Оптимизация как часть теории принятия решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Оптимизация как часть теории принятия решений

За время существования теории принятия решений для наиболее часто встречающихся задач были разработаны методы, учитывающие их особенности. Для этого требуется, по крайней мере, иметь представление о характерных признаках различных классов.

В настоящее время отсутствует единая универсальная классификационная схема задач принятия решений, однако практически во всех изданиях, посвященных этим вопросам, фигурируют следующие классификационные признаки:

- число лиц, принимающих решение (ЛПР);

- вид показателя эффективности (ПЭ);

- степень определенности информации о проблемной ситуации;

- зависимость характеристик проблемной ситуации от времени.

По признаку числа ЛПР различают задачи индивидуального и группового принятия решений. При групповом выборе решений определяющую роль играет проблема согласования индивидуальных предпочтений членов группы.

Показатель эффективности является одним из наиболее важных и сложных этапов поиска решения и требует от исследователя не только опыта и знания рассматриваемой предметной области, но и творческого подхода.

По степени определенности информации о проблемной ситуации различают задачи принятия решений в условиях определенности и задачи принятия решений в условиях неопределенности.

Задачи принятия решений в условиях определенности характеризуются наличием полной и достоверной информации о проблемной ситуации, целях, ограничениях и последствиях принимаемых решений.

Особенность всех задач принятия решений в условиях неопределенности состоит в том, что исход операции зависит не только от стратегий ЛПР и фиксированных факторов, но и от неопределенных факторов, не контролируемых ЛПР и не известных в момент принятия решения (или недостоверно известных).

По характеру зависимости проблемной ситуации от времени различают статические и динамические задачи принятия решений. В динамических задачах параметры (характеристики) проблемной ситуации изменяются во времени.

1.1 Объект оптимизации

Задачи минимизации принято называть задачами оптимизации, поскольку основной целью решения этих задач обычно является достижение какого-то наилучшего, оптимального, режима работы. При этом минимизируемую функцию обычно называют целевой функцией.

Решение задач оптимизации складывается из следующих элементов:

— создание математической модели явления;

- определение целевой функции и важнейших параметров, подлежащих оптимизации;

— непосредственная минимизация некоторой функции обычно большого числа переменных;

— внедрение результатов исследования.

Естественно, что рассмотрение первых двух вопросов, а также внедрение результатов должно проводиться совместно со специалистами конкретной отрасли.

При построении модели задачи возникает желание создать подробную математическую модель, учтя многие детали задачи, а затем произвести полную оптимизацию проблемы за счет наилучшего выбора всех параметров. Стремление учесть слишком многое увеличивает возможность упустить из виду что- либо существенное и тем самым ухудшить модель.

Особенно важно построить простейшую модель, учитывающую лишь основные, определяющие, параметры. Важно, чтобы результаты математических исследований подавались в достаточно наглядной, привычной форме, по возможности с привлечением минимального математического аппарата.

1.2 Критерий оптимальности

Общая схема процедуры оптимизации математического аналога исследуемого объекта представлена на рис. 7.1,

Для описания совокупностей входных, управляющих параметров и параметров состояния:

1. Входные параметры Xi0(i= 1,2,... т).

2. Управляющие параметры Ui(i= 1,2,..., r).

3. Выходные параметры Xn(i= 1,2,..n).

4. Случайные параметры Еi (дзета) (i= 1,2,..., r).

Зависимость выходных параметров процесса от входных и управляющих:

(1)

Если вид соотношений известен, то говорят, что известна математическая модель процесса.

Подставляя значение выходных параметров в критерий оптимальности, можно представить его как функцию только входных и управляющих параметров:

При решении задач оптимизации, т.е задачи определ наим значения R, критерий оптим-сти рассм-ся как ф-я управления параметров Ui . При этом всякое изменение значений указанных параметров двояко сказывается на критерии оптимальности. Во-первых, прямо, если управляющие параметры непосредственно входят в выражение оптимальности, и, во-вторых, косвенно, через изменение выходных параметров процесса.

