Функция спроса и метод наименьших квадратов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА» (МГТУ ИМ. Н.Э. БАУМАНА)

ФАКУЛЬТЕТ «ИНЖЕНЕРНЫЙ БИЗНЕС И МЕНЕДЖМЕНТ»

РЕФЕРАТ

ФУНКЦИЯ СПРОСА И МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Выполнил:

студент группы ИБМ4-71

Яценко Р.Д.

Преподаватель:

Куликова Н.Ю.

Москва

2016

Содержание

Формулировка задания

Результаты опроса

Расчет оптимальной розничной цены табличным методом

Анализ данных для линейной модели

Анализ данных для степенной модели

Выводы

Литература

Формулировка задания

Соберите информацию о максимально возможной цене (в руб.), которую потребители готовы заплатить за определенный товар или услугу (список товаров и услуг прилагается ниже).

Опросите не менее 50 человек (не считая отказавшихся от ответа). Постройте выборочную функцию спроса.

Найдите розничные цены, максимизирующие прибыль, для пяти различных значений оптовой цены.

Методом наименьших квадратов восстановите (теоретическую) функцию спроса, используя линейную аппроксимацию.

Рассчитайте доверительные границы.

Постройте на одном рисунке восстановленную и выборочную функции спроса.

На основе восстановленных зависимостей найдите розничные цены, максимизирующие прибыль, для пяти различных значений оптовой цены, и сопоставьте с результатами оптимизации на основе выборочной функции спроса.

Проделайте аналогичные расчеты, используя степенную аппроксимацию. Какая из двух аппроксимаций позволяет более точно приблизить функцию спроса?

Постройте на одном рисунке восстановленные и выборочную функции спроса (на одном рисунке три графика).

Результаты опроса

В результате опроса 50 человек было получено 50 ответов в ответ на вопрос, какую максимальную цену потребитель готов заплатить за учебник по менеджменту. Цена колеблется от 80 руб. до 300 руб. Сначала соберем все цены:

80 80 80 80 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 120 120 120 120 120 120 120 130 130 130 150 150 150 150 150 150 150 150 150 180 180 180 180 200 200 200 210 220 220 220 250 250 280 280 300 300

Расчет оптимальной розничной цены табличным методом

Необходимо составить таблицу исходных данных - пар чисел (p, D(p)), где

p - независимая переменная - цена, руб.

D(p) - зависимая от p величина - спрос, чел.

Ni - сколько раз названо то или иное значение.

Таблица 1. Оценивание функции спроса и расчет оптимальной цены.

Таким образом, 50 опрошенных потребителей назвали 12 конкретных значений цены (максимально для них допустимых значений). Каждое из значений, как видно из третьего столбца табл.1, названо от 2 до 10 раз.

Если мы будем предлагать товар по ценам свыше 300 руб., то его не купит никто. При цене 300 руб. появляются 2 покупателя. А если цену понизить до 280 руб., тогда товар купят уже 4 человека.



Рис.1. Функция спроса.

Из этого графика видно, что 50% покупателей готово купить товар за 156,25 руб.

Найдем для каждого значения издержек p₀ оптимальную розничную цену (см. табл.1). Предполагаемые издержки: 50, 80, 100, 120, 150 (руб.).

Po	Pопт1
50	150
80	150
100	180
120	200
150	200

Анализ данных для линейной модели

Таблица 2 Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

Примечание. Здесь n = 50 - число ответов участников опроса.

Перейдем к расчету восстановл. функции спроса:

D^*(p_i) = a*(p - p_ср.) + b*.

Теоретическая функция спроса:

D(p_i) = a(p_i) + b.

Необходимо найти оценки параметров a* и b*:

a* =

b* = 28,02; d* = b* - a*p_ср.= 28,02 - (- 0,25)*155 = 66,10.

Таким образом, восстановл. функция спроса имеет вид:

D*(p) = (- 0,25)p + 66,10.

Из табл.2 видно, что остаточная сумма квадратов SS = 895,73.

Исходя из этого, найдем оценку среднего квадратического отклонения:

=

Затем найдем доверительные границы для функции спроса:

D^*(p)_{верхн.\нижн.} = (-0,25)p + 66,101,96 =

Например, при p = 150

D^*(150) _верхн. = 30,53,

D^*(150)_нижн. = 27,97.

Таким образом, при цене 150 руб. товар купят 28-31 человек.

Возьмем теперь другую цену, например 200 руб., тогда

D*(200)_верхн. =18,24,

D*(200)_нижн. = 15,69.

Итак, при цене товара 200 руб. его купят 16-18 человек.

Рис.2. Выборочная и линейная восстановленная функции спроса

Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p₀. Для этого мы должны максимизировать прибыль:

(p - p_0.) D^*(p) = (p_. - p_0.)(a*p + d*).

Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную:

,

2a*p_опт. - а*р₀ +d* = 0,

p_опт. = .

