [12]:

где - матрица математических ожиданий оценок пар объектов, - вектор коэффициентов относительной важности объектов порядка t. Величина равна [12]

Коэффициенты относительной важности первого порядка есть относительные суммы элементов строк матрицы X. Действительно, полагая t=1, из (5.40) получаем [12]

Коэффициенты относительной важности второго порядка (t=2} есть относительные суммы элементов строк матрицы X² [12].

Если матрица Х неотрицательна и неразложима, то при увеличении порядка величина сходится к максимальному собственному числу матрицы Х [12]

а вектор коэффициентов относительной важности объектов стремится к собственному вектору матрицы X, соответствующему максимальному собственному числу

Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы производится решением алгебраического уравнения [12]

где Е--единичная матрица, и системы линейных уравнений [12]

где k - собственный вектор матрицы X, соответствующий максимальному собственному числу . Компоненты собственного вектора есть коэффициенты относительной важности объектов, измеренные в шкале отношений.

С практической точки зрения вычисление коэффициентов относительной важности объектов проще производить последовательной процедурой по формуле (5.40) при t=1, 2, … Как показывает опыт, 3-4 последовательных вычислений достаточно, чтобы получить значения и k, близкие к предельным значениям, определяемым уравнениями (5.46), (5.47).

Матрица неотрицательная, поскольку все ее элементы (5.39) неотрицательны. Матрица называется неразложимой, если перестановкой рядов (строк и одноименных столбцов) ее нельзя привести к треугольному виду [12]



где - неразложимые подматрицы матрицы X. Представление матрицы Х в виде (5.48) означает разбиение объектов на l доминирующих множеств [12]

При 1=n матрица Х неразложима, т. е. существует только одно доминирующее множество, совпадающее с исходным множеством объектов. Разложимость матрицы Х означает, что среди экспертов имеются большие разногласия в оценке объектов.

Если матрица Х неразложима, то вычисление коэффициентов относительной важности позволяет определить, во сколько раз один объект превосходит другой объект по сравниваемым показателям. Вычисление коэффициентов относительной важности объектов позволяет одновременно построить ранжировку объектов. Объекты ранжируются так, что первым объектом считается объект, у которого коэффициент относительной важности наибольший. Полная ранжировка определяется цепочкой неравенств [12]

из которой следует

Если матрица Х является разложимой, то определить коэффициенты относительной важности можно только для каждого множества . Для каждой матрицы определяется максимальное собственное число и соответствующий этому числу собственный вектор. Компоненты собственного вектора и есть коэффициенты относительной важности объектов, входящих в множество . По этим коэффициентам осуществляется ранжировка объектов данного множества. Общая ранжировка объектов дается соотношением [12]

Таким образом, если матрица Х неразложима, то по результатам парного сравнения объектов возможно как измерение предпочтительности объектов в шкале отношений, так и в шкале порядка (ранжирование). Если же матрица Х разложима, то возможно только ранжирование объектов.

Следует отметить, что отношение предпочтения может быть выражено любым положительным числом С. При этом должно выполняться условие В частности, можно выбрать С=2 так, что если , то если то и если , то .

3.5 Определение взаимосвязи ранжировок

При обработке результатов ранжирования могут возникнуть задачи определения зависимости между ранжировками двух экспертов, связи между достижением двух различных целей при решении одной и той же совокупности проблем или взаимосвязи между двумя признаками.

В этих случаях мерой взаимосвязи может служить коэффициент ранговой корреляции. Характеристикой взаимосвязи множества ранжировок или целей будет являться матрица коэффициентов ранговой корреляции. Известны коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяется формулой

где - взаимный корреляционный момент первой и второй ранжировок, - дисперсии этих ранжировок. По данным двум ранжировкам оценки взаимного корреляционного момента и дисперсии вычисляются по формулам [12]:

где n - число ранжируемых объектов, - ранги в первой и второй ранжировках соответственно, - средние ранги в первой и второй ранжировках. Оценки средних рангов определяются формулами [12]:

Вычислим оценки средних рангов и дисперсий в предположении, что в ранжировках отсутствуют связанные ранги, т. е. обе ранжировки дают строгое упорядочение объектов. В этом случае средние ранги (5.53) представляют собой суммы натуральных чисел от единицы до n, поделенные на n. Следовательно, средние ранги для обеих ранжировок одинаковы и равны [12]



При вычислении оценок дисперсий заметим, что если раскрыть круглые скобки в формулах (5.52), то под знаком сумм будут находиться натуральные числа и их квадраты. Две ранжировки могут отличаться друг от друга только перестановкой рангов, но сумма натуральных чисел и их квадратов не зависит от порядка (перестановки) слагаемых. Следовательно, дисперсии (5.52) для двух любых ранжировок (при отсутствии связанных рангов) будут одинаковы и равны [12]

(i=1, 2)

Подставляя значение из (5.51) и из (5.55) в формулу (5.50), получим оценку коэффициента ранговой корреляции Спирмена [12]

Для проведения практических расчетов удобнее пользоваться другой формулой для коэффициента корреляции Спирмена. Ее можно получить из (5.56), если воспользоваться тождеством [12]

В равенстве (5.57) первые две суммы в правой части, как это следует из выражения (5.55), одинаковы и равны [12]

Подставляя в формулу (5.56) значение суммы из (5.57) и используя равенство (5.58), получаем следующую удобную для расчетов формулу коэффициента ранговой корреляции Спирмена [12]:

Коэффициент корреляции Спирмена изменяется от -1 до +1. Равенство единице достигается, как это следует из формулы (5.59), при одинаковых ранжировках, т. е. когда Значение имеет место при противоположных ранжировках (прямая и обратная ранжировки). При равенстве коэффициента корреляции нулю ранжировки считаются линейно независимыми.