Подставляя значение выходных параметров в критерий оптимальности, можно представить его как функцию только входных и управляющих параметров: R = R (Xi0, Ui)

Решение задачи оптимизации в этом случае получается в виде зависимости управляющих параметров процесса Ui от входных параметров и, возможно, также от времени t и пространственных координат z оптимизируемого объекта:

Задача оптимизации решается только тогда, когда известен вид зависимости выходных параметров процесса Xi от входных Xi0и управляющих Ui ,т. е.:

математический оптимизация целевой переменная

Эту зависимость можно вывести только в результате предварительного изучения свойств оптимизируемого процесса, аналитическое выражение которых и составляет математическое описание процесса.

Оптимизируемый объект следует оборудовать соответствующими измерительными средствами, дающими возможность определить реакцию объекта на любое изменение входных и управляющих параметров, т. е. в конечном счете получить зависимость (.1). Важно иметь матем модель процесса, которая позволяет, не затрагивая сам проц, определять какие решения нужно применять, чтобы улучшить его режим.

1.3 Целевая функция и ее свойства

Нормализация независимых переменных. При решении конкретных задач независимые переменные (управляющие воздействия) могут иметь различный физический смысл и, соответственно, разные единицы измерения. При решении задач оптимизации численными методами целесообразно оперировать их безразмерными нормализованными значениями.

Обычно для нормализации применяется возможный диапазон изменения значений независимых переменных, который всегда может быть установлен исходя из физической сущности решаемой задачи. Например, пусть некоторый физический параметр исходной задачи может изменять значение аi в пределах:

ajmin < aj < ajmax Тогда, обозначая величину диапазона изменения значения aj через : dj =ajmin - ajmin можно ввести безразмерную переменную Uj : Uj =(aj - ajmin)/ dj (7.6)

Переменная Uj при таком способе определения будет изменяться в пределах: 0< Uj<1

Глобальный и локальный оптимумы. При отыскании оптимума целевой функции R(U) задачей, как правило, является определение совокупности значений независимых переменных Uj, соответствующей не какому-нибудь экстремуму функции R(U), а наибольшему или наименьшему значению R(U) в допустимой области Vдоп. Если нужно найти, например, минимум, то решение задачи оптимизации должно удовлетворять условию:

R(Uопт)< R(U)(7.8)

Условие (7.8) должно выполняться для любых допустимых значений U. Оптимум, для которого справедливо условие (7.8),обычно называется глобальным (7.6). . В этом случае сложность задачи поиска экстремума для функции многих переменных существенно увеличивается.

На точкаX1 - точка глобального максимума, х2--точка локального минимума, х3 - точка локального максимума, х4 - точка глобального минимума, a x5 можно рассматривать и как точку локального минимума, и как точку локального максимума.

Критерий оптимальности: При анализе оптимизацион задачи возникает вопрос: как определить, представляет ли данная точка х* оптимальным решением задачи.

Теорема 1.

Необходимое условие того, что х* является точкой локального минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции / на открытом интервале (а, Ь), выражается следующими соотношен:

Эти условия являются необходимыми, т. е. в случае, когда они не выполняются, точка х* не может быть точкой локального минимума (максимума). С другой стороны, если эти условия выполняются, мы не имеем гарантии, что точка х* является точкой локального минимума (максимума).

Определение. Стационарной точкой называется точка х*, в которой

Если стационарная точка не соответствует локальному оптимуму (минимуму или максимуму), то она является точкой перегиба, или «седловой точкой». Для того чтобы провести различия между случаями, когда стационарная точка соответствует локальному минимуму, локальному максимуму или является точкой перегиба, необходимо построить достаточные условия.

Теорема 2.

Пусть в точке х* первые (п - 1) производные функции обращаются в нуль, а производная порядка п отлична от нуля.

1. Если п - нечетное, то х*- точка перегиба.

2. Если п - четное, то точка локального оптимума.

Кроме того,

а) если эта производная положительна, то х*- точка локального минимума;

б) если эта производная отрицательна, то х* - точка локального максимума.

Размещено на Allbest.ru