Поскольку a* = -0,25, a d* = 66,10, то

p_опт. =

Сравним (табл.3) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (p_опт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (p_опт.1). цена функция спрос степенной

Таблица 3 Сравнение методов расчета оптимальной цены

Ро	Poпт1	Ропт2
50	150,00	159,53
80	150,00	174,53
100	180,00	184,53
120	200,00	194,53
150	200,00	209,53

Проанализируем результаты, представленные в табл. 2 и 3.

Согласно табл.2, при расчете восстановленной функции D*(p) при p = 280 получаем отрицательную величину (-2,69), что не имеет смысла, т.к. спрос не может быть отрицательным. Рассмотри ситуацию подробнее. Функция спроса убывает, коэффициент a* отрицателен, поэтому рано или поздно прямая уйдет в отрицательную область. Это значит, что приближение функции спроса линейной зависимостью может быть корректно лишь на некотором отрезке, а не на всей прямой. Выясним, при какой цене спрос достигает 0:

D*(p) = (-0,25)p +66,10 = 0,

p =66,10 / 0,25=269,06

Рассмотрим теперь табл.3. Здесь видим разницу между расчетной оптимальной ценой p_опт.2, полученной с помощью метода наименьших квадратов, и расчетной ценой p_опт.1, найденной исходя только из данных опроса. Это связано с тем, что потребитель всегда склонен к круглым числам (например, большинство назовет 150 руб., а не 155 руб. 55 коп.).

Анализ данных для степенной модели

Если функция спроса не является линейной, то нужно подобрать подходящее семейство функций и по результатам измерения (опроса) оценить параметры.

Пример, степенное семейство:

D(p) = cp^б

Преобразуем переменные и приведем задачу к линейному виду.

ln D(p) = ln c + бln p.

Затем обозначим:

у = ln D(p), x = ln p, b =ln c.

Исходя из введенных обозначений, имеем линейное уравнение:

у = бx + b.

Задача оценивания параметров степенной зависимости сведена к ранее рассмотренной задаче оценивания параметров линейной функции.

Таблица 4 Расчет логарифмов

i	Це-на pi	Спрос D(pi)	lnpi	lnD(pi)
1	80	50	4,382	3,912
2	100	46	4,605	3,829
3	120	36	4,787	3,584
4	130	29	4,868	3,367
5	150	26	5,011	3,258
6	180	17	5,193	2,833
7	200	13	5,298	2,565
8	210	10	5,347	2,303
9	220	9	5,394	2,197
10	250	6	5,521	1,792
11	280	4	5,635	1,386
12	300	2	5,704	0,693

Таблица 5 Анализ данных МНК для степенной модели

Найдем оценки параметров a* и b*:

a* =

b* = 3,03; d* = b* - a*lnp_ср.= 3,03 - (-2,04)*4,97 = 13,18

Имеем:

ln(p) = (-2,04)lnp + 13,18, где

с* =

Степенная функция имеет вид:

Определим оптимальную розничную цену p_опт. в случае степенной зависимости:

(p - p_0.)с^*p^-б*> .

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:

(p - p_0.)p^-б* = f(p)> .

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:

^-б* + (p - p₀)( -б^*) p^{-б* -1} =0

p^-б*-1[p + (p - p₀))(-б^*)] =0

Сократим на ненулевой множитель (p^-б*-1):

p + (p - p₀))(-б^*) = 0

Итак, необходимо решить линейное уравнение относительно неизвестного p:

p - б^*p + p_0.б^* = 0

Оптимальное значение розничной цены:

p_опт. = =

Теперь сравним оптимальные цены, найденные разными способами (табл.7 и рис. 3).

Таблица 6. Сравнение методов расчета оптимальной цены

Ро	Ропт1	Poпт2	Ропт3
50	150,00	159,53	33,55
80	150,00	174,53	53,69
100	180,00	184,53	67,11
120	200,00	194,53	80,53
150	200,00	209,53	100,66

Po = 50 Pопт = 0,67 * 50 = 33,55

Рис.3. Выборочная, линейная восстановленная и степенная функции спроса

Выводы

Рассмотрев линейную и степенную аппроксимацию и сравнив их на рисунке 3, можно сказать, что большее приближение к выборочной функции дает нелинейная восстановленная функция спроса.

Отсюда можно сделать вывод, что при расчетах для получения функции спроса лучше использовать нелинейную аппроксимацию.

Исходя из показателей качества, где SS₁=895,73, а SS₂=2,967, можно сделать вывод о том, что степенная аппроксимация будет предпочтительней, в связи с тем, что SS₂ < SS_1.

Литература

1. Методическая разработка Л.А. Орловой «Функция спроса и метод наименьших квадратов» 

2. Орлов А.И. Эконометрика. Изд. 4-е, доп. и перераб. Учебник для вузов. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. - 572 с.

3. Орлов А.И. Эконометрика: Учебник для вузов. -- М.: Экзамен, 2002 (1-е изд.), 2003 (2-е изд.), 2004 (3-е изд.). -- 576 с. - Главы 2 и 5.

4. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. Ч.3. Статистические методы анализа данных. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. - 624 с. - Главы 1 и 6.

Размещено на Allbest.ru

...