Оценка коэффициента корреляции, вычисляемая по формуле (5.59), является случайной величиной. Для определения значимости этой оценки необходимо задаться величиной вероятности , принять решение о значимости коэффициента корреляции и определить значение порога по приближенной формуле [12]

где n - количество объектов, - функция, обратная функции [12]



для которой имеются таблицы [7]. После вычисления порогового значения оценка коэффициента корреляции считается значимой, если .

Для определения значимости оценки коэффициента Спирмена можно воспользоваться критерием Стьюдента, поскольку величина [12]

приближенно распределена по закону Стьюдента с n - 2 степенями свободы.

Если в ранжировках имеются связанные ранги, то коэффициент Спирмена вычисляется по следующей формуле [12]:

где - оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена, вычисляемая по формуле (5.59), а величины равны [12]

В этих формулах и - количество различных связанных рангов в первой и второй ранжировках соответственно.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла при отсутствии связанных рангов определяется формулой [12]:



где n - количество объектов, - ранги объектов, sign x - функция, равная [12]

sign

Сравнительная оценка коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла показывает, что вычисление коэффициентов Спирмена производится по более простой формуле. Кроме того, коэффициент Спирмена дает более точный результат, поскольку он является оптимальной по критерию минимума средней квадрата ошибки оценкой коэффициента корреляции.

Отсюда следует, что при практических расчетах корреляционной зависимости ранжировок предпочтительнее использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Динамизм и новизна современных народнохозяйственных задач, возможность возникновения разнообразных факторов, влияющих на эффективность решений, требуют, чтобы эти решения принимались быстро и в то же время были хорошо обоснованы. Опыт, интуиция, чувство перспективы в сочетании с информацией помогают специалистам точнее выбирать наиболее важные цели и направления развития, находить наилучшие варианты решения сложных научно-технических и социально-экономических задач в условиях, когда нет информации о решении аналогичных проблем в прошлом.

Использование метода экспертных оценок помогает формализовать процедуры сбора, обобщения и анализа мнений специалистов с целью преобразования их в форму, наиболее удобную для принятия обоснованного решения.

Но, следует заметить, что метод экспертных оценок не может заменить ни административных, ни плановых решений, он лишь позволяет пополнить информацию, необходимую для подготовки и принятия таких решений. Широкое использование экспертных оценок правомерно только там, где для анализа будущего невозможно применить более точные методы.

Экспертные методы непрерывно развиваются и совершенствуются. Основные направления этого развития определяются рядом факторов, в числе которых можно указать на стремление расширить области применения, повысить степень использования математических методов и электронно-вычислительной техники, а также изыскать пути устранения выявляющихся недостатков.

Несмотря на успехи, достигнутые в последние годы в разработке и практическом использовании метода экспертных оценок, имеется ряд проблем и задач, требующих дальнейших методологических исследований и практической проверки. Необходимо совершенствовать систему отбора экспертов, повышение надежности характеристик группового мнения, разработку методов проверки обоснованности оценок, исследование скрытых причин, снижающих достоверность экспертных оценок.

Однако, уже и сегодня экспертные оценки в сочетании с другими математико-статистическими методами являются важным инструментом совершенствования управления на всех уровнях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Афанасьев В.Г. Научное управление обществом. М.: Политиздат, 1968. 183 с.

2. Беклешев В.К., Завлин П.Н. Нормирование труда в НИИ и КБ. М.: Экономика, 1973. 203 с.

3. Берж К. Теория графов и ее применения. Изд-во иностр. лит. 1962 196 с.

4. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Экспертные оценки. М.: Наука, 1973. 246 с.

5. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Экспертные оценки в принятии плановых решений. М.: Экономика, 1976. 287 с.

6. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Математико-статистические методы экспертных оценок. М.: Статистика, 1980. 263 с.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 368 с.

8. Волгин Б.А Деловые совещания. М.: Московский рабочий, 1972. 204 с.

9. Диксон Дж, Проектирование систем: изобретательство, анализ, принятие решений. М.: Мир, 1969. 323 с.

10. Добров Г.М., Ершов Ю.В., Левин Е.И., Смирнов Л.П. Экспертные оценки в научно-техническом прогнозировании. Киев: Наукова думка, 1974. 263 с.

11. Евланов Л.Г. Принятие решений в условиях неопределенности. М.: ИУНХ, 1976. 196 с.

12. Евланов Л.Г., Кутузов В.А. Экспертные оценки в управлении. М.: Экономика, 1978. 133 с.

13. Карданская Н. Принятие управленческого решения. М.: ЮНИТИ, 1999. 407 с.

14. Кемени Д., Снелл Д. Кибернетическое моделирование. М.: Советское радио, 1972. 234 с.

15. Кравченко Т.К. Процесс принятия плановых решений. М.: Экономика, 1974. 183 с.

16. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. М.: Наука, 1974. 256 с. . 17. Михеев В.И. Социально-психологические аспекты управления. Стиль и методы работы руководителя. М.: Молодая гвардия, 1975. 181 с.

18. Пфанцагль И. Теория измерений. М.: Мир, 1976. 278 с.

19. Тихомиров Ю.А. Управленческое решение. М.: Наука, 1996. 278 с.

20. Федоренко Н.П. Оптимизация экономики. М.: Наука, 1977. 236 с.

21. Ямпольский С.М., Лисичкин В.А. Прогнозирование научно-технического прогресса. М.: Экономика, 1974. 302 с.

Размещено на Allbest.ru

...